人教版九年级上册数学：《实际问题与二次函数》教案
人教版数学九年级上册 教案：22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教案：22.3《实际问题与二次函数》一、教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系。
2.掌握解决实际问题的二次函数模型建立方法。
3.能够应用二次函数解决实际问题。
二、教学重难点1.掌握如何将实际问题抽象为二次函数模型。
2.解决实际问题时的思维过程和方法。
三、教学准备1.课本《人教版数学》九年级上册。
2.教学投影仪。
3.讲义、笔、纸等。
四、教学过程1. 导入新知识通过提问学生，引导他们回顾上节课学习的内容，并复习二次函数的定义、图像和性质。
2. 引入实际问题给出一个实际问题，例如：小明用压岁钱买了一台照相机，照相机的价格是x 元，如果每售出一台照相机，他能从中获利5x - x^2 元。
请问小明应该以多少价格售出照相机，才能使利润最大化？3. 建立二次函数模型解释给出问题，并引导学生思考如何建立二次函数模型。
提示学生需要确定自变量和因变量，并分析问题中的关系。
通过与学生互动，引导出二次函数模型：利润函数 P(x) = 5x - x^2。
4. 解决问题通过对利润函数进行求导，并求得导函数为0的临界点 x = 2.5。
由此可得，当照相机的价格为2.5元时，小明的利润最大化。
5. 拓展实际问题给出更多类似的实际问题，例如：某体育用品店销售护膝，价格为x元一副，销量为100 - 5x副。
请问店家应该以多少价格销售护膝，才能使利润最大化？引导学生分析问题并建立二次函数模型。
通过解法流程的讲解，帮助学生掌握解决实际问题的方法。
6. 总结回顾对本节课学习的内容进行总结回顾。
重点强调实际问题与二次函数之间的联系，以及解决实际问题的方法。
五、课堂练习根据给出的实际问题，学生单独完成建立二次函数模型，并求解出最优解。
1.某农场种植西瓜，每亩土地种植西瓜数量为x只，销量为100x - 2x^2只。
请问农场应该种植多少只西瓜，才能使销售额最大化？2.某旅游公司举办一次旅行，每人收费为x元，游客的数量为200 - 10x人。
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计3
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计3一. 教材分析人教版数学九年级上册第26.3.2节《实际问题与二次函数》是学生在学习了二次函数的图像和性质的基础上，进一步探究二次函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数解决实际问题的方法，提高解决实际问题的能力。
教材通过丰富的实例，引导学生运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。
但在解决实际问题时，部分学生可能会遇到难以将实际问题转化为二次函数模型的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生对二次函数知识的理解和应用情况，引导学生将实际问题与二次函数模型有效结合。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的运用，提高解决实际问题的能力。
2.能够将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决问题。
3.培养学生的数学应用意识和团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的运用。
2.难点：将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引导学生主动探究二次函数的运用。
2.案例分析法：分析典型实例，让学生从中总结二次函数解决实际问题的方法。
3.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于引导学生分析和解题。
2.准备教学PPT，展示二次函数在实际问题中的运用。
3.准备黑板和粉笔，用于板书重要知识点和解题步骤。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题情境，引导学生思考如何运用二次函数解决实际问题。
例如：某商店进行促销活动，商品的原价为80元，现进行打折销售，设折扣率为x（0≤x≤1），求商店的销售额y与折扣率x的关系。
2.呈现（10分钟）呈现一个具体的实际问题案例，让学生分析问题并尝试将其转化为二次函数模型。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(教案)
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数：
1.抛物线与生活实际问题的联系，如物体运动轨迹、收入与成本关系等；
2.利用二次函数解决最大（小）值问题，如最大利润、最小成本等；
3.依据实际问题建立二次函数模型，并求解；
4.结合实际情境，分析二次函数的性质，如开口方向、顶点坐标等；
在接下来的教学中，我将继续优化教学策略，注重个体差异，力求让每个学生都能在二次函数的学习中找到自己的兴趣和优势。同时，我也会更多地关注学生的反馈，不断调整教学方法和节奏，以提高教学效果。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，它是描述抛物线运动的数学模型，可以帮助我们解决生活中的最值问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过二次函数解决一个实际的生产成本问题，以及它如何帮助我们找到最优解。
然而，我也注意到，在讲解二次函数性质的部分，仍有部分学生表现出迷茫。这让我反思，可能需要寻找更多形象、生动的教学手段，如动画、实物模型等，来帮助学生直观地理解这些抽象的性质。
此外，课堂上的小组讨论环节，虽然整体效果不错，但我也发现有些学生在讨论中参与度不高。针对这一问题，我打算在今后的教学中，更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，培养他们的团队协作能力和自信心。
(2)通过企业生产成本与销售收入的关系，强调二次函数模型在实际问题中的构建方法，以及如何求解最值。
2.教学难点
-抽象问题具体化：将实际问题转化为二次函数模型，是学生容易感到困惑的地方。
-二次函数解析式的求解：对于顶点公式、最值计算等，学生可能难以理解。
九年级数学上册《实际问题与二次函数》教案、教学设计
4.巩固练习，拓展提高
设计具有梯度的练习题，让学生在掌握基本知识的基础上，逐步提高解决问题的能力。同时，布置拓展提高题，激发学生的创新思维，培养其数学素养。
5.反思评价，促进成长
在教学过程中，注重引导学生进行自我反思，评价自己在解决问题过程中的表现。教师应及时给予反馈，肯定学生的优点，指出不足，促进学生不断成长。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将利用生活中的实例来激发学生的兴趣，引导他们思考实际问题与二次函数之间的联系。我会向学生展示一个抛物线形状的拱桥图片，并提出问题：“同学们，你们知道这座拱桥的最大高度是多少吗？我们如何运用二次函数来求解这个问题？”通过这个问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们的探究欲望。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，他们已经掌握了二次函数的基本概念、性质和图像，能够解决一些简单的二次函数问题。但在实际问题与二次函数的结合上，学生可能还存在以下问题：一是将实际问题转化为数学模型的能力不足，二是运用二次函数解决实际问题时，缺乏对问题深入分析的能力。此外，部分学生对数学学习的兴趣和自信心有待提高。针对这些情况，教师应注重以下几点：1.引导学生从实际问题中发现数学问题，培养其数学建模能力；2.设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，提高其解决问题的能力；3.创设轻松愉快的学习氛围，鼓励学生积极参与，增强其学习数学的自信心。通过有针对性的教学策略，使学生在掌握知识的同时，提高解决问题的能力和学习兴趣。
