两个变量的相关关系
两个连续变量之间的相关关系
两个连续变量之间的相关关系两个连续变量之间的相关关系，即指两个随机变量之间的相关性。
它是衡量两个连续变量之间相互依赖程度的重要指标。
在数据分析、统计学以及机器学习等领域，相关性分析是一项基础而重要的任务。
一、计算相关性系数在统计学中，通常通过相关系数来衡量两个连续变量之间的相关关系。
相关系数通常是在-1到1之间取值，其中-1表示完全的负相关关系，即两个变量之间有完全相反的关系；1则表示完全的正相关关系，即两个变量之间具有完全相同的变化趋势；而0则表示两个变量之间没有线性关系。
计算相关系数的方法有多种，其中比较常用的是皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续型变量，并且假设变量服从正态分布。
斯皮尔曼等级相关系数则适用于序数型数据以及不满足正态分布的变量。
在这里以皮尔逊相关系数为例进行说明。
二、使用Python计算相关性系数在Python中，统计分析库numpy和pandas都提供了计算相关性系数的函数。
numpy提供的pearsonr函数可以计算两个变量之间的皮尔逊相关系数以及相关性显著性；而pandas提供的corr函数可以计算两个DataFrame对象中所有列的相关系数矩阵。
下面通过一个例子来说明如何使用Python计算相关系数。
```pythonimport numpy as npimport pandas as pd# 构造样本数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 计算皮尔逊相关系数correlation, p_value = np.corrcoef(x, y)[0][1],scipy.stats.pearsonr(x, y)[0]print(f"皮尔逊相关系数: {correlation:.4f} (p-value:{p_value:.4f})")# 构造DataFrame对象df = pd.DataFrame({'x': [1, 2, 3, 4, 5], 'y': [2, 4, 6, 8, 10]})# 计算相关系数矩阵corr_matrix = df.corr()print(f"相关系数矩阵: \n{corr_matrix}")```以上代码首先构造了两个变量x和y，分别表示1到5的整数和2到10的偶数。
两个变量的相关关系知识点和典例
两个变量的相关关系知识点和典例1.两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.（回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y )，其它点不一定过直线只是在直线附近，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据.）(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i =1nx i y i －n xy∑i =1nx 2i －n x2＝∑i =1n)(x i －x )(y i －y )∑i =1n)(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .(3)相关系数：相关系数r ＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n)(t i －t )2∑i =1n )(y i －y )2当r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.（r 的符号表明两个变量是正相关还是负相关；|r |的大小表示线性相关性的强弱.）例一．某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x 与月利润y （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经计算，微信推广费用x 与月利润y 满足线性回归方程 6.517.5y x ∧=+.求p 的值．[解] ()()11245685,3040607040555p x y p =++++==++++=+， 因为样本中心(),x y 在回归直线 6.517.5y x ∧=+上， 所以40 6.5517.55p+=⨯+，解得50p = [变式练习]已知变量x ，y 之间的线性回归方程y ^=－0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是( )x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ，y 之间呈负相关关系))))B.可以预测，当x ＝20时，b ^＝－3.7 C.m ＝4))))))))))))))))))))))))D.该回归直线必过点(9，4)[解]由－0.7<0，得变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 正确；当x ＝20时，y ^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x －＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y －＝14(6＋m ＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错；由m ＝5，得y －＝6＋5＋3＋24＝4，所以该回归直线必过点(9，4)，故D 正确.故选C.例二．下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：∑i =17y i ＝9.32，∑i =17t i y i ＝40.17,)∑i =17)(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n )(t i －t )2∑i =1n )(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n)(t i －t )2，a ^＝y －b ^)t .[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑i =17)(t i －t)2＝28,)∑i =17)(y i －y )2＝0.55，∑i =17)(t i －t )(y i －y )＝∑i =17t i y i －t ∑i =17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i =17)(t i －t )(y i －y )∑i =17)(t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ^＝y －b ^)t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2019年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.