广东省深圳市2020届高三第二次在线统一测试理科数学试题(含答案)

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2020届广东省深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学试题及答案精品

0.94 0.66 ， 0.95 0.59 ， 0.910 0.35 .
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题第 5 页共 6页
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 (cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位于
5
5
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知点 (3,1) 和 (−4,6) 在直线 3x − 2y + a = 0 的两侧，则实数 a 的取值范围是
A． − 7 a 24 C． a 7 或 a 24
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题第 4 页共 6页
21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省
份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年
立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n （1 n 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人
A． 2 3
B． 3 2

广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设21(1)iz i +=-则|z|=（）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试数学(理科)含答案

A． 2 3
B． 3 2
C． 3 3
D． 3
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题第 1 页共 6页
6．已知一个四棱锥的高为 3 ，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正
方形, 则此四棱锥的体积为
A． 2
B． 6 2
C． 1 3
D． 2 2
7．在等差数列{an }中， S n 为其前 n 项的和，已知 3a8 = 5a13 ，且 a1 0 ，若 S n 取得最大值，则 n
数为 X n ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值．
参考数据：若 Z ~ N (, 2 ) ，则 P( − Z + ) = 0.6826 ， P( − 2 Z + 2 ) = 0.9544 ， P( − 3 Y + 3 ) = 0.9973 ，
的中点．直线
DB1
与平面
EFC
的交点
O
,则
DO OB1
的值为
D1
F A1
A． 4 5
B． 3 5
C． 1 3
D． 2 3
D
A
E
C1 B1
C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 x 轴为曲线 f (x) = 4x3 + 4(a −1)x +1的切线，则 a 的值为
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题第 4 页共 6页
21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省

2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试——数学(理科)试题

(2) 求2sin2 A C sin B 1的取值范围. 2
(1)由sin2 B sin Asin C及正弦定理可得b2 ac,
所以cos B a2 c2 b2 ≥ 2ac ac 1 ,
2ac
2ac 2
而0 B , 所以0 B ≤ π
3
(2) 求2sin2 A C sin B 1的取值范围. 2
(2) 在平面ABCD内过点A作直线AD的垂线Ax,
SA 平面ABCD, SA AD, SA Ax,
所以直线AS、Ax、AD两两垂直,以点A为坐标原点, 分别
以直线Ax、AD、AS为
z
S
x、y、z轴建立如图所
示空间直角坐标系,
过点B作BE AD
交直线AD于E .
A
E
AD / / BC, AB BC CD 1,
A. 2 3
3 B.
2
3 C.
3
D. 3
AC AD AB BC AD AB AD BC AD
3 BD AD
3 BA AD AD
A
2
3 AD 3
B
D
C
6.已知一个四棱锥的高为3, 其底面用斜二测画法所画出
的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形 ?则此四棱
锥的体积为( D )
AF / / BC, 且AF BC 1,四边形ABCF是平行四边形,
CF / / AB,
S
又因为CF 平面SAB,
AB 平面SAB,CF / / 平面SAB
P
FP CF F ,
平面PCF / / 平面SAB,
A
F
又CP 平面SAB,
D
CP / / 平面SAB
B

【4月深圳二模理数】2020年深圳普通高中高三年级第二次在线测试理科数学试卷及参考答案评分标准(二模)

的中点．直线
DB1 与平面
EFC
的交点 O
,则
DO OB1
的值为
D1
F A1
A． 4 5
B． 3 5
C． 1 3
D． 2 3
D
A
E
C1 B1
C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 x 轴为曲线 f (x) = 4x3 + 4(a −1)x +1的切线，则 a 的值为
2
3
得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论：
①函数 f (x) 的图象关于直线 x = 5π 对称 12
②函数 f (x) 的图象关于点 ( π , 0) 对称 12
③函数
f
(x)
在区间
−
π 2
,
−
π 12
上单调递减
④函数
f
(x)
在
π 4
,
3π 2
上有
3
个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①②
S
A B
D C
19．（本小题满分 12 分）
_________.
16．在平面直角坐标系中，过椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(
a b 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点，
C 为椭圆的右焦点，且 ABC 是等腰直角三角形，且 A = 90 ，则椭圆的离心率为
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）

广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理)试题 Word版及其答案

初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店 12020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设21(1)i z i +=-则|z|= A ．12 B．2 C ．1 D2．已知集合2{|2},{|320},x A y y B x x x ===-+…则A ．A∩B=B ．A ∪B=RC ．A ✶BD ．B ✶A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为 AB ．2 CD ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S =A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2x xx f x -=的部分图象大致为。

2020届广东省深圳市高三二模数学(理)试题

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（）A.12B.2C. 1D.2.已知集合{}|2xA y y ==，{}2|320B x xx =-+≤则（）A. AB =∅ B. AB R =C. A B ⊆D. B A ⊆3.设α为平面，m ，n 为两条直线，若m α⊥，则“m n ⊥”是“n ⊂α”的（） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（）B. 2D. 35.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当01x ≤≤时，()13f x x =，则17()8f =（）A12B. 2C.18D. 86.若1x ，2x ，…，n x 平均数为a ，方差为b ，则123x +，223x +，…，23n x +的平均数和方差分别为（）A. 2a ，2bB. 2a ，4bC. 23a +，2bD. 23a +，4b7.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，42S =，则6S =（） A. 6-B. 4-C. 2-D. 08.函数f （x ）()142xxsinx -=的部分图象大致为（）A.B.C.D.9.已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足OF FP =，则C的方程为（）A. 221123x y +=B. 22183x y +=C. 22163x y +=D. 22143x y +=10.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A ,B ,C ,D 是其中四个圆的圆心,则AB •CD =（）A. 32B. 28C. 26D. 2411.意大利数学家斐波那契（1175年—1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，.的该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即21n n n a a a ++=+()n +∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为1122n nn a ⎡⎤⎛⎛⎫+⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（设n是不等式(1x+-(1211xx ->+的正整数解，则n 的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 712.已知直线y ω=与函数()()sin f x x ωϕ=+（01ω<<）的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足AC nBC =()*N n ∈有下列结论：①n 值可能为2②当3n =，且ϕπ<时，()f x 的图象可能关于直线x ϕ=-对称 ③当6π=ϕ时，有且仅有一个实数ω，使得()f x 在,11ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦上单调递增； ④不等式1n ω>恒成立其中所有正确结论的编号为（） A. ③B. ①②C. ②④D. ③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为__________．14.若x ，y 满足约束条件20030y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最大值为__________. 15.2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有__________种分配方案.16.已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动（E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合），将AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A EBCDF -体积的最大值为__________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，的每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.ABC 中，D 为BC 上的点，AD 平分BAC ∠，5AD =，8AC =，ACD 的面积为（1）求CD 的长；（2）求sin B .18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，E ，F 分别为AB ，1AA 的中点，1CE FB ⊥，113AB EB ==.（1）证明：EF ⊥平面1CEB ；（2）求直线EF 与平面1CFB 所成角的大小.19.足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：（1）下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求()E ξ；（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，接到第n 次传球的人即为第1n +次触球者()n N +∈，第n 次触球者是甲的概率记为n P .（i ）求1P ，2P ，3P （直接写出结果即可）；（ii ）证明：数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列.20.在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线0l ：4x =-上的动点，动点Q 满足0PQ l ⊥，且原点O 在以PQ 为直径的圆上.记动点Q 的轨迹为曲线C （1）求曲线C 的方程：（2）过点()2,0E 的直线1l 与曲线C 交于A ，B 两点，点D （异于A ，B ）在C 上，直线AD ，BD 分别与x 轴交于点M ，N ，且3AD AM =，求BMN △面积的最小值. 21.已知函数()()1cos 0ax f x ex a -=⋅>．（其中常数 2.71828e =，是自然对数的底数）（1）若a =()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的极大值点；（2）（i ）证明()f x在⎛⎫⎝上单调递增；（ii ）求关于x 的方程()1a f x e =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程.选修4－5：不等式选讲23.已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3.。

