2017届南通高三一模数学试卷
南通市、泰州市2017届数学一模(含参考答案)
2021年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，那么A∪B=．复数z=〔1+2i〕2，其中i为虚数单位，那么z的实部为．34．口袋中有假设干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，那么摸出蓝球的概率为．5．如图是一个算法的流程图，那么输出的n的值为．6．假设实数x，y满足那么z=3x2y的最大值为．+7．抽样统计甲、乙两名学生的 5次训练成绩〔单位：分〕，结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲658070857 5乙807075807 0那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位学生成绩的方差为．8．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，那么三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，那么该双曲线的离心率为．10．?九章算术?中的“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么该竹子最上面一节的容积为升．11．在△ABC中，假设?+2?=?，那么的值为．12．两曲线f〔x〕=2sinx，g〔x〕=acosx，相交于点P．假设两曲线在点P处的切线互相垂直，那么实数a的值为．1 3．函数2+2〕＞f〔x〕的解集用区间表示为．f〔x〕=|x|+|x﹣4|，那么不等式f〔x1 4．在平面直角坐标系xOy 中，B，C为圆x2+y2=4上两点，点〔，〕，且⊥，那么线段A11ABACBC的长的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB= ．1〕求cosβ的值；2〕假设点A的横坐标为，求点B的坐标．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：1〕直线PA∥平面BDE；2〕平面BDE⊥平面PCD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆〔a＞b＞0〕的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．18．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到N处，FN交边BC于点P〕，再沿直线PE裁剪．ABCD进行裁剪．点F为AD的中点，点EMNFE 处〔点C，D分别落在直线BC下方点M，1〕当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；2〕假设使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．函数f〔x〕=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．1〕当时，求函数f〔x〕的最小值；2〕假设﹣1≤a≤0，证明：函数f〔x〕有且只有一个零点；3〕假设函数f〔x〕有两个零点，求实数a的取值范围．20．等差数列{an}的公差d不0，且，，⋯，，⋯〔k1＜k2＜⋯＜kn＜⋯〕成等比数列，公比q．1〕假设k1=1，k2=3，k3=8，求的；〔2〕当何，数列{kn}等比数列；〔3〕假设数列{k}等比数列，且于任意n∈N*，不等式恒成立，求a的取范．1南通市2021届高三第一次研数学Ⅱ〔附加〕[做本包括四小，多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．[修明]2作答．假设4-1：几何21．O的直径AB=4，C AO的中点，弦DE点C且足CE=2CD，求△OCE的面．[修4-2：矩与]22．向量是矩A的属于特征1的一个特征向量．在平面直角坐系xOy中，点P〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，求矩A．[修4-4：坐系与参数方程]23．在极坐系中，求直被曲ρ=4sin所θ截得的弦．[修4-5：不等式]24．求函数的最大．[必做]共2小，分20分〕25．如，在棱2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P棱C1D1的中点，Q棱BB1上的点，且BQ=λBB1〔λ≠0〕．〔1〕假设，求AP与AQ所成角的余弦值；〔2〕假设直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py〔p＞0〕上的点M〔m，1〕到焦点F的距离为2，1〕求抛物线的方程；2〕如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．2021年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．设集合A=1，3，B=a2，5，A∩B=3，那么A∪B=，3，5}{}{+}{【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，那么A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．复数z=〔12i2，其中i为虚数单位，那么z的实部为﹣3〕+【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=〔1+2i〕2=1+4i+〔2i〕2=﹣3+4i，z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．口袋中有假设干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，那么摸出蓝球的概率为．【考点】概率的根本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，∴摸出蓝球的概率为1﹣﹣．故答案为．5．如图是一个算法的流程图，那么输出的n的值为5 ．【考点】程序框图．【分析】由的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．假设实数x，y满足那么z=3x+2y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+ z，由图象可知当直线y=﹣x+ z经过点A时，直线y=﹣x+ z的截距最大，此时z最大．由，解得A〔1，2〕，代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．抽样统计甲、乙两名学生的 5次训练成绩〔单位：分〕，结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲658070857 5乙807075807 0那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位学生成绩的方差为20 ．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比拟可得S甲2＞S乙2，那么乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数=，其方差2[〔65﹣75〕2+=75=80﹣75〕2+〔70﹣75〕2+〔85﹣75〕2+〔75﹣75〕2]=50；对于乙，其平==75，其方=2+70﹣75〕2〔75﹣均数差S〔75〕[〔80﹣75〕+ 2+〔80﹣75〕2+〔70﹣75〕2]=20；比拟可得：S甲2＞S乙2，那么乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，那么三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积= = ，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：= === = 〔cm3〕．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，那么该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线 =1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得= ．故答案为：．10．?九章算术?中的“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么该竹子最上面一节的容积为升．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．在△ABC中，假设?2?=?，那么的值为+【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由?+2?=?，得ac?cosB+2bc?cosA=ba?cosC，由余弦定理得：a2+c2﹣b2〕+〔b2+c2﹣a2〕=〔b2+a2﹣c2〕，化简得=2，=，由正弦定理得= = ．故答案为：．12．两曲线f〔x〕=2sinx，g〔x〕=acosx，相交于点P．假设两曲线在点P处的切线互相垂直，那么实数a的值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx= = ，a＞0，设交点P〔m，n〕，分别求出f〔x〕，g 〔x〕的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角根本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f〔x〕=g〔x〕，即2sinx=acosx，即有tanx= = ，a＞0，设交点P〔m，n〕，f〔x〕=2sinx的导数为f′〔x〕=2cosx，g〔x〕=acosx的导数为g′〔x〕=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm?〔﹣asinm〕=﹣1，且tanm=，那么=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+ ，解得a= ．故答案为：．13．函数f〔x〕=|x|+|x﹣4|，那么不等式f〔x2+2〕＞f〔x〕的解集用区间表示为．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g〔x〕=f〔x2+2〕﹣f〔x〕=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g〔x〕=f〔x2+2〕﹣f〔x〕=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g〔x〕=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g〔x〕=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g〔x〕=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g〔x〕=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g〔x〕=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．在平面直角坐标系2y2=4上两点，点A〔1，1〕，且AB⊥AC，那么线段xOy中，B，C为圆x+BC的长的取值范围为[，]．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，B，C为圆x2+y2=4上两点，点〔，〕，且⊥，11ABAC如下图当BC⊥OA时，BC取得最小值或最大值．由，可得B〔，1〕或〔，1〕，||由，可得C〔1，〕或〔1，﹣〕解得BCmin= = ，BCmax= = ．故答案为：[ ，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点 A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB= ．1〕求cosβ的值；2〕假设点A的横坐标为，求点B的坐标．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】〔1〕由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．2〕利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的根本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．【解答】解：〔1〕在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB，所以，= ，即．〔2〕因为，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：1〕直PA∥平面BDE；2〕平面BDE⊥平面PCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直与平面平行的判定．【分析】〔1〕OE，明OE∥PA．然后明PA∥平面BDE．2〕明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后明平面BDE⊥平面PCD．【解答】明：〔1〕OE，因O平行四形ABCD角的交点，所以OAC中点．又因EPC的中点，所以OE∥PA．⋯4分又因OE?平面BDE，PA?平面BDE，所以直PA∥平面BDE．⋯6分2〕因OE∥PA，PA⊥PD，所以O E⊥PD．⋯8分因OP=OC，EPC的中点，所以OE⊥PC．⋯10分又因PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．⋯12分又因OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．⋯14分．17．如，在平面直角坐系xOy中，〔a＞b＞0〕的离心率，焦点到相准的距离1．〔1〕求的准方程；〔2〕假设P上的一点，点O作OP的垂交直于点Q，求的．【考点】直与的位置关系；的准方程．【分析】〔1〕由条件可得，，然后求解的方程．〔2〕由意知OP的斜率存在．当OP的斜率0，求解果；当OP的斜率不0，直OP方程y=kx．立方程，推出．OQ222．然后求解即可．=2k+【解答】解：〔1〕由意得，，，⋯2分解得，c=1，b=1．所以的方程．⋯4分〔2〕由意知OP的斜率存在．当OP的斜率0，，，所以．⋯6分当OP的斜率不0，直OP方程y=kx．由得〔2k2+1〕x2，解得，所以，=2所以．⋯9分因OP⊥OQ，所以直OQ的方程．由得，所以OQ2=2k2+2．⋯12分所以．上，可知．⋯14分．18．如，某机械厂要将6m，2m的方形皮ABCD行裁剪．点 F AD的中点，点E在BC上，裁剪先将四形CDFE沿直EF翻折到MNFE〔点C，D分落在直BC下方点M，N，FN交BC于点P〕，再沿直PE裁剪．1〕当∠EFP=，判断四形MNPE的形状，并求其面；2〕假设使裁剪得到的四形MNPE面最大，出裁剪方案，并明理由．【考点】函数模型的与用．【分析】〔1〕当∠EFP=，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四形MNPE矩形．即可得出．〔2〕解法一：，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四形MNPE 面= = ，化利用根本不等式的性即可得出．解法二：BE=tm，3＜t＜6，ME=6 t．可得PE=PF，即．，NP=3T+ ，四形MNPE面= = ，利用根本不等式的性即可得出．【解答】解：〔1〕当∠EFP=，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四形MNPE矩形．⋯3分所以四形MNPE的面S=PN?MN=2m．⋯5分〔2〕解法一：，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．⋯8分由得所以四形MNPE面====⋯12分．当且当，即取“=．〞⋯14分此，〔*〕成立．答：当，沿直PE裁剪，四形MNPE面最大，最大m2．⋯16分解法二：BE=tm，3＜t＜6，ME=6t．因∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，⋯8．分由得所以四形MNPE面==⋯1 2分=．当且当，即取“=．〞⋯14分此，〔*〕成立．答：当点E距B点m，沿直PE裁剪，四形MNPE面最大，最大m2．⋯16分．19．函数f〔x〕=ax2x lnx，a∈R．1〕当，求函数f〔x〕的最小；2〕假设1≤a≤0，明：函数f〔x〕有且只有一个零点；3〕假设函数f〔x〕有两个零点，求数a的取范．【考点】数在最大、最小中的用；根的存在性及根的个数判断；利用数研究函数的极．【分析】〔1〕当，．求出函数的数，得到极点，然后判断性求解函数的最．〔2〕由f〔x〕=ax2 x lnx，得．当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点，当1≤a≤0，f〔1〕=a1＜0，，推出果．〔3〕由〔2〕知，当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．明a＞0，由f〔x〕=ax2xlnx，得，明函数f〔x〕在〔0，x0〕上减；在〔0，∞〕+上增．要使得函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有两个零点，只需要．通函数h〔x〕=2lnx+x1在〔0，+∞〕上是增函数，推出0＜a＜1．当0＜a＜1，函数f〔x〕有两个零点．明：lnx≤x1．t〔x〕=x 1 lnx，利用数求解函数的最即可．【解答】解：〔1〕当，．所以，〔x＞0〕．⋯2分令f'〔x〕=0，得x=2，当x∈〔0，2〕，f'〔x〕＜0；当x∈〔2，+∞〕，f'〔x〕＞0，所以函数f〔x〕在〔0，2〕上减，在〔2，+∞〕上增．所以当x=2，f〔x〕有最小．⋯4分〔2〕由f〔x〕=ax2 x lnx，得所以当a≤0，，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上减，所以当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．⋯6分因当1≤a≤0，f〔1〕=a 1＜0，，所以当1≤a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有零点．1a0，函数〕有且只有一个零点．⋯8上，当≤≤〔分3〕由〔2〕知，当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．因函数f〔x〕有两个零点，所以a＞0．⋯9分由f〔x〕=ax2x lnx，得，令g〔x〕=2ax2 x 1．因g〔0〕= 1＜0，2a＞0，所以函数g〔x〕在〔0，+∞〕上只有一个零点，x0．当x∈〔0，x0〕，g〔x〕＜0，f'〔x〕＜0；当x∈〔x0，+∞〕，g〔x〕＞0，f'〔x〕＞0．所以函数f 〔x〕在〔0，x0〕上减；在〔x0，+∞〕上增．要使得函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有两个零点，只需要函数f〔x〕的极小f〔x0〕＜，即．又因，所以2lnx0x01＞0，+又因函数h〔x〕=2lnxx1在〔0，∞〕上是增函数，且h〔1〕=0，++所以x0＞1，得．又由，得，所以0＜a＜1．⋯13分以下当0＜a＜1，函数f〔x〕有两个零点．当0＜a＜1，，所以．因，且f〔x0〕＜0．所以函数f〔x〕在上有一个零点．又因〔因lnx≤x1〕，且f〔x0〕＜0．所以函数f〔x〕在上有一个零点．所以当0＜a＜1，函数f〔x〕在内有两个零点．上，数a的取范〔0，1〕．⋯16分下面明：lnx≤x1．t〔x〕=x 1 lnx，所以，〔x＞0〕．令t'〔x〕=0，得x=1．当x∈〔0，1〕，t'〔x〕＜0；当x∈〔1，+∞〕，t'〔x〕＞0．所以函数t〔x〕在〔0，1〕上减，在〔1，+∞〕上增．所以当x=1，t〔x〕有最小t〔1〕=0．所以t〔x〕=x1lnx≥0，得lnx≤x1成立．20．等差数列{an}的公差d不0，且，，⋯，，⋯〔k1＜k2＜⋯＜kn＜⋯〕成等比数列，公比q．〔1〕假设k1，2，3，求的；=1k=3k=8〔2〕当何，数列{kn}等比数列；〔3〕假设数列{kn}等比数列，且于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取范．【考点】数列与不等式的合；等比数列的性．【分析】〔1〕由得：a13821的．，a，a成等比数列，从而4d=3ad，由此能求出〔2〕数列{kn}等比数列，，推出，从而，而．由此得到当，数列{kn}等比数列．〔3〕由数列{kn等比数列，1，．得到，a=d恒成立，再明于任意的正数ε〔0＜ε＜1〕，存在正整数n1，使得．要，即lnn11ε1的取范．＜+【解答】解：〔1〕由可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，⋯2分整理可得：4d2=3a1d．因d≠0，所以．⋯4分〔2〕数列{kn等比数列，．}又因，，成等比数列，所以．整理，得．因，所以1〔2kk〕=d〔2k kk〕．23213因2kk1k3，所以a1=d，即．⋯6≠+当，an=a1+〔n1〕d=nd，所以．又因，所以．所以，数列{kn等比数列．}上，当，数列{kn}等比数列．⋯8分〔3〕因数列{kn等比数列，由〔〕知1，．2a =d，an1〔〕1．= a+n1d=na因于任意n∈N*，不等式恒成立．所以不等式，即，恒成立．⋯10分下面明：于任意的正数ε〔0＜ε＜1〕，存在正整数n1，使得．要，即lnn1＜1ε．nlnq+ln因，，解不等式，即，可得，所以．不妨取，当n1＞n0，原式得．所以，所以a1≥2，即得a1的取范是[2，+∞〕．⋯16分南通市2021届高三第一次研数学Ⅱ〔附加〕[做本包括四小，2作答．假设多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．[修4-1：几何明]21的直径AB=4AO的中点，弦DE点且足CE=2CDOCE．，，求△的面．【考点】与有关的比例段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面．【解答】解：CD=x，CE=2x．因CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA?CB=CD?CE，所以1×3=x?2x=2x2，所以．⋯2分取DE中点H，OH⊥DE．因，所以⋯6．分又因，所以△OCE的面．⋯10分．[修4-2：矩与]22．向量是矩A的属于特征1的一个特征向量．在平面直角坐系xOy中，点P 〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，求矩A．【考点】特征与特征向量的算．【分析】，根据矩，列方程，即可求得a、b、c和d的，求得A．【解答】解：，因向量是矩A的属于特征1的一个特征向量，所以．所以⋯4分因点P〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，所以．所以⋯8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．⋯10分．[修4-4：坐系与参数方程]23．在极坐系中，求直被曲ρ=4sin所θ截得的弦．【考点】曲的极坐方程．【分析】极坐方程化直角坐方程，立，求出A，B的坐，即可求直ρ=4sinθ截得的弦．所【解答】解：以极点O坐原点，极x的正半建立平面直角坐系．直的直角坐方程y=x①，⋯3分被曲曲ρ=4sinθ直角坐方程的x2+y2 4y=0②．⋯6分由①②得或⋯8分所以A〔0，0〕，B〔2，2〕，所以直被曲ρ=4sinθ截得的弦所AB=．⋯10分．[修4-5：不等式]24．求函数的最大．【考点】柯西不等式在函数极中的用；三角函数的最．【分析】利用二倍角公式化函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最即可．【解答】解：⋯2分由柯西不等式得，⋯8分所以ymax=5，此．所以函数的最大5．⋯10分．[必做]共2小，分20分〕25．如，在棱2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P棱C1D1的中点，Q棱BB1上的点，且BQ=λBB1 〔λ≠0〕．〔1〕假设，求AP与AQ所成角的余弦；〔2〕假设直AA1与平面APQ所成的角45°，求数λ的．【考点】直与平面所成的角．【分析】〔1〕以正交基底，建立如所示空直角坐系 A xyz．求出，，利用数量求解AP与AQ所成角的余弦．〔2〕，．求出平面APQ的法向量，利用空向量的数量求解即可．【解答】解：以正交基底，建立如所示空直角坐系A xyz．〔1〕因，，所以= ．所以AP与AQ所成角的余弦．⋯4分〔2〕由意可知，，．平面APQ的法向量=〔x，y，z〕，即令z=2，x=2λ，y=2λ．所以=〔2λ，2λ，2〕．⋯6分又因直AA1与平面APQ所成角45°，所以|cos＜，＞|= = ，2．⋯10可得5λ4λ=0，又因λ≠0，所以分．26．在平面直角坐系xOy中，抛物x2=2py〔p＞0〕上的点M〔m，1〕到焦点F的距离2，1〕求抛物的方程；2〕如，点E是抛物上异于原点的点，抛物在点E的切与x相交于点P，直PF与抛物相交于A，B两点，求△EAB面的最小．【考点】数在最大、最小中的用；抛物的准方程；直与抛物的位置关系．【分析】〔1〕求出抛物x2〔＞〕的准方程，由抛物定，得到，即可求解=2pyp0p=2抛物的方程．〔2〕求出函数的．点，得到抛物在点E的切方程．求出．推出直PF的方程，点到直PF的距离，立求出AB，表示出△EAB的面，构造函数，通函数的数利用性求解最即可．【解答】解：〔1〕抛物x2〔＞〕的准方程，=2pyp0因M〔m，1〕，由抛物定，知，所以，即p=2，所以抛物的方程x2=4y．⋯3分〔2〕因，所以．点，抛物在点E的切方程．令y=0，，即点．因，F〔0，1〕，所以直PF的方程，即2x+ty t=0．点到直PF的距离．⋯5分立方程消元，得22〔2t216〕yt2=0．++因△=〔2t2+16〕24t4=64〔t2+4〕＞0，所以，，所以．⋯7分所以△EAB的面．不妨〔x＞0〕，．因＞0，所以，g'〔x〕＜0，所以g〔x〕在g〔x〕在上增．上减；上，g'〔x〕所以当，．所以△EAB的面的最小．⋯10分．南通市、泰州市2017届数学一模(含参考答案) 2021年3月4日41 / 4141。
