新人教版数学选修2-2全册导学案精品(全品学案)
高中数学人教版选修2-2全套教案设计[2]
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第一章导数及其应用§1.1。
1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点:平均变化率的概念．教学过程:一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。
从数学角度,如何描述这种现象呢？⏹ 气球的体积V （单位：L )与半径r （单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r = 分析： 343)(πV V r =, ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m )与起跳后的时间t （单位:s ）存在函数关系h （t )= —4。
高中数学选修2-2导数导学案加课后作业及参考答案
§1.1.1函数的平均变化率导学案【学习要求】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.【知识要点】1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商xx f x x f ∆-∆+)()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 ．2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：ΔyΔx ＝__________表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 .【问题探究】在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则：（1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]．跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？【当堂检测】1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________3．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________．【课堂小结】1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； （2）计算平均变化率Δy Δx ＝1212)()(xx x f x f --.【拓展提高】1．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆- 2．质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆【课后作业】一、基础过关1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上都不对 2．函数f (x )＝2x 2－x 在x ＝2附近的平均变化率是( ) A ．7B ．7＋ΔxC ．7＋2ΔxD ．7＋2(Δx )23．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是 ( ) A ．v ＝s (t ＋Δt )－s (t )ΔtB ．v ＝s (Δt )ΔtC ．v ＝s (t )tD ．v ＝s (t ＋Δt )－s (Δt )Δt4. 如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．－25．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在[2,2.1]时间内的平均速度为 ( ) A ．0.41B ．3C ．4D ．4.16．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线， 当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________. 二、能力提升7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，则________跑得快． 8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀 率为28π3，则m 的值为________．9．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x 中，平均变化率最大的是________．10．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．11．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．12．已知气球的体积为V (单位：L )与半径r (单位：dm )之间的函数关系是V (r )＝43πr 3.（1）求半径r 关于体积V 的函数r (V )；（2）比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？三、探究与拓展13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？§1.1.2瞬时速度与导数导学案【学习要求】1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率． 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法． 4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数.【知识要点】1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 ．设物体运动路程与时间的关系是s ＝s (t )，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率tt s t t s ∆-∆+)()(00，当Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝__________________2．瞬时变化率：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx＝_________________. 3．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的 ，记为 ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝________________4．导函数：如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b ) ．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '，于是在区间(a ，b )内，)(x f '构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的 ．记为 或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为【问题探究】探究点一 瞬时速度问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态？问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 s m /.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0? 问题4 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？跟踪训练1 质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8s m /，求常数a 的值．探究点二 导 数问题1 从平均速度当Δt →0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？ 问题2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 问题3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 跟踪训练2 已知y ＝f (x )＝x ＋2，求f ′(2)．探究点三 导数的实际应用例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10cm ，加热后铁板会膨胀．当温度为C t 0时，边长变为10(1＋at )cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率． 跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：C 0)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．【当堂检测】1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不等于02．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( )A ．at 0B ．－at 0C ．12at 0D ．2at 03．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是 ( )A ．3B ．－3C ．2D ．－24．已知函数f (x )＝1x，则)1(f '＝________【课堂小结】1．瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx →0时的极限值．2．利用导数定义求导数的步骤：（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； （2）求平均变化率ΔyΔx ；（2）取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 【拓展提高】1．()()()为则设hf h f f h 233lim ,430--='→（ ）A ．－１B ．－2C ．－3D ．12．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为23416441t t t s +-=,则速度为零的时刻是 （ ） A ．4s 末 B ．8s 末 C ．0s 与8s 末 D ．0s ,4s ,8s 末【课后作业】一、基础过关1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( )A ．0B ．1C ．2D ．Δx 3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1)D ．f ′(3)4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．48 5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．12B ．6C ．3D ．26．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定7．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________. 二、能力提升8．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时， 割线的斜率k ＝________.9．函数f (x )＝1x 2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.10．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s )s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ② 求：（1）物体在t ∈[3,5]内的平均速度； （2）物体的初速度v 0； （3）物体在t ＝1时的瞬时速度.§1.1.3导数的几何意义导学案【学习要求】1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．【学法指导】前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.【知识要点】1．导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx )) 的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝__________________.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(x f '是x 的一个函数，称)(x f '是f (x )的导函数(简称导数)．)(x f '也记作y ′，即)(x f '＝y ′＝_______________【问题探究】探究点一 导数的几何意义问题1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h (t )在t 3和t 4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．（2）若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )探究点二 求切线的方程问题1 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？问题2 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？ 例2 已知曲线y ＝x 2，求：（1）曲线在点P (1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P (3,5)的切线方程． 跟踪训练2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? （2）曲线过点P (3,9)的切线方程．【当堂检测】1．已知曲线f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为 ( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．22．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 3．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为_______【课堂小结】1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】1．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为【课后作业】一、基础过关 1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是 ( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是 ( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B ．12C ．－12 D ．－15．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －26．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.二、能力提升7．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是 ( ) A ．1B ．－1C ．12D ．－28．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.9．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________.10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：（1）它们的交点；（2）抛物线在交点处的切线方程.