矩阵、行列式和算法(20131224)
矩阵与行列式算法初步知识点
矩阵与行列式算法初步知识点矩阵与行列式是线性代数的基础概念之一、矩阵可以看作是一个二维数组，具有行和列的属性。
矩阵最常见的应用是线性方程组的求解。
例如，对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，可以通过矩阵乘法Ax=b来求解线性方程组。
行列式是矩阵的一个重要属性，可以用来判断矩阵是否可逆。
一个矩阵的行列式为0表示该矩阵不可逆，否则可逆。
行列式还可以用于求解特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的不变性质，对于很多机器学习和深度学习算法都有重要的应用。
算法是计算机科学中的基础概念，是一种解决问题的方法或步骤。
算法设计的核心目标是解决问题的效率和正确性。
常见的算法设计技巧包括递归、分治、动态规划等。
常见的算法包括排序、图算法等。
排序算法可以将一组数据按照一定的规则进行排序，常见的排序算法有冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序等。
算法用于在一组数据中查找目标元素，常见的算法有线性、二分等。
图算法用于解决图结构相关的问题，常见的图算法有深度优先、广度优先、最短路径算法等。
在实际应用中，矩阵与行列式经常用于数据表示和运算。
例如，在机器学习中，数据通常以矩阵的形式进行表示，通过矩阵运算可以进行特征提取、模型训练等操作。
行列式的性质可以帮助我们优化计算过程，例如通过LU分解来求解线性方程组，可以减少计算量。
在计算机图形学中，矩阵与行列式用于表示和变换物体的位置和形态。
通过矩阵运算可以实现物体的平移、旋转、缩放等操作。
算法的设计与分析是计算机科学中的重要内容。
好的算法可以大大提高程序的执行效率，减少资源的使用。
算法的设计过程包括问题分析、算法设计、编码实现和性能评估等步骤。
在设计算法时，我们要考虑问题的规模、输入数据的特征以及算法的复杂度等因素。
通常，我们希望算法在求解问题时具有较高的时间和空间效率，并且给出符合问题要求的正确结果。
总之，矩阵与行列式、算法初步是计算机科学和线性代数中的重要知识点。
矩阵与行列式的运算与特性总结
矩阵与行列式的运算与特性总结矩阵与行列式是线性代数中重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对矩阵与行列式的运算与特性进行总结，并介绍其在数学和科学中的应用。
一、矩阵的基本概念与运算1.1 矩阵的定义与表示矩阵是由若干个数按一定的规则排列成的矩形阵列。
一般用大写字母表示矩阵，如A、B等。
矩阵的行数和列数分别表示矩阵的阶数。
1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和乘法。
两个矩阵可以相加或相减的条件是它们的阶数相同，对应位置上的元素进行相加或相减。
矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，运算结果的行数与第一个矩阵的行数相同，列数与第二个矩阵的列数相同。
1.3 矩阵的转置与逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为行得到的新矩阵。
逆矩阵是满足乘法交换律的矩阵，即矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
二、行列式的基本概念与特性2.1 行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的数值，用来表示线性方程组的解的情况。
行列式的值为零表示线性方程组无解，非零表示线性方程组有唯一解或无数解。
2.2 行列式的性质行列式具有以下特性：- 行列式与其转置行列式相等；- 行列式的两行（列）互换，行列式变号；- 行列式的某一行（列）乘以常数，等于常数乘以行列式；- 行列式的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变。
2.3 行列式的运算行列式的运算包括代数余子式、余子式、伴随矩阵和逆矩阵等。
代数余子式是行列式中每个元素对应的余子式乘以(-1)的幂次，而余子式是去掉某一行和某一列后所得到的行列式。
伴随矩阵是将原矩阵中的元素换成对应的代数余子式，并且将矩阵转置。
逆矩阵是满足矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵。
三、矩阵与行列式的应用3.1 线性方程组的求解矩阵与行列式的概念广泛应用于线性方程组的求解。
通过将系数矩阵与常数向量组成增广矩阵，并进行初等行变换，可以求得方程组的解或判断方程组是否有解。
3.2 统计学中的应用矩阵与行列式在统计学中也有重要的应用。
矩阵与行列式的计算与性质
矩阵与行列式的计算与性质矩阵与行列式是线性代数中重要的数学概念，对于许多数学和工程问题的建模与求解都非常关键。
本文将介绍矩阵与行列式的基本概念，以及它们的计算方法和一些常见的性质。
一、矩阵的定义与基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一种按照行和列排列的数表。
一个m行n列的矩阵常记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的分类根据矩阵的特点，可以将其分为以下几种类型：1）零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2）对角矩阵：只有主对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。
3）上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。
4）下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。