4.培养学生团结协作、互相帮助的精神，使其在合作中成长，体验团队的力量。
本章节教学设计以实际问题为载体，以二次函数为主线，引导学生运用数学知识解决生活中的问题。在教学过程中，注重培养学生的独立思考、合作交流、创新实践能力，使其在掌握知识的同时，提高综合素质。通过本章节的学习，使学生认识到数学在生活中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣，为学生的终身发展奠定基础。
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计2
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》是本节课的教学内容。
这部分教材主要让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的实际问题解决能力。
教材通过引入实际问题，让学生探讨问题背后的二次函数模型，进而掌握二次函数的性质和图象特征。
教材内容安排合理，由浅入深，有利于学生掌握二次函数在实际问题中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题方面可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的实际问题解决能力。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的实际问题解决能力。
2.使学生掌握二次函数的性质和图象特征，提高学生的数学素养。
3.培养学生的合作交流能力，提高学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，二次函数的性质和图象特征。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，以及如何利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探讨问题背后的二次函数模型。
2.案例教学法：分析典型实际问题，让学生了解二次函数在实际问题中的应用。
3.小组讨论法：培养学生合作交流的能力，提高学生的逻辑思维能力。
4.引导发现法：教师引导学生发现二次函数的性质和图象特征，培养学生自主学习的能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引入和巩固教学内容。
2.准备二次函数的图象和性质资料，用于讲解和展示。
3.准备小组讨论的任务，引导学生进行合作交流。
4.准备课堂练习题，检验学生对教学内容的掌握程度。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探讨问题背后的二次函数模型。
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数精品教案
续表探索新知合作探究活动3:教材第50页,“探究2”利润问题探究2:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大.教师展示问题:(1)该如何定价呢?(2)问题中的变量是什么?提示:(1)学生分组讨论如何利用函数模型解决问题;(2)利润随价格的变化而变化.师生共同分析下面的问题:(1)销售额为多少?(2)进货额为多少?(3)利润y与每件涨价x元的函数关系是什么?(4)利润y与每件降价x元的函数关系是什么?当堂训练某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少元?归纳小结1. 面积类问题如图所示的矩形ABCD长为a,宽为b,四周一样宽为x,则阴影部分的面积可表示为(a-2x)(b-2x).2.利润类问题(1)利润=售价-进价;(2)总利润=每件利润×销售量=总收入-总支出.板书设计第1课时实际问题与二次函数(1)最值问题(1)面积最值问题(2)利润最值问题教学反思活动1:多媒体展示教材第51页探究3:探究3:抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少?师生活动:学生自主探究,合作交流,经历构建平面直角坐标系解决抛物线型实际问题的过程.问题1:从题目本身的哪些条件,你能联想到用二次函数解决问题?(形状)问题2:求水面宽度增加多少,就是求解什么数学问题?(线段长的的关系)在明确上述两个问题后,让学生尝试着建立平面直角坐标系,并求出这条抛物线表示的函数关系式.师生活动:学生先独立思考,再在小组内交流,教师巡视,适时点拨,最后以小组汇报形式班内交流.有三种建立直角坐标系的常用方法:1.以水面所在直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.2.以最下端水面所在直线为x轴,以CD的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.3.以拱桥顶端水平线所在直线为x轴,以垂直该线的直线为y轴建立直角坐标系.学生建立不同的坐标系,得到不同的解析式,类比总结:三个解析式间的关系,指出恰当的建立坐标系可以使解答简便.续表(2)水管应多长?如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为 m,到墙边OA的距离分别为 m, m.(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案?。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(3)1优秀教学案例
（四）总结归纳
1.教师引导学生对所学知识进行总结归纳，帮助他们建立完整的知识体系；
2.学生通过总结归纳，巩固所学知识，提高他们的自我认知能力；
3.教师对学生的总结归纳进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
4.引导学生发现二次函数在实际问题中的应用规律，培养他们的实践能力。
（三）学生小组讨论
1.教师提出具有挑战性和开放性的课题，让学生在小组内进行讨论和合作交流；
2.引导学生运用所学知识，分析问题、解决问题，提高他们的实践能力和团队协作精神；
3.鼓励学生分享自己的观点和思考，培养他们的表达能力和批判性思维；
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1为例，旨在通过实际问题引导学生理解和掌握二次函数的性质和应用。在教学过程中，我以生活实际为载体，设计了一系列具有代表性的例题和练习，让学生在解决实际问题的过程中，深化对二次函数的理解，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
在案例背景中，我充分考虑了学生的年龄特点和知识水平，以符合九年级学生的认知发展需求。在教学设计上，我注重启发式教学，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索二次函数的性质和实际应用。同时，我还关注学生的个体差异，提供不同难度的题目，让每个学生都能在数学学习中找到适合自己的路径，从而提高他们的自信心和积极性。