广东省深圳市2020届高三上学期第二次教学质量检测数学(理) Word版含答案

2020届高三年级第二次教学质量检测数学(理)卷注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。

考试时间120分钟。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M＝{x|(x＋2)(x－5)≤0}，N＝{y|y＝2x}，则M∩N＝A.(0，5]B.(0，2]C.[2，5]D.[2，＋∞)2.已知向量m＝(1，2)，n＝(4，λ)，其中λ∈R。

若m⊥n，则nm=D.23.设142iz ii+=+-，则z=A.21455i+B.21455i-+C.21455i-D.21455i--4.曲线y＝(x3－3x)·lnx在点(1，0)处的切线方程为A.2x＋y－2＝0B.x＋2y－1＝0C.x＋y－1＝0D.4x＋y－4＝05.2019年10月18日－27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌。

为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下所示：现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12； ②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”； ③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”。

则正确命题的个数为附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，A.0B.1C.2D.36.记双曲线221(0)16x y m m -=>的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，点M 在C 上，点N满足1112F N F M =u u u u r u u u u r ，若110MF =，O 为坐标原点，则|ON|＝A.8B.9C.8或2D.9或17.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为258，则n 的值为A.3B.4C.5D.68.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝95，a 8＝17，则A.a n ＝5n －23B.22122n S n n =- C. a n ＝4n －15 D.23112n n n S -= 9.已知抛物线C ：x 2＝4y 的准线为l ，记l 与y 轴交于点M ，过点M 作直线l '与C 相切，切点为N，则以MN为直径的圆的方程为A.(x＋1)2＋y2＝4或(x－1)2＋y2＝4B.(x＋1)2＋y2＝16或(x－1)2＋y2＝16C.(x＋1)2＋y2＝2或(x－1)2＋y2＝2D.(x＋1)2＋y2＝8或(x－1)2＋y2＝810.函数f(x)＝x－4－(x＋2)·(23)x的零点个数为A.0B.1C.2D.311.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于y轴对称，且f(1＋x)＋f(1－x)＝0，则ω的值可能为A.52πB.2πC.32 D.312.体积为216的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是线段D1C1的中点，点N在线段B1C1上，MN//BD，则正方体ABCD－A1B1C1D1被平面AMN所截得的截面面积为A.2B.2C.2D.2第II卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中的横线上)13.若tan(2α＋β)＝5，tan(α＋β)＝4，则tanα 。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(1+i)·z=3−i，则|z|=()A. 5B. 3C. √5D. √32.已知集合A={1,2}，B={x|x=mn.m∈A,n∈A}，则()A. A∩B=BB. A∩B=⌀C. A∪B⊆AD. A⊆B3.已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，则C的渐近线方程为()A. y=±2xB. y=±12x C. y=±13x D. y=±14x5.已知y=f(x)是定义在R上的函数，且f(x+4)=−f(x)，如果当x∈[−4,0)时，f(x)=3−x，则f(985)=()A. 27B. −27C. 9D. −96.x1，x2…x n的平均数为x，方差为S2，则数据3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的方差是()A. S2B. 3S2C. 9S2D. 9S2+30S+257.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=5，S6=15，则S9=()A. 35B. 30C. 25D. 158.函数f(x)=sinx⋅2x−12x+1部分图像大致为()A.B.C. D.9. 已知F 是椭圆C ：x 23+y 22=1的右焦点，P 为椭圆C 上一点，A(1,2√2)，则|PA|+|PF|的最大值为( ) A. 4+√2 B. 4√2 C. 4+√3 D. 4√310. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. 32B. 28C. 26D. 24 11. 已知数列{a n }的通项公式a n =n−√98n−√99(n ∈N ∗)，则数列{a n }的前30项中最大项为( ) A. a 30B. a 10C. a 9D. a 1 12. 已知ω>0，|φ|<π2，若x =π6和x =7π6是函数f(x)=cos(ωx +φ)的两个相邻的极值点，将y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y =g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. y =g(x)是奇函数B. y =g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1)曲线y=−5e x+3在点(0,−2)处的切线方程为________．(2)已知函数f(x)=xln x，若直线ι过点(0,−1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线ι的方程为________．14.若x，y满足约束条件{x−1≥0x−y≤0x+y−4≤0.则yx的最大值为______．15.某志愿者小组共有高一学生4名，高二5名，高三7名，若各年级各选1人参加青奥会志愿者活动，有________种不同的选法．16.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，AB=BC=12AD=1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将沿EF折起到的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P−ABCEF的体积的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，D是BC的边上的点，cos∠BAD=35,cos∠ADC=−√55．(1)求sin B的值；(2)若BD=2DC=2，求AC的长．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，B1C=2，∠ABB1=60°．(1)证明：AB1⊥平面ABC．(2)求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．19.如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2=1,A(1,0),B(−12,√32),C(−12,−√32)为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P n(A)，P n(B),P n(C).例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1(A)=0,P1(B)=12,P1(C)=12．(1)分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；(2)掷骰子N次时，若以X轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量X n，求X4的分布列和数学期望；(3)记P n(A)=a n,P n(B)=b n,P n(C)=c n，其中a n+b n+c n=1.证明：数列{b n−13}是等比数列，并求a2020．20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)．(1)已知直线l:2x−y+2=0与抛物线C相切，求抛物线的方程；(2)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作直线l′交抛物线于A，B两点，AB的中点为E，以E为圆心，AB为直径作圆E，设E与y轴交于点M，N，求的最大值．21.已知函数f(x)=(ax−1)e x，a∈R，e是自然对数底数．(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.设函数f(x)=|x|．(1)设f(x−1)+f(x+2)<4的解集为A，求集合A；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．。

2020届深圳市高三二模理科数学答案

2
2
显然与 | | π 矛盾，从而可知结论②错误；
对于结论③， [1 ,1) ，且 f (x) 在区间[− π , π ] 上单调递增，
2
+1 +1
（ −π+1π++16π）+
π 2 π 6
−
π 2
，
=
1 2
，故结论③正确；
对于结论④，下证不等式 n cos π 1(n 3) ， n
（法一）当 n 3 时， cos π cos π = 1 ， n cos π 3 1(n 3) ，即 n cos π 1(n 3) ，
令 g() = 2 cos sin2 ， ( π , π ) ， 42
则[g( )]2 = 2cos2 sin4 = (2 − 2sin2 )sin2 sin2
[(2 − 2sin2 ) + sin2 + sin2 ]3 = 8 ，
3
27
（当且仅当 2 − 2sin2 = sin2 ，即 sin =
CE ⊥ FB1 ， AB =
2 AA1
=
23 3
EB1 .
（1）证明： EF ⊥平面 CEB1 ；
A1
C1
B1 F
（2）求直线 EF 与平面 CFB1 所成角的大小.
A
C
E
B （第 18 题图）
理科数学试题答案及评分参考第5页（共19页）
解：（1）证明：（法一）设 AA1 = 2a ，
∵ AB =
5 )n
− (1− 2
5 )n ]，则数列{an} 即为斐波那契数列，
an (
2 )11 5
，即 an2
211 5

