最新二次根式的双重非负性来解题
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一：二次根式的非负性
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一（含答案）二次根式的非负性【方法技巧】 a 表示非负数a 算术平方根，它具有双重非负性：（1）二次根式的结果是非负数，即a ≥ 0.（2）二次根式的被开方数是非负数，即a ≥0.一、利用二次根式的非负性求范围1. 二次根式4-x 有意义，则实数x 的取值范围是 .2. 若m m -=-1)1(2 ， 则m 的取值范围是 .二、利用二次根式的非负性化简3. 若a>2，则=+---12)2(22a a a . 4.化简：yy 1-- ＝ . 5.当 x<0时，化简 ： xx x x 24422-+-＝ 6.实数在数轴上的位置如图所示，化简：222)()2()2(b a b a ++--+三、利用二次根式的非负性求值7. 若| x+y-1|+0102=+-y x , 则4y-3x 的平方根是8. 311+=-+-a a a 求a 值。
9. 若433+---=x x y ， 求222244()2(y xy x y xy x +-++-的值.10. 已知实数x 、y 满足,0256102=+++-y x x ，求2020)(y x +的值.b-2-112参考答案1.∵ x-4≥0 ∴x ≥42.∵0)1(2≥-m 1.∴1-m ≥0 ∴m ≤1 3. ∵a >2 ∴=+---12)2(22a a a 22)1()2(---a a =1)1()2(-=---a a 4.∵01≥-y ∴y <0 ∴ y y y y y -=-=--215.∵x<0时x x x x x x x x x x x 1)2(2)2()2(244222-=--=--=-+-6. 如图可知:a+2>0 b-2<0 :a+b>0∴a b a b a b a b a 2)()2()2()()2()2(222=++--+=++--+ 7. ∵| x+y-1|≥0 ,0102≥+-y x∴ | x+y-1|＝0且 0102=+-y x∴ x+y-1＝0，2x-y+10=0解之得： x= -3 , y=4 , ∴4y-3x =25,则4y-3x 的平方根是58. 由，1≥a ,有321111+==-+-=-+-a a a a a a3=a 9. 由433+---=x x y 得4,3==y x O x ba -2-112321)2()(44()2(222222=+=-+-=+-++-y x y x y xy x y xy x 10. 1)y x (,6y ,5x ,0)6(y )5x (,025*********=+∴-===++-=+++-所以有：得：由y x x。
2024八年级数学上册第二章实数专题四利用二次根式的双重非负性解题习题课件新版北师大版
(1) − 有意义， a 的取值范围是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a ≥2 025
13
14
；
(2)根据(1)的分析，求 a －2 0242的值.
【解】因为 a ≥2 025，所以2 024－ a ＜0，
所以｜2 024－ a ｜＋ − ＝ a －2 024＋
(2－ a )2＋ ＋＋ ＋｜ c ＋8｜＝0，且 ax2＋ bx ＋
c ＝0，求代数式3 x2＋6 x ＋200的值.
【解】因为(2－ a )2≥0， ＋＋ ≥0，｜ c ＋8｜≥0，
(2－ a )2＋ ＋＋ ＋｜ c ＋8｜＝0，
所以2－ a ＝0， a2＋ b ＋ c ＝0， c ＋8＝0.
所以 a ＝2， c ＝－8， b ＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因为 ax2＋ bx ＋ c ＝0，
所以2 x2＋4 x －8＝0.
所以 x2＋2 x ＝4.
所以3 x2＋6 x ＋200＝3( x2＋2 x )＋200＝12＋200＝212.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
所以 + ＋(1－ b ) − ＝0.
因为1＋ a ≥0，1－ b ≥0， 所以1＋ a ＝0，1－ b ＝0，
解得 a ＝－1， b ＝1，
所以 a2 024－ b2 025＝(－1)2 024－12 025＝1－1＝0.