4.教师对小组合作过程进行指导和评价，确保学生能够从合作中获得充分的提升。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和方法，提高他们的自我认知能力；
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计1
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计1一. 教材分析人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》是本册教材中的重要内容，主要让学生了解二次函数在实际问题中的应用。
通过前面的学习，学生已经掌握了二次函数的基本知识，本节课将引导学生将二次函数知识应用于解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的知识有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题有效地结合，因此，在教学中需要引导学生将二次函数知识与实际问题联系起来，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。
2.培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和创新意识。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将二次函数知识与实际问题有效地结合。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，探索二次函数在实际问题中的应用。
同时，运用案例分析法、讨论法等教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.教师准备相关的实际问题案例。
2.准备二次函数的知识点梳理资料。
3.准备教学多媒体设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题引入本节课的主题，让学生思考如何利用二次函数知识解决实际问题。
2.呈现（10分钟）教师呈现几个实际问题案例，引导学生分析问题，并尝试用二次函数知识解决问题。
学生通过自主学习、合作交流，探讨问题的解决方法。
3.操练（10分钟）教师给出一个实际问题，要求学生独立解决。
学生在解决问题的过程中，运用二次函数知识，锻炼自己的数学应用能力。
4.巩固（10分钟）教师针对学生解决问题的过程，进行讲解和点评，帮助学生巩固二次函数在实际问题中的应用。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考如何将二次函数知识应用于生活中的其他问题，让学生发挥创新能力，解决实际问题。
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22.3 实际问题与二次函数（1）教学目标：1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y ＝ax 2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
重点难点：重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y ＝ax 2、y ＝ax 2＋bx ＋c 的关系式是教学的重点。
难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。
教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB 为4m ，拱高CO 为0.8m 。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系。
这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y ＝ax 2 (a ＜0) (1)因为y 轴垂直平分AB ，并交AB 于点C ，所以CB ＝AB 2＝2(cm)，又CO ＝0.8m ，所以点B 的坐标为(2，－0.8)。
因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a ＝－0.2 因此，所求函数关系式是y ＝－0.2x 2。
二、引申拓展问题1：能不能以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系?让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题2，若以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?分析：按此方法建立直角坐标系，则A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，O 点坐标为(2；0．8)。
即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。
解：设所求的二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c 。
因为OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，拱高OC ＝0.8m ，所以O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)。
由已知，函数的图象过(0，0)，可得c ＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到⎩⎨⎧4a ＋2b ＝0.816＋4b ＝0 解这个方程组， 得⎩⎨⎧a ＝－15b ＝45 所以，所求的二次函数的关系式为y ＝－15x 2＋45x 。
问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同? 问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)三、课堂练习： P18练习1．(1)、(3)2。
四、综合运用例1．如图所示，求二次函数的关系式。
分析：观察图象可知，A 点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。
从图中可知对称轴是直线x ＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x 轴上的另一交点B 的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。
解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x ＝3。
因为对称轴是直线x ＝3，所以B 点坐标为(－2，0)。
设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c ＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到⎩⎨⎧64a ＋8b ＝－44a －2b ＝－4 解这个方程组，得⎩⎨⎧a ＝－14b ＝32 所以，所求二次函数的关系式是y ＝－14x 2＋32x ＋4 练习： 一条抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。
五、小结： 二次函数的关系式有几种形式，二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a 、b 、c ，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。