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.三、探究与拓展13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s 关于时间t 的函数图象的大致形状：（1）小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （2）小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速； （3）小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案 §1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案【学习要求】1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．【学法指导】1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣． 2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．【知识要点】1原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝___ f (x )＝x f ′(x )＝___ f (x )＝x 2 f ′(x )＝___ f (x )＝1xf ′(x )＝_____ f (x )＝xf ′(x )＝_______2．基本初等函数的导数公式【问题探究】探究点一 求导函数问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 问题2 利用定义求下列常用函数的导数： （1）y ＝c ；（2）y ＝x ；（3）y ＝x 2；（4）y ＝1x；（5）y ＝x . 问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1 求下列函数的导数：（1）y ＝sin π3；（2）y ＝5x ；（3）y ＝1x3；（4）y ＝4x 3；（5）y ＝log 3x .跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）y ＝x 8；（2）y ＝(12)x ；（3）y ＝x x ；（4）x y 31log =探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 跟踪训练2 求函数f (x )＝13x在x ＝1处的导数．探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【当堂检测】1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．42．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )A ．36B ．0C ．12xD ．323．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角C ．直角 D ．钝角2．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为___________【课后作业】一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2A ．0B ．1C ．2D ．3 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，2B ．⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C ．⎝⎛⎭⎫－12，－2D ．⎝⎛⎭⎫12，－2 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于 ( ) A ．4 B ．－4C ．5D ．－54．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于 ( )A ．64B ．32C ．16D ．86．若y ＝10x，则y ′|x ＝1＝________.7．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______.二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A ．1eB ．－1eC ．－eD ．e9．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.10．求下列函数的导数：（1）y ＝x x ；（2）y ＝1x4；（3）y ＝5x 3；（4）y ＝log 2x 2－log 2x ；（5）y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4.11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程.12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.三、探究与拓展13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 012(x ).§1.2.3导数的四则运算法则(一)导学案【学习要求】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f (x )和g (x )【问题探究】探究点一 导数的运算法则问题1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？问题2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？ 例1 求下列函数的导数： （1）y ＝3x－lg x ；（2）y ＝(x 2＋1)(x －1)；（3）y ＝x 5＋x 7＋x 9x.跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）f (x )＝x ·tan x ； （2）f (x )＝2－2sin 2x 2； （3）f (x )＝x －1x ＋1； （4）f (x )＝sin x1＋sin x.探究点二 导数的应用例2 （1）曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12B.12C ．－22 D ．22（2）设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c的值．【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.【课后作业】一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x2．函数y ＝x1－cos x 的导数是 ( )A ．1－cos x －x sin x 1－cos xB ．1－cos x －x sin x (1－cos x )2C ．1－cos x ＋sin x (1－cos x )2D ．1－cos x ＋x sin x (1－cos x )23．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12 D ．－25．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－126．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________. 7．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________. 二、能力提升8．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]9．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.10．求下列函数的导数：（1）y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；（2）y ＝(x －2)2； （3）y ＝x －sin x 2cos x2.11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式.12．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.（1）求f (x )的解析式；（2）证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.三、探究与拓展13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程.§1.2.3导数的四则运算法则(二)导学案【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．【问题探究】探究点一 复合函数的定义问题1 观察函数y ＝2x cos x 及y ＝ln(x ＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 问题2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3 在复合函数中，内层函数的值域A 与外层函数的定义域B 有何关系？ 例1 指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y ＝(3＋5x )2； （2）y ＝log 3(x 2－2x ＋5)； （3）y ＝cos 3x . 跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y ＝ln x ； （2）y ＝e sin x ； （3）y ＝cos (3x ＋1)．探究点二 复合函数的导数 问题 如何求复合函数的导数？ 例2 求下列函数的导数：（1）y ＝(2x －1)4； （2）y ＝11－2x ； （3）y ＝sin(－2x ＋π3)； （4）y ＝102x ＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用 例3 求曲线y ＝e 2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2) 2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( ) A ．sin 2x B ．2sin x C ．sin x cos x D ．cos 2x 3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( ) A ．2xf ′(x 2) B ．2xf ′(x ) C ．4x 2f (x ) D ．f ′(x 2)4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】求简单复合函数f (ax ＋b )的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为____________ 【课后作业】一、基础过关1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝1ln x D ．y ＝(2x ＋3)42．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( )A ．6(3x －1)3B ．6(3x －1)2C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)23．y ＝e x 2－1的导数是( )A ．y ′＝(x 2－1)e x 2－1B ．y ′＝2x e x 2－1C ．y ′＝(x 2－1)e xD ．y ′＝e x 2－1 4．函数y ＝x 2cos 2x的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x5．函数y ＝(2 011－8x )3的导数y ′＝________.6．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为________．7．函数f (x )＝x (1－ax )2(a >0)，且f ′(2)＝5，则实数a 的值为________． 二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－29．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A ．92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 210．求下列函数的导数：（1）y ＝(1＋2x 2)8； （2）y ＝11－x 2； （3）y ＝sin 2x －cos 2x ； （4）y ＝cos x 2.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m )关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715 s 时的导数，并解释它的实际意义．三、探究与拓展13．求证：可导的奇函数的导函数是偶函数．§1.3.1利用导数判断函数的单调性导学案【学习要求】1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式． 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.【知识要点】一般地，在区间(a ，b )内函数的单调性与导数有如下关系：f′(x)>0单调递___f′(x)<0单调递____f′(x)＝0常函数【问题探究】探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？问题3（1）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．（2）函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．跟踪训练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．例2求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；（2）f(x)＝2x(e x－1)－x2；（3）f(x)＝3x2－2ln x.跟踪训练2求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x2－ln x；（2）f(x)＝e xx－2；（3）f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π)．探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种？() 跟踪训练3（1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．（2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()【当堂检测】1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是增函数D．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是减函数2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()。
数学选修2-2人教A教案导学案：函数的单调性和导数
1. 3.1 函数的单调性和导数课前预习学案一、预习目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。
二、预习内容1．利用导数的符号来判断函数单调性:一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的 ；如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的 。