二次根式知识点及习题
二次根式知识点一：二次根式的概念形如(）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件,如，,等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2。
二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0()。
注:因为二次根式()表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式()的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：,。
知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即;若a是负数,则等于a的相反数-a，即;2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六:与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0,负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时,=;时，无意义，而。
二次根式知识点及习题
二次根式知识点一: 二次根式的概念形如(）的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2。
二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（)表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式(）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0，b=0；若，则a=0,b=0;若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式(）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五:二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身,即；若a是负数，则等于a的相反数-a，即;2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值，一定有意义；3、化简时,先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六:与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即,。
因而它的运算的结果是有差别的,，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义,而. 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等;含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√(x+y)^2、√x^2+2xy+y^2等（3)最终结果分母不含根号。
二次根式的性质及其应用
二次根式的性质及其应用资料编号:202208180656一、二次根式的性质二次根式具有三条非常重要的性质:双重非负性、转化性和自身性.（1）双重非负性对于二次根式,：①≥0; ②≥0.a a a （2）转化性.可以理解为:二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值.a a =2（3）自身性（≥0）.()a a =2a 一、二次根式性质的应用双重非负性的应用 二次根式的双重非负性主要用于求参数的值或取值范围.目前,我们在初中阶段先后共学习了三类非负数:绝对值、偶次幂和二次根式（≥a a 0）,它们都具有非负性.如果几个非负数的和等于0,那么这几个非负数分别等于0. 已知二次根式求解参数的值或取值范围时,根据被开方数的非负性列出不等式进行求解.这里要求同学们要熟练掌握不等式或不等式组的解法.我们会遇到一些化简问题,问题中含有二次根式,而化简问题往往需要用到参数的取值范围,这个范围有时就来自于二次根式中被开方数的非负性,学生应充分挖掘这个条件. 例1. 若代数式在实数范围内有意义,则的取值范围是__________.10+x x x 分析 该代数式中含有二次根式,其被开方数为非负数,又考虑到二次根式处于分母的位置,故其被开方数只能大于零,据此列出关于的一个不等式.x 本题中还出现了零指数幂,根据其底数不等于列出关于的另一个不等式.两个不等式x 组成的不等式组的解集即为的取值范围.x 解:由题意可得:,解之得:且 ⎩⎨⎧≠>+001x x 1->x 0≠x∴的取值范围是且.x 1->x 0≠x 例2. 已知都是实数,且满足,则_________.b a ,21221--+-=a a b =b a 分析 根据二次根式被开方数的非负性可以说明这样一个事实:如果二次根式与B A -都有意义,那么.A B -B A =解:由题意可知:,解之得:. ⎩⎨⎧≥-≥-012021a a 21=a ∴2-=b ∴.4212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a 例3. 已知均为实数,且,求的值.c b a ,,()012112=++++-c b a c b a ,,分析 本题考查非负数的性质,二次根式是我们在初中阶段学习的第三类非负数.此类a 问题要注意过程的书写规范.解: ∵ ()012112=++++-c b a ≥0,≥0,≥0 1-a 1+b ()212+c ∴012,01,01=+=+=-c b a ∴.12,1,1-=-==c b a 例4. 已知实数满足,求的值.a a a a =-+-2023202222022-a 分析 本题难度较高,学生不知道该从哪里下手,实际上,根据二次根式的非负性,可以求出的取值范围,由此范围去掉绝对值,并对等式条件进行整理,可以发现解决问题的途径. a 解:由题意可得:≥02023-a 解之得:≥2023a ∴a a a =-+-20232022∴20222023=-a ∴()2220222023=-a∴220222023=-a ∴.202320222=-a 例5. 关于代数式的说法正确的是【 】43+-x （A ）当时有最大值 （B ）当时有最小值0=x 0=x （C ）当时有最大值（D ）当时有最小值 4-=x 4-=x 分析 本题考查二次根式的非负性,可利用不等分析法解决问题.解法一: 显然,二次根式有最小值0,此时,且有最大值,最大值为4+x 4-=x 43+-x 3.∴当时,该代数式有最大值3,选择答案【 C 】.4-=x 解法二: ∵≥0,当时取等号 4+x 4-=x ∴≤0 4+-x ∴≤343+-x ∴当时,该代数式有最大值3.4-=x 转化性的应用二次根式的转化性常用于二次根式的化简.二次根式的转化性告诉我们,二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值,具体如下:. ()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a 在对二次根式进行化简时,先转化为,再根据的符号去掉绝对值,以达到最终2a a a 化简二次根式的目的. 例6. 实数在数轴上的对应点A 、B 的位置如图,化简.b a ,()22b a b b a ---+解:由数轴可知:,且. a b <<00<+b a ∴()22b a b b a ---+()b a b b a ---+-=()()ba ba b b a b a b b a +-=+-+--=------=2例7. 已知,则__________. 01<<-a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-414122a a a a 解: ∵01<<-a ∴ a aa a <<+1,01∴ 414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 1111111122-+--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. a2-=点评 两个重要的结论:①当时,;②当时,. 01<<-a 01<<a a 10<<a a a 10<<例8. 已知为任意实数,化简.x 961222++++-x x x x 分析 在利用转化性对二次根式进行化简时,需要用到参数的取值范围,必要时需对参数的取值范围进行分类讨论.解:961222++++-x x x x ()()()31313122--+-=++-=++-=x x x x x x 分为三种情况:①当≤时x 3-原式;()2231--=--+-=x x x②当时13<<-x 原式;()431=--+-=x x ③当≥1时x 原式.()2231+=--+-=x x x 自身性的应用二次根式的自身性常用于二次根式的运算.例9. 计算:()()222121323-++-解:原式121318-++= 43121318=++=例10. 下列结论正确的是【 】（A ） （B ） ()662-=--()932=-（C ） （D ） ()16162±=-251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解:对于（A ）,,故（A ）正确; ()6662-=--=--对于（B ）,,故（B ）错误; ()332=-对于（C ）,,故（C ）错误;()1616162=-=-对于（D ）,,故（D ）错误. 251625162-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴选择答案【 A 】.。