2020届广东省深圳市高三下学期第二次线上统一测试数学(理)试题(解析版)

2020届广东省深圳市高三下学期第二次线上统一测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合11|22,|ln 022xA xB x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=<≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭,则()R A B =I ð( )A ．∅B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-【答案】B【解析】求解指数不等式与对数不等式化简集合A 、B ，再由交、并、补集的混合运算得答案．【详解】1{|22}{|11}2x A x x x =<=-<Q 剟，113{|()0}{|}222B x ln x x x =-=<剟， 3{|2R B x x ∴=>ð或1}2x „，则12(1,)A B ⎛⎤- ⎥⎝⎦=R I ð．故选：B ．【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查集合的交、并、补混合运算，属于基础题.2．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意666cos sin cos sin5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据复数的几何意义结合6cos05π<、6sin 05π<即可得解. 【详解】由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴该复数在复平面内所对应的点为66cos ,sin 55ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 6cos05π<，6sin 05π<，∴该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于基础题.3．已知点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是（） A ．724a -<< B ．7a =或24a = C ．7a <或24a > D ．247a -<<【答案】A【解析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解. 【详解】Q 点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，∴()()332134260a a ⨯-⨯+⋅⨯--⨯+<⎡⎤⎣⎦即()()7240a a +-<，解得724a -<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式，属于基础题.4．已知()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由分段函数的单调性可转化条件得1201132aaa a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解不等式组即可得解.【详解】Q()1()3,1,2,1,xa x a xf xa x⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，∴1201132aaa a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1162a≤<.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数单调性的问题，属于基础题.5．如图，在ABCV中，AD AB⊥，3BC BD=u u u v u u u v，1AD=u u u v，则AC AD⋅=u u u v u u u v（）A．3B3C3D3【答案】D【解析】∵3AC AB BC AB=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u v，∴(3)3AC AD AB AD AB AD AD⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v，又∵AB AD⊥，∴0AB AD⋅=uu u r uuu r，∴33cos3cos33 AC AD AD AD ADB BD ADB ADu u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D．6．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）A． B ．C ．13D ．【答案】D【解析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解. 【详解】由题意结合原图与直观图的面积比为可知该四棱锥的底面积S =则该四棱锥的体积为11333V Sh ==⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查了原图与直观图之间的关系，考查了棱锥体积的计算，属于基础题.7．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且10a >，若n S 取得最大值，则n 为（） A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】A【解析】转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-， Q 10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 取得最大值.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最大值的问题，属于基础题.8．已知抛物线28y x =，过点()2,0A 作倾斜角为的直线3π，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为（） A ．163B ．83C．3D．【答案】A【解析】由题意可得直线:2BC x y =+，联立方程组即可求得BC中点103M ⎛ ⎝⎭，进而可得直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭，求出点22,03P ⎛⎫⎪⎝⎭后即可得解. 【详解】由题意可得直线:2BC x y +，设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 中点()00,M x y ，联立方程组2823y x x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x得2160y y -=，易得>0∆，∴1102y y y +=∴001023x y +=，∴点103M ⎛ ⎝⎭，又 MP BC ⊥，∴1MP BC k k =-=， ∴直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭，令0y =可得223x =即点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴线段2216233AP =-=. 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 9．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论：①函数()f x 的图象关于直线512x π=对称②函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减④函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点其中所有正确结论的编号是（） A ．①② B ．③④C ．②③D ．①③【答案】D【解析】利用函数最小正周期和平移后的对称性可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；代入512x π=即可判断①；代入12x π=即可判断②；由,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦即可判断③；由3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦即可判断④；即可得解. 【详解】Q 函数()f x 的最小正周期是T π=，∴222T ππωπ===， Q 函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ∴函数()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭即2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴()23k k Z πϕ=π-+∈即()23k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<可得3πϕ=-，∴()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当512x π=时，()5sin 2sin 11232f x πππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故①正确；当12x π=时，()1sin 2sin 12362f x πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②错误；当,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时， 432,,33222x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了整体法的应用，属于中档题.10．甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以3:1获胜的概率是（） A ．0.0402 B ．0.2592 C ．0.0864 D ．0.1728【答案】B【解析】由题意可得甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，由独立性重复实验的概率公式计算即可得解. 【详解】由题意若要甲以3:1获胜则需要甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，则所求概率()()2230.610.60.60.2592p C =⋅⋅-⋅=.故选：B. 【点睛】本题考查了独立性重复实验概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 11．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则[]2,0x ∈-时，()f x 的解析式为（）A ．()21f x x =++B ．()31f x x =-+C ．()2f x x =-D ．()4f x x =+【答案】B【解析】根据函数的奇偶性和周期性可得[]2,1x ∈--、[]1,0x ∈-时()f x 的解析式，即可得解. 【详解】Q ()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，∴当[]2,1x ∈--时，[]42,3x +∈，()()44f x f x x =+=+；当[]1,0x ∈-时，[]22,3x -+∈，()()()22f x f x f x x =-=-+=-+，∴当[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+.本题考查了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题.12．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点.直线1DB 与平面EFC 的交点O ，则1DOOB 的值为（）A ．45B ．35C ．13D ．23【答案】A【解析】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ，设BD CE M =I ，连接MN ，由平面相交的性质可得1MN DB O ⋂=，利用三角形相似求得11156B N B D =、23DM DB =，再利用三角形相似即可得解.【详解】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ，设BD CE M =I ，连接MN ，由E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点易得//FG CE ，即G ⊂面EFC ，由11//B D BD 可知1D ⊂面1B BD ，所以面EFC ⋂面1B BD NM =，又 1DB ⊂面1B BD ，所以直线1DB 与平面EFC 的交点O 即为MN 与1DB 的交点，取11B D 的中点Q ，由1D GN QFN V V ∽可得112D N QN =，所以11156B N B D =，由BEM DCM V V ∽可得12BM DM =，所以23DM DB =，由11B D BD =可得145DM B N =，由1DMO B NO V V ∽可得1145DM D O B B N O ==. 故选：A.【点睛】本题考查了平面的性质和平面相交的性质，考查了空间思维能力和转化化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【答案】14【解析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解. 【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为：14. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54–S S =________.【答案】32 【解析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩结合题意可得2nn a =，再利用545–S S a =即可得解.【详解】当1n =时，11122a S a ==-解得12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1222n nn a -=⋅=，所以54553–22S S a ===.故答案为：32. 【点睛】本题考查了n a 与n S 关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题.15．某市公租房的房源位于,,A B C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________. 【答案】1427【解析】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况共有4381=种，分别求出有三人在同一区域另一人在另一区域的情况数和有两人在同一区域另两人在另一区域的情况数，利用古典概型概率的公式即可得解. 【详解】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况共有4381=种；若4位申请人中，有三人在同一区域另一人在另一区域的情况共有324324C A ⋅=种；有两人在同一区域另两人在另一区域的情况共有2224232218C C A A ⋅⋅=种；故所求概率2418148127p +==. 故答案为：1427. 【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，考查了古典概型概率的求解，属于中档题.16．在平面直角坐标系中，过椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，C 为椭圆的右焦点，且ABC ∆是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，则椭圆的离心率为_________. 【答案】63-【解析】设AC m =，由题意结合椭圆性质可得2AF a m =-，242BC a BF a m =-=-，由等腰直角三角形性质可得1224a m m =+，再由直角三角形性质可得222FC AF AC =+，最后利用ce a=即可得解. 【详解】如图所示，设AC m =，由椭圆定义可得2AF a m =-，Q ABC V 是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，∴AC AB m ==，22BF AB AF m a =-=-，242BC a BF a m =-=-，∴422BC a mAC m-==，∴1224a m m =+，∴22mAF =，在Rt AFC V 中，222232FC AF AC m =+=，∴624FC mc ==， ∴66463122224mc e a m m ====-++.故答案为：63-.【点睛】本题考查了椭圆性质的应用和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2sin sin sin B A C =. （1）求证：03B π<≤；（2）求222sinsin 1A CB +-+的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）(【解析】（1）由正弦定理结合条件得2b ac =，再由余弦定理结合基本不等式可得1cos 2B ≥，由三角函数的性质即可得证；（2）由三角函数的性质化简得22sinsin 124A C B B π+⎛⎫++= ⎝-⎪⎭，结合（1）中03B π<≤即可得74412B πππ<+≤，即可得解. 【详解】（1）证明：由正弦定理可得2b ac =,∴22221cos 222a c b ac ac B ac ac +--=≥=，Q 0B π<<,03B π∴<≤.（2）由题意222sin sin 1A C B +-+()cos sin A C B =-++cos sin 4B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知03B π<≤，∴74412B πππ<+≤，∴14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即222sinsin 1A CB +-+的取值范围是(. