两个变量之间的关系(经典和完整版)(强力推荐)

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创作编号:

GB8878185555334563BT9125XW

创作者:凤呜大王*

领航两个变量之间的关系

表示变量的三种方法:列表法、解析法(关系式法)、图象法

◆要点1 变量、自变量、因变量

(1) 在一变化的过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量,常量和变量往往是相对的,相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中,主动发生变化的量,称为自变量,而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行,路程S、速度V、时间T三个量中,速度V一定,路程S则随着时间T 的变化而变化。则T为自变量,路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系

(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一,可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息,找出其中谁是自变量,谁是因变量。找自变量和因变量时,主动发生变化的是自变量,因变量随自变量的增大而增大或减小

◆要点3 用关系式表示变量之间的关系

(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子,叫做关系式,是表示变量之间关系的方法之一。

(2) 写变化式子,实际上根据题意,找到等量关系,列方程,但关系式的写法又不同于方程,必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3) 利用关系式求因变量的值,①已知自变量与因变量的关系式,欲求因变量的值,实质就是求代数式的值;②对于每一个确定的自变量的值,因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点4 用图象法表示变量的关系

(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式,特点是非常直观。

(2) 通常用横轴(水平方向的数轴)上的点表示自变量,用纵轴(竖直方向的数轴)上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息,关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置,才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值,由图象得关系式,进行简单计算,从图象上变量的变化规律进行预测,判断所給图象是否满足实际情景,所给变量之间的关系等。

(4) 对比看:速度—时间、路程—时间两图象

★若图象表示的是速度与时间之间的关系,随时间的增加即从左向

右,“上升的线段”①表示速度在增加;“水平线段”②表示速度不

变,也就是做匀速运动,“下降的线段”③表示速度在减少。

★若图像表示的是距离与时间之间的关系,“上升的线段”①表示物

体匀速运动;“水平线段”②表示物体停止运动,“下降的线段”③

BL—01

表示物体反向运动。如图BL—01(1)、(2):

二、例题讲解

(一)列表法表示变量之间的关系

例1、果子成熟从树上落到地面,它落下的高度与经过的时间有如下的关系:

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

(2)如果果子经过2秒落到地上,那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米?

例2、在弹性限度内,弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表:所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16

(1) 弹簧不挂物体时的长度是多少?

(2) 如果用x表示弹性限度内物体的质量,用y表示弹簧的长度,那么随着x的变化,y的变化趋势如何?请写出y与x之间的关系式。

(3) 如果此弹簧的最大挂重为25千克,您能够预测当挂重为14千克时,弹簧的长度是多少吗?

(二)、用关系式表示两个变量之间的关系

例1、一辆汽车正常行驶时每小时耗油8升,油箱现有52升汽油。(1) 如果汽车行驶时间为t(时),那么油箱中所存油量Q (升)与t(时)的关系式是什么?(2) 油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时?(3) 当t的值分别为1,2,3时,Q相应的值是多少?

例2、一个梯形,它的下底长比上底长长2cm,它的高为3cm,设它的上底长为x cm,它的面积为y cm2。

(1) 写出y与x之间的关系式,并指出哪个变量是自变量,哪个变量是因变量?

(2) 当x由5变到7时,y如何变化?

(3) 用表格表示当x从3变到10时(每次增加1),y的相应值;

(4) 当x每增加1时,y如何变化?并说明你的理由;

(5) 这个梯形的面积能等于9cm2吗?能等于2cm2吗?为什么?

例3、长方形的长是20cm,当宽由小到大地变化时,长方形面积也随之变化。

(1)

在这个变化过程中,自变量是____________,因变量是___________。

(2) 如果长方形的宽为a cm,面积为S cm2,则S与a之间的关系式为_________。

(3) 当a=15cm时,S是__________。

(4) 当面积S是280时,这时的宽a是______________。

例4、某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游,甲旅行社承诺:“如果校长买全票一张,则学生可享受半价优惠”;乙旅行社承诺:“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”,若全票价甲乙旅行社均为240元。

(1) 设学生为x,甲乙旅行社收费分别为y甲(元)和y乙(元),分别写出两个旅行社收费的关系式;

(2) 哪家旅行社收费更优惠?

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例5、某移动通信公司开设了“全球通”和“金卡快捷通”两种业务,前者每月先缴30元月租费,每通话1分钟付费0.4元,后者不缴月租费,但每分钟付费0.6元,若某人的每月通话时间在200分钟左右,则他应选用哪种业务比较合算?并简明叙述理由。(思路1:直接计算200分钟应付的话费进行比较;思路2:先求出付费相同的通话时间,再看200分钟比这个时间多还是少。)

(三)用图像法表示两个变量之间的关系

例1、小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。

(1) 小丽一开始就跑,跑累了便走着去,小明开始走着,当他快到学校时跑了起来,他们同时到达学校。图BL—02中,图________表示小丽的行程,图______表示小明的行程最好。

(2) 若小丽在上学的路上以固定的速度前进,如图BL—03中虚线所示,小明在上学的路上以小丽速

BL—02

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