2017年江苏省南通市如皋市高三一模数学试卷
2017年江苏省南通市如皋市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 设全集，集合，则．2. 复数（为虚数单位）的共轭复数是．3. 抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字，，，，，），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于”发生的概率为．4. 如图所示的流程图，当输入的值为时，则输出的的值为．5. 已知等差数列的前项的和为，，则．6. 若点位于曲线与所围成的封闭区域内（包含边界），则的最小值为．7. 已知棱长为的正方体中，是棱的中点，则三棱锥的体积为．8. 已知圆过点，且与直线相切于点，则圆的方程为．9. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，是的重心，且，则双曲线的离心率为．10. 已知三角形是单位圆的内接三角形，，过点作的垂线交单位圆于点，则．11. 已知函数，则不等式的解集为．12. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则．13. 已知函数，若在上有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围为．14. 设实数，满足，则的取值范围是．二、解答题（共10小题；共130分）15. 如图，直三棱柱中，，，且是的中点．（1）求证：直线平面；（2）若在线段上，且 平面，求证：是的中点．16. 在中，已知．（1）求角的大小；（2）若，求．17. 如图，矩形公园中，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路（点，分别在边与上），为切点．（1）试求观光道路长度的最大值；（2）公园计划在道路右侧种植草坪，试求草坪面积的最大值．18. 如图，已知为椭圆的左焦点，过点且互相垂直的两条直线分别交椭圆于，及，．（1）求证：为定值；（2）若直线交直线于点，试探究四边形能否为平行四边形，并说明理由．19. 已知函数，．（1）若，求证：在恒成立；（2）讨论的单调性；（3）求证：当时，．20. 已知数列的通项公式为，．（1）在数列中，是否存在连续项成等差数列?若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列中，一定存在满足条件的正整数，，使得，，成等差数列；并求出正整数，之间的关系；（3）在数列中是否存在某项成等差数列?若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．21. 已知，是实数，矩阵所对应的变换将点变成了点．（1）求实数，的值；（2）求矩阵的逆矩阵．22. 已知曲线的极坐标方程为，曲线和曲线关于直线对称，求曲线的极坐标方程．23. 甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选个，同学乙和丙从个课外活动中任选个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设表示参加舞蹈的同学人数，求的分布列及数学期望．24. 已知集合，规定：若集合，则称为集合的一个分拆，当且仅当：，，，时，与为同一分拆，所有不同的分拆种数记为．例如：当，时，集合的所有分拆为：，，，即．（1）求；（2）试用，表示；（3）证明：与同为奇数或者同为偶数（当时，规定）．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.【解析】设，，令代入双曲线的方程，可得，解得，可设，，由重心坐标公式可得；，则，，，由，即，即为，由，可得，解得10.11.12.【解析】将函数的图象向右平移个单位后得到函数，因为对满足的，，有，即两个函数的最大值与最小值的差为时，有，不妨设，则，，若，，此时，解得（舍去）．若，，此时，解得，满足题意．所以的值为．13.14.第二部分15. （1）因为直三棱柱，所以平面，平面，所以．因为，，所以平面，因为平面，所以，因为，且是的中点，所以，因为，所以直线平面．（2）因为 平面，所以，因为是的中点，所以是的中点．16. （1）由，根据三角形内角和定理消去，则由，则有．因为，故得．（2），令，即，因为，所以，则，那么：由，因为，所以，，，故得．17. （1）设，因为点，分别在边与上，所以，则，在中，，在中，，，因为，所以当时，，．答：观光道路长度的最大值为．（2）在中，，由（）可得，，，矩形梯形令，解得：．极大值因为在时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即的最大值．所以当时，．答：草坪面积的最大值为．18. （1）当直线，有一平行于轴时，，当直线，都不平行于轴时，设，，直线，则直线，将直线与椭圆方程联立整理，得，所以，．同理：，所以．综上：．故为定值．（2）假设四边形是平行四边形，即，此时直线，都不平行于轴．由（），得，则，，所以即又，则，所以解得无解．所以四边形不可能是平行四边形．19. （1）当时，设，，所以在恒成立，在上单调递增，所以，所以在恒成立．（2），令，即，，解得：或，①若，此时，在恒成立，所以在单调递增；②若，此时，方程的两根为，且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；③若，此时，方程的两根为，且，所以在上单调递增；综上，若，在单调递增，若，在，上单调递增，在上单调递减．（3）由（）可知在恒成立，所以在恒成立，下证，即证，设，，，易知在恒成立，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以，即当时，．20. （1）若存在连续的三项，，成等差数列，，则，即：，所以，由于，所以，即．所以当且仅当时，，，成等差数列．（2）若，，成等差数列，则，所以，因为，所以，而，所以，可得，且为大于等于的偶数．（3）由于，不妨设，，，成等差数列，其中．于是，即，所以因为式左边，式右边，所以式无解，故在数列中不存在某项成等差数列．21. （1）由题意，得，，所以．（2）由（），，得矩阵的逆矩阵．22. 由题意：极坐标方程转化为直角坐标方程为：，直线转化为直角坐标方程为，因为曲线和曲线关于直线对称，所以曲线的直角坐标方程为：，由，，，所以曲线极坐标方程为：．23. （1）设表示事件“甲同学选中舞蹈”，表示事件“乙同学选中舞蹈”，表示事件“丙同学选中舞蹈”，则，，．因为事件，，相互独立，所以甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：（2）因为可能的取值为，，，，且取这些值的概率分别为，，，，所以的分布列为：所以的数学期望．24. （1）集合，对于每一个，都有进入或不进入两种可能，而且至少进入其中一个，所以有种进入，的不同方法；同理有种进入，的不同方法；根据分步计数原理，，进入，共有种不同方法，即．（2）因为集合，下面按是否进入分为步求解：第一步：对于每一个，都有进入或不进入两种可能，而且至少进入其中一个，所以有种进入，，，的不同方法；第二步：同理有种进入，，，的不同方法；第步：同理有种进入，，，的不同方法．根据分步计数原理，，，，进入，，，共有种不同方法，即．（3）运用二项式定理将展开可得：，其中，所以其中，所以当为奇数时，为奇数；当为偶数时，也为偶数，即与同为奇数或者同为偶数．第11页（共11 页）。
2017年江苏省南通市高考数学一模试卷
2017年江苏省南通市高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.函数的最小正周期为______ ．【答案】【解析】解：函数的最小正周期为，故答案为：．根据函数y=A sin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=A sin（ωx+φ）的周期等于，属于基础题．2.设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B= ______ ．【答案】{1，3，5}【解析】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．本题考查集合的交集、并集运算，注意运用定义法，以及集合中元素的互异性，属于基础题．3.复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为______ ．【答案】-3【解析】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=-3+4i，∴z的实部为-3．故答案为：-3．直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为______ ．【答案】0.17【解析】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17．故答案为0.17．利用对立事件的概率公式，可得结论．本题考查对立事件的概率公式，熟练掌握概率的基本性质是求解本题的关键．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为______ ．【答案】5【解析】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．6.若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为______ ．【答案】7【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=-x+z平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．【答案】20【解析】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65-75）2+（80-75）2+（70-75）2+（85-75）2+（75-75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80-75）2+（70-75）2+（75-75）2+（80-75）2+（70-75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．本题考查方差的计算，注意掌握方差的计算公式．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1-A1BD的体积为______ cm3．【答案】【解析】解：∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1-A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．三棱锥D1-A1BD的体积==，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9.在平面直角坐标系x O y中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2-a2=4a2，可得=．故答案为：．利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为______ 升．【答案】【解析】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．11.在△ABC中，若•+2•=•，则的值为______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cos B+2bc•cos A=ba•cos C，由余弦定理得：（a2+c2-b2）+（b2+c2-a2）=（b2+a2-c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．本题考查了平面向量的数量积以及余弦定理和正弦定理的应用问题，是综合性题目．12.已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为______ ．【答案】【解析】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=-asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（-asinm）=-1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，同时考查同角三角函数的基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.已知函数f（x）=|x|+|x-4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为______ ．【答案】，，【解析】解：令g（x）=f（x2+2）-f（x）=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，x≥4时，g（x）=2x2-2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2-4＞0，解得：x＞或x＜-，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；-≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜-时，g（x）=2x2+2x-4＞0，解得：x＞1或x＜-2，故x＜-2，故答案为： ，，．令g（x）=f（x2+2）-f（x）=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．14.在平面直角坐标系x O y中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为______ ．【答案】[，]【解析】解：在平面直角坐标系x O y中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，-）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用、考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于难题．二、解答题(本大题共12小题，共154.0分)15.如图，在平面直角坐标系x O y中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．【答案】解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2OA•OB cos∠AOB，所以，∠=，即．（2）因为，，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点，．【解析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．本题主要考查余弦定理，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式的应用，属于基础题．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．【答案】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥PA．…4分又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE．…6分（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD． (8)分因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC． (10)分又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．…12分又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．…14分．【解析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．17.如图，在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．【答案】解：（1）由题意得，，，…2分解得，c=1，b=1．所以椭圆的方程为．…4分（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，，，所以．…6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，所以．…9分因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．由得，所以OQ2=2k2+2．…12分所以．综上，可知．…14分．【解析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【答案】解：（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．…3分所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2．…5分（2）解法一：设∠＜＜，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．…8分由＞＞＜＜得＞＞，＜＜所以四边形MNPE面积为== ==…12分．当且仅当，即，时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当∠时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，．…8分由＜＜＞＞得＜＜＞，＜所以四边形MNPE面积为==…12分=．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分．【解析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE 为矩形．即可得出．（2）解法一：设∠＜＜，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．可得PE=PF，即．，NP=3-T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数f（x）=ax2-x-lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若-1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）当时，．所以′，（x＞0）．…2分令f'（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+ ）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+ ）上单调递增．所以当x=2时，f（x）有最小值．…4分（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞．所以当a≤0时，′＜，函数f（x）在（0，+ ）上单调递减，所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．…6分因为当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，＞，所以当-1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上有零点．综上，当-1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．…9分由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞，令g（x）=2ax2-x-1．因为g（0）=-1＜0，2a＞0，所以函数g（x）在（0，+ ）上只有一个零点，设为x0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+ ）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+ ）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+ ）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即＜．又因为，所以2lnx0+x0-1＞0，又因为函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+ ）上是增函数，且h（1）=0，所以x0＞1，得＜＜．又由，得，所以0＜a＜1．…13分以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，＞，所以＜＜．因为＞，且f（x0）＜0．所以函数f（x）在，上有一个零点．又因为＞（因为lnx≤x-1），且f（x0）＜0．所以函数f（x）在，上有一个零点．