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角函数的综合问题，考查了基本不等式的应用，属于中档题.18．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，1SA AB BC CD ====，2AD =.（1）在棱SD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面SAB ？请证明你的结论；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）存在；证明见解析（2）14【解析】（1）当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB ；取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，由已知结合中位线的性质可得//FP BC 且FP BC =，进而可得//CP BF ，由线面平行的判定即可得证；（2）由题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出平面SAB 的一个法向量为1n u r 与平面SCD 的一个法向量为2n u u r，利用121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅u r u u ru r u u r u r u u r 即可得解. 【详解】（1）当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB . 证明如下：取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，则//FP AD 且12FP AD =， Q //AD BC ，112BC AD ==， ∴//FP BC 且FP BC =， ∴四边形FBCP 为平行四边形， ∴//CP BF ，Q CP Ë平面SAB ，BF ⊂平面SAB ，∴//CP 平面SAB .（2）在平面ABCD 内过点A 作直线AD 的垂线Ax ，Q SA ⊥平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA Ax ⊥，∴直线AS 、Ax 和AD 两两垂直，以点A 为原点，分别以直线Ax 、AD 和AS 为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，过点B 作BE AD ⊥交直线AD 于E ，Q //AD BC ，1AB BC CD ===，2AD =，∴12AE =，3BE =，从而可得()0,0,0A ，31,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D ，()0,0,1S ，则()0,0,1AS =u u u r ，31,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,1SD =-u u u r，31,,022DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设平面SAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，则1100n AS n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 即11103102z x y =⎧+=，取13x ()13,3,0n =-u r ，设平面SCD 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r，则2200n SD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v 即22222031022y z x y -=⎧-=⎩，取23x ，可得)23,3,6n =u u r ∴121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r ()()()222221433336=-+-⋅++， ∴平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值为14. 【点睛】本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题.19．已知椭圆22:1124x y C +=，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点.（1）求AMB ∠的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线BM 的斜率的取值范围.【答案】（1）AMB ∠的最大值为23π；证明见解析（2）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）设()00,M x y ，（0x -<<002y <≤），过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H，由三角函数的概念可得00tan A H y x M +∠=，00tan BMH y x ∠=，由两角和的正切公式可得tan AMB∠0220012x y =+-，求出tan AMB ∠≤后由椭圆对称性即可得解；（2）由题意可知202012y k k x '⋅=-，利用22001124x y +=即可得13k k '⋅=-，由k 的取值范围即可求得k '的取值范围，即可得解. 【详解】（1）根据椭圆的对称性，不妨设()00,M x y ，（0x -<<002y <≤）. 过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，则()0,0Hx (0x -<<，于是，有00tan AH AMH M x H y +∠==，00tan BH BMH MH y x ∠==， ∴()tan tan AMB AMH BMH ∠=∠+∠=tan tan 1tan tan AMH BMHAMH BMH∠+∠-∠∠00000y y =， Q 点()00,M x y 在椭圆C 上，∴22001124x y +=，∴2200123x y =-，∴0tan AMB y ∠=-，而002y <≤，∴0tan AMB y ∠=-≤ Q 0AMB π<∠<，∴AMB ∠的最大值为23π，此时02y =，即点M 为椭圆C 的上顶点. 根据椭圆的对称性，当点M 为椭圆C 的短轴的顶点时，AMB ∠取最大值，其最大值为23π. （2）设直线BM 的斜率为k '，()00,M x y ，则k =，k '=，∴22012y k k x '⋅=-，又22001124x y +=，∴2200123x y =-， ∴13k k '⋅=-，Q 11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∴213k '<<，故直线BM 的斜率的取值范围为2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆和三角函数、椭圆和直线的综合问题，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.20．已知函数()()ln 1f x x =+，()xg x e =（e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()()x ax f x xϕ+=-在定义域内极值点的个数；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()00,A x y 处的切线，证明：在区间(0,)+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切.【答案】（1）当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点（2）证明见解析【解析】（1）对函数()x ϕ求导得()()221x ax a x x xϕ++'=+，令()2h x x ax a =++，分类讨论()h x 有无零点以及零点与1-、0的相对位置即可得解；（2）由题意可得切线l 的方程可表示为()00011y x y x x -=-+，设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,x B x e ，由题意可得()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，进而可得()0001ln 10x x x ++-=，由（1）中结论即可证明()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根，即可得证. 【详解】（1）由题意()()x a x f x x ϕ+=-()ln 1x ax x+=+-)0x ≠且()1121m x x +>+，则()()222111a x ax ax x x x xϕ++'=+=++，令()2h x x ax a =++，24a a ∆=-，①当240a a ∆=-≤即04a ≤≤时，()0x ϕ'≥，此时，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，()x ϕ无极值点； ②当240a a ∆=->时，即当0a <或4a >时，函数()2h x x ax a =++有两个零点，12a x --=，22a x -+=，（i ）当0a <时，因为11x --==0<，所以2101x x >>>-，所以函数()x ϕ在()11,x -单调递增，在()1,0x 和()20,x 上单调递减，在()2x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ有两个极值点；（ii ）当4a >时，因为2212a x -+---==02>，所以121x x <<-，此时()0x ϕ'>，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，无极值点. 综上所述，当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点. （2）证明：因为()11f x x '=+，所以切线l 的方程可表示为()0011y x y x x -=-+，设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,xB x e ，因为()xg x e '=，所以()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，消去1x 并整理得()0001ln 10x x x ++-=，由（1）可知，当1a =时，函数()()1ln 1x x x xϕ+=+-()1x >-在()0,∞+单调递增，又()1101e e ϕ-=-<-，()2222101e e e ϕ--=>-. 所以函数()x ϕ在()21,1e e --上有唯一的零点，又因为()x ϕ在()0,∞+单调递增，所以方程()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根，故在区间()0,∞+上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点和零点个数问题，考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想和推理能力，属于中档题.21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布,15().22N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（70≥）的患者比例；（2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n （120n <<且n 是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值. 参考数据：若()2,Z Nμσ:，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Y μσμσ-<<+=，40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈.【答案】（1）15.87%（2）4n =【解析】（1）由题意计算出54.8μ=，由正态分布的性质可得()39.6700.6826P Z <<=，即可得解；（2）由题意n 的可能取值为2，4，5，10，1,10n X B n ⎛⎫⎪⎝⎭:，由二项分布的概率公式结合题意可得某组的化验次数Y 满足()9110nP Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，表示出()E Y ，进而可得化验总次数()f n ，代入比较即可得解. 【详解】（1）由题意21562512351845225522651275485295100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=54.8=，所以()54.815.254.815.2P Z -<<+()39.6700.6826P Z =<<=，()()139.670702P Y P Z -<<≥==10.68260.158715.87%2-==，则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为15.87%. （2）根据题意，每名密切接触者确诊为新冠肺炎的概率均为110， n 的可能取值为2，4，5，10，当{}2,4,5,10n ∈时，1,10n X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1，1n +，()9110n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()91110nE Y n ⎛⎫=⋅++⋅⎪⎝⎭99111010n nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则20人的化验总次数为()209110nf n n n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1920110n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，经计算()213.8f =，()411.8f ≈，()512.2f ≈，()1015f ≈. 所以，当4n =时符合题意，即按4人一组检测，可使化验总次数最少. 【点睛】本题考查了正态分布的应用，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【答案】（1）28sin 120ρρθ-+=；点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭（2）16 【解析】（1）消去参数得1C 的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C 的极坐标方程；由题意得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，代入1C 的极坐标方程后利用0∆=即可得解；（2）由题意可得()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2C 后即可得126ρρ+=，122ρρ=，再利用三角形面积公式可得112S ρ=，222S ρ=，化简即可得解. 【详解】（1）消去参数可得1C 的直角坐标方程为()2244x y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得1C 的极坐标方程为28sin 120ρρθ-+=，又1l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，02πα<<），可得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，将θα=代入1C 得28sin 120ρρα-+=，则()28sin 4120α∆=-⨯=，sin α=，又02πα<<，所以sin α=，3πα=，此时ρ=A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由2C 的极坐标方程为2cos 20ρθ-+=，可得2C 的直角坐标方程为(2210x y -+=，所以圆心()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得2620ρρ-+=，280∆=>，所以126ρρ+=，122ρρ=，所以10ρ>，20ρ>，又因为1111sin 2362A S ππρρρ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，22221sin 262S OC πρρ=⋅⋅=，所以12122121S S S S ρρρρ+=+=()221212122622162ρρρρρρ+--⨯==. 【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题. 23．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）()6,m ∈+∞【解析】（1）由题意得221x x ->+，分2x ≥、2x <两种情况讨论即可得解；（2）由绝对值三角不等式结合题意得()22222111f x x a a a a a ++≥+=+---，利用基本不等式求出221a a +-的最小值即可得解. 【详解】（1）当1a =时，即解不等式221x x ->+，①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-，所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <，综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=，当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解，属于中档题.。