二次根式经典例题
【二次根式典型例题】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3 B 、x ； C 、12x ； D 、1x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）;2x （2）121x （3）xx 21 （4）45xx （5）1 21 3xx （6）若1)1(xxxx ，则x 的取值范围是 （7）若1 3 13 xxxx ，则x 的取值范围是 。
3.若13m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
6. 若20042005aaa 2 2004a =_____________． 7．若433xxy yx 8. 设m 、n 满足3 2 9922mmmn ，则mn= 。
9. 若m 适合关系式35223199199xymxymxyxym 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 baa=0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|myxx ，当0y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10m B 、2m C 、2m D 、2m 12. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. 21a B. 21x B. 21x C. C. 24 b D. 0.1y 13. 已知0xy 2y x x __________。
初三全科目课件教案习题汇总初三全科目课件教案习题汇总 语文语文 数学数学 英语英语 物理物理 化学化学二．利用二次根式的性质2a=|a|=)0()0(0)(aaabaa(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233xx x3x ，则（ ）A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.已知a<b ，化简二次根式ba3（ ）A ．aba B ．aba C ．aba D ．aba 3.若化简若化简|1-x|-1682xx 的结果为2x-5则x 的取值范围是（）A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤4 4.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则2 22)()()(acbacbcba = 5. 当-3<x<5时，化简25109622xxxx= 。
初中数学二次根式双重非负性的运用
二次根式双重非负性的运用
湖北省黄石市下陆中学陈勇
在实数范围内，我们知道式子表示非负数ａ的算术平方根，它具有双重非负性：（１）
；（２）ａ≥０．运用这两个简单的非负性，再结合非负数的性质“若几个非负数的和等于０，则这几个非负数都等于０”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题．例１已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．
分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，则每个
非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．
例２若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得
，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．
例３已知实ａ满足，求ａ-2010的值．
解：由ａ-20110，得ａ2011。
故已知式可化为ａ-2010+=ａ，
∴=2010，两边平方并整理，得：ａ-2010＝2011．
例４在实数范围内，求代数式的值．
解：考虑被开方数，得从而，又，故
＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．
例５设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．
解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝
＝.。
二次根式知识点及习题
二次根式知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等（3）最终结果分母不含根号。
二次根式知识点及习题
二次根式知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式.注:在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意:因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1。
二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（)表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数,即0（）.注：因为二次根式（）表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似.这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0;若,则a=0，b=0；若，则a=0，b=0。
知识点四:二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如:，。
知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即;若a是负数,则等于a的相反数—a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值,一定有意义;3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数.但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时，=；时，无意义，而。
浙教版八年级下专题一 二次根式的双重非负性
一(a≥0)的双重非负性教材P5课内练习第1题)求下列二次根式中字母x的取值范围：(1).(2).(3).(4).(2)0，所以a ＝1＝－6.∴|2013－x|＝|x－2013|＝x－2013，∴|2013－x|＋＝x可化简为x－2013＋＝x，即＝2013，两边平方，得x－2014＝20132，∴x－20132＝2014.已知a，b为实数，且－2＝b＋4.(1)求a，b的值；(2)求a－b的算术平方根．【解析】(1)根据被开方数大于等于0列式求出a的值，再代入即可求出b的值；(2)先代入a，b的值求出a－b，然后根据算术平方根的定义解答．解：(1)根据题意，得a－5≥0且5－a≥0，(2)数a在数轴上的位置如图1所示，则＝__－a__.图1【思想方法】根据二次根式的性质()2＝a(a≥0)，＝|a|＝进行化简．化简－()2得(A)A．2B．－4x＋4C．－2D．4x－4【解析】由题意，得2x－3≥0.由于2x－1＞2x－3，所以2x－1＞0，故原式＝－(2x－3)＝2x －1－2x＋3＝2.[2012·呼和浩特]实数a，b在数轴上的位置如图2所示，则＋a的化简结果为__－b__．图2(1)当a<0时，化简；(2)已知x满足的条件为化简＋；(3)实数a，b在数轴上的位置如图3所示，化简－＋.图3解：(1)∵a<0，(1)(－)2－＋.(2)－－.(3)()2＋(a≥0)．解：(1)3；(2)－0.2；(3)2a.【思想方法】本题主要考查二次根式的非负性，灵活运用公式＝|a|＝几个非负数的和为零，则这几个数都为零．[2012·青海]若m，n为实数，且|2m＋n－1|＋＝0，则(m＋n)2012的值为__1__．【解析】根据非负数的性质得到∴解得∴(m＋n)2012＝(2－3)2012＝1.[2013·新疆]若a，b为实数，且|a＋1|＋＝0，则(ab)2013的值是(C)的取值范已知S1＝1＋＋，S2＝1＋＋，S3＝1＋＋，…，S n＝1＋＋.设S＝＋＋…＋，求S.解：∵S n＝1＋＋＝1＋＋2·＝1＋＋2·＝，∴＝1＋，∴S＝＋＋＋…＋＝n＋＝n＋1－＝.。
知识卡片-二次根式的非负性
二次根式的非负性
能量储备
● 在二次根式a 中，a 的取值必须满足a ≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. ● a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，由算术平方根的定义可知a ≥0. 通关宝典
★ 基础方法点
方法点1：二次根式a 具有双重非负性，即a ≥0，a ≥0.