[变式练习]1.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X (单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y (千克)与使用某种液体肥料的质量x (千克)之间的对应数据为如图所示的折线图.(1)依据折线图计算相关系数r (精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(若|r |＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3)000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1)000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值.参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95. 解：(1)由已知数据可得x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.因为∑i ＝15)(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，∑i ＝15)(x i －x )2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝25，∑i ＝15)(y i －y )2＝(－1)2＋02＋02＋02＋12＝2，所以相关系数r ＝∑i ＝15)(x i －x )(y i －y )∑i ＝15)(x i －x)2)∑i ＝15)(y i －y )2＝625×2＝)910≈0.95. 因为|r |＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. (2)由条件可得在过去50周里，当X ＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 每周的周总利润为1×3)000－2×1)000＝1)000(元).当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 每周的周总利润为2×3)000－1×1)000＝5)000(元).当30＜X ＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 每周的周总利润为3×3)000＝9)000(元).所以过去50周的周总利润的平均值为1)000×10＋5)000×35＋9)000×550＝4)600(元)，所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4)600元.例三．某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.x y u∑i＝18)(x i－x)2∑i＝18)(x i－x)(y i－y)∑i＝18)(u i－u)2∑i＝18)(u i－u)(y i－y) 15.25 3.630.2692)085.5－230.30.7877.049表中u i＝1x i，u＝18∑i＝18u i.(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01).(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78)840元？(假设能够全部售出.结果精确到1)附：对于一组数据(ω1，υ1)，(ω2，υ2)，…，(ωn，υn)，其回归直线υ^＝α^＋β^ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i＝1n)(ωi－ω)(υi－υ)∑i＝1n)(ωi－ω)2，α^＝υ－β^ω.解：(1)由散点图判断，y＝c＋dx更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程.(2)令u＝1x，先建立y关于u的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18)(u i －u )(y i －y )∑i ＝18)(u i －u )2＝7.0490.787≈8.957≈8.96， ∴c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ， ∴y 关于x 的回归方程为y ^＝1.22＋8.96x .(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －⎝⎛⎭⎫1.22＋8.96x x ≥78.840， 解得x ≥10，∴至少印刷10)000册才能使销售利润不低于78)840元.[变式练习](2015课标Ⅰ,19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i )和年销售量y i ))(i =1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑i=18(x i -x )2∑i=18(w i -w )2 ∑i=18(x i -x )(y i -y ) ∑i=18(w i -w )(y i -y )46.6 563 6.8 289.81.61 469108.8表中w i =√x ,w =18∑i=18w i.(1)根据散点图判断,y =a +bx 与y =c +d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为z =0.2y −x .根据(2)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ))),其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n (u i -u )(v i -v )∑i=1n(u i -u )2,α^=v -β^)u .解析 (1)由散点图可以判断,y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2分)(2)令w =√x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于 d ^=∑i=18(w i -w )(y i -y )∑i=18(w i -w )2=108.81.6=68,c ^=y -d ^)w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68√x .(6分) (3)(i)由(2)知,当x =49时,年销售量y 的预报值 y ^=100.6+68√49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32.(9分) (ii)根据(2)的结果知,年利润z 的预报值 z ^=0.2(100.6+68√x )-x =-x +13.6√x +20.12. 所以当√x =13.62=6.8,即x =46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.。