2020届广东省深圳市高三年级第二次调研考试数学理科试卷及答案解析

第 1 页共 46页 2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设21(1)iz i +=-则|z|=（）A ．12 B．2 C ．1 D2．已知集合2{|2},{|320},x A y y B x x x ===-+…则（）A ．A∩B=B ．A ∪B=RC ．A BD ．B A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则”m ⊥n 是”n ⊂α”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b -=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（）AB ．2 CD ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭=（） A ．12 B ．2 C.18 D ．86.若x 1，x 2…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为（） A ．2a ，2b B ．2a ，4b C ．2a+3，2b D ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S =（）A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()142x x sinxf x -=的部分图象大致为（）。

2020年深圳市普通高中高三年级第二次测试统一测试数学(理科)(含参考答案)

x | <2 ⎨ 绝密★启用前试卷类型： A2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合 A = ⎧ 1x≤ 2⎫ ， B = ⎧x | ln(x - 1 ) ≤ 0⎫，则 A ⎨2 ⎬ ⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭A ． ∅B ． ⎛-1,1 ⎤C ． ⎡ 1 ,1⎫D ． (-1,1]2 ⎥ ⎢ 2 ⎪ ⎝⎦⎣ ⎭2. 棣莫弗公式 (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx (i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位于55A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知点(3,1) 和(-4, 6) 在直线3x - 2y + a = 0 的两侧，则实数a 的取值范围是A ． - 7 < a < 24B ． a = 7 或a = 24C ． a < 7 或a > 24⎧(a - 1)x + 3a , x < 1,D ． - 24 < a < 74. 已知 f (x ) = ⎪⎪⎩2a x , x ≥ 1,是(-∞, +∞) 上的减函数，那么实数a 的取值范围是A. (0,1)B ． ⎛ 0,1 ⎫C. ⎡ 1 , 1 ⎫D ． ⎡ 1 ,1⎫2 ⎪ ⎢⎣ 6 2 ⎪ ⎢ 6 ⎪⎝ ⎭5. 在∆ABC 中， D 是 BC 边上一点， AD ⊥ AB ， BC = ⎭ ⎣ ⎭3 BD ， AD = 1 ，则 AC ⋅ AD =A. 2B. 2C.3 D ．3( RB ) =332 6. 已知一个四棱锥的高为3 ，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形, 则此四棱锥的体积为 A.B ． 6C ． 13D ． 2 7. 在等差数列{a n } 中， S n 为其前n 项的和，已知3a 8 = 5a 13 ，且a 1 > 0 ，若 S n 取得最大值，则n为A ． 20B ． 21C ． 22D ． 238. 已知抛物线 y 2= 8x ，过点 A (2, 0) 作倾斜角为 π的直线l ，若l 与抛物线交于 B 、C 两点，弦 BC 3的中垂线交 x 轴于点 P ，则线段 AP 的长为A. 163B.83C.16 3 3D. 8 9. 已知函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ)(ω > 0,| ϕ |<π) 的最小正周期是π ，把它图象向右平移 π个单位后 2 3得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论： ①函数 f (x ) 的图象关于直线 x = 5π对称②函数 f (x ) 的图象关于点(π, 0) 对称 1212③函数 f (x ) 在区间⎡- π , -π ⎤上单调递减 ④函数 f (x ) 在⎡ π , 3π ⎤上有3 个零点 ⎣⎢ 212 ⎥⎦⎢⎣ 4 2 ⎥⎦其中所有正确结论的编号是A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③10. 甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6．设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制，则甲以3 :1 获胜的概率是 A ． 0.0402B ． 0.2592C ． 0.0864D ． 0.172811. 设 f (x ) 是定义在 R 上以2 为周期的偶函数，当 x ∈[2,3]时， f (x ) = x ，则 x ∈[-2,0]时， f (x )的解析式为A ． f (x ) = 2+ | x +1|B ． f (x ) = 3- | x +1|C ． f (x ) = 2 - xD ． f (x ) = x + 4223y 12. 如图,长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, E 、F 分别为棱 AB 、A 1D 1A 的中点．直线 DB 与平面 EFC 的交点O ,则 DO的值为14 31 OB 12 A.B ．C ．D ．5533二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知 x 轴为曲线 f (x ) = 4x 3 + 4(a -1)x +1的切线，则a 的值为． 14. 已知S n 为数列{a n } 的前n 项和，若 S n = 2a n - 2 ，则 S 5 - S 4 = .15. 某市公租房的房源位于 A , B , C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4 位申请人中，申请的房源在2 个片区的概率是.16.在平面直角坐标系中，过椭圆 x a 2 2+ = 1( a > b > 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点， b 2C 为椭圆的右焦点，且∆ABC 是等腰直角三角形，且∠A = 90︒ ，则椭圆的离心率为．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分．17．（本小题满分 12 分）在∆ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知sin 2 B = sin A sin C ．（1）求证： 0 < B ≤ π；3（2）求2 sin 2A + C + sinB -1的取值范围.22Dy 如图所示，四棱锥 S - ABCD 中，SA ⊥ 平面 ABCD ， AD / / BC ，SA = AB = BC = CD = 1 ，AD = 2 ．（1）在棱 SD 上是否存在一点 P ，使得CP // 平面 SAB ?请证明你的结论；（2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．SABC19．（本小题满分 12 分）已知椭圆C : x 2+ = 1 ， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点.12 4（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围. 2 320．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = ln(x +1) , g (x ) = e x （e 为自然对数的底数）．（1）讨论函数ϕ(x ) = f (x ) -x + a 在定义域内极值点的个数；x（2）设直线l 为函数 f (x ) 的图象上一点 A (x 0 , y 0 ) 处的切线，证明：在区间(0, +∞) 上存在唯一的 x 0 ，使得直线l 与曲线 y = g (x ) 相切．22020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2 月29 日，该省已累计确诊1349 例患者（无境外输入病例）.（1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布N(μ,15.22 ) ，其中μ近似为这100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70 岁以上（≥ 70 ）的患者比例；（2）截至2 月29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以这些密切接触者确诊的频率代替1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20 名密切接触者随机地按n （1<n < 20 且n 是20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20 人的化验总次数最少的n 的值．数为Xn参考数据：若Z ~ N (μ,σ2) ，则P(μ-σ<Z <μ+σ) = 0.6826 ，P(μ- 2σ<Z <μ+ 2σ) = 0.9544 ，P(μ- 3σ<Y <μ+ 3σ) = 0.9973 ，0.94≈ 0.66 ，0.95≈ 0.59 ，0.910≈ 0.35 .⎩ ⎩ （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOyl ⎧x = t cos α（ t 为参数，0 < α < π ），曲线C⎧x = 2cos β，中，直线 1 ：⎨y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2）已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 123．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1）当 a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2）若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数 m 的取值范围.2a -16 绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B2. C3. A4. C5. D6. D7. A8. A9. D10. B11. B12. A二、填空题：13.1 414. 3215. 142716.