方法点2： 二次根式隐含的非负性的条件的应用.
例：已知实数x ，y 满足y ＝√x −1+√1−x −2，求(x ＋y )2的值．
分析：要求代数式(x ＋y )2的值，只需要求出x ，y 的值即可．考虑到已知条件中的两个二次根式的被开方数正好互为相反数，根据其非负性可求出x 的值，进而求出y 的值．
解：由{x −1≥0，1−x ≥0，
得x ＝1.把x ＝1代入y ＝√x −1+√1−x −2，得y ＝－2.所以(x ＋y )2＝(1－2)2＝1.
蓄势待发
考前攻略
● 常见的非负数有|a |、a 2n (当a ＝0时，n 为正整数；当a ≠0时，n 为整数)．当几个非负数的和为0时，这几个非负数分别等于0.二次根式的非负性常与绝对值的非负性、偶次幂的非负性结合在一起进行考查，如：若a ＋|b |＝0，则a ＝0，b ＝0；若a ＋b 2＝0，则a ＝0，b ＝0；若|a |＋b ＋c 2＝0，则a ＝0，b ＝0，c ＝0.
● 考查二次根式的非负性，常与偶次幂的非负性、绝对值的非负性相结合命题，题目以选择题、填空题为主．
完胜关卡。
二次根式全章五类必考压轴题—2023-2024学年八年级数学下册(苏科版)(解析版)
二次根式全章五类必考压轴题题型一：二次根式的双重非负性的运用题型二：二次根式的规律探究题型三：复合二次根式的化简题型四：二次根式运算与求值技巧题型五：分母有理化题型一：二次根式的双重非负性的运用1．实数a 和b 在数轴上的位置如图所示，化简a b − ）A ．2aB ．2b −C ．2a −D ．2b 【答案】B101b a <−<<<a b +和绝对值的性质，即可得到答案．解题的关键是掌握所学的知识，正确得到101b a <−<<<．【详解】解：根据题意，则101b a <−<<<，∴0a b −>，0a b +<，∴a b −=a b a b−++ =a b a b −−−=2b −；故选：B ．2．已知三角形的三边长3,7,a 10a −的值为（ ）A ．7B ．7−C ．132a −D ．213a −【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形和非负数．熟练掌握三角形三边关系，二次根式性质和绝对值性质，是解决问题的关键．根据三角形三边关系，得到410a <<，得到30a −>，100a −<，根据二次根式性质和绝对值性质即得 ．【详解】∵三角形的三条边长分别为3、7、a ，∴7373a −<<+，即410a <<，∴40a −>，100a −<，∴30a −>，()103103107a a a a a −=−−−=−−+=．故选：A ．3．已知a 、b 为有理数，且满足a +=a b −等于（ ）A ．2−B ．4−C ．2D ．4 【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把33a 、b 的值，即可计算a b −的值．【详解】解：3==又∵a +=∴3a +=∴3a =，1b =-，∴()31314a b −=−−=+=，故选：D ．4．若(20m =，则n m的值是 ．【答案】【分析】本题考查了非负数的性质，分母有理化，根据非负数之和为零，则每个非负数都是零可得1m n ==−，进而代入代数式，即可求解．【详解】解：∵(20m =，∴1m n ==−=−，∴n m ==，故答案为：．5．已知x y ，是有理数，且6y =++化简的结果为 ．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出2x =，从而得出6y =【详解】解：由题意得：20x −≥，20x −≥，解得：2x =，将2x =代入6y =++得6y =，===故答案为：68b =+ ．【答案】5【分析】根据二次根式的性质得到170a −≥，170a −≥，求出17a =，8b =−，代入计算可得．【详解】解：由题可得170a −≥，170a −≥，解得17a =，∴08b =+，∴8b =−，5=，故答案为：5．【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键．7成立的条件是 ．【答案】x=2【分析】根据二次根式的意义，被开方数要大于等于零，去求x 的范围．【详解】根据二次根式有意义的条件，，∴x 必须满足的条件是20x −≥且20x −≤，则2x =．故答案是：2x =． 【点睛】本题考查二次根式的意义，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．80=的根是 ．【答案】6x =【分析】根据二次根式有意义的条件得60x −≥或60x −≥，可得答案．【详解】解：根据二次根式有意义的条件得60x −≥或60x −≥，得：6x =，故答案为：6x =．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握其非负数的性质是解决此题的关键．题型二：二次根式的规律探究9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形1OAA 的直角边OA 在x 轴上，点1A 的坐标为()1,1，以点1A 为直角顶点，1OA 为一直角边作等腰直角三角形12OA A ，再以点2A 为直角顶点，2OA 为直角边作等腰直角三角形23,OA A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依此规律，则点2024A 的坐标为（ ）A ．()101110112,2−B ．()10112,0C ．()101210122,2−D ．()10122,0 【答案】D【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系寻找，再求解．【详解】解：由已知，点A 每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A 到原∵20248253÷=，∴点2024A 的在x 轴的正半轴上，则2024101220242OA ==， ∴()101220242,0A ，故选：D ．10．2222222x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，第n 个单项式是（ ）A 2B C 2 D ．2n x 【答案】A【分析】本题主要考查了数字变化规律．观察已知式子，总结规律即可得第n 个单项式是2．2，22x 2，22，2⋯⋯，总结规律得第n 2．故选：A ．11．