两个变量间相关关系的举例
两个变量间相关关系的举例1. 温度与冰淇淋销量的相关关系温度是一个影响冰淇淋销量的重要因素。
当温度升高时，人们更容易感到口渴，因此购买冰淇淋的欲望也会增加。
因此，温度与冰淇淋销量之间存在正相关关系。
2. 年龄与学习成绩的相关关系年龄与学习成绩之间存在一定的相关关系。
通常情况下，年龄越大，学生的学习经验和能力也会相应增加，因此学习成绩也有可能更好。
当然，这并不意味着年龄是唯一决定学习成绩的因素，还会受到其他因素的影响，如学习动力、学习方法等。
3. 饮食与身体健康的相关关系饮食习惯与身体健康之间存在密切的相关关系。
良好的饮食习惯可以提供身体所需的营养物质，维持身体的正常功能，降低患病的风险。
相反，不健康的饮食习惯，如高糖、高脂肪、高盐的饮食，会增加患糖尿病、高血压等慢性疾病的风险。
4. 运动与心脏健康的相关关系适度的运动与心脏健康之间存在正相关关系。
定期进行适度的身体活动可以增强心肌的收缩能力，促进血液循环，降低心脏病的风险。
相反，长期缺乏运动会导致心脏功能下降，易患心血管疾病。
5. 睡眠时间与注意力集中力的相关关系睡眠时间与注意力集中力之间存在一定的相关关系。
充足的睡眠可以提高人的注意力集中力，保持精力充沛，提高工作和学习效率。
相反，睡眠不足会导致注意力不集中，易疲劳、易犯错误。
6. 学历与收入水平的相关关系学历与收入水平之间存在一定的相关关系。
通常情况下，具有较高学历的人更容易获得高薪工作，因此收入水平相对较高。
当然，学历并不是唯一决定收入的因素，还会受到其他因素的影响，如工作经验、技能等。
7. 空气污染与呼吸道疾病的相关关系空气污染与呼吸道疾病之间存在密切的相关关系。
空气中的污染物，如PM2.5、臭氧等，会对人体的呼吸道造成刺激和损害，增加呼吸道感染和慢性呼吸道疾病的风险。
8. 金融市场与经济增长的相关关系金融市场与经济增长之间存在一定的相关关系。
金融市场的繁荣与活跃会为经济提供资金支持和融资渠道，促进企业的发展和创新，推动经济的增长。
两个变量之间的相关关系称为
两个变量之间的相关关系称为
统计学中，两个变量之间的相关关系被称为相关性。
它是一种检测和研究变量间关系的方法，它可以帮助研究人员探索实验结果的数据。
相关性测量两个变量的关联程度，帮助我们更多地了解被调查者中变量之间的因果关系，以及几种变量之间的结构关系。
相关性可以使企业在未来进行数据分析时，更好地推断某些事件发生的可能性。
它可以帮助研究者更深入地了解被调查者中变量之间的潜在相关性，因此可以有效地预测变量未来变化的趋势。
相关性分析也可以检查多个变量之间的关系，因此有助于确定定义变量和被调查者之间的关系，进而确定这些变量的分类组合。
另外，相关性分析还可以帮助企业识别出重要的变量，从而有效地预测业务结果。
总之，相关性可以说是统计学中一种重要的概念。
它能够有效地识别和解释变量之间的关系，并为企业在未来数据分析中应用提供重要的参考。
因此，我们可以看出，相关性对学习统计学和收集数据分析有着重要意义。
两个变量之间的相关关系
i
12 3
4
5
xi
24 6
8
10
yi
64 134 205 285 360
xiyi
128 536 1 230 2 280 3 600
x ＝6， y ＝209.6，
5
5
x2i ＝220，xiyi＝7 774
i＝1
i＝1
∴b^ ＝7 7742－205－×56××62209.6＝1 44086＝37.15. ∴a^＝209.6－37.15×6＝－13.3. 于是所求的回归直线的方程为y^ ＝37.15x－13.3.
3．假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万 元)有如下的统计资料：
使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系．试求： (1)线性回归方程y^ ＝bx＋a 的回归系数 a，b； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
≈1.27，
10
xi2－10 x 2
i＝1
a^＝ y －b^ x ≈－30.95， 即所求的回归直线方程为y^ ＝1.27x－30.95. (3)当 x＝160 时，y^ ＝1.27×160－30.95≈172，即大约冶炼
172 min.
方法点评：回归直线可以模拟两个变量之间的相关关系．我 们可以利用回归直线方程进行运算，如求函数值、研究增减性 等，通过这些运算结果进行合理的预测．这也正是回归分析的 意义所在．
典例剖析 题型一 相关关系 【例 1】 下列关系中，带有随机性相关关系的是_②__④_____． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 思路点拨：根据线性相关的概念逐个判断．
高中数学精品课件 2.3.1 变量之间的相关关系--2.3.2 两个变量的线性相关
①画出数据对应的散点图； ②判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系，如果 有相关关系，是正相关还是负相关？
解 ①数据对应的散点图如图所示.
②通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋 面积之间具有相关关系，并且是正相关.
x0123 y1357 则 y 与 x 的线性回归方程为y^＝b^ x＋a^ 必过点( )
A.(2,2)
B.(1,2)
C.(1.5,0)
D.(1.5,4)
解析 易得－x＝1.5，－y＝4，由于回归直线过样本点的中心(－x，
－y)，故选 D. 答案 D
4.小学生身高 y 与年龄 x 之间的线性回归直线方程为y^＝8.8x＋65， 预测一名 10 岁的小学生的身高为________. 解析 当 x＝10 时，y^＝8.8×10＋65＝153. 答案 153
题型三 利用回归方程对总体进行估计 【例3】 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数
据：
年份
2008 2010 2012 2014 2016
需求量/万吨 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝b^ x＋ a^ ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018 年的粮食需求量.