-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）在∆ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知sin 2 B = sin A sin C ．（1）求证： 0 < B ≤ π；3（2）求2 sin 2A + C + sinB -1的取值范围.2解：（1）由正弦定理可得a sin A =b sin B =c sin C= 2R ，∴s in A = a ，s in B = 2Rb ，sin C = 2Rc ， ................................. 2 分2R∵ sin 2 B = sin A sin C ，∴b 2 = ac ，… .................. 4 分a 2 + c 2 -b 2∴ c os B =≥2ac - ac = 1 ，2ac而0 < B < π2ac 2∴0 < B ≤ π ..................................................................................................................6 分332 （2）2 sin 2 A + C+ sin B -1 2= -cos(A + C ) +sin B= cos B + sin B =2 sin(B + π) ， ................................... 8 分 4由（1）知0 < B ≤ π，3∴ π< B + π ≤7π， ............................................. 10 分4 4 12∴1 <2 sin(B + π) ≤4即2 s in 2A + C + sinB -1的取值范是(1, 22] ....................................... 12 分18．(本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 S - ABCD 中，SA ⊥ 平面 ABCD ， AD / / BC ，SA = AB = BC = CD = 1 ，AD = 2 ．（1）在棱 SD 上是否存在一点 P ,使得CP // 平面 SAB ?请证明你的结论；（2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．证明：（1））当点 P 为棱 SD 的中点时, CP // 平面 SAB .证明如下:取 SA 的中点 F ,连结 FP 、 FB 、 PC ，则FP // AD 且 FP = 1AD ， ................... 2 分2 ∵ AD / / BC ， BC = 1AD = 1 ，2∴ FP / /BC 且 FP = BC ，∴四边形 FBCP 为平行四边形， ............... 4 分 ∴ C P / /BF ，∵ CP ⊄ 平面 SAB ， BF ⊂平面 SAB ，x∴ CP // 平面 SAB ． ......................... 6 分（2）在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax ， ∵ SA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ SA ⊥ AD ， SA ⊥ Ax ，∴直线 AS 、 Ax 和 AD 两两垂直，以点 A 为原点，分别以直线 Ax 、 AD 和 AS 为 x 、 y 和 z 建立如图所示的直角坐标系，过点 B 作 BE ⊥ AD 交直线 AD 于 E ，zSF PAED yBC3 3 3 ( 3, -3, 0) ⋅ ( 3, 3, 6) ( 3)2 + (-3)2 ⋅ ( 3)2 + 32 + 62 3 x 0 + 2 3 2 3 - x 03 1 y ∠ == ∠ = =∵ AD / / BC ， AB = BC = CD = 1， AD = 2 ，∴ AE = 1 ， BE =3 ，22B ( 1 3从而可得 A (0, 0, 0)， , , 0) ， C ( , , 0) ， D (0, 2, 0) ， S (0, 0,1) ，则2 22 2AS = (0, 0,1) ， AB = (, , 0) ， SD = (0, 2, -1) ， DC = ( 2 2 3 , - 1 , 0) ，………8 分 2 2设平面 SAB 的法向量为n 1 = (x 1, y 1, z 1 ) ，平面 SCD 的法向量为n 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则⎧⎪n 1 ⋅ AS = 0, ⎧⎪n 2 ⋅ SD = 0,⎨ ⎨ ⎪⎩n 1 ⋅ AB = 0, ⎪⎩n 2 ⋅ DC = 0,⎧z 1 = 0, ⎪ ⎧2 y 2 - z 2 = 0, ⎪ ∴ ⎨ 3 x + 1y = 0, ⎨ 3 x - 1 y= 0, ⎩⎪ 2 1 2 1 ⎩⎪ 2 2 2 2取 x 1 = 3 ， x 2 = ，可得n 1 = ( 3, -3, 0) ， n 2 = ( 3, 3, 6) ， ........................................ 10 分∴ cos == - 1,4∴平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为1 ...............................................12 分419．（本小题满分 12 分）已知椭圆C : x2 + = 1 ， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点.12 4（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围. 2 3解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设 M (x 0 , y 0 ) (-2 < x 0 < 2 3, 0 < y 0 ≤ 2) .过点 M 作 MH ⊥ x 轴，垂足为 H ，则 H (x 0 , 0) (0 < y 0 ≤ 2) ， ................ 1 分于是，有tan AMH | AH |， tan BMH | BH | ， | MH | y 0 | MH | y 0n , n = n 1 ⋅ n 2 1 2| n | ⋅ | n |1 2 24 3y 0 2 3 x 0 + 2 3 x 0 - 2 30 0 y 0 0∴ tan ∠AMB = tan(∠AMH + ∠BMH ) = tan ∠AMH + tan ∠BMH1- tan ∠AMH tan ∠BMH = x 2 + y 2-12 ，…3 分∵点 M (x 0 , y 0 ) 在椭圆C 上，x 2y 2∴ 0 + 0 = 1，∴ x 2 = 12 - 3y 2 ，12 4∴ tan ∠AMB = -， .............................................. 5 分y 0而0 < y 0 ≤ 2 ，∴ tan ∠AMB = -y 0∵点0 < ∠AMB < π ， ∴ ∠AMB 的最大值为2π，此时 y = 2 ，即点 M 为椭圆C 的上顶点.3根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆 C 的短轴的顶点时， ∠AMB 取最大值，其最大值为 2π . ……………7 分3（2）设直线 BM 的斜率为k ' ， M (x 0 , y 0 ) ，则k =y 0 ， k ' = y ，2∴ k ⋅ k ' = 0 ，x 2-12x 2 y 2又0 + 0 = 1，∴ x 2 = 12 - 3y 2 ， 12 4∴ k ⋅ k ' = - 1 ， ......................................................... 10 分 3∵ k ∈(- 1 , - 1) ，2 3∴ 2 < k ' < 1 ，32故直线 BM 的斜率的取值范围为( ,1) ................................................................................ 12 分320．（本小题满分 10 分）已知函数 f (x ) = ln(x +1) , g (x ) = e x （e 为自然对数的底数）． 2 3 ≤ - 3 ，-2 +a+22>-（1）讨论函数ϕ(x) = f (x) -x +a在定义域内极值点的个数；x（2）设直线l 为函数f (x) 的图象上一点A(x0 , y0 ) 处的切线，证明：在区间(0, +∞) 上存在唯一的x0，使得直线l 与曲线y =g(x) 相切．解：（1）ϕ(x) =f (x) -x +axx +a= ln(x +1) -（x 1且x ≠ 0) ，xϕ'1 a x2+ax +a(x) =+x +1= ，x2(x +1)x2令h(x) =x2+ax +a ，∆=a2 -4a ，........................................ 1 分①当∆=a2 - 4a ≤ 0 时，即当0 ≤a ≤ 4 时，ϕ'(x) ≥ 0 ，此时，ϕ(x) 在(-1, 0) 和(0, +∞) 单调递增，无极值点；................................................................ 2 分②当∆=a2-4a > 0 时，即当a < 0 或a > 4 时，函数h(x) =x2+ax +a 有两个零点,x1x2=，（i）当a < 0 时，因为-1-x1 ==< 0 ，所以x2 > 0 >x1 >-1，…………………………………3分所以函数ϕ(x)在(-1, x1) 单调递增，在( x1，0) 和(0，x2) 上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增，此时函数ϕ(x) 有两个极值点； ....................................................4 分（ii）当a > 4 时，-因为1-x2 =2=0 ，2所以x1<x2<-1，此时ϕ'(x) >0 ，ϕ(x) 在(-1, 0) 和(0, +∞) 单调递增，无极值点.……5分综上所述，当a ≥ 0 时，函数ϕ(x) 无极值点，当a < 0 时，函数ϕ(x) 有两个极值点.……6分（2）因为f '(x) =1，x +1所以函数f (x) 的图象上一点A(x0 , y0 ) 处的切线l 的方程可表示为11 y- y 0 =0 +1(x - x 0 ) ， ............................................ 9 分设直线l 与曲线 y = g (x ) 相切于点 B (x , e x 1 )，因为 g '(x ) = e x ，⎧e x = 1 ,⎪ x 0 +1 ⎪ 所以⎨ y 0 = ln(x 0 +1), ⎪ x1 ⎪e 1 - y 0 = ⎪⎩x 0 +1 (x 1 - x 0 ),消去 x 1 并整理，得x 0 +1ln(x 0 +1) -= 0 , ............................................................................................. 