5）方阵：行数等于列数的矩阵。
6）转置矩阵：将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和（差）矩阵记作C=A±B，即C=[c_ij]，其中c_ij=a_ij±b_ij。
2.2 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘记作B=kA，即矩阵B 的每个元素等于k乘以矩阵A对应元素。
2.3 矩阵的乘法给定一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积矩阵C=A*B是一个m行p列的矩阵。
矩阵C的第i行第j列的元素c_ij等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积的和。
三、行列式的定义与性质3.1 行列式的定义对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij是方阵A中第i行第j列的元素，方阵A的行列式记作det(A)或|A|，计算方法如下：1）当n=1时，det(A)=a_11；2）当n>1时，det(A)=a_11*A_11+a_12*A_12+...+a_1n*A_1n，其中A_11、A_12、...、A_1n是n-1阶子矩阵的行列式。
3.2 行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1）行列式与转置：det(A)=det(A^T)，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
矩阵与行列式运算与应用
矩阵与行列式运算与应用矩阵是线性代数中重要的概念之一，它不仅有着广泛的应用，还与行列式运算紧密相关。
本文将介绍矩阵与行列式的基本概念、运算规则和应用，以及它们在实际问题中的具体应用场景。
一、矩阵的基本概念与运算矩阵是一个按照行与列排列的数字集合，可以用于表示线性方程组、向量空间的线性变换等。
一个矩阵通常用大写字母表示，比如A。
矩阵的元素由实数、复数等组成，可以分为多个行和多个列，其大小由行数和列数决定。
矩阵的加法与减法是指两个矩阵对应元素之间的加法与减法运算。
两个矩阵必须具有相同的行数和列数才能进行加减运算。
具体操作是将两个矩阵对应位置的元素相加或相减，得到的结果构成一个新的矩阵。
矩阵的乘法是指两个矩阵之间进行的一种运算，其中一个矩阵的列数必须等于另一个矩阵的行数才能相乘。
具体操作是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列相乘，然后将每个乘积的结果相加，得到一个新的矩阵。
二、行列式的基本概念与运算行列式是一个标量值，它与矩阵的元素排列有关。
一个矩阵的行列式通常用竖线或方括号括起来，并用大写字母表示，比如|A|或[A]。
行列式的大小表示了矩阵所包含的线性变换的性质，是判断矩阵可逆性的一个重要指标。
行列式的计算可以用代数余子式的概念来实现。
对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过将其展开为一系列的代数余子式相乘之和来实现。
这是一个递归的过程，通过将矩阵不断地缩小，直到计算1阶方阵的行列式为止。
三、矩阵与行列式的应用矩阵与行列式的应用非常广泛，涉及到各个学科领域。
以下是一些常见的应用场景：1. 线性方程组的求解：矩阵与行列式可以用于求解线性方程组。
将线性方程组的系数矩阵与常数矩阵组成增广矩阵，通过行变换将其转化为简化行阶梯形式，可以得到线性方程组的解。
2. 线性变换的表达：矩阵可以用于表示线性变换。
通过矩阵与向量的乘法，可以将一个向量通过线性变换映射到另一个向量空间中。
3. 特征值与特征向量：矩阵的特征值与特征向量是矩阵在线性变换中的一种重要性质。
线性代数讲义1矩阵与行列式
逆矩阵的求法
01
02
03
高斯-约旦消元法
通过行变换将矩阵变为行 阶梯形，然后回代求解。
伴随矩阵法
先求出矩阵的伴随矩阵， 然后利用公式$A^{-1} = frac{1}{|A|} * adj(A)$求出 逆矩阵。
分解法
将矩阵分解为若干个简单 的矩阵的乘积，然后利用 这些简单的矩阵求逆，最 后再求出原矩阵的逆。
CHAPTER
高斯消元法的原理与步骤
高斯消元法的原理是通过一系列行变 换将增广矩阵转换为上三角矩阵，从 而求解线性方程组。
步骤包括：将增广矩阵的系数矩阵进 行初等行变换，将其化为行阶梯形矩 阵，然后继续进行行变换，将其化为 上三角矩阵，最后求解未知数。
高斯消元法的应用场景
解决线性方程组
高斯消元法是解决线性方程组的 一种常用方法，适用于系数矩阵 为方阵且系数矩阵可逆的情况。
数。
01
1. r(A) ≤ min(m, n)， 其中m和n分别是矩阵A
的行数和列数。
03
3. r(A) = r(AA^T)，即 矩阵的秩等于其与自身 转置相乘后的矩阵的秩。
05
性质：矩阵的秩是唯一 的，且满足以下性质
02
2. r(A) = r(A^T)，即矩 阵的秩等于其转置矩阵
的秩。
04
秩的计算方法与性质
高斯消元法的优缺点分析
优点
高斯消元法是一种稳定可靠的方法，能够得到线性方程组的精确解。它具有较高的数值 稳定性，适用于大规模问题。此外，高斯消元法还可以用于求解特征值和特征向量等问
题。
缺点
高斯消元法需要手动操作，对于大规模问题需要消耗大量的计算资源和时间。同时，对 于病态问题或者系数矩阵接近奇异的情况，高斯消元法可能会失去数值稳定性，导致求
矩阵与行列式的基本概念与运算
线性变换：特征值和特征向量在描述线性变换中的应用，如旋转、缩放等。
图像处理：在图像处理中，特征值和特征向量可用于图像的压缩和识别。
机器学习：在机器学习中，特征值和特征向量可用于数据的降维和分类。
信号处理：在信号处理中，特征值和特征向量可用于信号的滤波和频谱分析。