如图，12OA A △为等腰直角三角形，11OA =，以斜边2OA 为直角边作等腰23Rt OA A △， 再以3OA 为直角边作等腰34Rt OA A △，…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则n OA 的长度为 ． （用含n 的式子表示）【答案】1n −【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得2OA =32OA =，4OA = 【详解】解：∵12OA A △为等腰直角三角形，11OA =，∴121OA ==，同理可得：2322OA ===，343OA ===，……；综上所述：1n n OA −=；故答案为1n −．题型三：复合二次根式的化简12．先阅读下列解答过程，然后作答：a ，b 使a b m +=，ab n =，这样22m +==)a b =>，例7m =，12n =；由于437+=，4312⨯=，即227+==2===根据上述例题的方法化简：；【答案】【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，（1）根据解答过程即可得解，（2（3二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式．【详解】（1=；（2==（3==13．先阅读下列的解答过程，然后再解答：a b 、，使,a b m ab n +==，使得22m +==)a b =>7m =，12n =由于，4312⨯=437+=即227+==2\=(1)______=______；(2)【答案】3【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．（1a ，b 值为3和2后，即可得出结论；确定a ，b 值为8和9后，即可得出结论（2a 的形式化简，求解．即可．【详解】（1===3=，3；（2===．14．阅读下面这道例题的解法，并回答问题．11====依据上述计算，填空：， ；(2)199+− 【答案】(1)23(2)9【分析】本题主要考查了化简复合二次根式：（1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解；（2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】（1=2==3=；故答案为：23；（2199+−(100+1100+−1101=−9=．15．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：1===，再如：=法探索并解决下列问题：(1)化简：(2)化简：(3)若()2a m +=，且a ，m ，n 为正整数，求a 的值．【答案】(3)14或46【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．【详解】（1=（2）==（3）∵2252a m n +=++∴225a m n =+，62mn =，∴3mn =又∵a m 、、n 为正整数， ∴1,3m n ==，或者3,1m n ==， ∴当1,3m n ==时，46a =； 当3,1m n ==时，14a =． ∴a 的值为：14或46．16．【规律探究题】观察下列运算：①由)111=1=；②由1== …… 问题：=______=______； (2)利用（1）中发现的规律计算：)12024+．【答案】n 为正整数） (2)2024【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律即可；（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可．【详解】（1==−（n 为正整数）（2）原式)120241=+)11202512024==−=17．观察下列等式：第11112⎛⎫=+− ⎪⎝⎭；第211123⎛⎫+− ⎪⎝⎭；第311134⎛⎫+− ⎪⎝⎭， ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______．(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：12024++【答案】11145⎛⎫+− ⎪⎝⎭1111n n ⎛⎫+− ⎪+⎝⎭(3)202420242025【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．（1）由题意可得，第411145⎛⎫+− ⎪⎝⎭；（2）由题意知，第n 1111n n ⎛⎫=+− ⎪+⎝⎭；（3）根据12024++1111111202412233420242025⎛⎫=+−+−+−++− ⎪⎝⎭，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意可得，第411145⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，11145⎛⎫=+− ⎪⎝⎭；（2）解：由题意知，第n 1111n n ⎛⎫=+− ⎪+⎝⎭；（312024++1111111111112233420242025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−++−++−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111202412233420242025⎛⎫=+−+−+−++− ⎪⎝⎭ 1202412025=+−202420242025=，52024202142220=++．18．观察下列算式的特征及运算结果，探索规律：2=3=4=5．(1)观察算式规律，计算、= ；= ；(2)用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律 ；(3)计算：2020− 【答案】(1)6,37()11n n +≥()2n n =≥(3)1013【分析】本题考查二次根式运算中的规律探究： （1）根据题干给定的等式，进行作答即可；（2）根据题干给定的等式，确定相应的规律作答即可； （3）先根据规律化简各式，再进行计算即可．【详解】（16=37=；故答案为：6,37；（2）由题意，()11n n =+≥()2n n =≥；（32020−3579201920212023=−+−++−+()()2222023=−+−++−+()20191220234+=−⨯+10102023=−+ 1013=．题型四：二次根式运算与求值技巧19．（1（2）2(1(2−−【答案】（1（2）12−【分析】（1）利用二次根式的乘除法运算法则进行计算，再合并即可求解； （2）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可求解；本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【详解】解：（1）原式===（2）原式()11243=−−−131=−，12=−20．