高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.1 1
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2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1 章末高效整合 精品
2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 α 的终边 与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sin α，x＝cos α，xy＝tan α(x≠0)． 即①y 叫作 α 的正弦，记作 sin α； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cos α； ③xy叫作 α 的正切，记作 tan α.
A．ω＝2π，φ＝π6 B．ω＝π，φ＝π6 C．ω＝π，φ＝π3 D．ω＝2π，φ＝π3
(2)经过怎样的变换由函数 y＝sin 2x 的图象可得到 y＝cos x＋π4的图象？ 解析： (1)由函数的图象可知 A＝2，T＝4×56－13＝2，所以 ω＝2Tπ＝π，因 为函数的图象经过13，2，所以 2＝2sinπ3＋φ，得π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，因为|φ| ＜π2，所以取 k＝0，所以 φ＝π6，所以 ω＝π，φ＝π6.
(2)利用诱导公式，可以把任意角的正弦、余弦函数值化为锐角三角函数值， 其一般步骤为：负化正(公式三或一)、大化小(公式一)、锐角求值(公式二或四)．
化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过 程．
5．探究性质应用，对比周期公式 (1)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的周期是 2π，y＝tan x 的周期是 π；函数 y＝ Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|2ωπ|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是|ωπ|. (2)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的有界性为－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1；函数 y＝ tan x 没有最值，其有界性可用来解决三角函数的最值问题． (3)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角 转化到同一单调区间内．求形如 f(ωx＋φ)(f 为 sin，cos，tan)的单调区间时，应 采用整体代换的思想将 ωx＋φ 视为整体，求解时注意 x 的范围以及 ω，f 的符号 对单调性的影响．
高中数学必修4 三角函数(1)
高中数学必修4 三角函数（1）一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ；与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ；与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y x =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角 ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于o90的角”= ；（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值lrα=，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；周长公式 二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，x y O x y O则=αsin ；=αcos ；=αtan如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：ααπ⇒+k 2： ， ， ；ααπ⇒+： ，， ；αα⇒-： ， ， ；ααπ⇒-： ， ， ；ααπ⇒-2：， ， ；ααπ⇒-2： ， ， ；ααπ⇒+2：， ， ；ααπ⇒-23： ， ， ；ααπ⇒+23： ， ， ；诱导公式可用概括为：奇变偶不变，符号看象限（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
高中数学 必修四 1.1.1任意角和弧度制
36
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
Office组件之word2007
思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
Office组件之word2007
1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
Office组件之word2007
思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.2 三角函数线
,������∈Z
=
������
������
=
������π
+
3π 4
,������∈Z
, 如图.
题型一 题型二 题型三
题型二
解简单的三角不等式
【例 2】 解不等式 sin α≥− 12.
解:如图,作直线
y=−
1 2
交单位圆于A,B
两点,则∠xOA=
76π,∠
xOB=− π6.
又
sin
α≥−
1 2
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】 已知 cos α≥12 , 试求出角������的集合. 解:
如图,在平面直角坐标系内作直线
x=
1 2
交单位圆于A,B
两点,当
α
的
终边落在阴影部分时,cos α≥12 , 所以角α 的集合为
������
2�����≤
2������π
2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交 点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或反 向延长线)的交点.
3.三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴的正方向或y轴的正 方向同向的为正值,与x轴的正方向或y轴的正方向反向的为负值.
4.三角函数线的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后. 5.三角函数线的意义:三角函数线的方向表示三角函数值的符号; 三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.
x+ 3 > 0,
即
cos
x≥−
1 2
,
且sin
x>
−
23.
由
cos
x≥−
1 2
,
高中数学(新课标人教A版)必修4_第一章三角函数精品课件_1[1].4三角函数的图象与性质(3课时)
![高中数学(新课标人教A版)必修4_第一章三角函数精品课件_1[1].4三角函数的图象与性质(3课时)](https://img.taocdn.com/s3/m/07cb65f3f705cc1755270923.png)
1.4.1
正弦、余弦函数的 图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T
-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k
2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k
2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升 练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
正弦、余弦函数的 图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T
-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k
2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k
2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升 练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义
解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(������∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】 若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ������的值为( )
A.
2 2
B.
−
2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
������
=
−
2 2
,
则sin
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
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01 明目标
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填要点 记疑缺
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明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
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(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
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(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
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1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
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4.象限角的集合表示
α终边所在 角α的集合 {α|k· 360°<α<k· 360°＋90°，k∈Z} _________________________________ {α|k· 360°＋90°<α<k· 360°＋180°，k∈Z} _________________________________________ {α|k· 360°＋180°<α<k· 360°＋270°， __________________________________________
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规律方法
解答此类题目应先在 0°～360°上写出角的集合，
再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集
合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界 的差异.
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【训练3】 如图，若角α的终边落在函数y＝x(x≥0)与y＝
－x(x≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内， 求角α的集合.
类型 正角 负角 零角 定义 逆时针方向旋转 形成的角 按_______________ 图示
顺时针方向旋转 形成的角 按________________
没有作任何旋转 ，称它形 一条射线 _______________ 成了一个零角
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2.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几 ____ 象限角 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任 ______. 何一个象限. 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S α＋k· 360°，k∈Z ，即任一与角α终边相同的角， ＝{β|β＝__________________} 整数个周角 的和. 都可以表示成角α与_____________
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规律方法
解答本题关键是找到 0°～360°范围内，终边落
在直线 y＝x 的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关 系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化 成最简.
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【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S.