矩阵的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组：矩阵可以用来表示线性方程组，通过矩阵运算可以求解线性方程组
特征值与特征向量：矩阵的特征值和特征向量在解决实际问题中有着广泛的应用，如振动分析、控制系统等
矩阵分解：矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解成几个简单的矩阵，从而简化计算过程，如LU分解、QR分解等
最优化问题：矩阵在解决最优化问题中也有着重要的应用，如线性规划、二次规划等
特征多项式：|λE-A|=0，用于求解特征值。
特征向量：矩阵A中满足Ax=λx的向量x，λ为相应的特征值。
特征值与特征向量的计算方法
性质：特征值和特征向量的性质
定义：特征值和特征向量的定义及关系
计算方法：如何求解矩阵的特征值和特征向量
应用：特征值和特征向量在数学和工程领域的应用
特征值与特征向量的性质
定义：行列式是由n阶方阵A的元素按照一定顺序排列构成的n阶方阵的行列式值，记作|A|。
性质：行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分配律等。
计算方法：行列式的计算可以通过展开法、递推法、归纳法等方法进行。
应用：行列式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。
LU分解的性质：L矩阵的每一列都是单位向量，U矩阵的每一行都是单位向量。
LU分解的应用：用于求解线性方程组、计算行列式值、计算矩阵的逆等。
行列式习题及答案
行列式习题及答案【篇一：上海版教材矩阵与行列式习题(有答案)】lass=txt>姓名成绩一、填空题cos1.行列式?3sincos?6sinac?3bd?6的值是 .2.行列式（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .?2x?0?3.将方程组?3y?z?2写成系数矩阵形式为 .?5x?y?3?4.若由命题a:“2x31-x20”能推出命题b:“x?a”，则a的取值范围是．?a1x?b1y?c15.若方程组?的解为x?1,y?2，则方程组ax?by?c?222?2b1x?5a1y?3c1?0的解为x? ，y? . ?2bx?5ay?3c?022?26.方程2x4x2?0的解集为.?39?2x1 y1x3 y3?4x1 y1x2 y27.把x2 y2x3 y3表示成一个三阶行列式为. 8.若?abc的三个顶点坐标为a(1,?2),b(?2,3),c(?4,?5)，其面积为 .2x9.在函数f?x???x1?x2?1x中x3的系数是 x110.若执行如图1所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?4,x4?8,则输出的数等于111.矩阵的一种运算???ab??x??ax?by??ab??????????,该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下(x,y)????????cd??y??cx?dy??cd??1a???的作用下变换成曲线x?y?1?0，则a?b的b1??变换成点(ax?by,cx?dy)，若曲线x?y?1?0在矩阵??值为 .12.在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则m?n二.选择题13.系数行列式d?0是三元一次方程组无解的（） a. 充分非必要条件 b. 必要非充分条件c. 充分必要条件d. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（）. a.abccacbdd??caddbb.abcd?dcbac.a?3cb?3d?acbdd.???a?c?b?d15.若a,b,c表示?abc的三边长，aa2且满足ba?b?ca?b?c?0， a?b?cb2c2c则?abc是（）.a. 等腰三角形b. 直角三角形c. 等腰直角三角形d. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果s?（） a．20 b. 35 c. 40 d .45 2图2三、解答题：1?|x|?5?1??mx?217. 已知p：矩阵?|x|?1的某个列向量的模不小于，行列式q：2?01?余子式的值不小于2.若p是q成立的充分条件，求实数m的取值范围. ．．．．18.已知等比数列{an}的首项a1?1，公比为q，（1）求二阶行列式?10?24?3中元素?1的代数1a1a2a3a4的值；（2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组??a1x?a3y?3何时无解，何时有无穷多解？?a2x?a4y??2119.已知函数f(x)?0sinxsinx0xsinx0的定义域为?0,2m???，最大值为4.试求函数g(x)?msinx?2cosx?2??（x?r）的最小正周期和最值．320. 将等差数列an?2n?1(n?n)中n2个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为x1,划去x1所在的行与列,将剩下元素按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素x2,划去x2所在的行与列?,将最后剩下元素记为xn,记sn?x1?x2??xn，求lim*n??sn的值。
矩阵与行列式的基本概念与运算
矩阵与行列式的基本概念与运算矩阵和行列式是线性代数中基本的概念和工具。
在数学和工程领域中，它们广泛应用于解方程组、描述线性映射和计算变换等问题。
本文将介绍矩阵和行列式的基本概念，并讨论它们的运算规则和性质。
一、矩阵的基本概念矩阵是由一组排列成矩形的数按照一定规律排列组成的数表。
具体地，一个 m×n 的矩阵由 m 行和 n 列构成，其中每个元素可以是任意实数或复数。