所以当0＜a＜1时，函数f（x）在，内有两个零点．综上，实数a的取值范围为（0，1）．…16分下面证明：lnx≤x-1．设t（x）=x-1-lnx，所以′，（x＞0）．令t'（x）=0，得x=1．当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+ ）时，t'（x）＞0．所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增．所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．所以t（x）=x-1-lnx≥0，得lnx≤x-1成立．【解析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞．当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点，当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，＞，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+ ）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+ ）上有两个零点，只需要＜．通过函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+ ）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x-1．设t（x）=x-1-lnx，利用导数求解函数的最值即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．20.已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k n}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式＞恒成立，求a1的取值范围．【答案】解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，…2分整理可得：4d2=3a1d．因为d≠0，所以．…4分（2）设数列{k n}为等比数列，则．又因为，，成等比数列，所以．整理，得．因为，所以a1（2k2-k1-k3）=d（2k2-k1-k3）．因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即．…6分当时，a n=a1+（n-1）d=nd，所以．又因为，所以．所以，数列{k n}为等比数列．综上，当时，数列{k n}为等比数列．…8分（3）因为数列{k n}为等比数列，由（2）知a1=d，＞．，a n=a1+（n-1）d=na1．因为对于任意n∈N*，不等式＞恒成立．所以不等式＞，即＞，＜＜恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得＜．要证＜，即证lnn1＜n1lnq+lnε．因为＜，则＜，解不等式＜，即＞，可得＞，所以＞．不妨取，则当n1＞n0时，原式得证．所以＜，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+ ）．…16分【解析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，＞．得到＞，＜＜恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得＜．要证＜，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．本题考查等差数列的首项与公差的比值的求法，考查满足等比数列的等差数列的首项与公差的比值的确定，考查数列的首项的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高．21.已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．【答案】解：设CD=x，则CE=2x．因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA•CB=CD•CE，所以1×3=x•2x=2x2，所以．…2分取DE中点H，则OH⊥DE．因为，所以．…6分又因为，所以△OCE的面积．…10分．【解析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE 的面积．本题考查的是相交弦定理，垂径定理与勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量．在平面直角坐标系x O y中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．【答案】解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量，所以．所以…4分因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），所以．所以…8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．…10分．【解析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．本题考查矩阵的变换，考查方程思想，体现转化思想，属于中档题．23.在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【答案】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线的直角坐标方程为y=x①，…3分曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0②．…6分由①②得或…8分所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长AB=．…10分．【解析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查方程思想，比较基础．24.求函数的最大值．【答案】解：…2分由柯西不等式得，…8分所以y max=5，此时．所以函数的最大值为5．…10分．【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．本题考查是的最值，柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．25.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．【答案】解：以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．（1）因为，，，，，，所以＜，＞=．所以AP与AQ所成角的余弦值为．…4分（2）由题意可知，，，，，，．设平面APQ的法向量为=（x，y，z），则即令z=-2，则x=2λ，y=2-λ．所以=（2λ，2-λ，-2）．…6分又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos＜，＞|==，可得5λ2-4λ=0，又因为λ≠0，所以．…10分．【解析】（1）以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．求出，，，，，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），，，，，．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面所成角的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．26.在平面直角坐标系x O y中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．【答案】解：（1）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，因为M（m，1），由抛物线定义，知，所以，即p=2，所以抛物线的方程为x2=4y．…3分（2）因为，所以′．设点，，，则抛物线在点E处的切线方程为．令y=0，则，即点，．因为，，F（0，1），所以直线PF的方程为，即2x+ty-t=0．则点，到直线PF的距离为．…5分联立方程消元，得t2y2-（2t2+16）y+t2=0．因为△=（2t2+16）2-4t4=64（t2+4）＞0，所以，，所以．…7分所以△EAB的面积为．不妨设（x＞0），则′．因为，时，g'（x）＜0，所以g（x）在，上单调递减；，上，g'（x）＞0，所以g（x）在，上单调递增．所以当时，．所以△EAB的面积的最小值为．…10分．【解析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的′．设点，，，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出，．推出直线PF的方程，点，到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查转化思想以及构造法的应用，难度比较大．。
2020届江苏省南通市通州区2017级高三下学期一模考试数学试卷及解析
2020届江苏省南通市通州区2017级高三下学期一模考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题：本题共14个小题,每题5分,满分70分.1.已知集合{}|2,A x x x R =<∈,集合{}2|320,B x x x x R =-+<∈,则A B =_____． 【答案】()1,2【解析】【分析】求出集合A ,集合B ,由此能求出A B . 【详解】解：集合{}|2,A x x x R =<∈,集合{}{}2|320,|12B x x x x R x x =-+<∈=<<,∴由题得,A B ={}|2,x x x R <∈{}|12,x x x R <<∈()1,2=.故答案为：()1,2.2.设复数1i 2i 1iz -+=+,则z =__________． 【答案】3【解析】 将复数1i 2i 1i z -+=+化为(,)a bi a b R +∈的形式,利用复数的模的定义即可求出z ． 【详解】因为21i (1i)2i 2i i 1i (1i)(1i)2z ---+====-++-,所以3z i =-,所以3z ==．故答案为：33.已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩,若()()2f a f a =+,则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_____. 【答案】2【解析】 当02x <<时,22(2)8a a a +=-++,求出1a =；当2a ≥时,282(2)8a a -+=-++无解.从而()11f f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由此能求出结果. 【详解】解：由2x ≥时,()28f x x =-+是减函数可知,当2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =, 则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2.4.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n S =-,则数列276n n n b a a =-+的最小值为__________.【答案】6-【解析】由已知求得12n n a ,再由配方法求数列276n n n b a a =-+的最小值．【详解】由21n n S =-,得111a S ==,当2n 时,11121212n n n n n n a S S ---=-=--+=,11a =适合上式,∴12n n a ． 则2272576()24n n n n b a a a =-+=--． ∴当4n a =时2725()(4)624n min b =--=-． 故答案为6-．5.若变量,x y 满足22360x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,且2x y a -≤恒成立,则a 的最小值为_____【答案】4【解析】令2z x y =-,作平面区域,从而可得到2z x y =-的最大值,从而求得a 的最小值.。
2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷
2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷(2)一、填空题(本题共14个小题，每小题5分，共70分)1 •复数》(i 为虚数单位)的模为 1+12•已知向量；=(1, 2), h = (- 3, 2),贝嗔？(；—7) =_.3•在标号为0, 1 , 2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率 是 . 4•已知一组数据3, 5, 4, 7, 6,那么这组数据的标准差为 _. 5•如图是一个算法流程图，则输出的 x 的值为_.旷1 , -V-1F 一―1 结束6•若函数f (x ) - ](e 为自然对数的底数)是奇函数，则实数 m 的值为_ .e -1 7•底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为—• 8•已知函数f (x ) =sin (®x©)(①〉0),如果存在实数xo ,使得对任意的实数 x ,都有f (xo )<f(x )< f (xo+2O16n)成立，则3的最小值为 _______ •10 .给出下列等式:9.在正项等比数列｛an ｝中，若3ai , —- 「成等差数列，则 ~a 2015 =^016 _a 2017X科 4 ?7 + 1/输出已/讦…J&d/=2COS .请从中归纳出第n (n € N*)个等式： 亍=—.11.在平面直角坐标系xOy 中，若直线I : x+2y=0与圆C ： (x- a ) 2+ (y -b ) 2=5相切，且圆心C 在 直线I 的上方，则ab 最大值为 _.12 .如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上， 边BsQ 上有10个不同的点Pi,R ,…P, 记 m i =AB??AP i （i=1，2，3，…，10），则 m 什m 2+・・+m 10的值为m q Cj C3\+2>013 .已知实数x ，y 满足・，设z=max{ 3x - y ，4x - 2y}，则z 的取值范围是 ____________ (max{ a ，b}表x+y<2示a ，b 两数中的较大数)14. 设曲线y= (ax- 1) e x 在点A (刈，yj 处的切线为b ，曲线:-•一二、填空题(本大题共6小题，共90分)15.在平面直角坐标系中，设向量 n=(虽cosA, si nA ),r = (cosB,-迓sinB),其中 A , B ABC的两个内角.(1) 若求证：C 为直角；(2) 若」「，求证：B 为锐角.16 .在三棱锥P- SBC 中，A , D 分别为边SB, SC 的中点，且AB=3, BC=8, CD=5 PALBC.(1) 求证：平面 PSBL 平面 ABCD ；(2) 若平面PADA 平面PBC=J 求证：I // BC.在点B(x 0, y 2)处的切线为J 若存在X 。
江苏十三市2017届高三一模(第一学期期末)试卷好题分享
泰州、南通2017—11．在△ABC 中，若BC BA 2AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin Asin C 的值为 ． 2．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，(0,)2x π∈相交于点P ，若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ．3．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知B 、C 为圆224x y +=上两点，点A （1，1），且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ + 的值．6．如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP ＝4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．7．已知函数2()ln f x ax x x =--，a R ∈． （1）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．8．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…（12n k k k <<<<）成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n N *∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a的取值范围．南京、盐城2017—11．在△ABC 中，已知AB C ＝3π，则CA CB ⋅的最大值为 ．2．如图所示，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线1)y x =+上从左向右依次取点A k 、B k ，1,2,,k =其中1A 是坐标原点，使△1A B A k k k +都是等边三角形，则△101011A B A 的边长是 ．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图像与圆M ：222(3)x y r -+= 的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图像经过点O 、P 、M ，则()y f x =的最大值为 ．4．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22228a b c ++=，则△ABC 面积的最大值为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：222x y b +=经过椭圆E ：2221(02)4x y b b+=<<的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线l ：y kx m =+交椭圆E 于P 、Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M （﹣1，0），N （1，0），记直线TM 、TN 的斜率分别为1k 、2k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值．6．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中AE ＝30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=． （1）若设计AB ＝18米，AD ＝6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大（注：计算中π取3）？7．设函数()ln f x x =，1()3()a g x ax a R x-=+-∈． （1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由（参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）．8．若存在常数k （k ∈N *，k ≥2）、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N k a n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{}n b 为“段比差数列”．（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3． ①当q ＝0时，求2016b ；②当q ＝1时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由．镇江2017—1 1．定义在（0，2π）的函数()8sin tan f x x x =-的最大值为 ． 2．不等式2log ln 4a x x -<（a >0，且a ≠1）对任意(1,100)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为 ．3．已知函数1221x x y +=+与函数1x y x+=的图象共有k （k N *∈）个公共点，A 1（1x ，1y ），A 2（2x ，2y ），…，A k （k x ，k y ），则1()kiii x y =+=∑ ．4．已知不等式22()(ln )2m n m n λ-+-+≥对任意m ∈R ，n ∈（0，+∞）恒成立，则实数λ的取值范围为 ．5．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且点（12）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 交于点P 、Q ，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．6．已知n N *∈，数列{}n a 的各项为正数，前n 项的和为n S ，且11a =，22a =，设212n n n b a a -=+．（1）如果数列{}n b 是公比为3的等比数列，求2n S ；（2）如果对任意n N *∈，22n n a nS +=恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）如果23(21)n n S =-，数列1{}n n a a +也为等比数列，求数列{}n a 的通项公式．7．已知函数()ln f x x x =，2()(1)g x x λ=-（λ为常数）．（1）已知函数()y f x =与()y g x =在1x =处有相同的切线，求实数λ的值； （2）如果12λ=，且1x ≥，证明()()f x g x ≤； （3）若对任意[1,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数λ的取值范围．苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017—1 1．若实数x 、y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ．2．已知非零向量a ，b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为 ．3．已知A 、B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +的取值范围为 ．4．已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++≥⎩，若函数()f x 的图象与直线y x =有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线的距离为 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N ．（i ）当直线PA 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； （ii ）设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．6．已知函数2()2x f x ax e=-，()ln g x x ax =-，a R ∈． （1）解关于x （x ∈R ）的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数a 、b ，使得()()f x ax b g x ≥+≥对任意的x >0恒成立？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．7．已知正项数列{n a }的前n 项和为n S ，且1a a =，1(1)(1)6()n n n a a S n +++=+，n N *∈． （1）求数列{n a }的通项公式；（2）若对于任意n N *∈，都有(31)n S n n ≤+成立，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝2时，将数列{n a }中的部分项按原来的顺序构成数列{n b }，且12b a =，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{n b }．。
