2017届南通高三一模数学试卷

2017届高三一模考试

数学试题Ⅰ

一：填空题

1．函数)3

3sin(2π

-

=x y 的最小正周期为_________。

2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A =____________。

3．复数2

)21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为_______。 4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。摸出红球 的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率 为___________。

5．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为__________。

6．若实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0

07342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为______。

7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），

则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________。 8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为___________cm 3

。

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的一条渐近线，则该双

曲线的离心率为______________。

10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为___________升。 11．在ABC ∆中，若⋅=⋅+⋅2，则

C

A

sin sin 的值为___________。 12．已知两曲线)2

,0(,cos )(,sin 2)(π

∈==x x a x g x x f 相交于点P 。若两曲线在点P 处的切线互相垂直，

则实数a 的值为______________。

13．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2

x f x f >+的解集用区间表示为__________。

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆42

2

=+y x 上两点，点)1,1(A ，且AC AB ⊥，则线段BC 的长的取值围是_____________。 二：解答题

15．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆

交于点A ，以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，5

5

2=

AB 。 （1）求βcos 的值；

（2）若点A 的横坐标为13

5

，求点B 的坐标。

16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P –ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 、BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD 。 求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD 。

17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为22，

焦点到相应准线的距离为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线

2=y 于点Q ，求

2

21

1OQ

OP +的值；

18．（本题满分16分）如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪。已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，

N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪。

（1）当4

π

=

∠EFP 时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；

（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。

19．（本题满分16分）已知函数R a x x ax x f ∈--=,ln )(2

。

（1）当8

3

=

a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若01≤≤-a ，证明：函数)(x f 有且只有一个零点；

（3）若函数)(x f 又两个零点，数a 的取值围。

20．（本题满分16分）已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，且)(,,,,2121 <<<

（1）若8,3,1321===k k k ，求

d

a 1

的值； （2）当

d

a 1

为何值时，数列}{n k 为等比数列； （3）若数列}{n k 为等比数列，且对于任意*N n ∈，不等式n k n k a a n 2>+恒成立，求1a 的取值围。

2016-2017学年度高三第二学期期初摸底考试

数学试题Ⅰ参考答案

一：填空题 1．

32π 2．}5,3,1{ 3．3- 4．0.17 5．5 6． 7 7．20 8．23

9．5 10．

22

13

11．2 12．332 13．),2()2,(+∞--∞ 14．]26,26[+-

二：解答题

15.解（1）在AOB ∆中，由余弦定理得：AOB OB OA OB OA AB ∠⋅-+=cos 2222，

所以OB

OA AB OB OA AOB ⋅-+=∠2cos 2

22…………………………………………2分

53112)

552(112

=⨯⨯-+=

，即5

3cos =β；…………………………………………6分

（2）因为53cos =

β，且β为锐角，所以5

4)53(1cos 1sin 22

=-=-=ββ，……8分 因为点A 的横坐标为

13

5

，由三角函数定义可得：135cos =α，

因为α为锐角，所以13

12

)135(

1cos 1sin 22

=-=-=αα，…………………………10分 所以65

33

54131253135sin sin cos cos )cos(-=⨯-⨯=

-=+βαβαβα，…………12分 65

56

54135531312sin cos cos sin )sin(=

⨯+⨯=

+=+βαβαβα， 所以点)65

56

,6533(-

B 。……………………………………………………………………14分 16.证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为A

C 的中点， 又E 为PC 的中点，所以OE//PA ，………………4分 因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，

所以直线PA//平面BDE ；…………………………6分