函数关系
变量之间的关系可以用函数表示
相关关系 变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示
2.相关关系与函数关系的区别与联系
类别
区别
联系
函 ①函数关系中两个变量间是一种确定性 ①在一定的条件下可以相
变量之间的相关关系
变量间的相互关系是指两个或两个以上变量之间相联系的性质,主要有两种类型。
(1)因果关系:是指在两个有关系的变量中,因为一个变量的变化而引起另一个变量的变化。
应注意三点:第一,在两个变量中,只能一个是因,另一个是果,而不能互为因果。
第二,原因变量一定出现在结果变量之前。
第三,两者之间的变化关系是必然的,否则就不是因果关系。
社会现象的因果关系十分复杂,有一因一果、一果多因、一因多果以及多因多果等。
在社会调查研究中,调查者应注意区别事物之间因果关系的类型,对一果多因、一因多果以及多因多果等复杂的因果关系要仔细分析,逐一明确,这样才能清楚地认识社会现象和事物发展变化的规律。
(2)相关关系:是指变量的变化之间存在着非因果关系的一定联系和一定关系。
社会调查研究运用相关这一概念,其目的是了解社会现象和事物之间关系的密切程度,从中探寻其规律性。
变量之间的相关关系从变化的方向来看,可以分为正相关与负相关;从变化的表现形式来看,可以分为直线相关和曲线相关。
当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生同方向的变化,这种相关关系是正相关,也叫直接相关。
当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生反方向的变化,这种相关关系是负相关,也叫逆相关。
在社会调查研究中,掌握变量关系的正相关与负相关的概念,有利于了解社会现象和事物的发展方向和趋势。
当一个变量的数值发生变动(增加或减少),另一个变量的数值随着发生大致均等的变动时,这种关系称为直线相关;当一个变量的数值发生变动,另一个变量的数值随之发生不均等的变动时,这种关系称为曲线相关。
两个变量的相关关系
散点图有助于发现异常值和离群点，这些值可能会对相关关系的度量产生 影响。
线性回归分析
01
线性回归分析是一种数学方法，用于量化两个或多个变量之间 的线性关系。
02
通过最小二乘法等统计技术，线性回归分析可以估计出一条最
佳拟合线，该线能够描述自变量和因变量之间的关系。
销售预测
通过分析历史销售数据与市场趋 势，了解产品销量与市场活动、 季节性等因素的相关关系，预测 未来的销售情况。
竞争分析
研究竞争对手的市场表现、产品 策略等，分析其与市场占有率、 品牌知名度等变量的相关关系， 为制定竞争策略提供依据。
消费者行为研究
通过分析消费者购买决策与个人 特征、环境因素等变量的相关关 系，了解消费者偏好和行为模式， 优化产品定位和营销策略。
线性回归分析不仅可以确定变量的关系强度，还可以预测因变
03
量的取值。
相关系数
相关系数是一种量化指标，用于描述 两个变量之间相关关系的强度和方向 。
相关系数的绝对值越大，表示两个变 量之间的相关关系越强。
最常用的相关系数是皮尔逊相关系数 （Pearson correlation coefficient）， 其值介于-1和1之间。
由于数据获取的限制，本研究 只使用了小样本数据进行研究， 可能影响结果的准确性和普适
性。
变量选择主观性
在选择研究变量时，可能存在 主观偏见，导致所选变量不够
客观全面。
研究方法局限性
本研究主要采用线性回归分析 方法，对于非线性相关关系可
能无法准确描述。
未来研究方向
未来研究可以尝试使用更复杂的方法和模型，如机器学习、神经网络等，以更准确地描述和分析两个变量的 相关关系。同时，扩大样本量和增加变量类型也是重要的研究方向。
两个变量的相关关系
两个变量间的相关关系变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势.对相关关系的理解可以从下面三个角度把握：相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.相关关系与函数关系的异同点为：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子：【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”.【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.。
两个变量的相关关系详解演示文稿
① 做假设 H0 : 0 H1 : 0
② 构造统计量
t rs
n2 1 rs2 ~ t(n 2)
③ 在显著性水平α 给定情况下，得到拒绝域
④ 做出决策
| t | t (n 2)
2
计算t rs
n2 1 rs2
或
p
2
P
(
t
(n
2)
|
t
|)，如果
| t | t (n 2)
2
或 p ，则拒绝原假设H0，即认为X与Y的等级相关显著.