思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？回答：提示： f (x )＝x 3，在R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？（2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为 函数．2．利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容课内探究学案一．学习目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系.2掌握利用导数判断函数单调性的方法.学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.二、学习过程【引 例】1．确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解答：，问 1）、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？ 解答：，2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？解答：，2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？解答：，【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
最新人教A版选修2-2高中数学导学案全册课堂导学全文和答案
1．1 变化率与导数1．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r1－r01－0≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r2－r12－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f x2－f x1x2－x1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.要点一求平均变化率例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349. (2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪演练1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值． 解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝[3x 0＋Δx2＋2]－3x 20＋2Δx＝6x 0·Δx ＋3Δx 2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 要点二 物体运动的瞬时速度例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况． 解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则ht 0＋Δt －h t 0Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10Δt＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5，∴lim Δt →0h t 0＋Δt －h t 0Δt ＝lim Δt →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5＝0， 即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝Δs Δt； (3)求lim Δt →0 ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度． 跟踪演练2 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt . 在t ＝2 s 时，瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 要点三 函数在某点处的导数例3 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3Δx 2＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4.规律方法求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f x＋Δx－f xΔx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.跟踪演练3 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－Δx2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( )A．4 B．4.1C．0.41 D．3答案 B解析v＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1.2．函数f(x)在x0处可导，则limΔx→0f x＋h－f x0h( )A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于( ) A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2答案 C解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴ΔyΔx＝2Δx＋4.4．已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝________.答案－12解析f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx1＋1＋Δx＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)作比求平均变化率ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx；(3)取极限得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx，简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率f x＋Δx－f x0Δx中，Δx不可能是( ) A．大于0 B．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C 2．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2答案 B解析 Δy Δx ＝f 3－f13－1＝1－32＝－1.3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f 1＋3Δx －f 13Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)答案 A解析 lim Δx →0 f 1＋3Δx －f 13Δx＝f ′(1)． 5．已知函数y ＝2x＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.答案13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13. 6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δx →0s 0＋Δt －s 0Δt＝lim Δx →0 (3－Δt )＝3. 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2Δx2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0(－8－2Δx )＝－8. 二、能力提升 8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ， 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f 1f ′0的最小值为________． 答案 2解析 由导数的定义， 得f ′(0)＝lim Δx →0 f Δx －f 0Δx＝lim Δx →0a Δx2＋b Δx ＋c －cΔx＝lim Δx →0 [a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2. 11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2Δx 2＋16ΔxΔx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx ＝lim Δx →0 a Δx 2＋2a ΔxΔx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x ，g ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2. 即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73. 1．1.3 导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义． [知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？ 答设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx . [预习导引] 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.要点一 过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解 ∵y ＝x 3＋3ax . ∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx3＋3ax ＋Δx －x 3－3axΔx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3xΔx2＋Δx3＋3a ΔxΔx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎨⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．解 因为lim Δx →0 f 2＋Δx －f 2Δx＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx＝ lim Δx →0－122＋Δx＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.要点二 求过曲线外一点的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)曲线过点P (3,9)的切线方程． 解 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[2x ＋Δx2－7]－2x 2－7Δx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． (2)由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)． 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2 求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由 y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20， 得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．解 f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即2x 0＝－1， 得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等． 跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0f 2＋Δx －f 2Δx＝lim Δx →022＋Δx2－8Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0 ＝lim Δx →00＋Δx2＋a 0＋Δx ＋b －bΔx＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．165°答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →012x ＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx＝lim Δx →012Δx 2＋x ·ΔxΔx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx →02Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )． 3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0a 1＋Δx2－a ×12Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件lim Δx →0 f 1－f 1－x2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________． 答案 －4 解析 由lim Δx →0f 1－f 1－x 2x ＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →031＋Δx2－41＋Δx＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 二、能力提升 8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋2x ＋Δx ＋3－x 2＋2x ＋3Δx＝lim Δx →02x ＋2·Δx ＋Δx2Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程． 解 (1) 由⎩⎨⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4， ∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx2＋4－x 2＋4Δx＝lim Δx →0Δx2＋2x ·ΔxΔx＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值． 解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9 ∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点为P (1,1)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝m x 0＋Δ x3－x 30Δ x＝lim Δx →03x 20Δx ＋3x 0Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0. (2)由⎩⎨⎧y ＝3x －1＋1y ＝x3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.1．2 导数的计算 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． [知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 答 (1)计算ΔyΔx ，并化简；(2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)Δy Δx 趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数． [预习导引]1．