2020-2021学年高一数学课时同步练习 第五章 三角函数章末综合检测
第五章：三角函数 章末测试(解析版)
第五章：三角函数章末测试一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（ ）A ．53πB ．2360(3k k π+∈Z ) C ．22(3k k ππ+∈Z ) D ．2(21)(3k k ππ++∈Z ) 【答案】C【解析】与角23π终边相同角可以表示为2{|2,3k k πααπ=+∈Z } 对A ，由2{|2,3k k πααπ=+∈Z }找不到整数k 让53πα=，所以A 错误 对B ，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B 错误，对D 项，当0k =时，角为53π，当1k =-时，角为3π-，得不到角23π，故D 错误，故选：C.2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（ ） A ．32 B ．24 C ．62D ．82【答案】D【解析】圆心角2α=，扇形面积212S r α=，即21822r =⨯⨯，得半径22r =所以弧长42l r α==故扇形AOB 的周长24222282L l r =+=⨯=故选：D3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】因为270305360<<，所以305为第四象限角，所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限；故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ）A 47-B 47+C 47+D 47-【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=， 即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=， 解得47tan α-=47tan α+= 因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故47tan 3α=.故选：A 5．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）函数()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．=2sin 23x y π-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．=2sin 23y x π-⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可得2A =，因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===， 由函数过点,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2sin 2+=212π-ϕ⎡⎤⎛⎫⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以262k ππϕπ-+=+，Z k ∈，即223k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，所以22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：A 6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 2+3α⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．79- B ．23-C ．23D ．79【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππcos 212sin 36171299αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎭⎝⎭=⎪⎝.故选：D. 7．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向右平移π12个单位 【答案】D【解析】因为ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππsin 2sin 261y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ61212-=， 所以由πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像转化为πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭需要向右平移π12个单位.故选：D.8．（2020·安徽亳州·高一期末）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ2,2666x m ⎛⎤+∈+⎥⎝⎦， 结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2,633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·全国·高一课时练习）已知直线π8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（ ）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值【答案】AC【解析】因为直线π8x =是函数()sin(2)(0f x x ϕϕ=+<π)<图象的一条对称轴，所以ππ2π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，所以π4ϕ=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．ππsin 2cos 282f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，故A 正确；令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，解得:ππ()28k x k =+∈Z ， 所以()f x 图象的对称轴方程为ππ()28k x k =+∈Z ，而3π8x =不能满足上式，故B 错误；当ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 单调递减，故C 正确；显然函数()f x 的最小值为1-，当π2x =时，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ2sin 2242⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC ．10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则下列等式中正确的是（ ） A ．tan tan 2tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= C ．tan()2tan tan +=B C B C D ．tan tan tan 1=A B C【答案】AB【解析】由sin 2sin sin A B C =，得sin()B C +=sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C +=等式两边同时除以cos cos B C ，所以tan tan B C +=2tan tan B C ，故选项A正确；由tan tan tan()1tan tan ++==-A BA B A Btan()tan π-=-C C ，得tan tan A B +=tan tan tan A B C tan C -，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故选项B 正确． 假设tan()2tan tan +=B C B C ，由选项A 得tan()tan tan ,B C B C +=+tan tan tan 0A B C ∴++=,因为ABC 是锐角三角形，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>tan tan tan 0A B C ∴++>，与tan tan tan 0A B C ++=矛盾，所以选项C 错误；假设tan tan tan 1=A B C ，所以1tan tan tan B C A=， 由选项A 得tan tan B C +=222(1tan tan )tan tan()(tan tan )B C A B C B C -==-+-+，化简得22tan tan 2B C +=-显然不成立，所以选项D 错误.故选：AB11．（2022·浙江·高一期中）函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，则（ ）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴 【答案】AB【解析】因为π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，所以1A =，又函数()f x 的图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()10sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，则()π()sin 6f x x ω=-，πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则πππ2π,Z 362k k ω-=+∈，所以26,Z k k ω=+∈， 由图可知ππ23T ω=>，所以03ω<<，所以2ω=， 所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ，因为πsin 0012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故C 错误；对于D ，7π7ππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是最值，所以7π12x =不是函数()f x 的一条对称轴，故D 错误.故选：AB.12．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知m 为整数，若函数()sin cos 1sin 22m f x x x x =++--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则满足题意的m 可以是下列哪些数（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】ABC【解析】因为3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设sin cos 22,04t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，21sin cos 2t x x -=， 则()2112m t t =+--，即221922,2224m t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭， 亦即22,4m ⎡⎤∈-⎣⎦．故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·天津南开·高一期末）cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3【解析】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒= 14．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四【解析】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3224k k παπππ+<<+，Z k ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角， 当k 为奇数时，2α为第四象限角.15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]0,1 【解析】因为ππ23a a >-，所以0a >， 所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈．16．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数()()()33sin 3f x x x θθ=--- [],0θπ∈-是奇函数，则θ=______；【答案】3π-【解析】()()()3133sin 32[)sin(3)]2f x x x x x θθθθ---=--- 2[coscos(3)sin sin(3)]2cos(3)666x x x πππθθθ=---=-+，它是奇函数，则,Z 62k k ππθπ-+=+∈，3k πθπ=--，Z k ∈，又[,0]θπ∈-，所以3πθ=-．四、解答题：本小题共6小题，共70分。
2020-2021学年高一数学课时同步练习 第五章 三角函数章末综合检测
2020-2021学年高一数学课时同步练习第五章 三角函数 章末综合检测第Ⅰ部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<< 所以角α在第二象限 2．函数2sin 6xy π=，x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．12 B ．6C ．12πD ．6π 【答案】A【解析】函数2sin6xy π=的最小正周期为：2126T ππ==.3．下列函数中，既是奇函数又在区间()1,1-上是增函数的是（ ） A ．1y x=B ．tan y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =【答案】B【解析】A 选项，1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 不满足题意； D 选项，余弦函数cos y x =是偶函数，故D 不满足题意；B 选项，正切函数tan y x =是奇函数，且在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故在区间()1,1-是增函数，即B 正确；C 选项，正弦函数sin y x =是奇函数，且在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以在区间()1,1-是增函数；因此sin y x =-是奇函数，且在()1,1-上单调递减，故C 不满足题意.4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( ) A ．135平方米 B ．270平方米C ．540平方米D ．1080平方米【答案】B【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.5．已知cos 5α=，()sin 10αβ-=-，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．2 B ．4C D ．12【答案】A 【解析】解：α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴sin 5α==，,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()sin 010αβ-=-<， ∴,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴()cos 10αβ-==.