两个随机变量X与Y的相关系数定义为ρ，所谓显著性检验就是
通过构造统计量，在显著性水平α下，检验X与Y的线性相关关系
的显著程度。
第7页，共9页。
六、相关关系的显著性检验
1.皮尔逊相关系数的t 检验法
① 作假设 H0 : 0 H1 : 0
② 构造统计量 t r ~ t(n 2) 1 r2 n1
相关分析是研究两个或两个以上变量之间统计关系的密切程度（即相关 程度大小），一般用相关系数来度量．
二、相关分析的作用
1. 确定现象之间有无关系；
2. 确定相关关系表现形式；
3. 确定相关关系的密切程度和方向.
第4页，共9页。
三、相关ห้องสมุดไป่ตู้数
相关系数是反映两个变量之间线性关系密切程度的指标，变
动范围为
，计1算公r 式 1如下
近于0，变量X与Y的相关程度越低.
注 将 r 换成 rs 上述这些性质同样成立.
第6页，共9页。
五、相关关系的种类 1.按相关关系的程度：不相关、完全相关、不完全相关; 2.按相关关系方向：正相关、负相关;
3.按相关形式：线性相关、非线性相关;
表示两个变量之间的关系的三种方法
表示两个变量之间的关系的三种方法一、直接关系直接关系是指两个变量之间存在着直接的因果关系或者正向的相关关系。
在这种关系中，随着一个变量的增加，另一个变量也会相应地增加或减少。
下面列举了几种常见的直接关系的表达方法：1.变量A随着变量B的增加而增加。
2.变量A与变量B呈正相关关系。
3.变量A是变量B的原因之一。
直接关系的示例： - 温度升高，冰淇淋的销售量增加。
- 学习时间增加，考试成绩提高。
- 雨水增加，草地变得更绿。
二、间接关系间接关系是指两个变量之间存在着中介或者相互作用的关系。
在这种关系中，一个或多个额外的变量会影响两个主要变量之间的关系。
下面是几种常见的间接关系表达方法：1.变量A通过变量C间接地影响变量B。
2.变量A和变量B受到变量C的共同影响。
3.变量A和变量B之间存在着复杂的相互作用关系。
间接关系的示例： - 吃得更多的人更容易发胖，这可能是因为他们摄入了更多的卡路里。
- 高质量的教育可以提高人们的就业机会，进而改善经济发展。
- 一种药物可以通过改善睡眠质量来减轻焦虑症状。
三、无关关系无关关系是指两个变量之间不存在任何明显的关联或者相关性。
下面是几种常见的描述无关关系的表达方法：1.变量A和变量B之间没有任何关系。
2.变量A的变化对变量B没有影响。
3.变量A和变量B是相互独立的。
无关关系的示例： - 过去的月份对今天的天气没有影响。
- 身高和人的智商之间没有明显的关系。
- 鞋子的颜色与一个人的性格没有关联。
总结通过以上的介绍，我们可以看出，表示两个变量之间的关系可以采用直接关系、间接关系和无关关系的描述方法。
这些描述方法能够帮助我们更清晰地理解和表达变量之间的关系。
了解和掌握这些方法对于科研、数据分析以及日常生活中的决策制定都具有重要的意义。
我们应该根据具体情况选择合适的描述方法，准确地反映变量之间的关系。
两个变量间相关关系的举例
两个变量间相关关系的举例相关关系是指两个变量之间的变化是否存在某种联系或者依赖。
在统计学中，我们可以通过计算相关系数来度量两个变量之间的相关程度。
下面，我将为你举例说明两个变量间的相关关系。
举例一：首先，我们来看身高和体重之间的相关关系。
身高和体重是人体的两个重要指标，一般来说，身高越高，体重也会相应增加。
我们可以通过一个调查统计来验证这种关系。
在调查中，我们随机选择了1000名男性被试，记录了他们的身高和体重。
通过运用统计学方法，我们计算得到了身高和体重之间的相关系数为0.8，这说明身高和体重之间存在着强正相关关系。
也就是说，身高增加会促使体重的增加。
举例二：其次，让我们来考察学习时间和考试成绩之间的相关关系。
有一种常见的观点是，学习时间越多，考试成绩也会越好。
我们可以通过一个实验证明这种关系。
我们在一所学校中随机选取了500名学生，将他们分为两组：一组进行了加强学习时间的训练，每天学习4个小时；另一组保持正常学习时间，每天学习2个小时。
在经过一段时间的训练后，我们进行了一次考试，记录了两组学生的考试成绩。
通过对比两组学生的考试成绩，我们发现加强学习时间组的平均分高于正常学习时间组，这说明学习时间和考试成绩之间存在着正相关关系。
举例三：再次，让我们来研究睡眠时间和工作效率之间的相关关系。
一般来说，充足的睡眠对于提高工作效率很重要。
为了验证这个假设，我们进行了一项睡眠实验。
我们让20名被试者进行七天的实验，在前三天，他们每晚只睡4个小时；在后四天，他们每晚睡眠时间恢复到正常的8个小时。
在每天的工作结束后，我们记录了被试者当天的工作成绩。
通过实验数据的分析，我们发现在睡眠时间缺乏的前三天，被试者的工作效率明显降低；而在恢复充足睡眠的后四天，工作效率也得到了明显的提高。
这表明睡眠时间和工作效率之间存在着正相关关系。
以上三个例子表明，两个变量之间的相关关系可以通过实验证明或者调查统计来证实。