通常用大写字母表示矩阵，如 A、B、C，矩阵元素用小写字母表示，如 aij，表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
例如，一个 2×3 的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法与减法设有两个 m×n 的矩阵 A 和 B，它们可以相加或相减，其结果仍为一个 m×n 的矩阵。
加法运算的规则是将对应位置的元素相加，减法运算的规则是将对应位置的元素相减。
例如，设有两个 2×2 的矩阵 A 和 B：A = [a11 a12][a21 a22]B = [b11 b12][b21 b22]则矩阵 A 与 B 的和为：A +B = [a11+b11 a12+b12][a21+b21 a22+b22]2. 矩阵的数乘矩阵与数的乘积为将矩阵的每个元素与该数分别相乘。
例如，设有一个 2×2 的矩阵 A 和一个数 k：A = [a11 a12][a21 a22]则矩阵 A 与数 k 的乘积为：kA = [ka11 ka12][ka21 ka22]3. 矩阵的乘法设有两个矩阵 A 和 B，若矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数，则可以进行矩阵乘法运算。
矩阵乘法的规则是将矩阵 A 的每一行与矩阵 B 的每一列对应位置元素相乘，并将结果相加。
例如，设有两个 2×3 的矩阵 A 和 B：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23]B = [b11 b12 b13][b21 b22 b23][b31 b32 b33]则矩阵 A 与 B 的乘积为一个 2×3 的矩阵 C：C = [a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32a11b13+a12b23+a13b33][a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32a21b13+a22b23+a23b33]三、行列式的基本概念行列式是一个由矩阵中元素按一定规则组合而成的标量。
矩阵和行列式的运算
行列式与矩阵的关系：行 列式是矩阵的一种重要属 性，可以用来描述矩阵的
某些性质和特征
行列式和逆矩阵是线性代数中 的基本概念
行列式等于0时，矩阵不可逆
逆矩阵等于0时，行列式等于0
逆矩阵和行列式在计算和应用 中有重要联系
行列式和特征值的 概念
行列式和特征值的 计算方法
行列式和特征值的 关系：行列式等于 特征值的乘积
定义：数乘运算是 指将行列式中的每 个元素都乘以一个 常数。
性质：数乘运算不 改变行列式的秩和 行列式的值。
计算方法：将常数 与行列式中的每个 元素相乘，得到新 的行列式。
应用：在矩阵的运 算中，数乘运算可 以用来调整矩阵的 规模和比例。
定义：行列式相乘，等于两个行列式对应元素相乘后得到的新的行列式 性质：行列式相乘不满足交换律，即行列式乘法不满足 ab=ba 计算方法：按照定义，将两个行列式的对应元素相乘，得到新的行列式 注意事项：行列式相乘时，需要注意对应元素相乘，不能随意交换位置
定义：行列式中每个元素除以指定元素 性质：除法运算后行列式的值不变 运算规则：按照代数余子式的展开法则进行 应用：用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等
矩阵和行列式的关 系
矩阵的行列式定义：由矩 阵的元素按照代数余子式
展开得到的数值
行列式的性质：与矩阵的 行数和列数相等，且为非
负值
行列式的计算方法：按照 代数余子式展开，求和得
行列式和特征值的 应用：在数学、物 理等领域有广泛的 应用
行列式是线性方程组解的判别式 行列式的值等于零时，线性方程组无解 行列式的值不等于零时，线性方程组有唯一解 行列式可以用来求解线性方程组的解
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符号表示：用大写 字母表示矩阵，如 A、B等
矩阵与行列式的基本运算与性质
矩阵与行列式的基本运算与性质矩阵和行列式是线性代数中重要的数学工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨矩阵与行列式的基本运算和性质，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、矩阵的定义与基本运算矩阵是由m行n列元素组成的矩形数组，通常用大写字母表示。
矩阵中的元素可以是实数或复数。
一个m×n的矩阵可以表示为：A = [aij]m×n其中，aij表示第i行第j列的元素。
矩阵的基本运算包括加法、减法和数乘。
对于两个相同维度的矩阵A和B，它们的加法和减法定义如下：A +B = [aij + bij]m×nA -B = [aij - bij]m×n对于一个矩阵A和一个实数k，数乘定义如下：kA = [kaij]m×n二、矩阵的乘法与转置矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，需要符合一定的规则。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×k的矩阵B，它们的乘积AB定义如下：AB = [cij]m×k其中，cij = a1j*b1i + a2j*b2i + ... + anj*bni。
需要注意的是，矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。
一个m×n的矩阵A 的转置记为AT，其定义如下：(A^T)ij = Aji转置操作可以改变矩阵的维度，即如果A是一个m×n的矩阵，则AT是一个n×m的矩阵。