∴()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=⋅-+⋅-2531051022⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭. 6．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数【答案】C【解析】原函数利用诱导公式化简为：()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A,B 正确，函数的对称轴由：()2x k k Z π=∈得到：()2k x k Z π=∈，显然，无论k 取任何整数，4x π≠，所以C 错误，答案为C.7．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x∈时，()0f x<，所以排除选项C，选D.8．函数()sin()f x A xωϕ=+(0,0,2Aπωϕ＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63x xππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且()()12f x f x=，则12()f x x+=（）A．1 B．12C．22D3【答案】D【解析】由图象可知，1,()2362TAπππ==--=，即Tπ=，所以2ω=，即()sin(2)f x xϕ=+，又因为()03fπ=，则sin(2)03πϕ⨯+=，解得2,3k k Zπϕπ=-+∈，又由2πϕ＜，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x xπ=+，又因为()36212πππ+-=，所以图中的最高点坐标为,112π⎛⎫⎪⎝⎭.结合图象和已知条件可知122126x xππ+=⨯=，所以1223()()sin(2)sin6633f x x fππππ+==⨯+==，故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设函数()sin2cos244f x x xππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x( )A．是偶函数B．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C．最大值为2 D．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AD【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误；选项C ：()2f x x =，错误；选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 错误.10．定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．sin β=B ．1cos()4πβ+=C ．tan β=D ．tan β=【答案】AC【解析】∵1sin()sin 4παα+=-=-，∴1sin 4α=， 若2παβ+=，则2πβα=-.A 中，sin sin cos 2πβαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭故A 符合条件；B 中，1cos()cos sin 24ππβαα⎛⎫+=--=-=- ⎪⎝⎭，故B 不符合条件；C 中，tan β=sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin β=， 故C 符合条件；D 中，15tan 5β=，即15sin cos 5ββ=， 又22sin cos 1ββ+=，所以6sin β=±， 故D 不符合条件.11．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的叙述正确的是（ ） A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．f (x )在[－π，π]有4个零点 D ．f (x )的最大值为2 【答案】AD【解析】A .∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故正确； B.当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ，f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故错误； C.当x ∈[0，π]时，令f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π，又f (x )在[－π，π]上为偶函数，∴f (x )＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故错误； D.∵sin|x |≤1，|sin x |≤1，当x ＝2π＋2k π(k ∈Z)或x ＝－2π－2k π(k ∈Z)时两等号同时成立，∴f (x )的最大值为2，故正确．12．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭第Ⅱ部分（选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：19. 14．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________ 【答案】±1【解析】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T aππ==，解得1a =±. 15．函数cos y x π=的单调减区间为__________． 【答案】[]()2,21k k k +∈Z【解析】由22k x k ππππ≤≤+，k ∈Z 得212k x k ≤≤+，k ∈Z ， 即函数cos y x π=的单调减区间为[]()2,21k k k +∈Z .16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1sin 3α=，则sin β=__________，cos 2β=__________． 【答案】13- 79【解析】因为角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称 所以1sin sin 3βα=-=-所以2217cos 212sin 1239ββ⎛⎫=-=-⋅-= ⎪⎝⎭ 四、解答题：本小题共6小题，共70分。
2020-2021学年新教材人教A版高一数学必修第一册 第五章 三角函数 单元测试
2020-2021学年新教材高一数学人教A 版必修第一册第五章 三角函数 单元测试题一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知扇形的圆心角为2 rad ，弧长为4 cm ，则这个扇形的面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．1 cm 22．已知a ＝tan 5π12，b ＝cos 3π5，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4，则( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b3．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6等于( ) A.35 B.45C ．－35D ．－455．函数f (x )＝x sin x 的图象大致是( )6．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α7．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为( )A ．75米B ．85米C ．(50＋253)米D ．(60＋253)米8．已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0,2π]，则函数f (x )的所有零点之和等于( )A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( )A ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2C ．y ＝sin|2x |D ．y ＝|sin x |10．已知sin θ＝－23，且cos θ>0，则( )A ．tan θ<0B ．tan 2θ>49C ．sin 2θ>cos 2θD ．sin 2θ>011．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )在[0，π]上有三个零点C ．当x ＝π8时，函数f (x )取得最大值D ．为了得到函数f (x )的图象，只要把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)12．若函数f (x )＝1＋4sin x －t 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π上有2个零点，则t 的可能取值为( )A ．－2B ．0C ．3D ．4三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．tan 15°＝________.14．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．15．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则A ＝________.16．已知函数f (x )＝3sin 3x －a cos 3x ＋a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫29π＝3，则实数a ＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点A ，且点A 的纵坐标为45.(1)求cos α和sin α； (2)求tan 2α的值．18．(12分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．19．(12分)(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 2(π－α)＋2sinαsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋1的值； (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－θ的值．20．(12分)在①tan α＝43，②7sin 2α＝2sin α，③cos α2＝277这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos(α＋β)＝－13，________，求cosβ.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最值，并求出取最值时x 的值；(3)求不等式f (x )≥2的解集．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的表达式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，若关于x 的方程f (x )＋g (x )－a ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有实数解，求实数a的取值范围．三角函数单元测试参考答案1．解析：设半径为R ，由弧长公式得4＝2R ，即R ＝2 cm ，则S ＝12×2×4＝4 (cm 2)，故选A.答案：A2．解析：a ＝tan 5π12>1，b ＝cos 3π5<0,1>c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cosπ4>0.∴a ＞c ＞b .则12<t －14<1或－1<t －14<0，解得3<t <5或－3<t <1，故选ABD. 答案：ABD13．解析：tan 15°＝tan(45°－30°)＝1－tan 30°1＋tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.答案：2－ 314．解析：由图象可知：当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＝－1时，y min ＝k －3＝2，∴k ＝5，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＝1时，y max ＝5＋3＝8. 答案：8 15．解析：由sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，得sin A ＝2sin B ①. 由3cos A ＝－2cos(π－B )，得3cos A ＝2cos B ②. 由①2＋②2得：sin 2A ＋3cos 2A ＝2，即2cos 2A ＝1.由②和A ，B 为三角形的内角，可知角A ，B 均为锐角，则cos A ＝22.所以A ＝π4.答案：π416．解析：①因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫29π＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝3sin 2π3－a cos 2π3＋a ＝3，解得：a ＝1；②将a ＝1代入，得f (x )＝3sin 3x －cos 3x ＋1，化简得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6＋1，故－π2＋2k π≤3x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z。
2020-2021学年高一数学课时同步练习第五章第1节任意角和弧度制