11 分由（1）可知，当a = 1时，函数ϕ(x ) = ln(x +1) -x +1x > -1) 在(0, +∞) 单调递增，ϕ 12（ xe 2 - 2 又 (e -1) = - < 0 ，ϕ(e e -1 -1) = > 0 ， e 2-1所以函数ϕ(x ) 在(e -1, e 2 -1) 上有唯一的零点，又因为ϕ(x ) 在(0, +∞) 单调递增，所以方程ln(x 0 +1) -x 0 +1 = 0 在(0, +∞) 上存在唯一的根，x 0故在区间(0, +∞) 上存在唯一的 x 0 ，使得直线l 与曲线 y = g (x ) 相切． .......... 12 分21．（本小题满分 12 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）.（1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 N (μ,15.22 ) ，其中μ近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70 岁以上（ ≥ 70 ）的患者比例；1x x⎢1 ⎥⎣ 9 （2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按n （1< n < 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为 X n ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的n 的值．参考数据：若 Z ~ N (μ,σ 2 ) ，则 P (μ - σ < Z < μ + σ ) = 0.6826 ， P (μ - 2σ < Z < μ + 2σ ) = 0.9544 ， P (μ - 3σ < Y < μ + 3σ ) = 0.9973 ，0.94 ≈ 0.66 ， 0.95 ≈ 0.59 ， 0.910 ≈ 0.35 .解：(1)μ =2 ⨯15 + 6 ⨯ 25 +12 ⨯ 35 +18⨯ 45 + 22 ⨯ 55 + 22 ⨯ 65 +12 ⨯ 75 + 4 ⨯85 + 2 ⨯ 95 = 54.8100……………………………… …2 分所以 P (54.8 -15.2 < Z < 54.8 +15.2) = P (39.6 < Z < 70) = 0.6826 ，P (Z ≥ 70) = 1- P (39.6 < Y < 70) = 1- 0.6826 = 0.1587 = 15.87% ，2 2则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70 岁以上的患者比例为15.87% ................ 5 分(2)解法一：根据题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为 1 ， n 的可能取值为 2，4，105，10，当n ∈{2，4，5，10} 时， X B (n , 1) ， ............................................................................... 7 分 n 10对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1， n +1，P (Y = 1) = ( 9 )n， P (Y = n +1) = 1- 10 ( 9 )n ，10E (Y ) =1⋅ ( 9 )n + (n +1) ⋅ ⎡ 10 - ( ) 10 n ⎤ = n +1- 9 n ( ) 10 n ， ......................... 9 分 ⎣ ⎦则20 人的化验总次数为 f (n ) = 20 ⎡n +1-9 n ⎤ ⎡1 - 9 n ⎤ ， n ⎢⎣ n ( )10 ⎥⎦ =20 ⎢1+ n (10) ⎥⎦经计算 f (2)=13.8 ， f (4) ≈ 11.8 ， f (5) ≈ 12.2 ， f (10) ≈ 15 .所以，当n = 4 时符合题意，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少． ......... 12 分⎢1 ⎥ ⎩ ⎩ 1 ⎩⎩ 解法二：根据题意，每名密切接触者确诊的概率均为 1， n 的可能取值为 2，4，5，10，10当n ∈{2，4，5，10} 时， X B (n , 1) ， ..................................................................... 7 分 n 10设以n 个人为一组时，组内每人所需的化验次数为Y ，则Y 的可能取值为 1 ，1+ 1 ，P (Y = 1 ) = n ( 9 )n 10 P (Y = 1+ 1 ) = 1- ，n n n ( 9)n10 ，则 E (Y ) = 1 ⋅ ( 9 )n + (1+ 1 ) ⋅ ⎡ - ( 9 )n ⎤ = 1+ 1 - ( 9 )n ， ................... 9 分 n 10 n ⎣ 10 ⎦ n 10 ⎡ 1 9 n ⎤ f (n ) = 20 ⎢1+ n - (10) ⎥则 20 人所需的化验次数为⎣ ⎦ ， f (2)=13.8 ， f (4) ≈11.8 ， f (5) ≈12.2 ， f (10) ≈15 .所以，符合题意的n = 4 ，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少． ......... 12 分22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOyl ⎧x = t c os α（ t 为参数，0＜α＜π ），曲线C⎧x = 2cos β，中，直线 1 ：⎨ y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（ β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2）已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 1解：（1）（解法一）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ，将 C 的极坐标方程为 ρ 2 - 8ρ sin θ +12 = 0 ， ................. 2 分 ⎨ y = ρ sin θ 代入得 1又l 的参数方程为⎧x = t cos α（t 为参数， 0＜α＜π）， 1⎨ y = t sin α2得l 1 的极坐标方程为θ =α（ρ ∈R ）， ...................................................................................... 3 分将θ =α 代入得 ρ 2 - 8ρ sin α +12 = 0 ，则∆ = (8sin α )2 - 4 ⨯12 = 0 ，又0＜α＜π，233 1 ⎩ 2 1解得α = π，此时 ρ=2，所以点 A 的极坐标为（2 3 π，..................... 5 分，） 33（解法二）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ，将C 的极坐标方程为 ρ 2- 8ρ sin θ +12 = 0 ， ................ 2 分 ⎨ y = ρ sin θ代入，得 1因为l 1 与C 1 相切于点 A ，所以在Rt △ OC 1 A 中，有| OA |= = 2 ，sin ∠AOC = | C 1 A | = 1，所以∠AOC = π ，.................................. 4 分 | OC 1 | 2 6由极坐标的几何意义，可得 A （2 3π ................................................................................5 分，） 3（2）由C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，可得C 2 的直角坐标方程为(x - 2 3)2 + y 2 = 5 ，所以圆心C (2 3, 0) ，.................................. 6 分设 B (ρ , π) ， C (ρ , π) 将θ = π代入 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，1 323 6得 ρ 2 - 6ρ + 2 = 0 ，所以 ρ + ρ = 6 ， ρ ρ = 2 ， .............................. 7 分121 2又因为 S = 1 ρ .ρ sin( π - π) = 3 ρ ， S = 1 | O C | ⋅ρ .sin π = 3ρ ，.......... 8 分 1 2 1 A 3 6 2 1 2 22 2 6 2 2S S ρ ρ (ρ + ρ )2 - 2ρ ρ 62 - 2 ⨯ 2 所以 1 + 2 = 1 + 2 = 12 1 2 = = 16 ...................................... 10 分S 2 S 1 ρ2 ρ1 ρ1ρ2 223．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1）当 a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2）若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数 m 的取值范围.解：（1）当 a =1时，即解不等式 x - 2 ＞2x + 1 ，（法一）①当 x ≥ 2 时，原不等式等价于 x - 2＞2x +1，所以 x < -3 ，所以不等式 f (x )＞2x + 1的解集为空集， ..................................... 2 分 ②当 x ＜2 时，原不等式等价于2 - x ＞2x +1，解得 x ＜1 ， ..................... 4 分3OC 2 - C A 2 1 12a -11, ), )综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 1 3. …………………………………5 分（法二）①当 x <- 1时，不等式 x - 2 ＞2x + 1 显然成立； ..................... 2 分2②当 x ≥- 1时，原不等式等价于(x - 2)2＞(2x +1)2 ，2即3x 2 + 8x - 3＜0 ，解得- 1 ≤ x < 1，...................................... 4 分2 3综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 13. ……5 分（2）因为 f (x )+ x += x - 2a + x + ≥ 2a + ，显然等号可取，………6 分又 a ∈ (1, +∞) ，故原问题等价于关于 a 的不等式2a +2a -1＜m 在(1, +∞) 上有解，…8 分又因为2a +2 a -1 =2(a -1) + 2a -1+ 2 ≥ 2 = 6 ，当且仅当a = 2 时取等号，所以m > 6 ，即m ∈(6, +∞) .............................................. 10 分2 a -1 2 a -1 2a -1。