三、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，其行列式记为|A|或det(A)，它的定义如下：|A| = a11a22...ann + a12a23...a(n-1)n + ... + (－1)^(n+1)an1a2...a(n-1)行列式有一些基本的性质，包括以下几点：性质1：如果矩阵的某一行或某一列都是0，则其行列式的值为0。
性质2：如果矩阵的两行或两列相等，则其行列式的值为0。
矩阵行列式的概念与运算
矩阵、行列式的概念与运算知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵111213212223a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭中的行向量是()111213a a a a =，()212223b a a a =;2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,111112211112122211131223211122212112222221132223a c a ca c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++⎛⎫= ⎪+++⎝⎭矩阵加法满足交换律和结合律,即如果,,A B C 是同阶的矩阵,那么有：,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。
同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵,那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。
实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。
矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+,()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB ==()()AB C A BC =3、 矩阵乘法不满足交换率,如1111111122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。
二、行列式概念及运算 1.用记号2211b a b a 表示算式1221b a b a -,即2211b a b a =1221b a b a -，其中2211b a b a 叫做二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式；其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线2211b a b a 可把二阶行式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则；即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积.2。
矩阵与行列式分析
矩阵与行列式分析在线性代数中，矩阵与行列式是两个重要的概念，它们在数学、物理、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
本文将对矩阵与行列式进行详细的分析，介绍其定义、性质以及应用。
一、矩阵的定义和性质1.1 矩阵的定义矩阵是以矩形排列的数（或函数、向量）为元素所构成的一个矩形数组。
矩阵通常用大写字母表示，例如A、B等。
一个m行n列的矩阵可以表示为A(m,n)。
1.2 矩阵的基本运算矩阵之间可以进行加法和数乘运算。
设A和B为同型矩阵，C为另一矩阵，那么有以下基本运算规则：- 矩阵加法：A + B = B + A- 数乘运算：k(A + B) = kA + kB- 结合律：A + (B + C) = (A + B) + C- 数乘结合律：k(lA) = (kl)A1.3 矩阵的转置一个矩阵的转置是将原矩阵的行和列调换得到的新矩阵。
转置后的矩阵通常用加撇（'）表示，例如A'。
1.4 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到的新矩阵。
设A为m行n列的矩阵，B为n行p列的矩阵，那么它们的乘积为一个m行p列的矩阵，记作C = AB。
1.5 单位矩阵和逆矩阵单位矩阵是对角元素均为1，其余元素为0的方阵。
设A为一个n阶矩阵，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB = BA = I（单位矩阵），则称A可逆，B称为A的逆矩阵。
二、行列式的定义和性质2.1 行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的标量值。
设A为一个n阶矩阵，行列式用det(A)或|A|表示，其定义为：|a11 a12 ... a1n||a21 a22 ... a2n|det(A) = |a31 a32 ... a3n||... ... ... ...||an1 an2 ... ann|2.2 行列式的性质行列式具有以下性质：- 互换性质：交换行列式中任意两行（或两列），行列式的值反号。
- 数乘性质：若行列式的某一行（或某一列）的元素乘以k，行列式的值乘以k。
线性代数知识点梳理：行列式与矩阵运算
线性代数知识点梳理：行列式与矩阵运算线性代数是数学的一个重要分支，对于理解和解决现实世界中的问题具有重要意义。
在学习线性代数的过程中，行列式与矩阵运算是其中的重要组成部分。
本文将对行列式与矩阵运算的相关知识点进行梳理，帮助读者深入理解这一内容。
行列式的概念与性质行列式是一个数学工具，用于描述线性方程组的解的性质。
在代数学中，一个n阶方阵的行列式是一个确定的值，它是通过方阵中元素的线性组合而得到的。
行列式的计算方法有很多，比如拉普拉斯定理，莱布尼茨展开式等。
行列式的符号通常用竖线“| |”表示，如|A|表示矩阵A的行列式。