几个常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)f (x )＝e xf ′(x )＝e xf(x )＝logax f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f(x)＝ln x f′(x)＝1x要点一利用导数定义求函数的导数例1 用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013x＋Δx2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013Δx2Δx＝limΔx→0(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1 用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．解y′＝limΔx→0x＋Δx2＋a x＋Δx＋b－x2＋ax＋bΔx＝limΔx→0x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝limΔx→02x·Δx＋a·Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要点二利用导数公式求函数的导数例2 求下列函数的导数(1)y＝sinπ3；(2)y＝5x；(3)y＝1x3；(4)y＝4x3；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5x ln 5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝⎝⎛⎭⎪⎫4x3′＝⎝⎛⎭⎪⎫x34′＝34x－14＝344x；(5)y′＝(log3x)′＝1x ln 3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x；(3)y＝x x；(4)y＝log13x.解(1)y′＝8x7；(2)y′＝⎝⎛⎭⎪⎫12x ln12＝－⎝⎛⎭⎪⎫12x ln 2；(3)∵y＝x x＝x32，∴y′＝32x12；(4) y′＝1x ln13＝－1x ln 3.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y＝sin x上点P⎝⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解∵y＝sin x，∴y′＝cos x，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键． 跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0， 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0C ．12xD ．32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±3，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1eC ．－eD ．e答案 D解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx0y 0＝e xk ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 答案22解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22. 11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z . 12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )． 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x ．1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则法则语言叙述[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤fx gx ′＝f ′x g x －f x ·g ′x [g x ]2(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2．复合函数的求导法则复合函数 的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x－lg x 是函数f (x )＝3x与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3xln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得(3x－lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3xln 3－1x ln 10.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x ·ln x ；(4)y ＝lg x －1x2.解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e x x＋e x·ln x ；(4)y ′＝1x ln 10＋2x3. 要点二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝(1＋sin x )2； 解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)y ＝u 2，u ＝1＋sin x ，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(1＋sin x )′ ＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )．规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练2 (1)y ＝e 2x ＋1； (2)y ＝(x －2)2.解 (1)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1. (2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x .法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2，∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x1－x 2B ．x sin x －sin x －cos x1－x 2C ．cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2D ．cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝－sin x1－x －cos x ·－11－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x 2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A 解析 ∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.答案 ln 2－1解析 设切点为(x 0，y 0)， ∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －x 2＋a 2x 2＝x 2－a 2x2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．12C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2x －12.∴y ′|x ＝3＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9. 法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22答案 B 解析 y ′＝cos xsin x ＋cos x －sin xcos x －sin xsin x ＋cos x2＝1sin x ＋cos x2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12. 9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π) 答案 D解析 y ′＝－4e xe x＋12＝－4e x e 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4tt 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)． 10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 3)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋bx 2，∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.。
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集(全册 共65页 附答案)
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。
人教版高中数学选修2-2导学案：1.3.1 函数的单调性和导数(学生版)
“问题导学、探究发现”高二数学学科导学案1.3.1 函数的单调性与导数【教学目标】1、了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
二、新课讲授1、提出问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？3、函数的单调性与导数的关系如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．5、求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三、典例分析 1、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+2、函数x x x x f --=23)(的单调减区间是( )A ．（)31,-∞- B.),1(∞ C ．（)31,-∞-，),1(∞ D.)1,31(-例2、如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像． 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．四、随堂训练1、求下列函数的单调区间：(1) f (x )=2x 3－6x 2+7 (2) f (x )=x1+2x (3) f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ (4) y=xlnx 2、函数()2sin f x x x =-在(,)-∞+∞上（ ）A 、是增函数B 、是减函数C 、有最大值D 、有最小值3、函数y=x+2x（x>0）的单调减区间为（ ） A. （2，＋∞） B. （0，2） C. （ 2 ，＋∞） D. （0， 2 ）4、若在区间(,)a b 内有'()0f x >，且()0f a ≥，则在(,)a b 有（ ）A 、()0f x >B 、()0f x <C 、()0f x =D 、不能确定5、函数24y x x a =-+的增区间是 ；减区间是 ；6、函数3()f x x x =-的增区间是 和 ；减区间是 ；7、32()41f x x x x =-+-在区间 递增。
高中数学人教版选修2-2全套教案
第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-， ∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
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第一章导数及其应用§1.1。
1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。
从数学角度，如何描述这种现象呢?⏹气球的体积V（单位：L)与半径r(单位:dm）之间的函数关系是⏹如果将半径r表示为体积V的函数，那么⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为⑵当V从1增加到2时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）= —4。
9t2+6。
5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题:⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数h（t)= —4.9t2+6。
2017-2018学年高中数学选修2-2全册学案人教A版含解析238P
2017~2018学人教A版高中数学选修2-2全册导学案汇编目录第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义第一章导数及其应用1.2导数的计算1第一章导数及其应用1.2导数的计算2第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例第一章导数及其应用1.5定积分的概念第一章导数及其应用1.5.2汽车行驶的路程第二章推理与证明2.1.1合情推理第二章推理与证明2.1.2演绎推理第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法第二章推理与证明2.2.2反证法第二章推理与证明2.3数学归纳法第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念第一章导数及其应用1.6微积分基本定理第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用第三章数系的扩展与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念第三章数系的扩展与复数的引入3.1.2复数的几何意义第三章数系的扩展与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义第三章数系的扩展与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：能否根据Δy 的大小判断山路的陡峭程度？ 提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山路越陡；反之，山路越缓．问题5：从A 到B 与从A 到C ，两者ΔyΔx 相同吗？提示：不相同．1．函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1和x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2 －f x 1x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为ΔyΔx.2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1 Δx为割线AB 的斜率，如右图所示．对Δx ，Δy 的理解(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正、可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负，也可为零.一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：试求质点在这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt ＝8－3 1＋Δt 2－8＋3³12Δt＝－6－3Δt .问题2：当Δt 趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． 1．瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：若物体运动的路程与时间的关系式是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f t 0＋Δt －f t 0Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t 0时刻的瞬时速度．2．导数的定义一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f x 0＋Δx －f x 0Δx无限接近．如果当Δx →0时，li m Δx →0 ΔyΔx不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．(1)已知函数( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．(1)选B Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. (2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f 2 －f 1 2－1＝2＋12－ 1＋1 1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f 5 －f 3 5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12＜1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1.分别计算下面三个图象表示的函数h (t )在区间上的平均变化率．解：对于图①，Δh ＝h (3)－h (0)＝10－0＝10， ∴Δh Δt ＝103－0＝103，即平均变化率为103.同理可以算得图②、图③中函数h (t )在区间上的平均变化率均为103.(1)设函数000x ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b(2)求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． (1)选C f ′(x 0)＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0(a ＋b ²Δx )＝a . (2)由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝li m Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx，而f 1＋Δx －f 1 Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，又li m Δx →0 11＋Δx ＋1＝12，所以f ′(1)＝12.利用定义求导数的三步曲由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx . 简认为：一差，二比，三趋近．求函数y ＝4x2 在x ＝2处的导数．解：∵Δy ＝4 Δx ＋2 2－422＝4Δx ＋22－1＝－ Δx 2＋4Δx Δx ＋2 2，∴Δy Δx ＝－Δx ＋4 Δx ＋22. ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝－li m Δx →0 Δx ＋4 Δx ＋2 2 ＝－1.若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3 t －3 ，0≤t ＜3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．(1)因为Δs ＝3³52＋2－(3³32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋32－29－3³(1－3)2＝3(Δt )2－12Δt ，所以Δs Δt ＝3 Δt 2－12ΔtΔt＝3Δt －12，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为s ′(1)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．求瞬时速度的步骤(1)求位移增量，Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求平均速度，v －＝ΔsΔt； (3)取极限，li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 s t 0＋Δt －s t 0Δt ； (4)若极限存在，则t 0时刻的瞬时速度为v ＝lim Δt →0ΔsΔt.一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ²22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔsΔt＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝li m Δt →0 Δs Δt＝4a (m/s)． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.1.对导数的概念理解不透彻已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则li m Δx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝________.li m Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋2Δx －f x 0 2Δx ³2＝2li m Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0 2Δx＝2f ′(x 0)＝2³4＝8. 81．本题分子中x 的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，而分母为Δx ，两者不是等量的，如果忽视该点，则易得出结论为4的错误答案．2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．已知f ′(1)＝－2，则li m Δx →0 f 1－2Δx －f 1Δx＝________.解析：li m Δx →0f 1－2Δx －f 1Δx＝(－2)³li m Δx →0f 1－2Δx －f 1－2Δx＝(－2)³(－2)＝4. 答案：41．如果函数y ＝ax ＋b 在区间上的平均变化率为3，则a 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义， 可知Δy Δx ＝ 2a ＋b － a ＋b 2－1＝a ＝3.2．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则li m h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．3．已知函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于________．解析：Δy Δx ＝2 1＋Δx 2－1－1Δx ＝4＋2Δx .答案：4＋2Δx4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(t ≥0)，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是________．解析：∵Δs Δt ＝s 3＋Δt －s 3 Δt ＝Δt ＋5，li m Δt →0 (Δt ＋5)＝5， ∴该物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒． 答案：5米/秒5．求y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．解：∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2－Δx 2 2＋Δx ，∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx ＝4＋0－14＋2³0＝154.一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＜0 B ．Δx ＞0 C ．Δx ＝0 D ．Δx ≠0解析：选D 根据定义知Δx 可正、可负，但不能为0. 2．设f (x )＝1x，则f ′(a )等于( )A ．－1a B.2aC ．－1a2 D.1a2解析：选C ∵f a ＋Δx －f a Δx ＝1a ＋Δx －1aΔx＝－Δx a Δx a ＋Δx ＝－1a a ＋Δx，∴f ′(a )＝li m Δx →0－1a a ＋Δx ＝－1a2.3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝ x 0＋Δx 2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f x 0 －f x 0－Δx Δx ＝x 20－ x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定．4．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )A ．－3B ．3C ．6D ．－6解析：选D 当Δt 趋于0时，式子－3Δt －6趋于－6. 5．设函数在x ＝1处存在导数，则li m Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx等于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D．f ′(3) 解析：选C li m Δx →0f 1＋Δx －f 13Δx＝13li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1 Δx ＝13f ′(1)． 二、填空题6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.解析：水位涨幅的平均变化率为105.1－102.724＝0.1(m/h)．答案：0.17．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，∴Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝13－12＝－16， ∴k AB ＝Δy Δx ＝－16.答案：－168．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，则m 的值为________．解析：∵ΔV ＝4π3m 3－4π3³13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3 m 3－1m －1＝28π3， 即m 2＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)． 答案：2 三、解答题9．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解：∵f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 [13－8 x 0＋Δx ＋2 x 0＋Δx 2]－ 13－8x 0＋2x 2Δx ＝li m Δx →0 －8Δx ＋22x 0Δx ＋2 Δx 2Δx ＝li m Δx →0 (－8＋22x 0＋2Δx ) ＝－8＋22x 0， ∴－8＋22x 0＝4， ∴x 0＝3 2.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． 解：(1)初速度v 0＝li m Δt →0s Δt －s 0Δt＝li m Δt →0 3Δt － Δt2Δt ＝li m Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)， 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝li m Δt →0s 2＋Δt －s 2Δt＝li m Δt →0 3 2＋Δt － 2＋Δt 2－ 3³2－4Δt＝li mΔt→0－ Δt 2－ΔtΔt＝li mΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)，即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s 2 －s 02－0＝6－4－02＝1(m/s)，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.1．1.3 导数的几何意义如下图，P n n n 00)，直线PT 为过点P 的切线．问题1：割线PP n 的斜率k n 是什么？提示：割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题2：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 与过点P 的切线PT 有什么关系？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT . 问题3：当P n 无限趋近于点P 时，k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ 提示：k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 问题4：如何求得过点P 的切线PT 的斜率？提示：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.导数与函数图象升降的关系若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数存在且f ′(x 0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是上升的；若f ′(x 0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.对于函数f(x)＝－x2＋2. 问题1：如何求f′(x0)?提示：f′(x0)＝li mΔx→0－ x0＋Δx 2＋2－ －x20＋2Δx＝li mΔx→0(－2x0－Δx)＝－2x0.问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．导函数的定义对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个确定的数．当x变化时，f′(x) 便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝li mΔx→0f x＋Δx －f xΔx.f′(x0)与f′(x)的异同(1)y＝－3x2＋2x－1；(2)y＝3x2＋a(a为常数)．(1)∵Δy＝－3(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－1－(－3x2＋2x－1)＝(2－6x)Δx－3(Δx)2，∴ΔyΔx＝2－6x Δx－3 Δx 2Δx＝2－6x－3Δx，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (2－6x －3Δx )＝2－6x . (2)∵Δy ＝3 x ＋Δx 2＋a －3x2－a＝－6x ²Δx －3 Δx2x 2 x ＋Δx 2，∴Δy Δx ＝－6x ²Δx －3 Δx 2x 2 x ＋Δx 2Δx ＝－6x －3Δx x 2 x ＋Δx 2， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 －6x －3Δx x 2 x ＋Δx 2＝－6x 3， 即y ′＝－6x3.求函数y ＝f (x )的导数的步骤(1)求Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； (2)求Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ；(3)计算f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx .利用导数的定义求函数f (x )＝x 3＋x －2的导数f ′(x )，并利用f ′(x )求f ′(－1)，f ′(1)．