将变量之间的相关关系研究清楚，对我们了解事物的本质以及提高效率具有重要意义。
具有相关关系的两个变量的关系式
具有相关关系的两个变量的关系式具有相关关系的两个变量的关系式【引言】在数学和统计学中，很多研究都关注于两个变量之间的相关关系。
相关关系是指两个或多个变量之间的相互依赖程度。
了解变量之间的关系可以帮助我们理解事物的本质和变化规律，从而做出更准确的预测和决策。
本文将探讨具有相关关系的两个变量之间的关系式，旨在帮助读者了解相关性的概念以及如何建立和解读关系式。
【正文】一、相关关系的概念和度量相关关系是指两个变量之间的相互依赖程度。
在统计学中，常用的相关性度量方式包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼等级相关系数和判定系数等。
其中，皮尔逊相关系数是最常见且广泛应用的一种度量方法。
皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）是用于衡量两个连续变量之间线性关系的强度和方向的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，值越接近1或-1表示两个变量之间关系越强，值越接近0表示两个变量之间关系越弱。
当系数为正值时，表示两个变量之间正向线性关系；而当系数为负值时，表示两个变量之间负向线性关系。
二、建立具有相关关系的两个变量之间的关系式在研究中，我们可以通过实际观察或实验来获得变量之间的数据，并通过统计分析确定它们之间的关系。
下面以简单线性回归作为例子来介绍如何建立具有相关关系的两个变量之间的关系式。
简单线性回归是一种用于描述一个因变量和一个自变量之间关系的统计模型。
它的关系式可以表示为y = a + bx，其中y表示因变量，x 表示自变量，a和b分别表示截距和斜率。
通过最小二乘法可以估计出关系式中的参数。
具体建立关系式的步骤如下：1. 提出研究问题：确定自变量和因变量的关系，并给出观察或实验数据。
2. 绘制散点图：将观察或实验得到的数据绘制成散点图，以观察变量之间的整体趋势。
3. 计算相关系数：使用合适的方法计算出两个变量之间的相关系数，判断它们是否具有相关关系以及相关性强度。
4. 拟合线性回归模型：通过最小二乘法拟合出最符合数据的线性回归模型。
变量间的相关关系、统计案例
2．独立性检验思想的理解 独立性检验的思想类似于反证法，即要确定“两个变量 X 与 Y 有关 系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不成立，即它们之间没有关 系，也就是它们是相互独立的，利用概率的乘法公式可推知， (ad－bc) nad－bc2 接近于零，也就是随机变量 K ＝ 应该很小，如 a＋bc＋da＋cb＋d
A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心( x ， y ) C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg
【名师点评】 求样本数据的线性回归方程的步骤 第一步，计算平均数 x ， y ；
2 第二步，求和i∑ x y ， ∑ x ； i i ＝1 i＝1 i n n
∑ xi－ x yi－ y ∑ x y －n x y ＝1 ＝1 i i i i ^＝ 第三步，计算b ＝ n 2 ， n 2 2 ∑ xi－ x ∑ x －n x i＝1 i＝1 i ^＝ y －b ^x； a ^x＋a ^. 第四步，写出回归方程^ y＝b
2
由于 9.967>6.635， 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该 地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
• (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需 要帮助与性别有关，并且从样本数据能看 出该地区男性老年人与女性老年人中需要 帮助的比例有明显差异，因此在调查时， 先确定该地区老年人中男、女的比例，再 把老年人分成男、女两层并采用分层抽样 方法，比采用简单随机抽样方法更好．
• 考向二 回归方程的求法及回归分析 • [例2] (2013年淄博模拟)某种产品的宣传 费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如 下对应数据：
变量之间的相关关系
变量之间的相间确实存在关系，但又不 具备函数关系所要求的确定性，若它们的关系是 带有随机性的，就说两个变量具有相关关系. 注：相关关系是一种非确定性关系. 2、散点图：从一个统计数表中，为了更清楚地 看出x与y是否有相关关系，常将x的取值作为横 坐标，将y的相应取值作为纵坐标，在直角坐标 系中描点 i i ，这样的图形叫做散 点图.