第五章 三角函数 第1节 任意角和弧度制一、基础巩固1．（2020·南昌县莲塘第二中学期末）下面与角233π终边相同的角是（ ） A ．43π B ．3π C ．53π D ．23π 【答案】C 【解析】解：因为235633πππ=+.所以233π与53π的终边相同.2．（2020·山东省五莲县第一中学月考）300-化为弧度是（ ） A ．43π-B ．53π-C ．23π-D ．56π-【答案】B 【解析】300530023603ππ-=-⨯=-3．（2020·辽宁大连·高一期末）若42ππα<<，则点()cos sin ,sin tan P αααα--位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由42ππα<<知：cos sin 1tan ααα<<<∴cos sin 0αα-<，sin tan 0αα-< 故，P 位于第三象限4．（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ）． A ．8cm 2 B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A【解析】解：设扇形的半径为r cm ， ∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ， ∴2412r r +=，得2r，∴此扇形的面积214282S =⨯⨯=（cm 2）5．（2019·新疆高一期末）若sin cos 0αα⋅>，则角α的终边在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限【答案】B【解析】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩当sin α>0cos α>0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第一象限，当sin α<0cos α<0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第三象限. 6．（2020·河南商丘·月考（理））中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（ ） A ．7点36分 B ．7点38分C ．7点39分D ．7点40分【答案】B【解析】设7点t 分()060t <<时针OA 与分针OB 重合. 在7点时，时针OC 与分针OD 所夹的角为210︒， 时针每分钟转0.5︒，分针每分钟转6︒，则分针从OD 到达OB 需旋转6t ︒，时针从OC 到达OA 需旋转0.5t ︒， 于是60.5210t t ︒=︒+︒，解得2383811t =≈（分）7．（2020·安徽省泗县第一中学开学考试）已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值为（ ） A ．1B ．－1C ．22D ．－22【答案】B【解析】因为角α终边过点P (1，－1)， 所以由正切函数定义知1tan 1α-=＝－1. 8．（2020·天水市第一中学期中）如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．B ．sin0.5C ．2sin0.5D ．tan0.5【答案】A【解析】设圆的半径为r ，则有sin0.51r ⋅=，可得1sin 0.5r =，所以这个圆心角所对的弧长为11sin 0.5r ⋅=，故选A ．9．（2020·广东高一期末）下列说法正确的是（ ） A ．终边相同的角一定相等 B ．831-︒是第二象限角C ．若角α，β的终边关于x 轴对称，则360αβ+=︒D ．若扇形的面积为35π，半径为2，则扇形的圆心角为310π 【答案】D【解析】A ：1,361︒︒两个角的终边相同，但是这两个角不相等，故本说法错误；B ：8313360249︒︒-︒=-⨯+，而180249270︒︒︒<<，所以831-︒是第三象限角，故本说法错误；C ：当1,1αβ︒︒==-时，两个角的终边关于x 轴对称，而0360αβ+=︒≠︒，故本说法错误；D ：设扇形的弧长为l ，因为扇形的面积为35π，半径为2，所以有3132525l l ππ=⨯⇒=，因此扇形的圆心角为3210l π=. 10．（2020·湖北黄冈·高一月考）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin22.513︒≈，1尺=10寸）（）A．6.33平方寸B．6.35平方寸C．6.37平方寸D．6.39平方寸【答案】A【解析】连接OC，设半径为r，5AD=寸，则1OD r=-在直角三角形OAD中，222OA AD OD=+即()22251r r=+-，解得13r=则5sin13AOC∠=，所以22.5AOC∠=则222.545AOB∠=⨯=所以扇形OAB的面积21451316966.333608Sππ⨯⨯===三角形OAB的面积211012602S=⨯⨯=所以阴影部分面积为1266.3360 6.33S S-=-=11．（2020·安徽高三月考（文））达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A、B间的圆弧长为l、嘴角间的距离为d、圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（）A．sin2=dlθθB．2sin2=dlθθC．cos2=dlθθD．2cos2=dlθθ【答案】B【解析】设该圆弧所对应的圆的半径为r ，则2sin2r d θ=，⋅=r l θ，两式相除得2sin2=dlθθ 12．（2020·永州市第四中学高一月考）点P 从(1,0)点出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A ．13,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意可知1r =， 根据三角函数的定义可知1cos32x r π==，3sin 3y r π==， 所以点Q 的坐标是13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.13．（2020·广东梅州·高三其他（理））在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm【答案】B【解析】如图所示，AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，则643258AB cm =⨯=15CD cm =设弧AB 所在圆的半径为r ，则222()r r CD AC =-+22(15)129r =-+解得562r cm ≈129sin 0.23562AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，AB 长5620.46258.5≈⨯≈所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π≈⇒<所以弧长5622946π<⨯≈.14．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）设2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】∵2α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角，∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角.15．（2020·上海高三专题练习）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】如图所示：由题意可知，小圆1O 总与大圆O 相内切，且小圆1O 总经过大圆的圆心O ， 设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处的位置为点M '， 则大圆圆弧MA 与小圆M 转过的圆弧相等，以切点A 在如图上运动为例，记直线OM 与此时小圆1O 的交点为1M ， 记0,2AOM πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则1111OM O M OO θ∠=∠=， 所以111111M O A M OO OM O ∠=∠+∠2θ=，所以大圆圆弧MA 的长为11l θθ=⨯=，小圆圆弧1AM 的长为2122l θθ=⨯=， 所以12l l =，所以小圆的圆弧1AM 与圆弧AM '的长相等，所以点1M 与点M '重合，即动点M 在线段MO 上运动， 同理可知，此时点N 在与MO 垂直的线段上运动，点A 在其它位置类似可得，M 、N 的轨迹为互相垂直的线段. 观察四个选项可知，只有选项A 符合.16．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列与412︒角的终边相同的角是（ ） A ．52︒ B ．778︒ C ．308-︒ D ．1132︒【答案】ACD【解析】因为41236052=︒︒+︒，所以与412︒角的终边相同角为36052,k k Z β=⨯︒+︒∈， 当1k =-时，308β=-︒， 当0k =时，52β=︒， 当2k =时，772β=︒， 当3k =时，1132β=︒， 当4k =时，1492β=︒， 综上，选项A 、C 、D 正确.17．（多选题）已知α是第三象限角，则2α可能是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】BD【解析】因为α是第三象限角，所以3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 3224k k παπππ∴+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，2α是第二象限角；当k 为奇数时，2α是第四象限角 18．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π C ．1rad 的角比1的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】ABC【解析】由题意，对于A 中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以是正确的； 对于B 中，周角为360，所以1的角是周角的1360，周角为2π弧度，所以1rad 的角是周角的12π是正确的；对于C 中，根据弧度制与角度制的互化，可得1801rad 1π=>，所以是正确；对于D 中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D 项是错误的. 19．（多选题）（2020·重庆高一月考）设α是第三象限角，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD 【解析】α是第三象限角，360180360270k k α∴⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，则180901801352k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，令2k n =，n Z ∈ 有360903601352n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在二象限；21k n =+，n z ∈，有3602703603152n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在四象限；二、拓展提升1．（2020·浙江课时练习）若点(2,3)(0)P m m m -<在角α的终边上，求sin ,cos ,tan ααα的值． 【解析】由题意，知点(2,3)(0)P m m m -<在第二象限，且r =．故3sinm r α-=== 2cosm r α===33tan 22m m α-==-． 2．（2020·全国高一课时练习）已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z αα=+⋅∈， 终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z αα=+⋅∈；（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈.3．（2020·全国高一课时练习）写出终边在直线3y x =上的角的集合. 【解析】直线33y x =的倾斜角为6πα=，所以终边在直线33y x =上的角为=2,6k k Z πβπ+∈或7=2,6k k Z πβπ+∈， =2(21),66k k k Z ππβπππ++=++∈，综合得终边在直线33y x=上的角为=,6k k Z πβπ+∈， 所以终边在直线33y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z πββπ+∈.4．（2020·南昌县莲塘第二中学期末）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度. （1）求这个圆心角所对的弧长； （2）求这个扇形的面积.【解析】∵扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角α=2弧度，∴扇形半径为1sin1r =． （1）这个圆心角所对的弧长为122sin1sin1l r α==⨯=． （2）扇形面积为21121122sin1sin1sin 1S lr ==⨯⨯=．。
2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：检测试题第五章 三角函数
C)
B．－
3 3
53 C. 9
D．－
6 9
解析：根据条件可得
α＋π4∈π4，34π
，π4－
β 2
∈π4，π2
，
所
以
sinα＋π4＝23 2，sinπ4－β2＝ 36，
所以 cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2 ＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋
sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×
33＋2 3 2×
图象的交点的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：在同一坐标系中，首先作出 y＝sinx 与 y＝tanx 在 －π2，π2内的图象，需明确 x∈0，π2时，有 sinx<x<tanx(利用单位 圆中的正弦线、正切线结合面积大小的比较就可证明)，然后作出 x∈－32π，32π的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有 3 个交点．
5．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 的图象如图，则 S＝f(0)＋f(1)
＋…＋f(2 016)等于( C )
A．0
B．503
C．2 017
D．2 012
解析：由题意知，函数 f(x)＝12sinπ2x＋1，周期 T＝4.
S＝f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝504[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋1＝
A.0，π3
B.1π2，172π
C.π3，56π
D.56π，π
解析：y＝2sinπ6－2x＝－2sin2x－π6，原函数的单调递增区 间就是 y＝2sin2x－π6的单调递减区间，即 2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋ 32π，k∈Z，kπ＋π3≤x≤kπ＋56π，k∈Z，对比各选项，令 k＝0，得 选项 C 正确．
高一数学第五章弧度制与三角函数 章末质量评估