行列式具有一些重要的性质，例如：1.互换行（列）：如果行（列）互换，行列式取相反数。
2.行（列）成比例：如果矩阵的某一行（列）是另一行（列）的k倍，行列式的值也将乘以k。
3.行（列）相加：如果把矩阵的某一行（列）乘以k后加到另一行（列）上，行列式的值不变。
4.三角矩阵：上（下）三角矩阵行列式等于主对角线元素的乘积。
通过这些性质，我们可以简化行列式的计算，并在求解线性方程组等问题中应用行列式的性质。
矩阵运算与特殊矩阵矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是数字或符号排成若干行和若干列的矩形阵列。
矩阵可以进行加法、数乘、乘法等运算，这些运算有着重要的数学性质。
矩阵的加法和数乘运算是比较简单的，矩阵之间的加法就是对应元素相加，数乘就是矩阵中的每个元素都乘以相同的数。
矩阵的乘法是比较复杂的，矩阵乘法遵循结合律并不满足交换律。
特殊的矩阵包括对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵等。
对称矩阵是转置矩阵等于自身的矩阵，反对称矩阵是转置矩阵的相反数，单位矩阵是对角元素为1，其他元素为0的矩阵。
这些特殊矩阵在数学和物理领域中有着重要的应用。
行列式与矩阵之间的关系行列式与矩阵之间有着密切的联系。
通过矩阵的初等变换，我们可以改变行列式的取值，从而简化行列式的求解。
矩阵的逆也与行列式有关，方阵可逆当且仅当其行列式不等于0。
矩阵与行列式线性方程组的求解与矩阵的运算
矩阵与行列式线性方程组的求解与矩阵的运算矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，它们在数学和工程领域中具有广泛的应用。
本文将讨论矩阵与行列式的基本知识，以及它们在线性方程组求解和矩阵运算中的应用。
一、矩阵和行列式的定义1. 矩阵的定义：矩阵是由数个数按照矩阵形式排列组成的一种数学对象。
矩阵由m行n列的元素组成，通常用大写字母表示矩阵，如A。
矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2. 行列式的定义：行列式是一个按特定规则计算出的标量值。
行列式可以理解为一个方阵的属性，它的值可以告诉我们这个方阵的一些重要信息，比如是否可逆、是否为奇偶数等。
二、矩阵运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法四种基本运算。
1. 矩阵加法和减法：若两个矩阵A和B的行数和列数相等，那么可以对应元素进行加法和减法运算，得到的结果矩阵的元素等于对应位置的两个矩阵的元素之和或之差。
2. 数乘：数乘是指将矩阵的每一个元素都乘以一个数。
即若A是一个m行n列的矩阵，k是一个数，那么kA是一个m行n列的矩阵，它的每个元素等于k乘以对应位置上的元素。
3. 矩阵乘法：若矩阵A是一个m行n列的矩阵，矩阵B是一个n 行p列的矩阵，那么矩阵A乘以矩阵B得到的结果是一个m行p列的矩阵，其中新矩阵的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行和矩阵B 的第j列对应元素的乘积之和。
三、线性方程组的求解线性方程组可以用矩阵和行列式的方法进行求解。
对于一个m个方程、n个未知数的线性方程组Ax=b，其中A是一个m行n列的系数矩阵，x是一个n行1列的未知数向量，b是一个m行1列的常数向量。
通过矩阵和行列式的运算，我们可以将线性方程组的求解转化为求解矩阵方程Ax=b。
若矩阵A可逆，即矩阵A的行列式不为0，那么方程组的唯一解为x=A^(-1)b，其中A^(-1)是矩阵A的逆矩阵。
如果矩阵A不可逆，即矩阵A的行列式为0，那么方程组可能有无穷多个解或者无解。
数学教学中的矩阵与行列式的运算与应用
定义：行列式化简是指通过代数运 算将行列式化为标准形式的过程。
方法：行列式化简的方法包括展开 法、递推法、归纳法等，可以根据 具体情况选择合适的方法进行化简。
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性质：行列式化简时，可以利用行 列式的性质进行简化，如交换两行 或两列、提取公因子等。
应用：行列式化简在数学、物理等 领域有着广泛的应用，如求解线性 方程组、判断矩阵的逆等。
应用：在解决线性 方程组、矩阵求逆 、矩阵分解等领域 有广泛应用
行列式的运算与应 用
定义：行列式展开运算是指将行列式表示为若干项的代数和
性质：行列式的展开运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律和分配律等
展开方法：行列式的展开运算有多种方法，如按行展开、按列展开和主元法等
应用：行列式的展开运算在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用，如求解线性方 程组、计算向量叉积和判断行列式的正负等
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矩阵减法：将一个矩阵的对应元素 减去另一个矩阵的对应元素，得到 一个新的矩阵
应用场景：矩阵的加法和减法在数学、 物理、工程等领域有着广泛的应用， 例如线性方程组、图像处理、控制系 统等
矩阵乘法的定义：两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，结果矩阵 的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵在图像处理中的应用：矩阵可以用于表示图像，通过矩阵运算可以实现图像 的变换、滤波等操作。
矩阵在信号处理中的应用：矩阵在信号处理中用于表示信号，通过矩阵运算可以 实现信号的滤波、频域变换等操作。
线性规划问题：行列式可以用来求解线性规划问题，通过求解线性方程组得到最优解 组合优化问题：行列式可以用于求解组合优化问题，例如旅行商问题、背包问题等
（整理）矩阵与行列式.