江苏省南通市2017届高三高考全真模拟(一)数学试题含答案
2017年江苏高考数学全真模拟试卷一试题1第Ⅰ卷(共60分）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1.已知集合{0,1,2}A =，则A 的子集个数为 ．2。
已知复数12z ai =+，22z i =-（其中0a >，i 为虚数单位）。
若12||||z z =,则a 的值为 ．3.执行如图所示的流程图,则输出的结果S = ．4。
若直线1y x b e=+（e 是自然对数的底数)是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值是 ． 5.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．6.已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据1ax b +，2ax b +,…，n ax b +(,)a b R ∈的方差为12，则a 的值为 ．7。
我们知道，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1：4，类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ． 8。
在平面直角坐标系中，如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2(0)c c >，那么当,a b 任意变化时，a b c +的最大值是 ．9。
已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩，若方程()log (2)(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 ．10.已知函数()2cos f x x x =-，数列{}n a 是公差为8π的等差数列，若123()()()f a f a f a ++4()f a +5()5f a π+=，则2315[()]f a a a -= ．11.在平面直角坐标系中,若直线l 与圆221:1C x y +=和圆222:(52)(52)49C x y -+-=都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为 ．12。
【江苏省南通市】2017年高考一模数学试卷-答案
江苏省南通市2017年高考一模数学试卷答 案1．2π3 2．{135},, 3．3- 4．0.17 5．5 6．7 7．20 8．32910．1322111213．(,2)(2,)-∞-+∞14．15．解：（1）在AOB △中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+∙∠-，所以，2222221135cos 22115OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===⨯⨯， 即3cos 5β=． （2）因为3cos 5β=，(0,)2πβ∈，∴4sin 5β==． 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α===．所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，sin()sin cos cos αβαβα+=+1235456sin 13513565β=⨯+⨯=， 即点3356(,)6565B -．16．证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点， 所以//OE PA ．…4分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线//PA 平面BDE ．…6分（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥．…8分 因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥．…10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P =，所以OE ⊥平面PCD ．…12分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ．…14分．17．解：（1）由题意得，c a =，21a c c -=，…2分解得a =1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=．…4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以．…6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22212k x +=()，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+．…9分 因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=．由1y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+．…12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=．…14分． 18．解：（1）当π4EFP ∠=时，由条件得π4EFP EFD FEP ∠=∠=∠=． 所以π2FPE ∠=．所以FN BC ⊥， 四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积2•2S PN MN m ==．…5分 （2）解法一： 设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．…8分 由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,()30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>*⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--2222(sin cos )366(tan )tan 2sin cos tan θθθθθθθ+=--=-+…12分66≤-- 当且仅当3tan tan θθ=，即tan θ，π3θ=时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当π3EFD ∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．…16分 解法二：设BE tm =，36t ＜＜，则6ME t =-．因为EFP EFD FEP ∠=∠=∠，所以PE PF =t BP -．所以2132(3)t BP t -=-，213333()32(3)t NP PF PE t BP t t -=-=-=--=-+-．…8分由22361302(3)13302(3)t t t tt t ⎧⎪<<⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪-⎪-+>-⎪⎩得236()12310t t t t <<⎧⎪>*⎨⎪-+<⎩ 所以四边形MNPE 面积为22111333067()[(3)(6)]2222(3)2(3t)t t t S NP ME MN t t t --+=+=-++-⨯=--…12分326[(3)]623t t =--+≤--．当且仅当32(3)23t t -=-，即33t ==+时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当点E 距B点33+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-2．…16分．19．解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)'()144x x f x x x x+-=--=，0x (＞)．…2分令'()0f x =，得2x =，当0,2x ∈()时，'0f x ()＜；当2x ∈+∞(,)时，'0f x ()＞，所以函数f x ()在02(,)上单调递减，在2+∞(,)上单调递增． 所以当2x =时，f x ()有最小值1(2)ln 22f =--．…4分（2）由2ln f x ax x x =()--，得2121'()21ax x f x ax x x--=--=，0x >．所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<，函数f x ()在0+∞(,)上单调递减，所以当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点．…6分因为当10a ≤≤-时，110f a =()-＜，221()0e e af e e-+=>， 所以当10a ≤≤-时，函数f x ()在0+∞(,)上有零点． 综上，当10a ≤≤-时，函数f x ()有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点． 因为函数f x ()有两个零点，所以0a ＞…9分由2ln f x ax x x =()--，得221'()ax x f x x--=，(0)x >，令221g x ax x =()--．因为010g =()-＜，20a ＞，所以函数g x ()在0+∞(,)上只有一个零点，设为0x ．当00x x ∈(,)时，0g x ()＜，'0f x ()＜；当0x x ∈+∞(,)时，0g x ()＞，'0f x ()＞． 所以函数f x ()在00x (,)上单调递减；在0x +∞(,)上单调递增． 要使得函数f x ()在0+∞(,)上有两个零点，只需要函数f x ()的极小值00f x ()＜，即2000ln 0ax x x --<．又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +-＞， 又因为函数2ln 1h x x x =+()-在0+∞(,)上是增函数，且10h =()， 所以01x ＞，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a ＜＜．…13分 以下验证当01a ＜＜时，函数f x ()有两个零点． 当01a ＜＜时，21211()10a ag a a a a -=--=>， 所以011x a<<．因为22211()10a e e af e e e e-+=-+=>，且00f x ()＜． 所以函数f x ()在01(,)x e上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=--≥--=>（因为ln 1x x ≤﹣），且00f x ()＜．所以函数f x ()在02(,)x a上有一个零点．所以当01a ＜＜时，函数f x ()在12(,)e a内有两个零点． 综上，实数a 的取值范围为01(，)．…16分 下面证明：ln 1x x ≤-． 设1ln t x x x =()--，所以11'()1x t x x x-=-=，0x (＞)． 令'0t x =()，得1x =．当01x ∈(,)时，'0t x ()＜；当1x ∈+∞(,)时，'0t x ()＞． 所以函数t x ()在01(,)上单调递减，在1+∞(,)上单调递增． 所以当1x =时，t x ()有最小值10t =()． 所以1ln 0t x x x =≥()--，得ln 1x x ≤-成立．20．解：（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+，…2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．…4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-．整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+．因为2213k k k =，所以121321322a k k k d k k k =(--)(--)．因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．…6分 当11a d=时，11n a a n d nd =+=(-)，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．…8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，111n a a n d na =+=(-)．因为对于任意*n N ∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a qk q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n n n k q qna k q k q --+<<=+恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数01εε(＜＜)，总存在正整数1n ，使得11n n q ε<． 要证11n n q ε<，即证11ln ln ln n n q ε+＜． 因为11ln 2x x x e ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取01n =+，则当10n n ＞时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2+∞,)．…16分 21．解：设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得••CA CB CD CE =， 所以213?22x x x ⨯==，所以2x =．…2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥．因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．…6分又因为2CE x ==所以OCE ∆的面积1122S OH CE ==⨯=10分． 22．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩…4分 因为点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)， 所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以33a b c d +=⎧⎨+=⎩…8分 解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…10分．23．解：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4R θρ=∈的直角坐标方程为y x =①，…3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +=-②．…6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩…8分所以00A(,)，22B (,)，所以直线π()4R θρ=∈被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =．…10分．24．解：3sin 3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，…8分 所以5max y =，此时3sin 5x =．所以函数3sin y x =+5．…10分．25．解：以1{,,}AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为(1,2,2)AP =，(2,0,1)AQ =，所以cos ,15APAQ AP AQ AP AQ===．所以AP 与AQ ．…4分 （2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为z n x y =(,,)，则00n AP n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以222n λλ=(,-,-)．…6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒， 所以111cos ,2n AA n AA n AA ==， 可得2540λλ=-，又因为0λ≠，所以45λ=．…10分．26．解：（1）抛物线220x py p =(＞)的准线方程为2py =， 因为1M m (,)，由抛物线定义，知12pMF =+， 所以122p+=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =．…3分（2）因为214y x =，所以1'2y x =． 设点2(,)4t E t ，0t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，01F (,)，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =-，即20x ty t +=-． 则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为d ==5分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(2t 16)0t y y t -++=． 因为224221646440t t t =+=+△()-()＞，所以1y =，2y = 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=．…7分 所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)'()(24)x g x x x+=-．因为x ∈时，'0g x ()＜ ，所以g x ()在)x ∈+∞上，'0g x ()＞，所以g x ()在)+∞上单调递增．所以当x时，32min()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．10．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．15．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．16．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．17．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．18．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．19．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x ﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．20．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．22．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．24．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．25．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．26．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．。
江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷 有答案