第五章 章末质量评估 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在[0,2π]范围内，与角－4π3终边相同的角是( C ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π3解析：与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得[0,2π]内与角－4π3终边相同的角是2π3.故选C.2．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( C ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8解析：令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．令k ＝0，得x ＝π8.3．sin 600°＋tan 240°的值等于( B ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D ．12＋ 3解析：sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32，tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，因此sin 600°＋tan 240°＝32. 4．若角α的终边过点(1，－2)，则sin 2α＝( D ) A ．35B ．－35C ．45D ．－45解析：x ＝1，y ＝－2，r ＝x 2＋y 2＝5，所以sin α＝－25，cos α＝15， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－25×15＝－45.5．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风(如图)，扇环外环弧长为2.4 m ，内环弧长为0.6 m ，径长(外环半径与内环半径之差)为0.9 m ，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为( C )A ．1.20 m 2B ．1.25 m 2C ．1.35 m 2D ．1.40 m 2解析：设扇环的圆心角为α，内环半径为r 1，外环半径为r 2，则r 2－r 1＝0.9.由题意可知，αr 1＝0.6，αr 2＝2.4，所以α(r 1＋r 2)＝3，所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S ＝12α(r 22－r 21)＝12α(r 1＋r 2)·(r 2－r 1)＝12×3×0.9＝1.35(m 2)．6．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( B ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．7．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，将函数f (x )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若g (x )为偶函数，则φ的最小值是( A )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，将函数f (x )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－5π6的图象．若g (x )为偶函数，则2φ－5π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝－1，求得φ的最小值为π6.故选A.8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( C ) A ．1 B ．22 C ．12D ．32解析：由题意，得T 4＝5π12－π6，解得T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)．将点P ⎝⎛⎭⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12.故选C. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列结论正确的是( BC ) A ．－7π6是第三象限角B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C ．若角α的终边上有一点P (－3,4)，则cos α＝－35D ．若角α为锐角，则角2α为钝角解析：选项A 中，－7π6＝－2π＋5π6是第二象限角，A 错误；选项B 中，设半径为r ，则π3·r ＝π⇒r ＝3⇒S ＝12×π3×32＝3π2，B 正确；选项C 中，(－3)2＋42＝5，∴cos α＝－35，C正确；选项D 中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D 错误．故选BC.10．已知函数f (x )＝cos 2x －1sin 2x ，则有( BCD )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 C ．函数f (x )是奇函数 D ．函数f (x )的最小正周期为π解析：因为f (x )＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )是周期为π的奇函数，图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称．故选BCD.11．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( BCD )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8 s解析：由题图可知，振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，故A 错，D 正确；该质点的振幅为5 cm ，B 正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s 和0.7 s 时运动速度最大，在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零，故C 正确．故选BCD.12．已知函数f (x )＝sin x cos x －cos 2x ，下列命题正确的是( BC ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π8上单调递增 C ．直线x ＝3π8是函数f (x )图象的一条对称轴D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝22sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到 解析：f (x )＝12sin 2x －1＋cos 2x 2＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－12，显然A 错；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π8时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，函数f (x )单调递增，故B 正确；令2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝38π＋k π2，k ∈Z ，显然x ＝3π8是函数f (x )图象的一条对称轴，故C 正确；y ＝22sin 2x 的图象向右平移π8个单位得到y ＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，故D 错． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．质点P 的初始位置为P 1(3，1)，它在以原点O 为圆心，半径为2的圆上逆时针旋转150°到达点P 2，则质点P 经过的弧长为5π3；点P 2的坐标为__(－2,0)__． 解析：根据弧长公式可得l ＝|α|r ＝⎪⎪⎪⎪5π6×2＝5π3.设OP 1与x 轴的夹角为θ，则tan θ＝33，解得θ＝30°，所以旋转后点P 2刚好在x 轴的负半轴，所以P 2的坐标为(－2,0)．14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝__2__，函数f (x )的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .解析：由题中图象知T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π.由2πω＝π，得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由五点法，得2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，解得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .15．求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋cos 40°＝2 .解析：原式＝cos 40°＋sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°sin 70°×2cos 20°＝cos 40°＋sin 50°×2cos (60°－10°)cos 10°sin 70°×2cos 20°＝cos 40°＋sin 100°cos 10°sin 70°×2cos 20°＝2cos 220°2cos 220°＝ 2. 16．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，则a 的值等于__－4__.解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知角α是第三象限角，tan α＝12.(1)求sin α，cos α的值； (2)求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：(1)tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，故⎩⎨⎧ sin α＝55，cos α＝255或⎩⎨⎧sin α＝－55，cos α＝－255，而角α是第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，故⎩⎨⎧sin α＝－55，cos α＝－255.(2)原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α＋cos α)(sin α－cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1.∵tan α＝12，∴原式＝tan α＋1tan α－1＝－3.18．(12分)已知把函数g (x )＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数f (x )的图象．(1)求f (x )的最小值及取最小值时x 的取值集合； (2)求f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时的值域． 解：(1)由已知，得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1.当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－1时，f (x )min ＝－2＋1＝－1，此时2x －π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝k π－π12，k ∈Z ，故f (x )取最小值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π12，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，从而－3＋1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1≤3，即f (x )的值域为[－3＋1,3]． 19．(12分)已知函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.20．(12分)在①tan(π＋α)＝2，②sin(π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos(－α)，③2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：已知________． (1)求3sin α＋2cos αsin α－cos α的值；(2)当α为第三象限角时，求sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫α－3π2的值． 解：若选择①：tan(π＋α)＝tan α＝2. (1)3sin α＋2cos αsin α－cos α＝3tan α＋2tan α－1＝3×2＋22－1＝8.(2)由tan α＝2及α为第三象限角，得sin α＝2cos α<0， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－255，cos α＝－55，所以sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝255－55＋⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－55＝2＋55. 若选择②：由sin(π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos(－α)，得sin α＝2cos α. (1)3sin α＋2cos αsin α－cos α＝3×2cos α＋2cos α2cos α－cos α＝8.(2)由α为第三象限角可知，sin α＝2cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－255，cos α＝－55，所以sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝255－55＋⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－55＝2＋55. 若选择③：由2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，得2cos α＝sin α. (1)3sin α＋2cos αsin α－cos α＝3×2cos α＋2cos α2cos α－cos α＝8.(2)由α为第三象限角可知，sin α＝2cos α<0， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝255－55＋⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－55＝2＋55. 21．(12分)将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s 做圆周运动，P 0是气针的初始位置，气针(看作一个点P )到原点O 的距离为r .(1)求气针P 的纵坐标y 关于时间t 的函数解析式，并求出P 的运动周期； (2)当φ＝π6，r ＝ω＝1时，作出其图象．解：(1)过点P 作x 轴的垂线，设垂足为M ，则MP 就是正弦线． ∴y ＝r sin(ωt ＋φ)，因此T ＝2πω. (2)当φ＝π6，r ＝ω＝1时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π6，其图象可由y ＝sin t 的图象向左平移π6个单位长度得到，如图所示．22．(12分)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程．(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.解：(1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x ．从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25. 依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0,2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5)．②证明：因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m5. 当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)． 所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝⎛⎭⎫m 52－1＝2m 25－1.。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(66)