温热度饮/℃杯数-5 与当0 天4气温7的对12比表15：19 23 27 31 36 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的 一般规律;
变量之间的相关关系
【典型例题】 解：（1）散点图如图所示
变量之间的相关关系
【分类】
线性相关关系：
正相关：指的是两个变量有相同的变化趋势，即从 整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变大. 这在散点图上的反映就是散点的分布在斜率大于0的 直线附近;
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
变量之间的相关关系
【分类】
负相关：指的是两个变量有相反的变化趋势，即 从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而 变小，这在散点图上的反映就是散点的分布在斜 率小于0的直线附近.
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
变量之间的相关关系
【典型例题】
1、某机构曾研究温度对翻车鱼的影响，在一定温 度下，经过x单位时间，翻车鱼的存活比例为y，数 据如下： （0.10，1.00），（0.15，0.95），（0.20，0.95）， （0.25，0.90），（0.30，0.85），（0.35，0.70）， （0.40，0.65），（0.45，0.60），（0.50，0.55）， （0.55，0.40） (1)请作出这些数据的散点图； (2)关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？
两个变量的相关关系
.
知识回顾
1 相关关系
①变量之间除了函数关系之外,还有相关关系,即从总的变 化趋势来看变量之间存在着某种关系,但这种关系又不能用 函数精确表达出来.
②两个变量之间产生相关关系的原因是许多不确定的随机 因素的影响.
③需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系.
2 正关系、负相关、散点图
. 方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧
的点的个数基本相同。
脂肪含量 40
35 30
25 20 15 10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的 斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方 程。 如图:
从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在 一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加” 这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄 人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图、 表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断.
如图：
脂肪含量 40 35
30
25
20
15
10
5
年龄
O
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
x,
y,
x2, i
xi
y i
；
i 1
i 1
第三步：代入公式计算b,a的值；
第四步：写出直线方程。
练习：书P92A组1、3
作业：P94 A组 2
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归方程。
变量间的相关关系
数学成绩
由散点图可见，两者之间具有正相关关系。
小结：用Excel作散点图的步骤如下 ： (结合软件边讲边练）
（1）进入Excel，在A1，B1分别输入“数学成 绩”、“物理成绩”，在A、B列输入相应的数据。 （2）点击图表向导图标，进入对话框，选择“标准 类型”中的“XY散点图”，单击“完成”。 （3）选中“数值X轴”，单击右键选中“坐标轴格 式”中的“刻度”，把“最小值”、“最大值”、 “刻度主要单位”作相应调整，最后按“确定”。y 轴方法相同。
(3)从散点图可以看出，0 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0 10
^ Y=-2.352x+147.767
20
30
40
^ （4）当x=2时，y=143.063, 因此，这天大 约可以卖出143杯热饮。
练习：P96 小结：
解2：用Excel求线性回归方程，步 骤如下:
. （1）进入Excel作出散点图。
（2）点击“图表”中的“添加趋势 线”，单击“类型”中的“线性”，单 击“确定”，得到回归直线。 （3）双击回归直线，弹出“趋势线格 式”，单击“选项”，选定“显示公 式”，最后单击“确定”。
三、利用线性回归方程对总体进行估计
二、求线性回归方程
例2：观察两相关变量得如下表： x y -1 -9 -2 -7 -3 -5 -4 -3 -5 -1 5 1 3 5 4 3 2 7 1 9
求两变量间的回归方程
解1： 列表：
i 1
i
2 -2 -7 14
3 -3 -5 15
4 -4 -3 12
10
5 -5 -1 5
2
6 5 1 5
两个变量的相关关系
思考2：为了确定人体脂肪含量和年龄之间的更明确的关
系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量
之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示
脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形
吗？
脂肪含量
40
思考3：右图叫做散点图 35
30
在平面直角坐标系中， 25 20
表示具有相关关系的两 15
思考5：对一组具有线性相关关系的样本数据：
(方x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设其回归 y bx a
程为
可以用哪些数量关系来刻画
各样本点与回归直线的接近程度？
探索过程如下：
设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（x1，
y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
设所求的回归直线方程为 y bx a 其中a，b是待定
一、变量之间的相关关系
相关关系：当自变量取值一定，因变量的取值带 有一 定 的 随 机 性 时。 两个变量之间的关系 称为相关关系。
相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系． 不同点：函数关系是一种确定的关系；而 相关关系是一种非确定关系.