解：利用导数的定义， 得f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 x ＋Δx 3＋ x ＋Δx －2－ x 3＋x －2Δx ＝li m Δx →0＝3x 2＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋1，则f ′(－1)＝4，f ′(1)＝4.已知曲线y ＝3x 3及其上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3.(1)求点P 处切线的斜率； (2)写出点P 处的切线方程． (1)∵y ＝13x 3，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 13 x ＋Δx 3－13x 3Δx ＝13li m Δx →0 3x 2Δx ＋3x Δx 2＋ Δx 3Δx ＝13li m Δx →0 ＝x 2，∴y ′|x ＝2＝22＝4， ∴点P 处切线的斜率为4.(2)由(1)知，点P 处切线斜率为4，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，∴在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －f (x 0)＝f ′(x 0)²(x －x 0)．特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直接得切线方程为x ＝x 0.求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率． 解：因为y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝li m Δx →0－1x 2＋x ²Δx ＝－1x2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.若曲线y ＝x 2＋6P 的坐标及切线方程． 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2＋6－ x 20＋6Δx ＝li m Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0， 所以2x 0²2＝－1，解得x 0＝－14，所以y 0＝x 20＋6＝9716，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，9716，切线方程为y －9716＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即8x ＋16y －95＝0.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，则切线方程为( ) A ．y ＝9x B ．y ＝9x －26 C ．y ＝9x ＋26D ．y ＝9x ＋6或y ＝9x －26 解析：选DΔy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝ x 0＋Δx 3－3 x 0＋Δx 2＋1－x 30＋3x 20－1Δx＝(Δx )2＋3x 0Δx －3Δx ＋3x 20－6x 0. 所以f ′(x 0)＝li m Δx →0＝3x 20－6x 0， 于是3x 20－6x 0＝9，解得x 0＝3或x 0＝－1， 因此，点P 的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P 处的切线方程为y ＝9(x －3)＋1或y ＝9(x ＋1)－3，即y ＝9x －26或y ＝9x ＋6.2.搞错导数的几何意义致误若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是下图中的( )由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线的斜率随x增大而变大，因此应选A.应会灵活运用导数的几何意义辨析曲线的凹凸性．A1．本题易搞错导数的几何意义，混淆导函数的单调性与函数图象的凹凸变化间的关系而误选B或D.2．导数的几何意义就是切线的斜率．借助图象，用斜率的正负及大小来说明曲线的变化情况既科学又直观，注意归纳总结．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )解析：选D 从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A 、B 、D 错误．2．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12＜0.3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12³1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：34．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为________． 解析：因为li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 13 x ＋Δx 3－2－13x 3＋2Δx ＝x 2，所以y ′＝x 2，y ′|x ＝－1＝1，因此倾斜角为45°. 答案：45°5．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝li m Δx →0 x ＋Δx 2＋4－ x 2＋4Δx ＝li m Δx →0 Δx 2＋2x ²Δx Δx ＝li m Δx →0 (Δx ＋2x ) ＝2x ，∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6， 即在点(－2,8)处的切线斜率为－4， 在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.一、选择题1．若函数f (x )＝－3x －1，则f ′(x )等于( ) A ．0 B ．－3x C ．3 D ．－3解析：选D 法一：f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝li m Δx →0 －3 x ＋Δx －1＋3x ＋1Δx＝li m Δx →0 (－3)＝－3. 法二：由导数的几何意义可知，f ′(x )为直线y ＝－3x －1的斜率，∴f ′(x )＝－3. 2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B ∵f ′(x 0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为0. 3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 解析：选D ∵k ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ， ∴2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，从而y ＝14.4．已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，则在点P 处的切线的倾斜角为( )A ．30° B．45° C ．135° D．165°解析：选C ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52在曲线y ＝f (x )＝－12x 2－2上，∴在点P 处的切线斜率为k＝f ′(1)＝－1，∴在点P 处的切线的倾斜角为135°.5．已知y ＝f (x )的图象如下图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由题图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )．二、填空题6．y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是________．解析：先求y ＝－1x的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx ，Δy Δx ＝1x x ＋Δx ，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4.答案：y ＝4x －47．对于函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：因为f ′(x 0)＝li m Δx →0a x 0＋Δx ＋4－ax 0－4Δx＝a ，f ′(1)＝2，所以a ＝2.答案：28．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 的坐标为________． 解析：设P 点坐标为(x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx＝li m Δx →02 Δx 2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4. 又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30) 三、解答题9．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解：f ′(x )＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x ， g ′(x )＝li m Δx →0 x ＋Δx 3－x 3Δx ＝3x 2. 因为f ′(x )＋2＝g ′(x )，所以2x ＋2＝3x 2， 解得x ＝1－73或x ＝1＋73.10．已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值．解：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线斜率为k . 由y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 [2 x ＋Δx 2＋a ]－ 2x 2＋aΔx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x ， 得k ＝f ′(x 0)＝4x 0. 根据题意得4x 0＝8，x 0＝2. 分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15， 解得y 0＝1，a ＝－7，故所求切点P 的坐标为(2,1)，a ＝－7.第一课时 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x；(5)y ＝f (x )＝x .问题1：函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？ 提示：∵Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝c －cΔx ＝0，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx＝0. 问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示：由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x .问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？ 提示：y ′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示：∵(2)(x )′＝1²x1－1，(3)(x 2)′＝2²x2－1，(5)(x )′＝(x 12)′＝12x 112－＝12x ，∴(x α)′＝αx α－1.基本初等函数的导数公式对公式(log a x )′＝1x ln a与(a x )′＝a xln a 的理解和记忆 (1)区分公式的结构特征，从纵的方面“(ln x )′与(log a x )′”和“(e x)′与(a x)′”的区分，又要从横的方面“(log a x )′与(a x)′”的区分找出差异，记忆公式．(2)对公式(log a x )′，用(ln x )′和复合函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数导数公式(log a x )′＝1xlog a e.证明如下： (log a x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝1ln a ²1x ＝1x log ae.这样就能知道log a e 的来历，对于记忆和区分很有必要.已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数．提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x x ＋Δx， ∴Δy Δx ＝1－1x x ＋Δx， ∴Q ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x x ＋Δx ＝1－1x 2. 同理H ′(x )＝1＋1x2.问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．问题4：′＝f ′(x )g ′(x )对吗？提示：不对，因为f (x )g (x )＝1，′＝0，而f ′(x )g ′(x )＝1³⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x＝－1x2.导数运算法则1．′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′ x g x －f x g ′ x [g x ]2(g (x )≠0)．导数的运算法则的认识1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为′＝f ′(x )g ′(x )以及⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′ xg ′ x.2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．(1)′＝f 1′(x )＋f 2′(x )＋…＋f n ′(x )；(2)′＝cf ′(x )，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．(1)y ＝10x；(2)y ＝lg x ；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. (1)y ′＝(10x)′＝10xln 10； (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10； (3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x；(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .应用求导公式应注意的问题求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e＝－1e x ＝－e －x；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－xln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0； (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10； (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .(1)y ＝x 3²e x；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x＋1e x －1.(1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x. (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝ e x＋1 ′ e x－1 － e x＋1 e x－1 ′e －1 ＝e xe x－1 － e x＋1 e xe x －1 2＝－2e xe x －1 2.