2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A=．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．20．（16分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m 时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A={3} ．【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U={x|x≥3，x∈N}，A={x|x2≥10，x∈N}={x|x≥，x∈N}，∴∁U A={x|3≤x≤，x∈N}={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可．【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）﹣p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为30．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n≥2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n＜2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n＜2，执行循环体，S=18，n=6不满足条件n＜2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n＜2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n＜2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=13．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，∴，解得a1=0，d=1，∴a14=a1+13d=0+13=13．故答案为：13．【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为﹣5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，3），此时z=﹣2×1﹣3=﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A1﹣ABM的体积为，由此能求出结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1﹣ABM的体积为：===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为（x ﹣1）2+y2=4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2．即所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，故答案为（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2•（﹣1）=，解得y=±，可设A（c，），B（c，﹣），由重心坐标公式可得x G==c；y G=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，﹣），由•=c•2c+（﹣）•（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2﹣a2），由e=，可得e2﹣2e﹣=0，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案．【解答】解：由题意作图如下，则A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（﹣，），D（1，0）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为（﹣2，1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f （x2﹣2）+f（x）＜0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：∴f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0，⇔f（x2﹣2）＜f（﹣x）等价于x2﹣2＜﹣x，解得：﹣2＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意求出g（x）的解析式，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，根据0＜φ＜，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x﹣2φ），∵对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0＜φ＜，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=（舍去）若x1=0，x2=﹣，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=，满足题意．∴φ的值为．故答案为．【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力．属于中档题．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为a≤﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，可得f′（x）=x（e x﹣2a），令x（e x﹣2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=﹣1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f（0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a．与a＞0矛盾；综上：a≤﹣故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．【考点】基本不等式．【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，代入4x2﹣2xy+4y2=13，可得t2==，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，∵4x2﹣2xy+4y2=13，∴t2====，∴=﹣1时，t2取得最小值：=10﹣4；=1时，t2取得最大值：=10+4．综上可得：t2∈．即x2+4y2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2017•如皋市一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；（2）证明MN∥A1C1，利用N是A1B的中点，可得结论．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，…（3分）∵AN⊂平面A1AB，∴AN⊥BC，∵AA1=AB，且N是A1B的中点，∴AN⊥A1B，∵A1B∩BC=B，∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，∴MN∥A1C1，∵N是A1B的中点，∴M是BC1的中点…（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•如皋市一模）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小．（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值．【解答】解：（1）由cos C+（cos A﹣sin A）cos B=0，根据三角形内角和定理消去C，则cos C+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cos（A+B）+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB﹣sinA cosB=sinA sinB﹣sinA cosB=0；由sin A＞0，则有tanB=．∵B∈（0，π），故得B=．（2）sin（A﹣）=，令A﹣=t，即sint=，∵，∴，则A=，那么：sin2C=sin2（π﹣A﹣B）=sin2（）=sin（2t+）=sin2t+cos2t，由，∵sint=，∴cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题．17．（15分）（2017•如皋市一模）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠DOF=﹣，分别求出DE ，DF ，从而求出EF 的表达式，求出EF 的最大值即可；（2）求出S=S 矩形OABC ﹣S 梯形OEFC 的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S 的最大值即可．【解答】解：（1）设∠DOE=，因为点E 、F 分别在边OA 与BC 上，所以0≤θ≤，则∠DOF=﹣， 在Rt △DOE 中，DE=tan ，在Rt △DOF 中，DF=tan （﹣）==，EF=DE +DF=tan +=，∵0＜θ≤，∴当θ=时，[cos ]min =，EF max =2；（2）在Rt △DOE 中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S 矩形OABC ﹣S 梯形OEFC =2+ （0≤θ≤），S′=，令S′＞0，解得：0＜θ＜， ）因为S在θ∈（0，]时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值．∴当θ=时，S max=2﹣；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2﹣km．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．18．（15分）（2017•如皋市一模）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时， +=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+===，…（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…同理：CD=，…（6分）∴===．综上：=．故+为定值．…（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由（1），得P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），∴，即，…（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）∴，解得，无解…（14分）∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．19．（16分）（2017•如皋市一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，判断h（x）的单调性即可；（3）问题转化为证明＞，即证2e x﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2e x﹣x2﹣2x﹣2，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）当a=2时，设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣，h′（x）=﹣=，所以h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，所以f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；解：（2）h′（x）=，令h′（x）=0，即x2﹣2（a﹣1）x+1=0，△=4（a﹣1）2﹣4=0，解得：a=0或a=2，①若0≤a≤2，此时△≤0，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，所以h（x）在（0，+∞）单调递增；②若a ＞2，此时△＞0，方程x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0的两根为x 1，2=（a ﹣1）±，且x 1，2＞0，所以h （x ）在（0，a ﹣1﹣）上单调递增，在（a ﹣1﹣，a ﹣1+）上单调递减，在（a ﹣1+，+∞）上单调递增；③若a ＜0，此时△＞0，方程x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0的两根为x 1，2=（a ﹣1）±，且x 1，2＜0，所以h （x ）在（0，+∞）上单调递增；综上，若a ≤2，h （x ）在（0，+∞）单调递增，若a ＞2，h （x ）在（0，a ﹣1﹣），（a ﹣1+，+∞）上单调递增，在（a ﹣1﹣，a ﹣1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx ＞在（1，+∞）恒成立，所以f （x +1）=ln （x +1）＞在（0，+∞）恒成立，下证＞，即证2e x ﹣2x 2﹣x ﹣2＞0，设φ（x ）=2e x ﹣x 2﹣2x ﹣2，φ′（x ）=2e x ﹣2x ﹣2，φ′′（x ）=2e x ﹣2， 易知φ″（x ）＞0在（0，+∞）恒成立， 所以φ′（x ）在（0，+∞）单调递增， 所以φ′（x ）=2e x ﹣2x ﹣2＞φ′（0）=0， 所以φ（x ）在（0，+∞）单调递增， 所以φ（x ）＞φ（0）=0，所以＞，即当x ＞0时，f （x +1）＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）（2017•如皋市一模）已知数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣（﹣1）n ，n ∈N *． （1）在数列{a n }中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的通项公式．【分析】（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，代入化简即可得出．（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s ﹣（﹣1）s，化简即可得出．【解答】解：（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，即：2[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2k﹣（﹣1）k+2k+2﹣（﹣1）k+2，…（1分）所以2k=﹣4（﹣1）k，…（2分）由于=﹣4（﹣1）k=±4，∴2k=4，即k=2．所以当且仅当k=2时，a k，a k+1，a k+2成等差数列…（4分）（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，∴2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3…（6分）∵r＜s，∴2s﹣2r+1≥0，而（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，…（8分）∴2s﹣2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，…（12分）不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，所以2q+2t﹣2r﹣2s=（﹣1）q+（﹣1）t﹣（﹣1）r﹣（﹣1）t．（*）因为（*）式左边≥22+2=6，（*）式右边≤4，所以（*）式无解，故在数列{a n}中不存在某4项成等差数列…（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．附加题21．（10分）（2017•如皋市一模）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．【考点】逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．【解答】解：（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，所以a=b=．（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．22．（10分）（2017•如皋市一模）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，将极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0和直线θ=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣4=0，直线θ=转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣4=0．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换．23．（10分）（2017•如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]，由此能求出结果．（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E （X）．【解答】解（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）则P（A）==，P（B）==，P（C）==．∵事件A、B、C相互独立，∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=××=．…（4分）（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=××=，P（X=1）=××+××+××=，P（X=2）=××+××+××=，P（X=3）=××=，…（8分）∴X的分布列为：∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×==…（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．24．（10分）（2017•如皋市一模）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）【考点】集合的表示法．【分析】（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9．（2）a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n== [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]，由此能证明f（i）与m同为奇数或者同为偶数．n【解答】解：（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个A j（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3=9种不同方法，即f2（2）=9．（2）∵集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），下面按a i（i=1，2，…，n）是否进入A j（j=1，2，…，m）分为n步求解：第一步：对于每一个A j（j=1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个A j（j=1，2，…，m），所以a1有种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…（4分）第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…第n步：同理a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法．根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，即．…（6分）（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：（2i﹣1）n=+…+（﹣1）n，其中i=1，2，…，m，∴= [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]=+（﹣1）2+…+=2S+（﹣1）n n，其中S∈N*，所以当m为奇数时，2S+（﹣1）n m为奇数；当m为偶数时，2S+（﹣1）n m也为偶数，即f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【点评】本题考查函数表达式的求法，考查f n（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。
【江苏省南通市】2017年基地命题高考模拟数学试卷(一)-答案
当 9 c 5 或 4 c 0 时，零点个数为 1； 当 c 4 或 c 5 时，零点个数为 2；
当 5 c 4 时，零点个数为 3．
4/7
20．（1）依题意，
a6
b6
a1
a11 2
b1b11
a1
a11 2
a1a11 0 ，
（当且仅当 a1 a11 时，等号成立）．
（2）易得 3n 4 (2)n1 ，当 n 为奇数时， 3n 4 (2)n1 0 ，所以 n 4 ， n 1 3
从而 (a2 1)(b2 1) 4(a 1)(b 1) ，
6/7
化简得， b a 5 ； a 1
（3）易得直线 AB 的方程为 y 2a 2 (x a2 ) ， ba
令 x 5 得，
y
a
2 5
a
(5
a2 )
2a
2
．
a 1
23．当 n 2 时，1，2，3 排成一个三角形有：
1 23
k
1 行的概率为
(k
k 1 1)(1 k
1)
k
2
2
，
2
所以
pk 1
k
2
2
pk (k
2) ，即
pk 1 pk
k
2
(k 2
2) ，
故 p3 2 ， p4 2 ， p5 2 ，…， pn 2 ，
p2 4 p3 5 p4 6
pn1 n 1
叠乘，得 pn
2n2
p2 (n 1) n
4
，其中
证明：记
p(n)
(2)n1 3n 4
，则
p(n 2) p(n)
(2)n1 3n 2
江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷
2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A=．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．20．（16分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f 2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A={3} ．【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A 的补集即可．【解答】解：∵全集U={x|x≥3，x∈N}，A={x|x2≥10，x∈N}={x|x≥，x ∈N}，∴∁U A={x|3≤x≤，x∈N}={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可．【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）﹣p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为30．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n≥2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n＜2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n＜2，执行循环体，S=18，n=6不满足条件n＜2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n＜2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n＜2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=13．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，∴，解得a1=0，d=1，∴a14=a1+13d=0+13=13．故答案为：13．【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为﹣5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，3），此时z=﹣2×1﹣3=﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A1﹣ABM的体积为，由此能求出结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1﹣ABM的体积为：===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2．即所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，故答案为（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B 的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得．【解答】解：设F 1（﹣c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2•（﹣1）=，解得y=±，可设A（c，），B（c，﹣），由重心坐标公式可得x G==c；y G=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，﹣），由•=c•2c+（﹣）•（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2﹣a2），由e=，可得e2﹣2e﹣=0，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案．【解答】解：由题意作图如下，则A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（﹣，），D（1，0）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为（﹣2，1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：∴f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0，⇔f（x2﹣2）＜f（﹣x）等价于x2﹣2＜﹣x，解得：﹣2＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意求出g（x）的解析式，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，根据0＜φ＜，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x﹣2φ），∵对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0＜φ＜，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=（舍去）若x1=0，x2=﹣，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=，满足题意．∴φ的值为．故答案为．【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力．属于中档题．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为a≤﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，可得f′（x）=x（e x﹣2a），令x（e x﹣2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=﹣1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f （0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a．与a ＞0矛盾；综上：a≤﹣故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．【考点】基本不等式．【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，代入4x2﹣2xy+4y2=13，可得t2==，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，∵4x2﹣2xy+4y2=13，∴t2====，∴=﹣1时，t2取得最小值：=10﹣4；=1时，t2取得最大值：=10+4．综上可得：t2∈．即x2+4y2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2017•如皋市一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC 1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；（2）证明MN∥A1C1，利用N是A1B的中点，可得结论．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，…（3分）∵AN⊂平面A1AB，∴AN⊥BC，∵AA1=AB，且N是A1B的中点，∴AN⊥A1B，∵A1B∩BC=B，∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，∴MN∥A1C1，∵N是A1B的中点，∴M是BC1的中点…（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•如皋市一模）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小．（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值．【解答】解：（1）由cos C+（cos A﹣sin A）cos B=0，根据三角形内角和定理消去C，则cos C+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cos（A+B）+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB﹣sinA cosB=sinA sinB﹣sinA cosB=0；由sin A＞0，则有tanB=．∵B∈（0，π），故得B=．（2）sin（A﹣）=，令A﹣=t，即sint=，∵，∴，则A=，那么：sin2C=sin2（π﹣A﹣B）=sin2（）=sin（2t+）=sin2t+cos2t，由，∵sint=，∴cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题．17．（15分）（2017•如皋市一模）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠DOF=﹣，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大值即可；（2）求出S=S矩形OABC ﹣S梯形OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的最大值即可．【解答】解：（1）设∠DOE=θ，因为点E、F分别在边OA与BC上，所以0≤θ≤，则∠DOF=﹣，在Rt△DOE中，DE=tanθ，在Rt△DOF中，DF=tan（﹣）==，EF=DE+DF=tanθ+=，∵0＜θ≤，∴当θ=时，[cosθ]min=，EF max=2；（2）在Rt△DOE中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S矩形OABC﹣S梯形OEFC=2+（0≤θ≤），S′=，令S′＞0，解得：0＜θ＜，θ（0，）（，）S’+0﹣S↗极大值↘因为S在θ∈（0，]时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值．∴当θ=时，S max=2﹣；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2﹣km．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．18．（15分）（2017•如皋市一模）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时， +=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+===，…（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…同理：CD=，…（6分）∴===．综上：=．故+为定值．…（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由（1），得P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），∴，即，…（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）∴，解得，无解…（14分）∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．19．（16分）（2017•如皋市一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，判断h（x）的单调性即可；（3）问题转化为证明＞，即证2e x﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2e x﹣x2﹣2x﹣2，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）当a=2时，设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣，h′（x）=﹣=，所以h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，所以f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；解：（2）h′（x）=，令h′（x）=0，即x2﹣2（a﹣1）x+1=0，△=4（a﹣1）2﹣4=0，解得：a=0或a=2，①若0≤a≤2，此时△≤0，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，所以h（x）在（0，+∞）单调递增；②若a＞2，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1=0的两根为x1，2=（a﹣1）±，且x1，2＞0，所以h（x）在（0，a﹣1﹣）上单调递增，在（a﹣1﹣，a﹣1+）上单调递减，在（a﹣1+，+∞）上单调递增；③若a＜0，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1=0的两根为x1，2=（a﹣1）±，且x1，2＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，若a≤2，h（x）在（0，+∞）单调递增，若a＞2，h（x）在（0，a﹣1﹣），（a﹣1+，+∞）上单调递增，在（a﹣1﹣，a﹣1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx＞在（1，+∞）恒成立，所以f（x+1）=ln（x+1）＞在（0，+∞）恒成立，下证＞，即证2e x﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2e x﹣x2﹣2x﹣2，φ′（x）=2e x﹣2x﹣2，φ′′（x）=2e x﹣2，易知φ″（x）＞0在（0，+∞）恒成立，所以φ′（x）在（0，+∞）单调递增，所以φ′（x）=2e x﹣2x﹣2＞φ′（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）单调递增，所以φ（x）＞φ（0）=0，所以＞，即当x＞0时，f（x+1）＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）（2017•如皋市一模）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的通项公式．【分析】（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，代入化简即可得出．（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t ﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．【解答】解：（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，即：2[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2k﹣（﹣1）k+2k+2﹣（﹣1）k+2，…（1分）所以2k=﹣4（﹣1）k，…（2分）由于=﹣4（﹣1）k=±4，∴2k=4，即k=2．所以当且仅当k=2时，a k，a k+1，a k+2成等差数列…（4分）（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，∴2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3…（6分）∵r＜s，∴2s﹣2r+1≥0，而（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，…（8分）∴2s﹣2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，…（12分）不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，所以2q+2t﹣2r﹣2s=（﹣1）q+（﹣1）t﹣（﹣1）r﹣（﹣1）t．（*）因为（*）式左边≥22+2=6，（*）式右边≤4，所以（*）式无解，故在数列{a n}中不存在某4项成等差数列…（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．附加题21．（10分）（2017•如皋市一模）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．【考点】逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．【解答】解：（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，所以a=b=．（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．22．（10分）（2017•如皋市一模）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，将极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0和直线θ=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣4=0，直线θ=转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣4=0．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换．23．（10分）（2017•如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]，由此能求出结果．（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）则P（A）==，P（B）==，P（C）==．∵事件A、B、C相互独立，∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=××=．…（4分）（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=××=，P（X=1）=××+××+××=，P（X=2）=××+××+××=，P（X=3）=××=，…（8分）∴X的分布列为：X0123P∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×==…（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．24．（10分）（2017•如皋市一模）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）【考点】集合的表示法．【分析】（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9．（2）a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n== [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]，由此能证明f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【解答】解：（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个A j（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3=9种不同方法，即f2（2）=9．（2）∵集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），下面按a i（i=1，2，…，n）是否进入A j（j=1，2，…，m）分为n步求解：第一步：对于每一个A j（j=1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个A j（j=1，2，…，m），所以a1有种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…（4分）第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…第n步：同理a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法．根据分步计数原理，a 1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，即．…（6分）（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：（2i﹣1）n=+…+（﹣1）n，其中i=1，2，…，m，∴= [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]=+（﹣1）2+…+=2S+（﹣1）n n，其中S∈N*，所以当m为奇数时，2S+（﹣1）n m为奇数；当m为偶数时，2S+（﹣1）n m也为偶数，即f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【点评】本题考查函数表达式的求法，考查f n（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。
江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷含答案解析
2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A=．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．20．（16分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A={3} ．【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A 的补集即可．【解答】解：∵全集U={x|x≥3，x∈N}，A={x|x2≥10，x∈N}={x|x≥，x ∈N}，∴∁U A={x|3≤x≤，x∈N}={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可．【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）﹣p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为30．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n≥2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n＜2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n＜2，执行循环体，S=18，n=6不满足条件n＜2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n＜2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n＜2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=13．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，∴，解得a1=0，d=1，∴a14=a1+13d=0+13=13．故答案为：13．【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为﹣5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，3），此时z=﹣2×1﹣3=﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A1﹣ABM的体积为，由此能求出结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1﹣ABM的体积为：===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2．即所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，故答案为（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2•（﹣1）=，解得y=±，可设A（c，），B（c，﹣），由重心坐标公式可得x G==c；y G=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，﹣），由•=c•2c+（﹣）•（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2﹣a2），由e=，可得e2﹣2e﹣=0，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案．【解答】解：由题意作图如下，则A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（﹣，），D（1，0）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为（﹣2，1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：∴f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0，⇔f（x2﹣2）＜f（﹣x）等价于x2﹣2＜﹣x，解得：﹣2＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意求出g（x）的解析式，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，根据0＜φ＜，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x﹣2φ），∵对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0＜φ＜，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=（舍去）若x1=0，x2=﹣，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=，满足题意．∴φ的值为．故答案为．【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力．属于中档题．