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1.sin2cos3tan4的值为( )A．0B．负数C．正数D．不存在2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2017)的值等于( )A．√2B．2+2√2C．√2+2D．√2−23.已知f(x)=sinx−cosx，则f(π12)的值是( )A．−√62B．12C．−√22D．√224.在直角坐标系xOy中，已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y=3x上，则sin(3π2−2θ)=( )A．45B．−45C．−35D．125.sin750∘的值为( )A．−√32B．√32C．−12D．126.若tan28∘tan32∘=m，则tan28∘+tan32∘=( )A．√3m B．√3(1−m)C．√3(m−1)D．√3(m+1)7.已知函数f(x)=cosx−∣sinx∣，那么下列命题中假命题是( )A．f(x)是偶函数B．f(x)在[−π,0]上恰有一个零点C．f(x)是周期函数D．f(x)在[−π,0]上是增函数8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，若f(m)≤f(x)≤f(π12)对任意实数x恒成立，且∣∣m−π12∣∣的最小值为π2，则φ等于( )A．π6B．π4C．π3D．2π39.已知sin(π6−x)=12，则sin(19π6−x)+sin2(−2π3+x)=( )A．14B．34C．−14D．−1210.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A．[kπ−14,kπ+34]，k∈Z B．[2kπ−14,2kπ+34]，k∈ZC．[k−14,k+34]，k∈Z D．[2k−14,2k+34]，k∈Z二、填空题（共6题）11.已知ω>0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2√3，则ω=．12.若2sin(α+π6)=3cosα，则tanα=；cos2α=．13.cos(−α)tan(7π+α)sin(π+α)=．14.若函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，∣φ∣<π2，x∈R，两相邻的对称轴的距离为π2，f(π6)为最大值，则函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．15.cos(−2π3)=．16.使函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y轴对称的θ=．三、解答题（共6题）17.请回答：(1) 已知θ是第四象限角，试判断tan(sinθ)⋅tan(cosθ)的符号；(2) 若sin(cosθ)⋅cos(sinθ)>0，试判断角θ的终边的位置．18.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？(1) y=∣sinx∣；(2) y=1−cos2x；(3) y=−3sin2x；(4) y=1+2tanx．19.已知tan2α=2tan2β+1，求证：sin2β=2sin2α−1．20.对于集合A={θ1,θ2,⋯,θn}和常数θ0，定义：μ=cos2(θ1−θ0)+cos2(θ2−θ0)+⋯+cos2(θn−θ0)n为集合A 相对θ0的“余弦方差”．(1) 若集合A={π3,π4}，θ0=0，求集合A相对θ0的“余弦方差”；(2) 求证：集合A={π3,2π3,π}相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，并求此定值；(3) 若集合A={π4,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)，相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，求出α，β．21.已知函数y=3tan(xa −π3)+b，x∈[0,π3]是增函数，值域为[−2√3,0]，求a，b的值．22.已知函数f(x)=√2sin2x+√2cos2x，x∈R．(1) 求f(3π8)的值；(2) 求f(x)的最小正周期；(3) 求f(x)的最大值及取得最大值的x的集合．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】因为 π2<2<3<π<4<32π， 所以 sin2>0，cos3<0，tan4>0， 所以 sin2cos3tan4<0． 【知识点】任意角的三角函数定义2. 【答案】A【解析】由图可知 A =2，φ=2kπ，k ∈Z ，T =8，所以 2πω=8，即 ω=π4，所以 f (x )=2sin π4x ．因为周期为 8，且 f (1)+f (2)+⋯+f (8)=0，所以 f (1)+f (2)+⋯+f (2017)=f (1)=2sin π4=√2．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】C【解析】因为 f (x )=sinx −cosx =√2sin (x −π4)， 所以 f (π12)=√2sin (π12−π4)=√2sin (−π6)=−√22． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】A【解析】因为角 θ 终边落在直线 y =3x 上， 所以 tanθ=3，cos 2θ=110，所以 sin (3π2−2θ)=−cos2θ=−(2cos 2θ−1)=45．【知识点】二倍角公式5. 【答案】D【解析】 sin750∘=sin (2×360∘+30∘)=sin30∘=12． 【知识点】诱导公式6. 【答案】B【解析】tan28∘+tan32∘=tan(28∘+32∘)(1−tan28∘tan32∘) =tan60∘(1−tan28∘tan32∘)=√3(1−m).【知识点】两角和与差的正切7. 【答案】D【解析】对于A，函数f(x)=cosx−∣sinx∣，定义域为R，且满足f(−x)=cos(−x)−∣sin(−x)∣=cosx−∣sinx∣=f(x)，所以f(x)为定义域R上的偶函数，A正确；对于B，x∈[−π,0]时，sinx≤0，f(x)=cosx−∣sinx∣=cosx+sinx=√2sin(x+π4)，且x+π4∈[−3π4,π4]，f(x)在[−π,0]上恰有一个零点是−π4，B正确；对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数f(x)是最小正周期为2π的周期函数，C正确；对于D，x∈[−π,0]时，f(x)=√2sin(x+π4)，且x+π4∈[−3π4,π4]，f(x)在[−π,0]上先减后增，D错误．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】A【解析】sin(π6−x)=12，则sin(19π6−x)+sin2(−2π3+x)=sin(3π+π6−x)+sin2[−π2−(π6−x)]=−sin(π6−x)+cos2(π6−x)=−sin(π6−x)+1−sin2(π6−x)=−12+1−(12)2=14.故选：A．【知识点】同角三角函数的基本关系、诱导公式10. 【答案】D【解析】由题图可得函数的周期为2×(54−14)=2，所以2πω=2，解得ω=π，所以f(x)=cos(πx+φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+φ=π2，解得φ=π4，故f(x)=cos(πx+π4)，令2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，k∈Z，可得2k−14≤x≤2k+34，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[2k−14,2k+34]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】π2【解析】易知函数y=sinx和y=cosx的图象的交点坐标为(π4+2k1π,√22)，(5π4+2k2π,−√22)，k1,k2∈Z，因为ω>0，所以函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点坐标为(1ω(π4+2k1π),√2)，(1ω(5π4+2k2π),−√2)，k1,k2∈Z，取其中三点A(π4ω,√2)，B(5π4ω,−√2)，C(π4ω+2πω,√2)，从而∣AB∣2=(πω)2+(2√2)2=(πω)2+8，∣AC∣2=(2πω)2．（i）当(2πω)2≥(πω)2+8，即0<ω≤√64π时，距离最短的两个交点的距离为∣AB∣，依题意得(πω)2+8=(2√3)2，解得ω=π2，显然π2∈(0,√64π]，故ω=π2符合题意；（ii）当(2πω)2<(πω)2+8，即ω>√64π时，距离最短的两个交点的距离为∣AC∣，依题意得2πω=2√3，解得ω=√3，而√3∉(√64π,+∞)，故ω=√3不符合题意．综上所述，ω=π2．【知识点】正弦函数的图象、余弦函数的图象12. 【答案】2√33；−17【解析】因为2sin(α+π6)=3cosα，所以2(sinαcosπ6+cosαsinπ6)=3cosα，所以√3sinα+cosα=3cosα，所以√3sinα=2cosα，所以tanα=2√33，又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α=47．所以cos2α=1−2sin2α=1−2×47=−17．【知识点】二倍角公式13. 【答案】−1【知识点】诱导公式14. 【答案】[0,π6]和[2π3,π]【解析】由已知T2=π2，解得T=π，所以ω=2，又f(π6)为最大值，可得φ=π6+2kπ，k∈Z，由∣φ∣<π2得φ=π6，所以函数f(x)=sin(2x+π6)，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，当k=0时，x∈[−π3,π6]，当k=1时，x∈[2π3,7π6]，所以f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为[0,π6]和[2π3,π]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】−12【知识点】诱导公式16. 【答案】kπ5+π10,k∈Z【解析】因为函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y轴对称，所以f(−x)=f(x)恒成立．所以3sin(−2x+5θ)=3sin(2x+5θ)，所以sin(−2x+5θ)=sin(2x+5θ)，所以−2x+5θ=2x+5θ+2kπ（舍去）或−2x+5θ+2x+5θ=2kπ+π(k∈Z)，即10θ=2kπ+π，故θ=kπ5+π10(k∈Z)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为θ是第四象限角，所以−1<sinθ<0，0<cosθ<1，则sinθ可看作第四象限角，cosθ可看作第一象限角，所以tan(sinθ)<0，tan(cosθ)>0，所以tan(sinθ)⋅tan(cosθ)<0．(2) 因为−π2<−1≤sinθ≤1<π2，所以cos(sinθ)>0，要使sin(cosθ)⋅cos(sinθ>0)，则必有sin(cosθ)>0，又因为−π2<−1≤cosθ≤1<π2，所以0<cosθ≤1，所以θ为第一、四象限角或角θ终边在x轴的非负半轴上．【知识点】任意角的三角函数定义18. 【答案】(1) 偶函数．(2) 偶函数．(3) 奇函数．(4) 非奇非偶函数．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】由tan2α=2tan2β+1，可得tan2β=12(tan2α−1)，即sin2βcos2β=12(sin2αcos2α−1)，故有sin2β1−sin2β=12×(sin2α1−sin2α−1)=12×2sin2α−11−sin2α.整理得sin 2β1−sin2β=sin2α−121−sin2α，即sin2β(1−sin2α)=(1−sin2β)(sin2α−12)，展开化简，得12sin2β=sin2α−12，即sin2β=2sin2α−1．【知识点】同角三角函数的基本关系20. 【答案】(1) 依题意：μ=cos2(π3−0)+cos2(π4−0)2=14+122=38．(2) 由“余弦方差”定义得：μ=cos2(π3−θ0)+cos2(2π3−θ0)+cos2(π−θ0)3，则分子=(cosπ3cosθ0+sinπ3sinθ0)2+(cos2π3cosθ0+sin2π3sinθ0)2+(cosπcosθ0+sinπsinθ0)2=(12cosθ0+√32sinθ0)2+(−12cosθ0+√32sinθ0)2+cos2θ0=12cos2θ0+32sin2θ0+cos2θ0=32.所以 μ=323=12为定值，与 θ0 的取值无关．(3) μ=cos 2(π4−θ0)+cos 2(α−θ0)+cos 2(β−θ0)3，分子=(cos π4cosθ0+sin π4sinθ0)2+(cosαcosθ0+sinαsinθ0)2+(cosβcosθ0+sinβsinθ0)2=(12cos 2θ0+12sin 2θ0+sinθ0cosθ0)+(cos 2αcos 2θ0+sin 2αsin 2θ0+2sinθ0cosθ0sinαcosα)+(cos 2βcos 2θ0=(12+cos 2α+cos 2β)cos 2θ0+(12+sin 2α+sin 2β)sin 2θ0+(1+sin2α+sin2β)sinθ0cosθ0=1+cos2θ02(12+cos 2α+cos 2β)+1−cos2θ02(12+sin 2α+sin 2β)+12(1+sin2α+sin2β)sin2θ0=cos2θ02(cos 2α+cos 2β−sin 2α−sin 2β)+sin2θ02(1+sin2α+sin2β)+12(12+cos 2α+cos 2β)+12(12+sin 2α=cos2θ02(cos2α+cos2β)+sin2θ02(1+sin2α+sin2β)+12(12+cos 2α+cos 2β)+12(12+sin 2α+sin 2β)=32+12sin2θ0⋅(1+sin2α+sin2β)+12cos2θ0⋅(cos2α+cos2β).要使 μ 是一个与 θ0 无关的定值，则 {cos2α+cos2β=0,1+sin2α+sin2β=0,因为 cos2α=−cos2β，所以 2α 与 2β 终边关于 y 轴对称或关于原点对称． 又 sin2α+sin2β=−1，得 2α 与 2β 终边只能关于 y 轴对称， 所以 {sin2α=sin2β=−12,cos2α=−cos2β.又 α∈[0,π)，β∈[π,2π)， 则当 2α=76π 时，2β=236π；当 2α=116π 时，2β=196π．所以 α=712π，β=2312π 或 α=1112π，β=1912π． 故 α=712π，β=2312π 或 α=1112π，β=1912π 时，相对任何常数 θ0“余弦方差”是一个与 θ0 无关的定值．【知识点】任意角的三角函数定义、二倍角公式、同角三角函数的基本关系21. 【答案】a =2，b =√3【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】(1) f (3π8)=√2×√22−√2×√22=0.(2) 因为f(x)=2(√22sin2x+√22cos2x)=2(cosπ4sin2x+sinπ4cos2x)=2sin(2x+π4).所以最小正周期为T=2π2=π．(3) 因为f(x)=2(√22sin2x+√22cos2x)=2(cosπ4sin2x+sinπ4cos2x)=2sin(2x+π4).所以当2x+π4=2kπ+π2(k∈Z)时，即x=kπ+π8(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为2，f(x)取得最大值的x的集合为{x∣ x=kπ+π8(k∈Z)}．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质11。