六、作业 1．习题 4．(1)、(3)、5。
教后反思：22.3 实际问题与二次函数（1）作业优化设计1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。
2．若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。
3．如果抛物线y ＝ax 2＋Bx ＋c 经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a ＋b ＋c 的值。
4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两交点的横坐标是－12，32，与x 轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。
22.3 实际问题与二次函数（2）教学目标：1．复习用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
重点难点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。
教学过程：一、复习巩固1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。
(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。
答案：(1)y ＝x 2＋x ＋1，(2)图略(3)对称轴x ＝－12，顶点坐标为(－12，34)。
3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴，顶点坐标各是什么?[对称轴是直线x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b24a)] 二、范例例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
分析：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 通过配方可得y ＝a(x ＋h)2＋k 的形式称为顶点式，(－h ，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y ＝a(x －8)2＋9由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值。
练习：练习1．(2)。
例2．已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
解法1：设所求二次函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c ＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x ＝2，可以得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝29a ＋3b ＝6 解这个方程组，得：⎩⎨⎧a ＝－2b ＝8所以所求的二次函数的关系式为y ＝－2x 2＋8x －5。
解法二；设所求二次函数的关系式为y ＝a(x －2)2＋k ，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到⎩⎨⎧a(3－2)2＋k ＝1a(0－2)2＋k ＝－5 解这个方程组，得：⎩⎨⎧a ＝－2k ＝3所以，所求二次函数的关系式为y ＝－2(x －2)2＋3，即y ＝－2x 2＋8x －5。
例3。
已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。
解法1：设所求的函数关系式为y ＝a(x ＋h)2＋k ，依题意，得y ＝a(x －2)2－4因为抛物线与y 轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a ＝2。
所以，所求二次函数的关系式为y ＝2(x －2)2－4，即y ＝2x 2－8x ＋4。
解法2：设所求二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c?依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝24ac －b24a＝－4c ＝4 解这个方程组， 得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8c ＝4所以，所求二次函数关系式为y ＝2x 2－8x ＋4。
三、课堂练习1. 已知二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，且当x ＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式。
解法1：设所求二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为图象过点(0，3)，所以c ＝3，又由于二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，可以得到：⎩⎨⎧－b 2a ＝－312a －b24a＝－1 解这个方程组，得：⎩⎨⎧a ＝49b ＝83所以，所求二次函数的关系式为y ＝49x 2＋83x ＋3。
解法2：所求二次函数关系式为y ＝a(x ＋h)2＋k ，依题意，得y ＝a(x ＋3)2－1因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得a ＝49所以，所求二次函数的关系为y ＝44/9(x ＋3)2－1，即y ＝49x 2＋83x ＋3． 小结：讨论、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。
2．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。
简解：依题意，得⎩⎨⎧－p 2＝54q －p24＝－2 解得：p ＝－10,q ＝23 所以，所求二次函数的关系式是y ＝x 2－10x ＋23。
四、小结1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?[两种类型：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(2)顶点式：y ＝a(x ＋h)2＋k ，其顶点是(－h ，k)]2．如何确定二次函数的关系式?五、作业：1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y 轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。
2．函数y ＝x 2＋px ＋q 的最小值是4，且当x ＝2时，y ＝5，求p 和q 。
3．若抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的最高点为(－1，－3)，求b 和c 。
4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。
如果y 随x 的增大而减少，那么自变量x 的变化范围是______。
5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的关系式。
6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?教后反思：。