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为a≤﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，可得f′（x）=x（e x﹣2a），令x（e x﹣2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=﹣1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f （0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a．与a＞0矛盾；综上：a≤﹣故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．【考点】基本不等式．【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，代入4x2﹣2xy+4y2=13，可得t2==，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，∵4x2﹣2xy+4y2=13，∴t2====，∴=﹣1时，t2取得最小值：=10﹣4；=1时，t2取得最大值：=10+4．综上可得：t2∈．即x2+4y2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2017•如皋市一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；（2）证明MN∥A1C1，利用N是A1B的中点，可得结论．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，…（3分）∵AN⊂平面A1AB，∴AN⊥BC，∵AA1=AB，且N是A1B的中点，∴AN⊥A1B，∵A1B∩BC=B，∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，∴MN∥A1C1，∵N是A1B的中点，∴M是BC1的中点…（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•如皋市一模）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小．（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值．【解答】解：（1）由cos C+（cos A﹣sin A）cos B=0，根据三角形内角和定理消去C，则cos C+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cos（A+B）+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB﹣sinA cosB=sinA sinB﹣sinA cosB=0；由sin A＞0，则有tanB=．∵B∈（0，π），故得B=．（2）sin（A﹣）=，令A﹣=t，即sint=，∵，∴，则A=，那么：sin2C=sin2（π﹣A﹣B）=sin2（）=sin（2t+）=sin2t+cos2t，由，∵sint=，∴cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题．17．（15分）（2017•如皋市一模）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠DOF=﹣，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大值即可；（2）求出S=S矩形OABC ﹣S梯形OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的最大值即可．【解答】解：（1）设∠DOE=，因为点E、F分别在边OA与BC上，所以0≤θ≤，则∠DOF=﹣，在Rt△DOE中，DE=tan，在Rt△DOF中，DF=tan（﹣）==，EF=DE+DF=tan+=，∵0＜θ≤，∴当θ=时，[cos]min=，EF max=2；（2）在Rt△DOE中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S矩形OABC﹣S梯形OEFC=2+（0≤θ≤），S′=，令S′＞0，解得：0＜θ＜，）因为S在θ∈（0，]时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值．∴当θ=时，S max=2﹣；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2﹣km．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．18．（15分）（2017•如皋市一模）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时， +=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+===，…（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…同理：CD=，…（6分）∴===．综上：=．故+为定值．…（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由（1），得P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），∴，即，…（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）∴，解得，无解…（14分）∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．19．（16分）（2017•如皋市一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R ）．（1）若a=2，求证：f （x ）＞g （x ）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h （x ）=f （x ）﹣g （x ）的单调性；（3）求证：当x ＞0时，f （x +1）＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）设h （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h （x ）的导数，通过讨论a 的范围，判断h （x ）的单调性即可；（3）问题转化为证明＞，即证2e x ﹣2x 2﹣x ﹣2＞0，设φ（x ）=2e x ﹣x 2﹣2x ﹣2，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）当a=2时，设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=lnx ﹣，h′（x ）=﹣=， 所以h′（x ）＞0在（1，+∞）恒成立，h （x ）在（1，+∞）上单调递增，所以h （x ）＞h （1）=0，所以f （x ）＞g （x ）在（1，+∞）恒成立；解：（2）h′（x ）=，令h′（x ）=0，即x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0，△=4（a ﹣1）2﹣4=0，解得：a=0或a=2，①若0≤a ≤2，此时△≤0，h′（x ）≥0在（0，+∞）恒成立，所以h （x ）在（0，+∞）单调递增；②若a ＞2，此时△＞0，方程x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0的两根为x 1，2=（a ﹣1）±，且x 1，2＞0，所以h （x ）在（0，a ﹣1﹣）上单调递增，在（a ﹣1﹣，a ﹣1+）上单调递减，在（a ﹣1+，+∞）上单调递增；③若a ＜0，此时△＞0，方程x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0的两根为x 1，2=（a ﹣1）±，且x 1，2＜0， 所以h （x ）在（0，+∞）上单调递增；综上，若a ≤2，h （x ）在（0，+∞）单调递增，若a ＞2，h （x ）在（0，a ﹣1﹣），（a ﹣1+，+∞）上单调递增，在（a ﹣1﹣，a ﹣1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx ＞在（1，+∞）恒成立，所以f （x +1）=ln （x +1）＞在（0，+∞）恒成立，下证＞，即证2e x ﹣2x 2﹣x ﹣2＞0，设φ（x ）=2e x ﹣x 2﹣2x ﹣2，φ′（x ）=2e x ﹣2x ﹣2，φ′′（x ）=2e x ﹣2， 易知φ″（x ）＞0在（0，+∞）恒成立，所以φ′（x ）在（0，+∞）单调递增，所以φ′（x ）=2e x ﹣2x ﹣2＞φ′（0）=0，所以φ（x ）在（0，+∞）单调递增，所以φ（x ）＞φ（0）=0，所以＞，即当x ＞0时，f （x +1）＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）（2017•如皋市一模）已知数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣（﹣1）n ，n ∈N *．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的通项公式．【分析】（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，代入化简即可得出．（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t ﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．【解答】解：（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，即：2[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2k﹣（﹣1）k+2k+2﹣（﹣1）k+2，…（1分）所以2k=﹣4（﹣1）k，…（2分）由于=﹣4（﹣1）k=±4，∴2k=4，即k=2．所以当且仅当k=2时，a k，a k+1，a k+2成等差数列…（4分）（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，∴2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3…（6分）∵r＜s，∴2s﹣2r+1≥0，而（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，…（8分）∴2s﹣2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，…（12分）不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，所以2q+2t﹣2r﹣2s=（﹣1）q+（﹣1）t﹣（﹣1）r﹣（﹣1）t．（*）因为（*）式左边≥22+2=6，（*）式右边≤4，所以（*）式无解，故在数列{a n}中不存在某4项成等差数列…（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．附加题21．（10分）（2017•如皋市一模）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．【考点】逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．【解答】解：（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，所以a=b=．（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．22．（10分）（2017•如皋市一模）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，将极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0和直线θ=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣4=0，直线θ=转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣4=0．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换．23．（10分）（2017•如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]，由此能求出结果．（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）则P（A）==，P（B）==，P（C）==．∵事件A、B、C相互独立，∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=××=．…（4分）（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=××=，P（X=1）=××+××+××=，P（X=2）=××+××+××=，P（X=3）=××=，…（8分）∴X的分布列为：∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×==…（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．24．（10分）（2017•如皋市一模）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）【考点】集合的表示法．【分析】（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9．（2）a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n== [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]，由此能证明f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【解答】解：（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个A j（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3=9种不同方法，即f2（2）=9．（2）∵集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），下面按a i（i=1，2，…，n）是否进入A j（j=1，2，…，m）分为n步求解：第一步：对于每一个A j（j=1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个A j（j=1，2，…，m），所以a1有种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…（4分）第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…第n步：同理a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法．根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，即．…（6分）（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：（2i﹣1）n=+…+（﹣1）n，其中i=1，2，…，m，∴= [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]=+（﹣1）2+…+=2S+（﹣1）n n，其中S∈N*，所以当m为奇数时，2S+（﹣1）n m为奇数；当m为偶数时，2S+（﹣1）n m也为偶数，即f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【点评】本题考查函数表达式的求法，考查f n（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。
2017-2018学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考数学试卷(含答案)
2017～2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题（理科）一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1． 设集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∩B )＝ ▲ ．2． 函数()f x =的定义域为 ▲ ．3． 已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|2a －b|的值为 ▲ ． 4． 若指数函数()f x 的图象过点()24-，，则不等式()()52f x f x +-<的解集为 ▲ ． 5． 已知函数()()23020x x x f x f x x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩，≥，，，则()9f -= ▲ ．6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()c o s 3c o s a B c b A=-，则cos A ＝ ▲ ．7． 已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为 ▲ ． 8． 已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()02，上是单调增函数，则实数a 的取值范围为▲ ．1≥a9． 已知函数()()()sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的周期为4，将函数f (x )的图象向右平移13个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y ＝f (x )在[]01，上的值域为 ▲ ． 10．已知函数()1e ex x f x =-，其中e 为自然对数的底数，则不等式()()2240f x f x -+-<的解集为 ▲ ．11．如图，在四边形ABCD 中，AB AD ⋅＝5，BD ＝4，O 为BD 的中点，且AO ＝3OC ，则CB CD ⋅＝ ▲ ． 12．已知函数()()2342ln 2f x x a x x =++-在区间()12，上存在最值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．BADOC（第11题图）13．已知函数()21ln 152128x x xf x m x mx x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-++⎪⎩，，，≤，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14．在△ABC 中，若1tan A ，2tan C ，1tan B成等差数列，则cos C 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，设向量()sin cos m x x =，，()312n =，． （1）若m ∥n ，求x 的值； （2）若35m n ⋅=，求()πsin 12x -的值．16．已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中k ∈R ． （1）当3k =时，求函数()f x 在[]05，上的值域；（2）若函数()f x 在[]12，上的最小值为3，求实数k 的取值范围．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c －b ＝2b cos A ． （1）求证：A ＝2B ； （2）若cos B ＝34，c ＝5，求△ABC 的面积．18．如图，矩形ABCD 是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB ＝503米，AD ＝100米． 现拟在直角三角形OMN 内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O 为AD 的中点，OM ⊥ON ，点M 在AB 上，点N 在CD 上），将破旧的道路AM 重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM 成本为每米500元，设∠OMA ＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f (θ)． （1）求f (θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tan θ为何值时，总费用 f (θ)最小？OABCDMNθ（第18题图）19．已知二次函数()f x 为偶函数且图象经过原点，其导函数()'f x 的图象过点()12，． （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()()'g x f x f x m =+-，其中m 为常数，求函数()g x 的最小值．20．设函数()1ln 1f x a x x=+-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当102a <<时，求证：对任意()1+2x ∈∞，，都有()1e x aa x ++<．2017～2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题（理科）参考答案一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．{}14， 2．(0 3．2 4．45．2 6．137．2 8．[)1+∞，9．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 10．()32-， 11．3- 12．()95--， 13．(714⎤⎥⎦， 14．13二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）因为()sin cos m x x =，，()312n =，，且m ∥n ，所以1sin cos 2x x ⋅=tan x =．……………………………………4分 又π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以π3x =．……………………………………………………………………6分 （2）因为()sin cos m x x =，，()312n =，，且35m n ⋅=，13cos 25x x +=，即()π3sin 65x +=．……………………………8分 令π6x θ=+，则π6x θ=-，且3sin 5θ=，因为π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故ππ62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以4cos 5θ==．……………………………………11分 所以()()()ππππππsin sin sin sin cos cos sin 12612444x θθθθ-=--=-=-3455=-=．………………………………14分16．