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(13)
人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.当3π<α<4π时，√1+cosα2−√1−cosα2=( )A．√2sin(α2+π4)B．−√2sin(α2+π4)C．√2sin(α2−π4)D．−√2sin(α2−π4)2.若sinα=13，则cos2α=( )A．89B．79C．−79D．−893.已知tanα=−2，则4sinα−2cosα5cosα+3sinα=( )A．−10B．10C．−110D．1104.函数f(x)=sin(x−π4)的图象的一条对称轴是( )A．x=π4B．x=π2C．x=−π4D．x=−π25.函数f(x)=sinx−√3cosx(−π≤x≤0)的单调递增区间是( )A．[−π6,0]B．[−π3,0]C．[−56π,−π6]D．[−π,−56π]6.已知α∈(π2,π)，sinα=35，则sin2α等于( )A．2425B．45C．−45D．−24257.函数f(x)=15sin(x+π3)+cos(x−π6)的最大值为( )A ． 65B ． 1C ． 35D ． 158. 曲线 y =√3sin3x −cos3x 的对称轴方程为 ( ) A ． x =2π9+kπ3(k ∈Z ) B ． x =5π18+kπ3(k ∈Z ) C ． x =2π9+2kπ3(k ∈Z )D ． x =5π18+2kπ3(k ∈Z )9. 若 sinα<0 且 tanα>0，则 α 是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角10. tan 3π4等于 ( )A ． −√3B ． −1C ．√22D ． 1二、填空题（共6题）11. 函数 y =3sin (2x +π3) 的最小正周期 T = ．12. 已知 cosα=13，α∈(−π2,0)，则 tanα 等于 ．13. 若角 α 终边经过点 P (−1,2)，则 tanα= ．14. 分别以边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B ，C 为圆心，1 为半径作圆弧 AC ，BD ，两弧交于点E ，则曲边三角形 ABE 的周长为 ．15. 角 α 的终边经过点 (x,4)，且 tan (π4−α)=−12，则 x = ．16. 已知 f (x )=cos (2x +φ)(0<φ<π2)，若 f (x ) 的最小正周期为 ，若 f (x )≤f (−π12) 对任意的实数 x 都成立，则 φ= ．三、解答题（共6题）17. 已知 tan2α=13，求 tanα 的值．18. 已知函数 f (x )=sin x 2sin (π2−x 2)+√3cos 2(π+x2)．(1) 求 f (x ) 的最小正周期和单调增区间； (2) 求 f (x ) 在区间 [−π,0] 上的最大值和最小值．19. 已知 a >0，函数 f (x )=−2asin (2x +π6)+2a +b ，当 x ∈[0,π2] 时，−5≤f (x )≤1．(1) 求常数 a ，b 的值；(2) 设 g (x )=f (x +π2)，且 lgg (x )>0，求 g (x ) 的单调区间．20. 已知函数 f (x )=sin2x +cos2x ．(1) f (0)= ；（将结果直接填写在相应位置上） (2) 求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间．21. 已知 sin (3π+θ)=13，求 cos (π+θ)cosθ[cos (π+θ)−1]+cos (θ−2π)sin(θ−3π2)cos (θ−π)−sin(3π2+θ)的值．22. 设函数 f (x )=sinωx +sin (ωx −π2)，x ∈R ．若 ω=12，求 f (x ) 的最大值及相应的 x 的集合答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】√1+cosα2−√1−cosα2=√cos2α2−√sin2α2 =∣cosα2∣−∣sinα2∣.因为3π<α<4π，所以3π2<α2<2π，所以sinα2<0，cosα2>0，所以原式=sinα2+cosα2=√2sin(α2+π4)．【知识点】二倍角公式2. 【答案】B【解析】cos2α=1−2sin2α=1−29=79，故选B．【知识点】二倍角公式3. 【答案】B【解析】4sinα−2cosα5cosα+3sinα=4tanα−25+3tanα=4×(−2)−25+3×(−2)=10.【知识点】同角三角函数的基本关系4. 【答案】C【解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把x=−π4代入后得到f(x)=−1，因而对称轴为x=−π4．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】A【解析】因为函数f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，令 2kπ−π2≤x −π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，求得 2kπ−π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，可得函数的增区间为 [2kπ−π6,2kπ+5π6]，k ∈Z ，结合 −π≤x ≤0，令 k =0，可得增区间为 [−π6,0]． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】D【解析】根据二倍角公式得到 sin2α=2sinαcosα，sinα=35，cosα=−45， 代入上式得到 sin2α=2×35×−45=−2425．【知识点】二倍角公式7. 【答案】A【解析】因为f (x )=15sin (x +π3)+cos (x −π6)=15(12sinx +√32cosx)+√32cosx +12sinx=35sinx +3√35cosx=65sin (x +π3),所以当 x =2kπ+π6(k ∈Z ) 时，f (x ) 取得最大值 65．故选A ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】A【解析】 y =√3sin3x −cos3x =2sin (3x −π6)，令 3x −π6=π2+kπ(k ∈Z )，解得 x =2π9+kπ3(k ∈Z )．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】C【解析】由 sinα<0 可得 α 为第三或第四象限角，由tanα>0可得α为第一或第三象限角，则α必为第三象限角，故应选C．【知识点】任意角的三角函数定义10. 【答案】B【知识点】诱导公式二、填空题（共6题）11. 【答案】π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】−2√2【解析】因为α∈(−π2,0)，所以sinα=−√1−cos2α=−2√23，所以tanα=sinαcosα=−2√2．【知识点】同角三角函数的基本关系13. 【答案】−2【知识点】任意角的三角函数定义14. 【答案】1+π2【解析】解析连接BE，CE．因为两圆弧半径都是1，正方形边长也是1，所以△BCE为正三角形，圆心角∠EBC，∠ECB都是π3，弧长BE=π3×1=π3，∠EBA=π2−π3=π6，弧长AE=π6×1=π6，所以曲边三角形ABE的周长为1+π3+π6=1+π2．【知识点】弧度制15. 【答案】43【知识点】两角和与差的正切、任意角的三角函数定义16. 【答案】π；π6【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题）17. 【答案】−3±√10．【知识点】二倍角公式18. 【答案】(1) 函数f(x)=sin x2sin(π2−x2)+√3cos2(π+x2)=sin x2cos x2+√3⋅1+cos(2π+x)2=12sinx+√32cosx+√32=sin(x+π3)+√32.故它的最小正周期为2π．令2kπ−π2≤x+π3≤2kπ+π2，求得2kπ−5π6≤x+π3≤2kπ+π6，可得函数的增区间为[2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈Z．(2) 在区间[−π,0]上，x+π3∈[−2π3,π3]，sin(x+π3)∈[−1,√32]，f(x)∈[−1+√32,√3]．故f(x)的最大值为√3，最小值为−1+√32．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】(1) 因为x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，所以sin(2x+π6)∈[−12,1]，因为a>0，所以−2asin(2x+π6)∈[−2a,a]，所以f(x)∈[b,3a+b]，又−5≤f(x)≤1，所以b=−5，3a+b=1，因此a=2，b=−5．(2) 由（1）得，f(x)=−4sin(2x+π6)−1，g(x)=f(x+π2)=−4sin(2x+7π6)−1=4sin(2x+π6)−1．因为lgg(x)>0，所以g(x)>1，所以4sin(2x+π6)−1>1，所以sin(2x+π6)>12，所以2kπ+π6<2x+π6<2kπ+5π6，k∈Z，其中当2kπ+π6<2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ<x≤kπ+π6，k∈Z时，g(x)单调递增，所以g(x)的单调递增区间为(kπ,kπ+π6]，k∈Z．又当2kπ+π2≤2x+π6<2kπ+5π6，k∈Z，即kπ+π6≤x<kπ+π3，k∈Z时，g(x)单调递减．所以g(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+π3)，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(1) 1(2) 由题意得f(x)=√2sin(2x+π4)，所以T=π，因为2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，所以kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是[kπ−3π8,kπ+π8]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】由sin(3π+θ)=13，可得sinθ=−13，所以cos(π+θ) cosθ[cos(π+θ)−1]+cos(θ−2π)sin(θ−3π2)cos(θ−π)−sin(3π2+θ)=−cosθcosθ(−cosθ−1)+cosθ−cos2θ+cosθ=11+cosθ+11−cosθ=2(1+cosθ)(1−cosθ)=21−cos2θ=2sin2θ=18.【知识点】同角三角函数的基本关系、诱导公式22. 【答案】f(x)=sinωx+sin(ωx−π2)=sinωx−cosωx，当ω=12时，f(x)=sin x2−cos x2=√2sin(x2−π4)，而−1≤sin(x2−π4)≤1，所以f(x)的最大值为√2，此时x2−π4=2kπ+π2，k∈Z，即x=4kπ+3π2，k∈Z，相应的x的集合为{x∣∣x=4kπ+3π2,k∈Z}．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。
第5章 三角函数(一)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
＝
3，则
cos
α＋β 2
＝(
)
22
3
3
A． 3 3
B．－ 3 3
C．5 3 9
D．－ 6 9
【答案】C
【解析】：根据条件可得α＋π∈
π，3π 44
，π－β∈
π，π 42
，所以
sin
α＋π 4
＝2
2，sin
π－β 42
＝
6，
4
42
3
3
α＋β 所以 cos 2 ＝cos
π＋α π－β 4 －4 2
π＋α π－β ＝cos 4 cos 4 2 ＋
4
A． 2
B． 1
C．1
4
D．
3
）
D． 2
7.若
cos
2
2 ，则 cos 2 （
3
）
A． 2 9
C． 5 9
2
B．
9 5
D．
9
8 （2020 海南卷改编）右图是函数 y sin( x ) 的部分图像，则 sin( x ) （
）
A． sin(x ) 3
C． cos(2x ) 6
2020-2020 学年高一数学必修一第一册提优卷
第 5 章 三角函数（一）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1、在平面直角坐标系 xOy 中，角
与
均以 Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称，若 sin
4
，则
5
2020-2020 学年高一数学必修一第一册提优卷
第 5 章 三角函数（一）
2020_2021学年新教材高中数学第五章函数应用章末综合测评含解析北师大版必修第一册
章末综合测评(五) 函数应用(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( )A ．1，2，3B ．1，－1，3C ．1，－1，－3D ．无零点B [令y ＝0，即(x －1)(x 2－2x －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1，x 3＝3.故选B.]2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]D [因为f (－1)＝3－1－1<0，f (0)＝30－0＝1>0，所以f (－1)·f (0)<0.]3．函数y ＝log 2x －x 的图象大致是( )A B C DA [当x ＝4时y ＝log 2x －x ＝0，所以舍去D ；当x ＝16时y ＝log 2x －x ＝0，所以舍去BC ；故选A.]4．当x ∈(2，4)时，下列关系正确的是( )A ．x 2<2xB ．log 2x <x 2C ．log 2x <1xD ．2x <log 2xB [当x ∈(2，4)时，x 2∈(4，16)，2x ∈(4，16)，log 2x ∈(1，2)，1x ∈⎝⎛⎭⎫14，12，显然C ，D 不正确，对于选项A ，若x ＝3时，x 2＝9>23，故A 也不正确．]5．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }C [如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4，2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C.]6．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()A B C DB[由题意可知：曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，选项B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.]7．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)内的根(精度为0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253＝0.244 14)()A．0.25 B．0.375C．0.635 D．0.825C[令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625，0.75)内，∵|0.75－0.625|＝0.125<0.25，∴区间(0.625，0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]8．我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是()A．