利用运算法则求导数的方法对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．求下列函数的导数：(1)y ＝cos xx；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x 2.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝ cos x ′²x －cos x ² x ′x 2＝－x ²sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝ 1＋x 21－x ＋ 1－x 21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4 1－x ′ 1－x ＝4 1－x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2′＝1x ln 10＋2x3.(1)(．(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．(1)∵y′＝－5e x，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x20－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2.又点P在曲线C上，所以y0＝23－10³2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．答案：(1)5x＋y＋2＝0 (2)(2,1)导数几何意义的应用根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.解析：f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，∵曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：11.切线方程的求法已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y －1＝(3a －3)(x －1)， 即3(a －1)x －y ＋4－3a ＝0.1．利用导数研究切线问题是一个很重要的知识点，它突出表现了导数几何意义的价值，也是高考的常考内容．利用导数求解切线方程常常要先求出原函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切点或斜率，最后借助直线方程的点斜式写出所求的切线方程．2．本题比较简单，属于“已知切点求切线方程”问题，只要求出导数，再利用点斜式方程求解即可．另外，高考对切线的考查还有以下几种方式．：已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x ＋4y ＋1＝0垂直的曲线f (x )＝2x 2－1的切线方程． 解：因为所求切线与直线x ＋4y ＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝4x 0＝4，即x 0＝1， 所以切点坐标为(1,1)，故所求切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.：已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程． 解：设切点坐标为(x 0，y 0) 因为f ′(x )＝3x 2－2，所以f ′(x 0)＝3x 20－2，且y 0＝f (x 0)＝x 30－2x 0， 所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)， 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)． 因为切线过点(1，－1)，故－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)²(1－x 0)， 即2x 30－3x 20＋1＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12，故所求切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. ：已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程． 解：由题意知点A (0,16)不在曲线f (x )＝x 3－3x 上，设切点坐标为M (x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20－3，故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)． 又因为点A (0,16)在切线上，所以16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)， 化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2， 即切点为M (－2，－2)， 故切线方程为9x －y ＋16＝0.1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B (cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－ x 2′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－ x 12′x ＝12x 12－x ＝12x 32－＝12x x，所以④正确． 2．函数y ＝sin x ²cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ²sin x D ．y ′＝cos x ²sin x解析：选B y ′＝(sin x ²cos x )′＝cos x ²cos x ＋sin x ²(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ， ∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案：14．(全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝1＋cos xx2； (3)y ＝(4x －x )(e x＋1)．解：(1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)y ′＝ 1＋cos x ′²x 2－ 1＋cos x x 2′x4＝－x sin x －2cos x －2x3. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x－x ， ∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x－x )′ ＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x)′－－x ′ ＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x－1 ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4xln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x＋1)′ ＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4xln 4－1.一、选择题1．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．y ′＝3x 2cos x ＋x 3sin xB ．y ′＝3x 2cos x －x 3sin x C ．y ′＝3x 2cos x D ．y ′＝－x 3sin x解析：选 B y ′＝(x 3cos x )′＝(x 3)′cos x ＋x 3(cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x ，故选B.2．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 3＋1 D ．f (x )＝x 4－1解析：选B 由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入选项中验证可得． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：选B y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x 2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入，得导数值为12，即为所求切线的斜率．5．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导，得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.二、填空题6．(天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ²1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：37．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4³22＋22 ，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 2－1，∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：18．若曲线f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1x＋a ，∵曲线f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴1x ＋a ＝2有解，即1x＝2－a 有解．又∵x >0，∴2－a >0，∴a <2. 答案：(－∞，2) 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋x sin x ； (2)y ＝(x 2＋3)(e x＋ln x )； (3)y ＝x ln x1＋x. 解：(1)y ′＝(3x 2)′＋(x sin x )′ ＝6x ＋sin x ＋x (sin x )′ ＝6x ＋sin x ＋x cos x .(2)y ′＝(x 2＋3)′(e x ＋ln x )＋(x 2＋3)(e x＋ln x )′＝2x (e x ＋ln x )＋(x 2＋3)⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x＝e x (x 2＋2x ＋3)＋2x ln x ＋x ＋3x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ln x 1＋x ′＝ x ln x ′ 1＋x －x ln x 1＋x ′ 1＋x 2＝ln x ＋1＋x1＋x2.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b .又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b .又因为f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32，则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又因为f ′(1)＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.第二课时 复合函数求导及应用已知y ＝(3x ＋2)2，y ＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2x ＋6.问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明y ＝(3x ＋2)2是如何复合的． 提示：令u ＝g (x )＝3x ＋2，y ＝f (u )＝u 2， 则y ＝f (u )＝f (g (x ))＝(3x ＋2)2.问题3：试求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数． 提示：y ′＝(9x 2＋12x ＋4)′＝18x ＋12，f ′(u )＝2u ，g ′(x )＝3. 问题4：观察问题3中的导数有何关系． 提示：y ′＝′＝f ′(u )²g ′(x )．1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′²u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对复合函数概念的理解(1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集．(2)对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．(1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 12－²(－4x )＝12(1－2x 2) 12－ (－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u，u ＝sin x ， 则y x ′＝y u ′²u x ′＝e u²cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′²u x ′＝cos u ²2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )u ′(2x ＋1)x ′＝10u ln 2＝10 2x ＋1 ln 2.复合函数的求导步骤求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝2x －1，则y ＝u 4，∴y ′x ＝y ′u ²u ′x ＝4u 3²(2x －1)′＝4u 3²2 ＝8(2x －1)3.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u，∴y ′x ＝y ′u ²u ′x ＝10u²ln 10²(2x ＋3)′ ＝2ln 10²102x ＋3.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ²cos 2x。
(2021年整理)高中数学人教版选修2-2全套教案
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第一章导数及其应用§1。
1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程:一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等；二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授(一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢。
从数学角度，如何描述这种现象呢？⏹ 气球的体积V （单位：L ）与半径r (单位:dm ）之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少？1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6。
人教版高中数学选修2-2教案全集
人教版高中数学选修2-2教案全集第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．1212)()(V V V r V r --思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t（单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x +-2)2,y x ∆+-,则=∆∆xy．解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