解：（1）由题意可知，不等式222x mx m x k --<+的解集为()26-，， 即不等式()22120x m x m k -+--<的解集为()26-，， 所以方程()22120x m x m k -+--=的两个实根分别为2-，6，根据一元二次方程根与系数的关系，可得2261262m m k -+=+⎧⎪⎨-⨯=--⎪⎩，， 解得36m k =⎧⎨=-⎩，．……………………………………………………………………6分（2）由题意可知，对任意[)1x ∈+∞，，恒有2220x mx m -->， 即对任意[)1x ∈+∞，，恒有()()20x m x m +->， 所以121m m -<⎧⎨<⎩，，解得112m -<<．………………………………………………………………14分 16．解：（1）当3=k 时，196)(23++-=x x x x f ，)3)(1(39123)(2'--=+-=x x x x x f ，令0)('=x f 得3,121==x x ，列表：由上表知，函数()f x 的值域为]21,1[．……………………………………6分 （2）))(1(33)1(33)(2'k x x k x k x x f --=++-=，① 当1≤k 时，0)('],2,1[≥∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递增，所以313)1(231)1()(min =+++-==k k f x f ，即35=k （舍）． …………………………………………………8分② 当2≥k 时，0)('],2,1[≤∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递减，所以3123)1(68)2()(min =+⋅++-==k k f x f ，符合题意．…………………………………………………10分③ 当21<<k 时,当),1[k x ∈时，0)('<x f )(x f 区间在),1[k 单调递减； 当]2,(k x ∈时，0)('>x f )(x f 区间在]2,(k 单调递增． 所以3)2()()(min =<=f k f x f ，不符合题意．综上所述：实数k 取值范围为2≥k ． ……………………………………14分17．解：（1）由c －b ＝2b cos A 及正弦定理sin sin b cB C=可得， sin sin 2sin cos C B B A -=， （*）……………………………2分()sin πsin 2sin cos A B B B A ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，所以sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A +-=， 整理得sin cos cos sin sin A B A B B -=，即()sin sin A B B -=，…………………………………………………………4分 又A ，B 是△ABC 的内角， 所以()0πB ∈，，()0πA B -∈，， 所以A B B -=或πA B B -+=（舍去），即A ＝2B ．………………………………………………………………………6分（2）由cos B ＝34及()0πB ∈，可知，sin B ． 由A ＝2B 可知，()2231cos cos 22cos 12148A B B ==-=⨯-=，3sin sin 22sin cos 24A B B B ===⨯=．由（*）可得，1sin sin 2sin cos 28C B B A =+==10分在△ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =5=，解得4b =， 所以△ABC的面积11sin 4522S bc A ==⨯⨯14分18．解：（1）据题意，在Rt∆OAM 中，OA ＝50，∠OMA ＝θ，所以AM ＝50tan θ，OM ＝50sin θ． 据平面几何知识可知∠DON ＝θ．在Rt∆ODN 中，OD ＝50，∠DON ＝θ，所以ON ＝50cos θ． 所以f (θ)＝20500OMN S AM ∆⋅+⋅＝1505050205002sin cos tan θθθ⨯⨯⨯+⨯＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+．………………………………………6分 据题意，当点M 与点B 重合时，θ取最小值π6；当点N 与点C 重合时，θ取最 大值π3，所以ππ63θ≤≤．所以f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+，其定义域为ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．………………8分 （2）由（1）可知，f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+，ππ63θ≤≤． ()'f θ＝()()2222220cos sin sin cos 25000sin sin cos θθθθθθθ⎡⎤----⎢⎥⋅+⎢⎥⎣⎦＝()2222sin cos 125000sin sin cos θθθθθ⎡⎤-⎢⎥⋅-⎢⎥⎣⎦＝()222sin 2cos 25000sin cos θθθθ-⋅，令()'f θ＝0，得0tan θ=0ππ63θ⎡⎤∈⎢⎥，，列表：所以当tan θ f (θ)取最小值…………………………………………………16分法二：f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+＝()22sin cos 125000sin cos tan θθθθθ+⋅+＝()1125000tan tan tan θθθ⋅++＝()225000tan 25000tan θθ⋅+⨯=≥，…………13分 当且仅当2tan tan θθ=，即tan θ= …………………………15分所以当tan θ f (θ)最小，可节约投入成本．…………………16分 19．解：（1）因为二次函数()f x 经过原点，可设()()20f x ax bx a =+≠， 又因为()f x 为偶函数，所以对任意实数x ∈R ，都有()()f x f x -=，即()()22a x b x ax bx -+-=+， 所以20bx =对任意实数x ∈R 都成立，故0b =． 所以()2f x ax =，()'2f x ax =， 又因为导函数()'f x 的图象过点()12，， 所以212a ⨯=，解得1a =．所以()2f x x =．…………………………………………………………………5分（2）据题意，()()()2'2g x f x f x m x x m =+-=+-，即()222222m x x m x g x m x x m x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩，，，≥，① 若12m<-，即2m <-． 当2m x <时，()()22211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()2m -∞，上单调递减；当2m x ≥时，()()22211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在()12m -，上单调递减，在()1-+∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()11g m -=--．……………………………………8分 ② 若112m-≤≤，即22m -≤≤． 当2m x <时，()()211g x x m =-+-，故()g x 在()2m -∞，上单调递减；当2mx ≥时，()()211g x x m =+--，故()g x 在()2m +∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()224m mg =． ……………………………………11分③ 若12m>，即2m >． 当2m x <时，()()22211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()1-∞，上单调递 减，在()12m，上单调递增；当2m x ≥时，()()22211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在()2m +∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()11g m =-． ……………………………………14分 综上所述，当2m <-时，()g x 的最小值为1m --；当22m -≤≤时，()g x 的最小值为24m ；当2m >时，()g x 的最小值为1m -．…………………………16分20．解：（1）当2a =时，()12ln 1f x x x =+-，()112ln1101f =+-=， ()221'f x x x =-，()221'1111f =-=， 所以函数()f x 在点()10，处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． ……………………………………………………………4分（2）()1ln 1f x a x x=+-，定义域为()0+∞，， ()2211'a ax f x x x x-=-=．① 当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减；② 当0a >时，令()'0f x =，得1x=． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在()10a，上单调递减，在()1a +∞，上单调递增．……………………………………………………………9分（3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在()10a ，上单调递减，显然，12a>，故()()1120a ⊆，，， 所以函数()f x 在()12，上单调递减， 对任意()1+2x ∈∞，，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以()()11af f x+<，即()1ln 1101a a a x x++-<+， 所以()ln 1a a a x x a +<+，即()1ln 1a x x a+<+， 所以()()ln 11ax a x++<，即()ln 11x aa x ++<，所以()1e x aax++<．……………………………………………………………16分。
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2017届高三一模考试数学试题Ⅰ一：填空题1．函数)33sin(2π-=x y 的最小正周期为_________。
2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A =____________。
3．复数2)21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为_______。
4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。
摸出红球 的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率 为___________。
5．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为__________。
6．若实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+007342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为______。
7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________。
8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为___________cm 3。
9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______________。
10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为___________升。
11．在ABC ∆中，若⋅=⋅+⋅2，则CAsin sin 的值为___________。
12．已知两曲线)2,0(,cos )(,sin 2)(π∈==x x a x g x x f 相交于点P 。
若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为______________。
13．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2x f x f >+的解集用区间表示为__________。
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆422=+y x 上两点，点)1,1(A ，且AC AB ⊥，则线段BC 的长的取值围是_____________。
二：解答题15．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ，以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，552=AB 。
（1）求βcos 的值；（2）若点A 的横坐标为135，求点B 的坐标。
16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P –ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 、BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD 。
求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD 。
17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线2=y 于点Q ，求2211OQOP +的值；18．（本题满分16分）如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪。
已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪。
（1）当4π=∠EFP 时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。
19．（本题满分16分）已知函数R a x x ax x f ∈--=,ln )(2。
（1）当83=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若01≤≤-a ，证明：函数)(x f 有且只有一个零点；（3）若函数)(x f 又两个零点，数a 的取值围。
20．（本题满分16分）已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，且)(,,,,2121 <<<<n k k k k k k a a a n 成等比数列，公比为q 。
（1）若8,3,1321===k k k ，求da 1的值； （2）当da 1为何值时，数列}{n k 为等比数列； （3）若数列}{n k 为等比数列，且对于任意*N n ∈，不等式n k n k a a n 2>+恒成立，求1a 的取值围。
2016-2017学年度高三第二学期期初摸底考试数学试题Ⅰ参考答案一：填空题 1．32π 2．}5,3,1{ 3．3- 4．0.17 5．5 6． 7 7．20 8．239．5 10．221311．2 12．332 13．),2()2,(+∞--∞ 14．]26,26[+-二：解答题15.解（1）在AOB ∆中，由余弦定理得：AOB OB OA OB OA AB ∠⋅-+=cos 2222，所以OBOA AB OB OA AOB ⋅-+=∠2cos 222…………………………………………2分53112)552(112=⨯⨯-+=，即53cos =β；…………………………………………6分（2）因为53cos =β，且β为锐角，所以54)53(1cos 1sin 22=-=-=ββ，……8分 因为点A 的横坐标为135，由三角函数定义可得：135cos =α，因为α为锐角，所以1312)135(1cos 1sin 22=-=-=αα，…………………………10分 所以653354131253135sin sin cos cos )cos(-=⨯-⨯=-=+βαβαβα，…………12分 655654135531312sin cos cos sin )sin(=⨯+⨯=+=+βαβαβα， 所以点)6556,6533(-B 。
……………………………………………………………………14分 16.证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点， 又E 为PC 的中点，所以OE//PA ，………………4分 因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以直线PA//平面BDE ；…………………………6分（2）因为OE//PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD ，……8分 因为OP=OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC ，……10分 又PC ∩PD=P ，PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以OE ⊥平面PCD ，………………………………12分因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD 。
………………………………14分17. 解：（1）由题意得：2222,1,22c b a c ca a c +==-=，………………2分 解得：1,1,2===b c a ，所以椭圆的标准方程为1222=+y x ；……4分 （2）由题意知OP 的斜率存在， 当OP 的斜率为0时，2,2==OQ OP ，所以2211OQOP +=1，……6分 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为kx y =，由⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 1222得：2)12(22=+x k ，解得：12222+=k x ，所以122222+=k k y ， 所以1222222++=k k OP ，…………………………………………………………9分因为OQ OP ⊥，所以直线OQ 的方程为x ky 1-=， 由⎪⎩⎪⎨⎧-==xk y y 12得：k x 2-=，所以2222+=k OQ ，……………………12分 所以2211OQ OP +=12212212222=++++k k k ， 综上，可知2211OQ OP +=1.………………………………………………14分 18. 解：（1）当4π=∠EFP 时，4π=∠=∠=∠FEP EFD EFP ，所以2π=∠FPE ，即BC FN ⊥，所以四边形MNPE 为矩形，………………3分所以四边形MNPE 的面积为22m MN PN S =⋅=；…………………………5分 （2）设)2,0(,πθθ∈=∠EFD ，由条件知：θ=∠=∠=∠FEP EFD EFP ，θθπ2sin 2)2sin(2=-=PF ，θ2sin 23-=-=PF NF NP ，θtan 23-=ME ，……8分由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>->-200tan 2302sin 23πθθθ得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>>2032tan 322sin πθθθ，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>>+2032tan 32tan 1tan 22πθθθθ解得：253tan 32+<<θ， 所以四边形MNPE 的面积为2)]tan 23()2sin 23[(21)(21⨯-+-=⋅+=θθMN ME PN S )2sin 2tan 2(6θθ+-=………………………………………………………………12分 326)tan 3(tan 6)tan 2tan 1tan 2(62-≤+-=++-=θθθθθ当且仅当θθtan 3tan =，即)253,32(3tan +∈=θ，3πθ=时取“=”……14分 答：当3π=∠EFP 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，为326-。
…16分19. 解：（1）当83=a 时，x x x x f ln 83)(2--=，所以)0(,4)2)(23(1143)(>-+=--='x xx x x x x f ，…………………………2分 令)(x f '=0，得2=x ，当)2,0(∈x 时，)(x f '<0，当),2(+∞∈x 时，)(x f '>0，所以函数)(x f 在)2,0(上单调递减，在),2(+∞上单调递增， 所以当2=x 时，)(x f 有最小值2ln 21)2(--=f ；…………………………4分 （2）由R a x x ax x f ∈--=,ln )(2，得：)0(,12112)(2>--=--='x xx ax x ax x f 所以当0≤a 时，012)(2<--='xx ax x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递减， 所以当0≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上最多有一个零点，……………………6分又当01≤≤-a 时，0)1(,01)1(22>+-=<-=eae e ef a f ， 所以当01≤≤-a 时，函数)(x f 在),0(+∞上有零点，综上，当01≤≤-a 时，函数)(x f 有且只有一个零点；……………………8分 （3）由（2）知：当0≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上最多有一个零点， 因为函数)(x f 有两个零点，所以0>a ，……………………………………9分由R a x x ax x f ∈--=,ln )(2，得：)0(,12112)(2>--=--='x xx ax x ax x f 令12)(2--=x ax x g ，因为02,01)0(><-=a g ， 所以函数)(x g 在),0(+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当),0(0x x ∈时，)(x g <0，)(x f '<0，当时),(0+∞∈x x ，)(x g >0，)(x f '>0， 所以函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增，要使得函数)(x f 在),0(+∞上有两个零点，只需要函数)(x f 的最小值0)(0<x f ， 即0ln 0020<--x x ax ，又因为012)(0200=--=x ax x g ， 消去a 得：01ln 200>-+x x ，又因为1ln 2)(-+=x x x h 在),0(+∞上单调递增，且0)1(=h ，所以0x >1， 则1100<<x ，因为012020=--x ax ，所以41)211(1)1(220020-+=+=x x x a ， 所以2a 在)1,0(上单调递增，所以10<<a ，………………………………………13分 以下验证当10<<a 时，函数)(x f 有两个零点。