解 S＝{α|α＝k· 360°，k∈Z}∪{α|α＝k· 360°＋180° ，k∈Z} ＝{α|α＝2k· 180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)· 180°，k∈Z} ＝{α |α＝n· 180°，n∈Z}.
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类型三 区域角的表示(互动探究) 【例3】 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
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[思路探究] 探究点一 提示 终边落在阴影部分的角可分成哪几部分？
可分为 x 轴上方部分和 x 轴下方部分. 终边落在同一条直线上的角有怎样的关系？
探究点二 提示
终边落在同一条直线上的角相差 180°的整数倍. 边界为实线与虚线有区别吗？
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(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，
与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.
(3) 因为－ 950 ° 15′ ＝－ 3×360 °＋ 129 ° 45 ′ ，所以在 0 °～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角， 它是第二象限角.
(3)若角α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0°.( × )
(4)若两个角始边相同，终边也相同，则这两个角相等.( × ) 提示 (1)第一象限角仅仅是终边位置在第一象限，如
α＝－330°角不一定是锐角，故错. (2)负角小于90°，但不是锐角，故错. (3)α＋β＝k· 180°，k∈Z，故错. (4)两个角可能相差360°的整数倍，故错.
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
目标定位 1. 认识角的扩充的必要性，了解任意角的
概念；2.能用集合和数学符号表示终边相同的角；3.能 用集合和数学符号表示象限角及终边满足一定条件的
角.
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自 主 预 习
1.角的概念 一条射线 绕着______ 端点 从一 (1)角的概念：角可以看成平面内_________ 旋转 到另一个位置所成的图形. 个位置______ (2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
解
(1)用 2 010°除以 360°商为 5，余数为 210°.
∴k＝5.∴α＝5×360°＋210°，又 β＝210°是第三象限角. ∴α 为第三象限角. (2)与 2 010°终边相同的角：θ ＝k· 360°＋2 010°(k∈Z)， 令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)， 7 7 解得－612≤k<－312(k∈Z)，所以 k＝－6，－5，－4. 将 k 的值代入 k· 360°＋2 010°中得： 角 θ 的值为－150°，210°，570°.
限角；390°的角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和 30°角不相等，但终边相同；故 A、B、C 均不正确.对于 D， 由终边相同的角的概念可知正确.
答案 D
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3.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝_____.
解析 由于直线 y＝－x 是第二、四象限的角平分线，
在 0°～360°间所对应的两个角分别是 135°和 315°， 从而 S＝{α|α＝k· 360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k· 360° ＋315°， k∈Z}＝{α|α＝2k· 180°＋135°， k∈Z}∪{α|α ＝ (2k ＋ 1)· 180 ° ＋ 135 ° ， k ∈ Z} ＝ {α|α ＝ n· 180 ° ＋ 135°，n∈Z}.
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答案 D
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类型二 终边相同的角
【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适 合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
解 直线 y＝x 与 x 轴的夹角是 45°， 在 0°～360°范围内， 终边在直线 y＝x 上的角有两个：45°，225°.因此，终边 在直线 y＝x 上的角的集合：
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2.手表时针走过2小时，时针转过的角度为(
A.60°
解析
)
B.－60°
C.30°
D.－30°
由于时针是顺时针旋转， 故时针转过的角度为负
2 数，12×360°＝60°，故时针转过的角度为－60°.
答案 B
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3.下列各角中与330°角终边相同的角是(
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求在 0°～360°范围内与已知角终边相同的角，
并判断其为第几象限角，关键是将所给的角写成 α＋k· 360° (k∈Z)的形式，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式 求三角函数的值打基础.
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【训练1】 给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；
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[课堂小结]
1. 本节课在介绍将角的概念推广的必要性的基础上，
定义了正角、负角、零角(按旋转方向)； 2. 按终边所在平面直角坐标系上的位置定义了象限角； 3.难点是利用集合表示终边相同的角及区域角.
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1.－361°的终边落在(
A.第一象限
)
B.第二象限
C.第三象限
答案 四
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类型一 象限角的判定
【例1】 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的
角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210° ，所以在 0°～360° 范
围内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限 角.
答案 {α|α＝n· 180°＋135°，n∈Z}
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4.已知角α＝2 010°.
(1)把 α 改写成 k· 360°＋β(k∈Z，0°≤β <360°)的形式，并 指出它是第几象限角； (2)求 θ，使 θ 与 α 终边相同，且－360°≤θ <720°.
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)
A.510°
B.150°
C.－150°
D.－390°
解析 与 330°终边相同的角可表示为 α＝330°＋k· 360° (k∈Z)，令 k＝－2，则 α＝－390°.
答案 D
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4.－60°是第象限角.
解析 －60°是顺时针旋转 60°(以 x 轴的非负半轴的为
始边)所得角，故－60°为第四象限角.
探究点三 提示
有.实线表示边界角能取到，虚线表示边界角取不到.
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解
设终边落在阴影部分的角为 α，角 α 的集合由两部分组成.
①{α |k·360°＋30°≤α <k·360°＋105°，k∈Z}. ②{α |k·360°＋210°≤α <k·360°＋285°，k∈Z}. ∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集： {α |k·360°＋30°≤α <k·360°＋105°，k∈Z} ∪{α |k·360°＋210°≤α <k·360°＋285°，k∈Z} ＝{α|2k· 180°＋30°≤α <2k·180°＋105°，k∈Z} ∪{α |(2k＋1)180°＋30°≤α <(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|2k· 180°＋30°≤α <2k·180°＋105°或(2k＋1)· 180°＋ 30°≤α <(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|n· 180°＋30°≤α <n·180°＋105°，n∈Z}.