（整理）矩阵与行列式.第一章矩阵与行列式释疑解惑1．关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会把用中括号或小括号所表示的矩阵如a c b d ??写成两边各划一竖线的行列式如a c b d ，或把行列式写成矩阵等。
还要注意，矩阵可有(1)m ≥行和(1)n ≥列，不一定m n =；但行列式只有n 行n 列。
n 阶行列式是2n 个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成n 阶方阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ??=的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特定的一个数值，记作det A 、A或n D ，即111det n ij k kk A A a a A ====∑（如二阶方阵a d A b c ??= ?所对应的行列式是这样一个新的对象：a d ac bd b c =-）。
也正因为于此，必须注意二者的本质区别，如当A 为n阶方阵时，不可把A λ与A λ等同起来，而是n A Aλλ=，等等。
2．关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数λ乘矩阵m n A ?是用数λ乘矩阵m n A ?中每一个元素得到的新的m n ?矩阵；二矩阵相乘与前述这两种线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。
3．关于逆阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由AB E =来定义（A 与B 互为逆阵），这是应用的基础。
要记住方阵可逆的充要条件为A ≠以及关系式*AA A E=，二者有着重要与广泛的应用。
要弄清A 的伴随方阵是矩阵() ijA a =的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。
行列式与逆矩阵的计算
在计算行列式时，可以将某一行或某一列去掉，然后求剩下的子矩阵的行列式，这个子 矩阵的行列式就是原行列式的代数余子式。利用代数余子式，可以更方便地计算行列式。
利用逆矩阵的性质简化计算
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A的逆矩阵存在，那么 这个逆矩阵乘以原矩阵A会得到单位 矩阵。利用这个定义，可以更方便地 计算逆矩阵。
逆矩阵与转置矩阵互为转置：$(A^{-1})'=(A')^{-1}$。
03
逆矩阵的计算方法
高斯消元法
通过消元法求解线性方程组，然后利 用求解结果构造逆矩阵。
伴随矩阵法
利用伴随矩阵和行列式的性质计算逆 矩阵。
迭代法
利用迭代公式不断逼近逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将原矩阵分块， 然后分别求出各块的逆矩阵，再组合 成整体的逆矩阵。
02
逆矩阵的定义与性质
逆矩阵的定义
逆矩阵
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得$AB=BA=I$，则称A是可 逆的，并称B是A的逆矩阵。
逆矩阵的唯一性
一个n阶方阵A的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的性质
01
逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵：$AB=I$，其中I为单位矩阵。
02
逆矩阵的逆也是原矩阵：$B^{-1}A^{-1}=I$。
行列式的计算方法
总结词
行列式的计算方法包括展开法、递推法、化简法等。
详细描述
展开法是最基本的计算方法，通过将行列式按照某一行或某一列展开，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算。 递推法是通过将高阶行列式转化为低阶行列式，再利用已知的低阶行列式的值计算高阶行列式的值。化简法是通 过数学变换将行列式化简为易于计算的形式，再进行计算。
矩阵运算和行列式
T ij
AB ji
a jk bki
k s1
BT AT ij BT ik AT kj bkia jk
k 1
k 1
第二章 矩阵运算和行列式
§2.1 矩阵及其运算
五. 几种特殊的矩阵
1. 对称矩阵A ：满足 AT = A.
A = [aij]mn为对称矩阵 m = n且aij = aji (i, j = 1, 2, …, n).
三. 矩阵的乘法
四. 矩阵的转置
五. 几种特殊矩阵、方阵多项式
第二章 矩阵运算和行列式
§2.1 矩阵及其运算
§2.1 矩阵及其运算
例1. 某厂家向三个代理商发送四种产品.
单价 重量
数量(箱)
(元/箱) (Kg/箱) 南京 苏州 常州
瓶装啤酒
20
16 200 180 190
易拉罐啤酒 50 20 100 120 100
a11 a21
am1
AT aij T a ji nm = a12 a22
am 2
a1n a2n
amn n×m
2. 性质：(1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT,
(3) (kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT.
s
(4)
证明：同型。
AB
f A A2 A 3I
1 2 1 2 1 2
1
2 1
2 1
2 3I 3I
第二章 矩阵运算和行列式
§2.1 矩阵及其运算
一. 矩阵与向量 Amn = [aij]mn
二. 加法及数乘 kA lB = [kaij lbij]mn
三. 矩阵的乘法
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(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)共六个向量。依次记为α1,α2,α3,α4,α5,α6.