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令v(t)＝10t＋10＝60，得t＝5，即t＝5 s时的速度为
60 m/s. [小结] 求瞬时速度的步骤：
(1)计算v：平均速度v＝ΔΔ st＝s（t＋Δ tΔ）t－s（t）.
(2)计算瞬时速度：求平均速度的极限
Δ Δ
s t＝
f′(x0)＝
ΔΔyx＝
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0），探究下列问题：
(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则当Δx→0时， f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）的值与x0，Δx都有关吗？
(2)函数在定义域内的每一点处都有导数吗？
1.1.2 │ 考点类析
解：(1)导数即为函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率， 是一个局部概念，只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函 数值有关，与Δx无关．
1.1.2 │预习探究
► 知识点三 导数的概念
一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
Δ Δ
y＝ x
的导数f（，x记0＋作Δ_f′_Δx_）(_xx_0－)_或_f（__yx_′0_）_|x_，＝__我x_0，们即称f′它(x0为)＝函_数___y_f＝（__xf_(0＋ x_)_在Δ__Δx_） x_＝x－__xf0_（_处．x0）
1.1.2 │ 三维目标
(2)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到 一般的数学思想方法．
【情感、态度与价值观】 (1)通过具体的动手操作和导数的背景学习，培养学生拥有豁 达的科学态度，互相合作的学习态度，勇于探究，积极思考的 学习精神． (2)通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念 不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣．
(完整word版)选修2-2导数导学案
§121基本初等函数的导数、、公式C/( x n/导数导数运算法则sinx/cosx/ln x/a x/lo gax/、运算法则——=( gx习题1、求下列函数的导数丄(1) y (2) p----x j x (4) y 3x2xcosx(5) y cosx 2x2e x Inx(7) y 2e x sin x2、对于任意的x,f/4x3, f 1 1,则f3、设f X na o Xna1xna2X a n 1x a n三、复合函数的导数设复合函数y f g X ,1、求下列函数的导数2x 35(2) y 3 2x3y sin x (4) cos2 3x (5) y xsin2x cos3x (6) y 3e 2x(7) ln x2 1四、导数的几何意义：切线问题f X在点P X o, f X o处的切线的斜率k=补充知识点:l1//l2k1k2l1 l2 k1 k21、求曲线y f x 在点 P x0,fX o处的切线方程点P X o, f X o在曲线上。
解：k f/(x o)，直线的方程为:2、求曲线y f X过点P x o, f X o的切线方程点P X o, f X o不一疋在曲线上。
解：设切点为(a,b)则k f/(a)因为(a, b)在y f X上所以f(a)f/(a)(xy o从而求出k X o)例1、( 1) 2X21在点p (-1,3)处的切线方程。
(2) 3x2 1在点p (1, 1)处的切线方程。
例2、(1) 求过点P(1,1)的曲线y 3X的切线方程。
(2) 求过点P(1,2)的曲线y X31的切线方程。
§1、2、2导数的应用----单调性、函数的单调性题型二：已知单调性求参数的范围f max (X) ，其中a 是参数为常数，x 为变量。
f min (x)a若2, 为函数y 2x —的单调增区间，则实数 a 的取值范围。
x导数有关填空选择题-----构造函数点拨：已知曲线 y f x 在区间a,b 上连续(1)若 f /(x o ) 0 yf(x)在区间a,b 是增函数(2)若 f /(x o ) 0 y f (x)在区间a,b 是增函数题型一： 例1、求以下函数的单调区间 求函数的单调区间 f(x) X 2 1x 1 f(x) x 2仮 x)sin x2 c os x例2、已知函数a(a x0),在 2,上为增函数，求a 的取值范围。
人教版高中数学选修2-2教案全册
人教版高中数学选修2-2教案全册(共71页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2选修2-2第一章 导数及其应用目录§变化率问题（新授课） §导数的概念（新授课） §导数的几何意义（新授课） §几个常用函数的导数（新授课）§第一课时：基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则（新授课）§第二课时：复合函数的求导法则（新授课） §函数的单调性与导数（2课时）(新授课) §函数的极值与导数（2课时）（新授课）§函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课） §生活中的优化问题举例（2课时）（新授课） §曲边梯形的面积（新授课） §汽车行驶的路程（新授课） §定积分的概念（新授课） §微积分基本定理（新授课）§定积分的简单应用（两课时）（新授课）第一章 导数及其应用一、课程目标：微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了详尽代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
导数、定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛应用。
在本章中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。
学生还将经历求曲边梯形的面积、汽车行驶路程等实际问题的过程，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。
通过本章的学习，学生将体会导数的思想极其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
二、学习目标： 1、变化率与导数（1）、通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
（2）、通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
2、导数的计算（1）、能根据导数的定义，求函数x y xy x y x y x y c y ======,1,,,,32的导数。
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1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
► 考点二 利用图像理解导数的几何意义
1.1. 3 │ 考点类析
y轴 x轴 锐角 钝角
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点二导数的运算法则在求导中的应用 可导
f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x) af′(x)＋bg′(x)
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点三 导数公式及运算法则在切线方程中的应用
切线
导数值 曲线
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点三 复合函数求导
1. 2.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 三维目标
三维目标
【知识与技能】 (1)感受平均变化率的实际背景，理解函数的平均变化率的概 念，会求函数的平均变化率． (2)通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变 化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是 导数． 【过程与方法】 (1)经历由实例抽象出平均变化率的过程，体会平均变化率的 思想及内涵，培养学生观察、归纳、类比、猜想、验证的数学 思想，体验由特殊到一般的逻辑思维过程．
1.2.2 │ 三维目标
【情感、态度与价值观】 (1)通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系， 提高数学的应用意识，培养学生对问题的分析能力与认知能力， 进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置． (2)通过本节课，培养学生对问题的认知能力．学生不用推导 而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系， 达到学有所用．在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激 发学生将所学的知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴 趣；通过对复合函数求导公式的理解培养学生善于发现规律， 认识规律，利用规律的能力，从而培养学生的创新能力．
1.1.2 │ 考点类析
► 考点三 导数定义的应用
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 备课素材
备课素材
1.1.2 │ 备课素材
1.1.2 │ 当堂自测 当堂自测
1.1. 3 │ 考点类析
1.1.3 │ 备课素材
备课素材
1.1.3 │ 备课素材
1.1.3 │ 备课素材
1.1. 3 │ 当堂自测 当堂自测
1.1. 3 │ 当堂自测
1.1. 3 │ 当堂自测
1.1. 3 │ 当堂自测
1.1. 3 │ 当堂自测
1.1. 3 │ 当堂自测
1.1.3│ 备课素材
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
► 考点二 利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间
增函数
减函数
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
► 考点三 利用导数解决含参函数的单调性问题
f′(x)≥0
f′(x)≤0
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
1.3.1 │ 备课素材
备课素材
1.3.1 │ 备课素材
1.3.1 │ 备课素材
1.3.1 │ 备课素材
1. 3.1 │ 当堂自测 当堂自测
1. 3.1 │ 当堂自测
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
► 考点二 瞬时变化率
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
1.1 变化率与导数 1.2 导数的计算 1.3 导数在研究函数中的应用
本章总结提升
2.1 直接证明与间接证明 2.2 数学归纳法
本章总结提升
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算
本章总结提升
第一章 导数及其应用
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
1.2.2 │ 预习探究Biblioteka 1. 2.2 │ 预习探究
1. 2.2 │ 预习探究
1. 2.2 │ 预习探究
1. 2.2 │ 预习探究
1. 2.2 │ 预习探究
1. 2.2 │ 预习探究
1.2.2 │ 备课素材
备课素材
1.2.2 │ 备课素材
1. 2.2 │ 考点类析
考点类析
► 考点一基本函数的导数的简单计算
1.3.1 │ 备课素材
备课素材
1.3.1 │ 备课素材
1. 3.1 │ 考点类析 考点类析
► 考点一 函数图像与导函数图像的应用
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
1. 3.1 │ 考点类析
1.1.3 │ 教学建议 教学建议
引导学生用以直代曲的思想理解导数的几何意义.
1.1.3 │ 新课导入
新课导入
【导入一】 平面几何中我们是怎样判断某直线是否是圆的割线或切线的呢？ 答：当直线与圆有一个交点时，直线与圆相切；当直线与圆有 两个交点时，直线为圆的割线．
1.1.3 │ 新课导入
1.1. 3 │ 预习探究 预习探究
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
► 考点三 曲线的切线方程
y－y0＝f′(x0)·(x－x0) x＝x0
f′(x0)
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数 是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上 很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导 数，我们将研究比较简捷的求导数的方法， 下面我们求几个常用的函数的导数．
1.2. 2 │ 新课导入
1.2. 2 │ 预习探究 预习探究
1.1.2 │ 新课导入
1.1.2 │ 预习探究 预习探究
1.1.2 │ 预习探究
1.1.2 │预习探究
1.1.2 │预习探究
1.1.2 │ 备课素材
备课素材
1.1.2 │ 备课素材
1.1.2 │ 考点类析
考点类析
► 考点一 函数的平均变化率
1.1.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 考点类析
如图 (1)，它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)＝ －4.9t2＋6.5t＋10的图像，图 (2)表示高台跳水运动员的速 度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像．
1. 3.1 │ 新课导入
1.3.1 │ 预习探究 预习探究
1. 3.1 │ 预习探究
1. 3.1 │ 预习探究
1. 3.1 │ 重点难点
重点难点
【重点】 利用导数研究函数的单调性． 【难点】 利用导数研究函数的单调性．
1. 3.1 │ 教学建议 教学建议
本节课要充分利用数形结合思想解决问题.
1. 3.1 │ 新课导入
新课导入
【导入一】 1．回顾以前所学的知识，判断函数单调性的常见方法是什么？ 答：有定义法、图像法，还可以借助于函数的其他性质，例如 奇偶性、周期性等． 【导入二】
1.2. 2 │ 重点难点 重点难点
1.2. 2 │ 教学建议 教学建议
本节公式较多，应在理解的基础上记忆和应用公式.
1.2. 2 │ 新课导入
新课导入
【导入一】 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物
理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y ＝f(x)，如何求它的导数呢？
1.1.2 │ 重点难点
重点难点
【重点】 理解平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 【难点】 平均变化率的概念的理解．
1.1.2 │ 教学建议 教学建议
引导学生从运动的观点理解平均变化率和导数的概念.
1.1.2 │ 新课导入
新课导入
【导入一】 我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气 球内空气体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学角 度，如何描述这种现象呢？ 答：气球的半径增加的速率越来越慢．
1.1. 3 │ 预习探究
1.1. 3 │ 预习探究
1.1. 3 │ 预习探究
1.1.3 │ 备课素材
备课素材
1.1.3 │ 备课素材
1.1. 3 │ 考点类析 考点类析
► 考点一 曲线的切线及切线的斜率
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1. 3.1 │ 当堂自测
1. 3.1 │ 当堂自测