课时教学计划表

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§4.1 不定积分的概念与性质

一、本章简介

1、 主要内容：原函数的概念与性质、不定积分的概念与性质、不定积分的基本公式与直接积分法、换元积分法、分部积分法

2、 学习目标：理解原函数和不定积分的概念，了解不定积分的几何意义，掌握

不定积分的性质.掌握基本积分公式与直接积分法. 掌握第一类换元积分法，熟悉常用的凑微分公式，理解第二类换元积分法. 掌握分部积分法. 3、 课时安排： 10课时 二、原函数的概念和性质

1、引入 我们知道，微分法是研究如何由已知函数求出其导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好等于一个已知函数.解决这个问题不仅是数学理论本身的需要，更主要的是解决许多实际问题的需要。例如，已知速度()v t ，求路程

()s t ；已知加速度)t α

（，求速度()v t ；已知曲线上任一点处的切线的斜率，求曲线的方程等等．为解决这些问题，我们引进原函数的概念.

2、定义l 设()f x 是定义在某区间上的函数，如果存在一个函数()F x ,使得对于 该区间上任一点x 都有

()()'F x f x =或()(),dF x f x dx =

那么函数()F x 就称为函数()f x 在该区间上的一个原函数． 例如，在区间(-∞，+∞)内，因为

()

'

sin cos ,x x =，

所以sin x 是cos x 的一个原函数．

又如，在区间(-∞，+∞)内，因为

()(

)(()()'

32'

3

2'

3

2

'

3

23,

13,

3,

3,

x x x

x x

x x

C x C =+==+=为任意实数

所以3333,1,x x x x C ++都是2

3x 的原函数

3、原函数的存在性

关于原函数，我们首先研究一个问题．即函数()f x 应具备什么条件，才能保证它的原函数存在?

对这个问题我们有下面的定理.

定理l 如果函数()f x 在某区间上连续，那么()f x 在该区间上的原函数存在．（本定理将在下一章中加以证明.）

由于初等函数在其定义区间上连续，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．

4、原函数的无限性

由前面的例子我们知道，2

3x 的原函数存在，而且不止一个，因此我们需研究第二个问题，即如果函数()f x 有原函数，那么原函数一共有多少个?

对这个问题我们有下面的定理.

定理2 如果函数()f x 有原函数，那么它就有无数多个原函数．

证 设函数()F x 是函数()f x 的一个原函数,即,()()'

F x f x =,并设C 为任意常

数．因为

()()()()'''

.F x C F x C f x +=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

所以()f x +C 也是()f x 的原函数．又因为C 为任意常数，即C 可以取无数多个值，

所以，()f x 有无数多个原函数． 5、原函数的关联性

对于()f x 的无数多个原函数来说，我们还需研究第三个问题，即()f x 的任意两个原函数之间有什么关系? 对这个问题我们有下面的定理.

定理3 函数()f x 的任意两个原函数的差是一个常数． 证 设()F x 和()G x 都是()f x 的原函数，即

()'F x =()f x ，()'G x =()f x

于是

()()()()()()'

''

0.G x F x G x F x f x f x -=-=-=⎡⎤⎣⎦．

根据导数恒为零的函数必为常数(第三章第3．1节)，可知

()G x -()F x =C (C 为任意常数)，

即

()G x =()F x +C ．

上述定理表明，如果()F x 是()f x 的一个原函数，那么()f x 就有无数多个原函 数，并且任意一个原函数都可以表示为()F x +C (C 为任意常数)的形式.也就是说， ()f x +C (C 为任意常数)就是函数()f x 的全部原函数．

三、不定积分的定义

1、 定义2 函数()f x 的全部原函数叫作()f x 的不定积分，记作

()f x dx ⎰

其中“⎰

”称为积分号,()f x 称为被积函数,()f x dx 称为被积表达式,x 称为积分变

量。

由上面的讨论可知，如果()F x 是()f x 的一个原函数，则有

()().f x dx F x C =+⎰

其中C 是任意常数，称为积分常数．

2、举例说明

（1） 由前面可知， 3

x 是2

3x 的一个原函数，那么 3

x C +就是2

3x 的不定积分，即

⎰+=C x dx x 323 （2） 因为x x s in )c o s (='-，即)c o s (x -是x sin 的一个原函数，那么

cos x C -+是sin x 的不定积分，即

（3）用微分法证明：（a ）

()()

2

3

12323.6x dx x C +=++⎰．

（b ）2111cos sin 222

xdx x x C =++⎰

证明 （a ） 因为()()'

321

23236x x ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦

，即()31236x +是()223x +的一个原函数，

所以：

()()

2

3

1

2323.6

x dx x C +=++⎰

（b ） 因为11sin 22x x '⎛⎫+= ⎪⎝⎭

21cos 1cos 22x

x +=，即11sin 22x x +是21cos 2x

的一个原函数，所以：

2

111

cos

sin 222

xdx x x C =++⎰

四、不定积分的几何意义

1、实例分析

例3 已知某曲线经过点A (0,1)，且其上任意一点处的切线的斜率等于2x ,求 此曲线的方程．

解 设所求曲线的方程为()y f x =．依题意可得 ()'

2.f x x =

这就是说()f x 是2x 的一个原函数． 又因为()'

22x

x =，所以2

x

也是2x 的一个原函数，因而2x 的全部原函数即2x 的不

定积分2xdx ⎰

等于2

x C +,而()f x 只是2

x C +中的某一个,也就是说，所求曲线

()y f x =只是曲线族2y x C =+中的某一条，即经过点A 的那一条．

把x =0，y =1代入2

y x C =+中，得C =1．于是所求曲线的方程是

2 1.y x =+．（图4－1）

2、归纳几何意义 由此例可知，若把函数()f x 的一个原函数()F x 的图象叫作函数()f x 的积分曲线.则不定积分

()f x dx ⎰在几何上表示由积分曲线()y F x =沿y 轴上

下平移而得到的一族曲线(称为积分曲线族)．且积分曲线族上横坐标相同的点处的切线的斜率都相等，即切线都平行(图4—2)．