计算：(1)+(2)()21+【答案】(1)(2)8−【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；（2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算二次根式加减法即可．【详解】（1）解：+=((=+=（2）解：()21+()()2381=−+−19=−+−8=−21．计算：(1)(；【答案】(1)63【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式的知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则成为解题的关键．（1）先根据平方差公式计算，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可；（2）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：((22=−126=−6=．（2=3=−3=．22．计算：(1)÷(2))22【答案】(1)7 2(2)1【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）先计算小括号内的二次根式乘法，再化简二次根式并合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可；（2）先计算二次根式乘法，再加减计算即可． 【详解】（1）解：÷=÷(=÷=72=；（2）解：)22222-+=34=−12=−+1=．23．计算下列各小题．(2)()21+．【答案】(1)12(2)24−【分析】（1）关键二次根式乘除的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】（112=．（2））()21+22241=−+−2324124=−+−=− 24．计算：(2)(222−【答案】(1)3(2)6+【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键．（1）直接利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算；（2）先计算完全平方式及平方差公式，最后再计算加减法即可．【详解】（1）解：原式=3=−3=（2）原式()3245=++−51=+6=+25．计算：(2)⎛÷⎝；(3))(23−．【答案】(1)8(2)73(3)1−【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）将二次根式化简，然后计算乘除法即可；（2）先将二次根式化简，接着计算小括号里面的，然后再算除法即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后计算加减法即可．【详解】（1===；（2）解：⎛÷⎝⎛=÷⎝73=；（3）解：)(23−()59207=−−−5913=−−1=−26．先化简，再求值：()()()()232x y x y y x y x y −+++−−，其中2x =2y = 【答案】5xy ，5【分析】本题考查整式的混合运算，二次根式的混合运算，根据平方差公式，单项式乘多项式及完全平方公式将原式化简，再将x 、y 的值代入，利用平方差公式计算可得结论．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．【详解】解：()()()()232x y x y y x y x y −+++−−()22222322x y xy y x xy y =−++−−+22222322x y xy y x xy y =−++−+− 5xy =，当2x =2y =原式(()5225435=⨯+=⨯−=．27．已知x y = (1)代数式xy 的值； (2)代数式22x y xy +的值． 【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用平方差公式即可得答案；（2）由于x y +=1xy =方便运算，故可考虑将代数式化为含()x y +和xy 的项，再整体代入()x y +和xy 的值，进行代数式的求值运算．【详解】（1）xy = 32=− 1=；（2）由已知：x y + =+ =，xy = 32=− 1=，故：原式()xy x y =+=【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，本题考查了整体代入的思想．28．已知22a b ==(1)22a b +；(2)22a b ab +【答案】(1)12(2)6【分析】（1）根据已知条件式得出4,2a b ab +==，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；（2）将2ab =，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：∵22a b ==，∴224a b +==，(22422ab ==−=，∴()2222242212a b a a b b =+−=−=+⨯；（2）解：∵2ab =，∴22a b ab +222=+6=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．29．先化简，再求值：2312111a a a a a ++⎛⎫−÷ ⎪++−⎝⎭，其中1a ．【答案】1a −【分析】本题主要考查分式的混合运算以及二次根式的化简求值，先通分算括号内的，把除法化为乘法，化简后将a 的值代入计算即可． 【详解】解：2312111a a a a a ++⎛⎫−÷ ⎪++−⎝⎭ ()()22111a a a a a ++=÷++−()()11212a a a a a +−+=⋅++ 1a =−．当1a 时，原式11=−30．先化简，再求值：221121x x x x x −−+++，其中1x =．【答案】11x +，【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分1x 代入进行计算即可． 【详解】解：221121x x x x x −−+++ ()()()21111x x x x x +−=−++111x x x x −=−++x x 1x 1−+=+11x =+，当1x =1=．31．已知22x y ==(1)22xy +； (2)x y y x−． 【答案】(1)14(2)【分析】（1）先将22x y +变形为2()2x y xy +−，再将x ，y 的值代入，利用二次根式运算法则计算即可，（2）先将x y y x −整理为()()x y x y xy +−，再将x ，y 的值代入，利用二次根式运算法则计算即可，本题考查了二次根式的运算及平方差公式的运用，解题的关键是先将待求式子进行化简，并熟练掌握二次根式的运算法则．