尝试练习一
现实生活中存在许多相关关系，在下列两个变量 的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系；× ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与体重之间的关系； ④人的身高与视力之间的关系；× ⑤商品销售收入与广告支出经费之间的关系； ⑥粮食产量与施肥量之间的关系； ⑦匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 ×
问题提出和探究
在中学校园里，有这样一种说法： “如果你的数学成绩好，那么你的物理学 习就不会有什么大问题.”
按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学 成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩 和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变 量之间的关系是函数关系吗？
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一、相关关系的判断
例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：
A
数学 物理 80 70
B
75 66
C
70 68
D
65 64
E
60 62
画出散点图，并判断它们是否有相关关系。
解：
80 75 70 65 60 55 50 40 50 60 70 80 90 物理成绩
数学成绩
由散点图可见，两者之间具有正相关关系。
8 4 3 12
10
9 2 7 14
10 1 9 9
x y xy
i
i
-1 -9
i
9
计算得:
10 i
x 0, y 0
i
x
i 1
i
110 , xi
i 1
y
i
110
b
x y 10x y
i 1 10
x
i 1
2 i
10 x
2
110 10 0 1 110 10 0
练习：书P92A组1、3
作业：P94 A组 2
的点的个数基本相同。
脂肪含量
40 35
30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的 斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方 程。 如图:
我们还可以找到
更多的方法，但 这些方法都可行 吗?科学吗？ 准确吗？怎样的 方法是最好的？
2.3.2 两个变量的线性关系
.
知识回顾
1 相关关系
①变量之间除了函数关系之外,还有相关关系,即从总的变 化趋势来看变量之间存在着某种关系,但这种关系又不能 用函数精确表达出来. ②两个变量之间产生相关关系的原因是许多不确定的随机 因素的影响. ③需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系.
2 正关系、负相关、散点图
b
( x x)( y y) x y n x y
i 1 i i
n
n
( x x)
i 1 i
n
2
i 1 n
i
i
x nx
i 1 2 i
2
,
a y bx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原 理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最 小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P88）
二、求线性回归方程
例2：观察两相关变量得如下表： x y -1 -9 -2 -7 -3 -5 -4 -3 -5 -1 5 1 3 5 4 3 2 7 1 9
求两变量间的回归方程
解1： 列表：
i 1
i
2 -2 -7 14
3 -3 -5 15
4 -4 -3 12
10
5 -5 -1 5
2
6 5 1 5
7 3 5 15
我们把由一个变量的变化 去推测另一个变量的方法 称为回归方法。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期 的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一 般公式:
O
20 25 30 35 40
45 50 55 60 65
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归方程。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在 一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加” 这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄 人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图、 表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断.
如图：
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 年龄
ห้องสมุดไป่ตู้
a y bx 0 b 0 0
∴所求回归直线方程为 ^ y=x
小结：求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表 x , y , x y ；
i i i i
第二步：计算
x, y, xi , xi y
2 i 1 i 1
n
n
i
；
第三步：代入公式计算b,a的值；
第四步：写出直线方程。
强调:
在研究两个变量是否存在某种关系时,必须从散点图 入手,对于散点图,可作如下判断:
①如果所有的样本都落在某一条函数曲线上,就用该函数来 描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系. ②如果所有的样本都落在某一条函数曲线的附近, 变量之间 具有相关关系.
那么，我们该怎样来求 ③如果所有的样本都落在某一直线的附近 , 变量之间具有线 出这个回归方程？ 性相关关系. 请同学们展开讨论，能
得出哪些具体的方案？
.方案1、先画出一条直线，测量出各点与它 . 的距离，再移动直线，到达一个使距离的 和最小时，测出它的斜率和截距，得回归 方程。 脂肪含量
40
如图 ：
35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65
. 方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