若从原点出发的向量α=(x1,y1)与β=(x2,y2)，由它们构成的平行四边形面积为：
S= =|x1y2-x2y1|。而S≤4的向量对为(α1,α2),(α1,α4),(α1,α5),(α3,α4),(α3,α6),
19.已知函数 的定义域为 ，最大值为 .试求函数 （ ）的最小正周期和最值．
20.将等差数列 中 个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为 ,划去 所在的行与列,将剩下元素按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素 ,划去 所在的行与列 ,将最后剩下元素记为 ,记 ，求 的值。
(1)若D 则方程组有唯一一组解, ;
(2)若 ,且 中至少有一个不为零,则方程组无解;
(3)若 ,则方程组有无穷多解.
3。三阶行列式及对角线法则
用 表示算式;其结果是 .
我们把 叫做三阶行列式;
叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的值; ( )都叫做三阶行列式的元素.
4．三阶行列式按一行(或一列)展开
5..方程 的解集为[-3,2].
7.把
表示成一个三阶行列式为 .
8.若 的三个顶点坐标为 ，
其面积为17.
9.在函数 中 的系数是-2.
10.若执行如图1所示的框图，输入 则输出的数等于.
11.矩阵的一种运算 该运算的几何意义为平面上的点 在矩阵 的作用下变换成点 ，若曲线 在矩阵 的作用下变换成曲线 ，则 的值为2.
解析：若P(x,y)是变换后得到的曲线上任一点。与P对应的点为Q(x0,y0)且Q点在直线x+y-1=0上,则
代入直线x+y-1=0
，
此曲线与变换后得到的曲线x-y-1=0是同一条曲线。故有：
a+b=2.
12.在集合 中任取一个偶数 和奇数 构成以原点为起点的向量 .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为 ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为 ，则 1/3 .
3、循环结构：在算法中，像这种需要重复执行同一操作的结构称为循环结构。
矩阵、行列式和算法（20131224）作业答案
姓名成绩
二、填空题
1.行列式 的值是0.
2.行列式 （ ）的所有可能值中，最大的是6.
3.将方程组 写成系数矩阵形式为 .
4.若由命题 :“ ”能推出命题 :“ ”，则 的取值范围是(-∞,-2]．
A．20B.35
C. 40D .45
三、解答题：
17.已知 矩阵 的某个列向量的模不小于 ， 行列式 中元素 的代数余子式的值不小于 .若 是 成立的充分条件，求实数 的取值范围.
18.已知等比数列 的首项 ，公比为 ，
（1）求二阶行列式 的值；
（2）试就 的不同取值情况，讨论二元一次方程组 何时无解，何时有无穷多解？
8.若 的三个顶点坐标为 ，
其面积为.
9.在函数 中 的系数是.
10.若执行如图1所示的框图，输入 则输出的数等于.
11.矩阵的一种运算 该运算的几何意义为平面上的点 在矩阵 的作用下变换成点 ，若曲线 在矩阵 的作用下变换成曲线 ，则 的值为.
12.在集合 中任取一个偶数 和奇数 构成以原点为起点的向量 .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为 ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为 ，则
即m=5,而n= ,从而m/n=1/3.
二.选择题
13.系数行列式 是三元一次方程组无解的（B）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件
14.下列选项中错误的是（D）.
A. B.
C.
D.
15.若 表示 的三边长，
且满足 ，
则 是（A）.
解A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
矩阵、行列式和算法（20131224）
姓名成绩
一、填空题
1.行列式 的值是.
2.行列式 （ ）的所有可能值中，最大的是.
3.将方程组 写成系数矩阵形式为.
4.若由命题 :“ ”能推出命题 :“ ”，则 的取值范围是．
5.若方程组 的解为 ，则方程组
的解为 ， .
6.方程 的解集为.
7.把
表示成一个三阶行列式为.
把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第 行与第 列的代数余子式的符号为 .
三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开.
二.选择题
13.系数行列式 是三元一次方程组无解的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件
14.下列选项中错误的是（）.
A. B.
C.
D.
15.若 表示 的三边长，
且满足 ，
则 是（）.
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
16.右边（图2）的程序框图输出结果 （）
5.三元一次方程组的解
三元一次方程组
记 为方程组的系数行列式;记 ,
,即用常数项分别替换行列式 中 的系数后得到的.
(1)当 时,方程组有惟一解
(2)当 时,方程组有无穷多组解或无解.
二、顺序结构：
1．依次进行多个处理的结构称为顺序结构。
2、选择结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构。
21.按程序框图3，可以打印出一个数列，设这个数列为 ，
（1）写出这个数列 的前4项，并建立数列 的递推公式；
（2）设 ，证明： 是等比数列；
（3）求数列 的通项公式.
矩阵、行列式和算法（20131224）答案
姓名成绩
一、行列式概念及运算
1.用记号 表示算式 ,即 = ,
2.二元一次方程组的解
二元一次方程组 (其中 不全为零);记 叫做方程组的系数行列式;记 , 即用常数项分别替换行列式 中 的系数或 的系数后得到的.