【详解】（1）解：∵22x y ==∴222()2x y x y xy +=+−(2(22222=−162=−14=，（2）解：∵22x y == ∴()()22x y x y x y x y y x xy xy +−−−=====题型五：分母有理化32．阅读下列简化过程：1；==== 解答下列问题：(1)(2)2021++ (3)设ab ，c a ，b ，c 的大小关系．【答案】1−(3)a ＜b ＜c【分析】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键．（1）根据已知可得：两个连续正整数算术平方根的和的倒数，等于分子分母都乘以这两个连续正整数算术平方根的差，化简得这两个连续正整数算术平方根的差；（2）利用分母有理化分别化简，再合并同类二次根式得解；（3）将a 、b 、c 分别化简，比较结果即可．【详解】（1）解：原式==；（2）解：原式12022=+1；（3）解：a ==2b ==2c ==，22，33．阅读材料，回答下列问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互(0)a a =>，1)1=11互为有理化因式．（1______．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：==，1=，==2==…，（2）用上述方法判断：若a 2b =a ，b 的关系是______．（3）计算：1)2024+．【答案】（1（2）a b =−；（3）2023【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，二次根式的分母有理化是解题的关键．（1）根据有理化因式求解；（2）利用分母有理化把a 进行化简可得到a 与b 的关系； （3）先分母有理化，然后利用平方差公式计算．【详解】解：（1（2）a 与b 互为相反数．理由如下：(2a =−，a b ∴=−，故答案为：a b =−；（3）1)11)=1)=20241=−2023=．34.【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知a =，求2281a a −+的值．他是这样分析与解答的：122a ==+2a −= ()223a ∴−=，即2443a a −+=．241a a ∴−=−．()()222812412111a a a a ∴−+=−+=⨯−+=−． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题：(1)=______； (2)=______； (3)若a =23121a a −−的值．【答案】1(2)1(3)2【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化（1）仿照题的方法化简即可；（2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可；（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．【详解】（11=，1；（2=(2024=+12024+11=，故答案为：1；（3）解：∵2a ===，∴2a −=∴2(2)5a −=，即241a a −=， ∴2231213(4)13112a a a a −−=−−=⨯−=．35．阅读下面的材料，解决问题：1==；==2==(1)= ；= ； (2)...+ (3)...【答案】(2)9(3)12−【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．（1）根据题干提供的方法化简即可；（2）先根据题干提供的方法化简，再合并同类二次根式；（3）先根据题干提供的方法化简，再合并同类二次根式．【详解】（1==；==．（2......=+1...1=−110=−+9=（3......=+ 11...2=(112=−12=− 36)4141151⨯⨯==−以上这种化简的步骤叫做分母有理化．回答问题：(1)(2)（m 为正整数）．【答案】(2)2．【分析】此题主要考查了分母有理化，第二题是个难点，需要总结规律，再计算．（1（2）各项进行分母有理化，再合并同类项即可．【详解】（14462=−⋅⋅⋅+（242424⋅⋅⋅4()=+++⋅⋅⋅+222222=2。
湘教版八上数学-巧用二次根式的非负性解题
巧用二次根式的非负性解题
曹经富 二次根式a 表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：（１）a ≥0；（２）a ≥０．这两个“非负性”是二次根式的隐含条件，经常从以下角度来命题考查．
一、求解字母的取值范围
例1 使式子211
x x +-有意义的x 取值范围是（ ） A. 12x ≥-，且1x ≠ B. 1x ≠ C. 12x ≥- D. 12
x >-，且1x ≠ 解析：由题意知210,10,
x x +≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥-，且1x ≠．故选A ． 点评：本题考查了二次根式、分式有意义的理解与运用.一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数，进而构建不等式（组）求解.
二、求解相关字母的值 例2 已知实数x ，y ，m 满足 2x ++|3x+y+m|=0，且y 为负数，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞6
B ．m ＜6
C ．m ＞-6
D ．m ＜-6
解析：根据题意，结合非负数的性质，得2x +=0，|3x+y+m|=0.
所以x 203x y m 0.+=⎧⎨++=⎩，解得26.x y m =-⎧⎨=-⎩
， 所以6-m ＜0，解得m ＞6．故选A. 点评：两个或多个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，本质上是解方程（不等式）与代数式求值. 这类题型一般有如下形式：,0||,0=+=+b a b a 0||,022=++=+c b a b a 等.。
二次根式解题方法与技巧
3. 化简
◆二次根式比较大小的技巧
一、根式变形
例1:比较6 与7 的大小
二、作差比较
例2：比较3- 与5-2 的大小
三、分母有理化
例3：比较 与 的大小
四、取倒数比较
例4：比较a= - 与b= - 的大小
与 - 的大小
◆二次根式求值常见方法
一、整体代入
二、 ≥0(a≥0)的应用
例4：若|a-2|+ +(c-4)2=0，则a-b+c＝.
