勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用

2

证法 1】（课本的证明）

做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为 c ，再做三个边长分别为 a 、b 、 c 的正 方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 . 即

证法 2】（邹元治证明）

∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠ BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.

∴ ∠HEF = 180 o ― 90o= 90 o.

∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形 . 它的

面积等于 c 2.

∵ Rt Δ GDH ≌ Rt ΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180 o.

∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积

等于

∠HEF = 90 o.

EFGH 是一个边长为 b ―a 的正方形，它的面积等于

1

ab

以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等

于 角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、C 三点在一条直

线上， 把这四个直角三 C 、G 、D 三点在一条直线上

b 2 4 12 ab

c 2

4 1 ab

2

整理得

c 2

1 4 ab 2

c 2

a 2

b 2

c 2

【证法 3】（赵爽证明）

以 a 、 b 为直角边（ b>a ）， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab 三角形的面积等于

把这四个直角三

角形拼成如图所示形状

∵ Rt Δ DAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ，

∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ― a , ba

1 2 2

4 ab b a c 2.

2 2 2

a b c .

证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明）

1

ab

以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上 . 把这两个直角

三

∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.

∴ ∠DEC = 180 o ― 90o= 90 o. ∴ Δ DEC 是一个等腰直角三角形，

12 c 它的面积等于 2 .

又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,

∴ AD ∥ BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 12 1 12

a b 2 2 ab c 2 2 2 2 2 2

a b c .

【证法 5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为 使 D 、E 、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. ∵ D 、 E 、F 在一条直线上 , 且Rt Δ GEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90 °， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o ― 90o= 90 o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，

∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形 . ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.

∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o.

又∵ ∠BDE = 90o ，∠ BCP = 90o ，

BC = BD = a .

∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形 . 同理， HPFG 是一个边长为 b 的正方形 .

a 、

b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边

形，

设多边形 GHCBE 的面积为 S ，则 2 2

1 a

b 2 S

2 ab,

2 2

S2

1 c

ab 2, ∴a

2

b 2

c 2.

【证法 6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b （ b>a ） 形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E 、A 、 C 三点在一条直线上 .

，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方

过点 Q 作 QP ∥ BC ，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BM ⊥ PQ ，垂足为 M ；再过点 F 作 FN ⊥ PQ ，垂足为 N. ∵ ∠BCA = 90 o ，QP ∥ BC ， ∴ ∠MPC = 90o ， ∵ BM ⊥ PQ ， ∴ ∠BMP = 90o ， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠ MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o ， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o ， ∴ ∠QBM = ∠ABC ， 又∵ ∠BMP = 90o ，∠ BCA = 90 o ，BQ = BA = c ， ∴ Rt Δ BMQ ≌ Rt ΔBCA. 同理可证 Rt Δ QNF ≌ Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明） . 【证法 7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为 a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H 、 BF 、CD. 过 C 作 CL ⊥ DE ， 交 AB 于点 M ，交 DE 于点 L.

∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， 12

a ∵ Δ FAB 的面积等于 2 ， Δ GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， B 三点在一条直线上，连

结

G

K F b

B 2

∴ 矩形 ADLM 的面积 = a . = b 2

同理可证，矩形 MLEB 的面积 ∵ 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 +

2 2 2 ∴ c a b ，即 【证法 8】（利用相似三角形性质证明） 矩形 MLEB 的面积 2 2 2 a b c . b M

A

L

如图，在 Rt Δ ABC 中，设直角边 AC 、 在Δ ADC 和Δ ACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o ， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD ∶AC = AC ∶AB ， 即 AC 2

AD ?AB Δ CDB ∽ Δ ACB ，从而有 BC 2 AD

（杨作玫证明） BC 的长度分别为 a 、b ，斜边 AB 的长

为

c ，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足是

D.

同理可证， ∴ AC 2 【证法 9】 做两个全等的直角

三角形， 把它们拼成如图所示的多边形 与 CB 的延长线垂

直，垂足为

∵ ∠BAD = 90 o ，∠ PAC = 90o ，

∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o ，∠ BCA = 90o ， AD = AB = c ， ∴ Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . DB ?AB BC 2 BD ?AB . AB 2 ，即 a 2 b 2

c 2

设它们的两条直角边长分别为 a 、 b （ b>a ），斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . . 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于

F ，AF 交DT 于 R. 过 B 作BP ⊥AF ，垂足为 P. 过 D 作DE

E ，DE 交 A

F 于 H. b 9 2 A