跌1.99% B．涨1.99%C．跌0.99% D．涨0.99%A[设四天前股价为a，则现在的股价为a×1.12×0.92＝0.980 1a，跌1.99%.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列函数：①y＝lg x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有零点的函数是()A．①B．③C．②D．④ABD[分别作出这四个函数的图象(图略)，其中①y＝lg x，③y＝x2与x轴有一个交点，图象④y ＝|x |－1的图象与x 轴有两个交点，即有2个零点，故选ABD.]10．甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象选择错误的是( )① ② ③ ④A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ACD [由已知甲先快后慢，且前半程用时要比后半程少，也比乙后半程用时少，故符合①，而由乙的运动知其符合④.]11．若函数f (x )＝a log 2x ＋a ·4x ＋3在区间⎝⎛⎭⎫12，1上有零点，则实数a 的取值范围不可能是( )A ．a <－3B ．－32<a <－34C ．－3<a <－34D ．－32<a <－12ABD [∵函数y ＝log 2x ，y ＝4x 在其定义域上是增加的，∴函数f (x )＝a log 2x ＋a ·4x ＋3在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调且连续，∴由零点存在定理可得f ⎝⎛⎭⎫12·f (1)<0，即(－a ＋2a ＋3)(4a ＋3)<0，解得－3<a <－34.] 12．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系不可能是( )A ．a <α<b <βB ．a <α<β<bC ．α<a <b <βD ．α<a <β<bABD [因为α，β是函数f (x )的两个零点，所以f (α)＝f (β)＝0.又f (a )＝f (b )＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a ，b 必在α，β之间．]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________． ⎝⎛⎭⎫12，1 [设f (x )＝x 3－6x 2＋4，显然f (0)>0，f (1)<0，又f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123－6×⎝⎛⎭⎫122＋4>0， 所以下一步可断定方程的根所在的区间为⎝⎛⎭⎫12，1.]14．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝0.1x 2－11x ＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于________台．180 [设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3 000)＝－0.1x 2＋36x －3 000＝－0.1(x －180)2＋240， 则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值．]15．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．(0，2) [由函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点可得|2x －2|＝b 有两个不等的根，从而可得函数y ＝|2x －2|与函数y ＝b 的图象有两个交点，结合函数的图象可得0<b <2.]16.已知函数f (x )＝a |log 2x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，f （－x ），x <0.给出下列四个命题：①F (x )＝|f (x )|；②函数F (x )是偶函数；③当a <0时，若0<m <n <1，则有F (m )－F (n )<0成立；④当a ＞0时，函数y ＝F (x )－2有4个零点．其中正确命题的序号是________．②③④ [易知F (x )＝f (|x |)，故F (x )＝|f (x )|不正确；②∵F (x )＝f (|x |)，∴F (－x )＝F (x )，∴函数F (x )是偶函数；③当a <0时，若0<m <n <1，则F (m )－F (n )＝－a log 2m ＋1－(－a log 2n ＋1)＝a (log 2n －log 2m )<0；④当a ＞0时，F (x )＝2可化为f (|x |)＝2，即a |log 2|x ||＋1＝2，即|log 2|x ||＝1a，故|x |＝21a 或|x |＝2－1a ，故函数y ＝F (x )－2有4个零点，故②③④正确．]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)讨论方程4x 3＋x －15＝0在[1，2]内实数解的存在性，并说明理由．[解] 令f (x )＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1，2]上都为增函数，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1，2]上为增函数，∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×8＋2－15＝19＞0，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1，2]上存在一个零点，∴方程4x 3＋x －15＝0在[1，2]内有一个实数解．18．(本小题满分12分)若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a 的取值范围．[解] 因为二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1的图象开口向下，且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （3）>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－（－1）2＋2a ×（－1）＋4a ＋1>0，－32＋2a ×3＋4a ＋1>0，即⎩⎨⎧2a >0，10a －8>0.解得a >45. 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，＋∞.19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元).(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？[解] (1)由题意，得y ＝⎩⎨⎧0.1x ，0<x ≤15，1.5＋2log 5（x －14），x >15. (2)∵当x ∈(0，15]时，0.1x ≤1.5，又y ＝5.5>1.5，∴x >15，∴1.5＋2log 5(x －14)＝5.5，解得x ＝39.即老张的销售利润是39万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3.(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的范围．[解] (1)因为f (0)＝f (4)，所以3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1.所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的一个零点大于1，另一个小于1，如图．需f (1)<0，即1－b ＋3<0，所以b >4.即b 的范围为(4，＋∞).21．(本小题满分12分)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b ， 设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程为f (x )＝m (m ∈R )，恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，求x 1x 2x 3的取值范围．[解] 当x ≤0，即2x －1≤x －1时，则f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝(2x －1)2－(2x －1)(x －1)＝2x 2－x ，当x ＞0，即2x －1＞x －1时，则f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝(x －1)2－(2x －1)(x －1)＝－x 2＋x ，画出大致图象如图，可知当m ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，其中x 2，x 3是方程－x 2＋x －m ＝0的根，x 1是方程2x 2－x －m ＝0的一个根，则x 2x 3＝m ，x 1＝1－1＋8m 4，所以x 1x 2x 3＝－m （1＋8m －1）4，显然，该式随m 的增大而减小， 因此，当m ＝0时，(x 1x 2x 3)max ＝0；当m ＝14时，(x 1x 2x 3)min ＝1－316. 由以上可知x 1x 2x 3的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0. 22．(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[解] (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003．故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200. (2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值10 0003. 综上可得，当x ＝100时，f (x )在区间[0，200]上取得最大值10 0003≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。
2020-2021学年人教A版必修第一册第五章三角函数单元测试含答案
2020-2021学年必修第一册第五章双基训练金卷三角函数（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各个角中与2020︒终边相同的是（ ） A ．150-︒B ．680︒C ．220︒D ．320︒2．已知角α的终边与单位圆交于点43(,)55-，则tan α=（ ）A ．43-B ．45-C ．35-D ．34-3．若5sin 13a =-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125B ．125-C ．512D ．512-4．已知(0,π)α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．53B ．23C ．13D ．595．若(0,π)α∈，2sin(π)cos 3αα-+=，则sin cos αα-的值为（ ）A ．23B ．23-C ．43D ．43-6．若函数sin (0,0,0)y A x A x ωω=>>>的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A ω⋅=（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π27．已知1sin(π)3α+=，则3πsin(2)2α+=（ ） A ．79-B ．79C ．33-D ．338．将函数π()sin(2)6f x x =+的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ） A ．()cos2g x x =B ．()cos2g x x =-C ．()sin 2g x x =D ．()sin π(2)3g x x =+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断，其中正确的是（ ）A ．函数的解析式为π()2sin(2)6f x x =+ B ．函数图象关于点(π,03)对称此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．函数在[π0,6]上是增函数D ．函数()y f x a =+在π[0,]2上的最小值为3，则23a =10．某人向正东走了km x 后向右转了150︒，然后沿新方向走3km ，结果离出发点恰好3km ，那么x 的值是（ ）A 3B ．3C ．3D ．611．将函数π()2sin(2)2cos 26f x x x =+-的图象向左平移π6个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 的最小正周期为πB ．函数()g x 的最小值为1-C ．函数()g x 的图象关于直线π6x =对称 D ．函数()g x 在2π[,π]3上单调递减 12．已知角A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的是（ ）A ．sin()sinBC A += B ．sin()cos 22A B C+= C ．sin cos B A <D ．cos()cos A B C +<三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．化简cos(π)tan(2π)tan(2π)sin(π)αααα---=+________．14．若tan 3α=，则222sin 3cos sin 2sin cos 5ααααα+=+-________．15．已知角α的终边上有一点5555P -，则sin cos αα+________． 16．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点36(33P -，则sin α=___________；cos2=α___________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数22()sin cos 2sin cos f x x x x x =--，ππ[,]42x ∈-． （1）求3π()8f 的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递减区间．18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（1）如果A 、B 两点的纵坐标分别为45与1213，求cos α和sin β；（2）在（1）的条件下，求sin()αβ-的值；（3）已知点(1,3)C -，求函数()f OA OC α=⋅的值域．19．（12分）已知tan 2α=，求下列代数式的值．（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）22111sin sin cos cos 432αααα++．20．（12分）把函数()y f x =的图象上的各点向右平移π6个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是12sin π()23y x =+，求()f x 的解析式．21．（12分）已知函数2()cos cos f x x x x =+． （1）求π()3f 的值； （2）若13()210f α=，(0,)3πα∈，求cos α的值．22．（12分）已知函数2()cos 2cos f x x x x =+． （1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数()f x 在区间[3π6]π-，上的最大值与最小值，以及此时x 的取值．