三、综合运用
例5：已知实数x,y,a满足： + = + ，试问长度分别为x,y,a的线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由。
跟踪练习：
1.已知a为实数，求代数式 - + 的值
2.若有理数x,y,z满足 + - =- (1+x)，则(x-yz)3的值为多少？
A.x-1 B.1-x C.1 D.-1
2.已知|1- |=x，化简 +
◆二次根式的乘除运算技巧
一、巧算乘法
例1：计算 ×
将根系数与根系数相乘，二次根式与二次根式相乘，最后再化简。
二、巧变除为乘
例2：计算 .( ÷ )
三、巧约分
例3:计算（1） （2）
四、巧用倒数
例4：化简（4+ ）2007(4- )2008
例9：化简
十、倒数法
例10：化简
十一、巧配方
例11：化简
十二、巧换元
例12：计算 -
解法一：设上式＝X，先求出X2，再求了X；
解法二：原式＝ - =……=
小结：在进行二次根式运算时，如果按照常规方法运算量比较大，可根据算式的特点灵活选用合适的方法解题，可以化难为易，化繁为简，事半功倍。
二次根式知识点及习题
二次根式知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件,如，,等是二次根式，而，等都不是二次根式.知识点二：取值范围1。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时,有意义,是二次根式，所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2。
二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义.知识点三:二次根式()的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（)是一个非负数，即0（）. 注：因为二次根式（)表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0，所以非负数(）的算术平方根是非负数，即0(），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0，b=0；若，则a=0,b=0；若,则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.注:二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论.上面的公式也可以反过来应用：若，则，如:，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身,即；若a是负数,则等于a的相反数—a，即;2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数,即，.因而它的运算的结果是有差别的,，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=;时，无意义，而. 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0)、√x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等（3）最终结果分母不含根号.知识点八：二次根式的乘法和除法1.积的算数平方根的性质√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)2。
湘教版八上数学-活用二次根式的非负性
活用二次根式的非负性
吴育弟 二次根式a 表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：（１）a ≥0； （２）a ≥０．这两个“非负性”是二次根式的隐含条件，经常从以下角度来命题考查．
一、确定取值范围
例1（2015年南京）若式子x +1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 解析：根据题意，得x+1≥0，解得x ≥﹣1.
故填x ≥﹣1．
二、化简
例2（2015年黄冈模拟）已知a ＜0，化简二次根式b a 3-的结果是 ．
解析：因为a ＜0，所以ab a b a --=-3． 故填ab a --．
三、求值
例3（2015年荆门）当1＜a ＜2时，代数式a a -+-1)2(2的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．23a -
D ．32a -
解析：当1＜a ＜2时，a – 2＜0，1– a ＜0，所以1121)2(2=-+-=-+-a a a a ． 故选B ．
跟踪练习：
1.（2015年莱芜）要使二次根式x 23-有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．23≥x
B ．23≤x
C ．32≥x
D ．3
2≤x 2. 当ab ＜0时，化简2ab ，得（ ）
A ．b a -
B ．b a
C ．b a -
D ．b a --
3. 已知5260x y x -+++=，则31x y ++=______.
答案：1. B 2. A 3. 0。
双重非负性 帮你解题
双重非负性帮你解题
吴欣
【期刊名称】《数理化解题研究：初中版》
【年(卷),期】2015(0)2
【摘要】一般地,形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式.而√a（a≥0）表示非负数a 的算术平方根,可看出二次根式定义中隐含着两个非负数：一个是被开方数a的值是非负数,另一个是二次根式√a的值是非负数,即二次根式具有双重非负性.目前许多初中考试中的试题都是依据二次根式的双重非负性来设计的.若能注意发掘二次根式的双重非负性,可使问题获得妙解.请看下面的例子.
【总页数】2页(P14-15)
【关键词】非负性;二次根式;解题;算术平方根;负数;开方
【作者】吴欣
【作者单位】陕西西安邮电大学
【正文语种】中文
【中图分类】O122.1
【相关文献】
1.利用＂双重非负性＂解题 [J], 宋毓彬
2.√a的双重非负性在解题中的应用 [J], 乐毅
3.利用算术平方根的双重非负性解题 [J], 梁宗明
4.数学中的“小海螺”——二次根式的双重非负性 [J], 朱呈霞
5.二次根式√a的双重非负性 [J], 明国华
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10.若 ，且 时，则（ ） A、 B、 C、 D、
3.若 有意义，则m能取的最小整数值是；若 是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
4.当x为何整数时，ຫໍສະໝຸດ 有最小整数值，这个最小整数值为。5. 若 ，则 =_____________；若 ，则
6．设m、n满足 ，则 =。
7．若 适合关系式 ，求 的值．
8.若三角形的三边a、b、c满足 =0，则第三边c的取值范围是
一. 利用二次根式的双重非负性来解题（ （a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）
1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A、 ； B、 ； C、 ； D、
2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2） （3） （4） （5） (6) .
（7）若 ，则x的取值范围是（8）若 ，则x的取值范围是。