【答案】2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试——数学(理科)

3
（2）设直线 BM 的斜率为 k ， M (x0 , y0 ) ，则 k y0 x2
, k y0
3
x0 2
,k k y02 ，
3
x02 12
又 x02 12
y02 4
1, x02
12 3y02,k k
1 ，………………………………………………10 分
3
k
1 2
,
1 3
2 ，即 2 sin2 A C sin B 1的取值范围是 (1,
2] ．……………12 分
4
2
18．解析：（1）当点 P 为棱 SD 的中点时， CP / / 平面 SAB ．证明如下：取 SA 的中点 F ，连接 FP, FB, PC ，则 FP 1 AD ，………………………………………………2 分
F
O
C
a2
B
所以离心率 e 3( 2 1) 6 3 ．
17．解析：（1）由 sin2 B sin Asin C 及正弦定理可得 b2 ac ，………………………………3 分
a2 c2 b2 2ac ac 1
π
所以 cos B
≥
，而 0 B ，所以 0 B ≤ ．…………………6 分
A
E
Dy
n2 SD 2 y2 z2 0
3 1
，
n2 DC 2 x2 2 y2 0
xB
C
取 x2 1，则 y2 3, z2 2 3 ，从而 n2 (1, 3, 2 3) ．…………………………………10 分
cos
n1, n2
n1 n2 n1 n2
2 1 ，
解得 7 a 24 ．
4．答案：C
1