2020-2021学年必修第一册第五章双基训练金卷三角函数（二）答 案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】由题，20202205360︒=︒+⨯︒，故选C ． 2．【答案】D【解析】根据三角函数的定义，335tan 445y a x ===--．3．【答案】D 【解析】5sin 13α=-，则α为第四象限角，12cos 13α==， sin 5tan cos 12a a α==-，故选D ．4．【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去）， 又(0,π)α∈，sin α∴==A ．5．【答案】C【解析】由诱导公式得sin(π)cos sin cos 3αααα-+=+=， 平方得22sin cos 12sin c (os )9αααα+=+=，则72sin cos 09αα=-<，所以216sin cos 12sin c (o 9)s αααα-=-=，又因为(0,π)α∈，所以sin cos 0αα->，所以4sin cos 3αα-=，故选C ． 6．【答案】D【解析】作出函数sin (0,0,0)y A x A x ωω=>>>的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M ，N ，最小值点为P ．根据正弦函数图象的对称性，易知MNP △为等腰直角三角形，且斜边上的高2PQ A =，所以斜边4MN A =，则sin y A x ω=，周期4T A =，由2πT ω=，有2π2π4T A ω==，所以2πA ω⋅=， 故选D ． 7．【答案】A【解析】1sin(π)sin 3αα+=-=，则1sin 3α=-， 23π27sin(2)cos 22sin 11299ααα∴+=-=-=-=-，故选A ．8．【答案】A【解析】将函数π()sin(2)6f x x =+的图象向左平移π6个单位后，所得图象对应的解析式为sin[2()]sin(2)cos 266πππ2y x x x =++=+=，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】BD【解析】将函数sin 2y x =的图象向左平移π6个单位得到ππsin 2()sin(2)63y x x =+=+的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到π2sin(2)3y x =+的图象，所以A 不正确；()2sin(2)2sin π033ππ3πy f ==⨯+==，所以函数图象关于点(π,03)对称，所以B 正确；由π2π23π2π2π2k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z ， 即函数的单调增区间为5πππ,π]2[121k k -++，k ∈Z ， 当0k =时，增区间为5ππ,12[]12-，所以C 不正确； ()2sin(2π)3y f x a x a =+=++，当0π2x ≤≤时，ππ4π2333x ≤+≤，故πsin(2)123x -≤+≤，所以当π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取得最小值，min4π2sin 3y a a =+==a =D 正确，故选BD ． 10．【答案】AB【解析】如图，AB x =，3BC =，AC =30ABC ∠=︒，由余弦定理得23923cos30x x =+-⨯⨯⨯︒，解得x =x 故选AB ． 11．【答案】AC【解析】ππ()2sin(2)2cos 22cos 22sin(2)66f x x x x x x =+-=-=-，ππππ()()2sin[2()]2sin(2)6666g x f x x x =+=+-=+，()g x 的周期为π，选项A 正确； ()g x 的最小值为2-，选项B 错误；πππ()2sin(2)2666g =⨯+=为()g x 的最大值， 所以直线π6x =是()g x 的一条对称轴，选项C 正确； 2π[,π]3x ∈，π3π7π2[,]626x +∈，()g x 单调递增，选项D 错误，故选AC ． 12．【答案】ABD【解析】对于A ，sin()sin(π)sin B C A A +=-=，正确； 对于B ，πsin()sin()cos 222A B C C+-==，正确； 对于C ，60A =︒，45B =︒，75C =︒，显然1sin cos 2B A =>=，故错误；对于D ，cos()cos(π)cos A B C C +=-=-，由C 为锐角，可得cos 0C >，可得cos()cos cos A B C C +=-<，正确， 故选ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】tan α- 【解析】cos(π)tan(2π)tan(2π)cos tan (tan )sin(π)sin αααααααα-----=+-sin cos tan cos tan sin αααααα⨯⨯=-=-， 故答案为tan α-． 14．【答案】1235-【解析】由题意知cos 0α≠，则2222222sin 3cos sin 3cos sin 2sin cos 54sin 2sin cos 5cos ααααααααααα++=+--+- 22tan 393124tan 2tan 54923535ααα++===--+--⨯+⨯-． 15．【答案】5-【解析】因为角α的终边上有一点P，则22(1+=，所以sin α=，cos α=，所以sin cos (αα+=+=，故答案为 16．【答案】3-，13-【解析】sin α-==221cos 212sin 1233αα=-=-⨯=-．故答案为-；13-．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）3π()08f =；（2）πT =，单调递减区间为ππ[,]48-． 【解析】（1）22()sin cos 2sin cos cos 2π)4sin 2f x x x x x x x x =--==+--，所以3π3ππ())π0884f =⨯+==， （2）()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， 由πππ2π2+2π,242k x k k -+≤+≤∈Z ，得3πππ+π,88k x k k -+≤≤∈Z ， 所以()f x 在R 上的递减区间为3ππ[π,+π]()88k k k -+∈Z ， 因为ππ[,]42x ∈-，所以()f x 的减区间为ππ[,]48-．18．【答案】（1）3cos 5α=，12sin 13β=；（2）5566-；（3）(-．【解析】（1）因为1OA =，1OB =，且A 、B 的纵坐标45，1213，则4sin 5α=，12sin 13β=，则3cos 5α=，12sin 13β=．（2）有（1）知5cos 13β=-，则sin()sin cos 56cos sin 65αβαβαβ-=-=-．（3）由题知(cos ,sin )A αα，即(cos ,sin )OA αα=，因为(C -，即(OC =-，()cos 2sin()6πf αααα=-=-，(0,)2πα∈，πππ(,)663α-∈-，则1sin()(,π622α-∈-，则()f α的值域为(-． 19．【答案】（1）611；（2）1330． 【解析】（1）4sin 2cos 4tan 242265cos 3sin 3tan 532511αααααα--⨯-===++⨯+． （2）222222111sin sin cos cos 111432sin sin cos cos 432sin cos αααααααααα⋅++++=+ 2222111111tan tan 2213432432tan 12130ααα++⨯+⨯+===++． 20．【答案】()3cos f x x =．【解析】将12sin π()23y x =+的图象纵坐标扩大为原来的32倍，得到13sin π()23y x =+，再将其横坐标缩短到原来的12，得到3sin()3πy x =+， 再将其图象上各点向左平移π6个单位长度，得到π3sin()3cos 2y x x =+=，故()3cos f x x =．21．【答案】（1）1；（2）33410+． 【解析】（1）因为21cos 231()cos 3sin cos sin 2sin(2)2226πx f x x x x x x +=+=+=++， 所以12π15π11()sin()sin ππ132362622f =++=+=+=． （2）由13()210f α=，(0,)3πα∈，得π4sin()65α+=，π3cos()65α+=，334cos cos()cos()cos sin ππ()sin 66666610ππππαααα+=+-=+++=． 22．【答案】（1）π2；（2）即π6x =时，()f x 取得最大值为3；π6x =-时，()f x 取得最小值为0． 【解析】2()23sin cos 2cos 3sin 2cos 212sin(2)16πf x x x x x x x =+=++=++．（1）函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离为π22T =． （2）π[,]6π3x ∈-，∴5π2ππ[,]666x +∈-，∴当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为3；当ππ266x，即π6x =-时，()f x 取得最小值为0．。
2020-2021学年高一数学课时同步练习 第五章 第6节 函数y=Asin(ωxψ)
2020-2021学年高一数学课时同步练习第五章 三角函数 第6节 函数y=Asin(ωx+ψ)一、基础巩固1．（2020·全国月考）将函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，则所得函数图象的解析式为（ ） A ．22sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变， 所得函数图像的解析式为2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 2．（2019·上海市文来中学期末）为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，故选D. 3．（2020·北京期末）要得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移2π个单位长度 B ．向左平移2π个单位长度 C ．向右平移4π个单位长度 D ．向左平移4π个单位长度 【答案】D【解析】解：只要将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度， 即可得到函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 4．（2020·安徽月考（文））将函数2cos sin 2y x x =-图象按向量,02a π⎛⎫= ⎪⎝⎭平移，所得图象的函数解析式为（ ）A ．2cos sin 2y x x =+B ．2cos sin 2y x x =-+C ．2sin sin 2y x x =+D ．2sin sin 2y x x =--【答案】C【解析】将函数2cos sin 2y x x =-图象按向量,02a π⎛⎫= ⎪⎝⎭平移等价于将函数2cos sin 2y x x =-图象右移2π个单位， 所得函数解析式为2cos sin 22sin sin 222y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2019·河北廊坊·高二期末（文））将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(02)ϕϕπ<<个单位后得到的图象关于直线12x π=对称，则ϕ的最大值为（ ） A ．116πB ．53π C ．2312πD ．43π【答案】A【解析】∵()2sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭， ∴22()1232k k Z πππϕπ⨯-+=+∈，∴()32k k Z ππϕ=+∈， ∵02ϕπ<<， ∴max 116πϕ=． 6．（2020·株洲市九方中学期末）要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将2sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π长度 B ．向右平移3π长度 C ．向左平移6π长度 D ．向右平移6π长度 【答案】D【解析】因为2sin 22s n 6i 23y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎡⎤⎢⎥⎣⎪⎭⎝⎭⎦⎝， 因此要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将2sin 2y x =的图象向右平移6π单位. 7．（2020·江西高三其他（文））已知函数()sin(2)(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π对称C ．函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点D ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数 【答案】D【解析】∵函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， ∴22T π=，T π=，故A 错误； 由22ππω=得1ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后的图象对应的解析式为 2()sin 2()sin(2)33f x x x ππϕϕ⎡⎤=++=++⎢⎥⎣⎦，其图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，所以(0)0f =，所以2sin 03πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以2,3k k Z ϕππ+=∈，因为||2ϕπ<，所以1k =，3πϕ=，于是()sin(2)3f x x π=+．∵()sin 20663f πππ⎛⎫=⨯+=≠ ⎪⎝⎭，∴B 错误； ∵()sin 20663f πππ⎡⎤⎛⎫-=⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2()sin 0333f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，故C 错误； 由123x ππ≤≤得223x πππ≤+≤，所以函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故D 正确； 8．（2019·河南中牟·期末（文））已知函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,把函数()f x 的图象向右平移3π个单位,再把图象的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变）,得到函数()g x 的图象,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,方程()0g x k -=有两个不同的实根,则实数k 的取值范围为（ ）A ．[1,3]B ．[3,2)C ．[1,2]D ．[1,2)【答案】D【解析】因为函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,把函数()f x 的图象向右平移3π个单位,再把图象的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变）,得到函数()g x 的图象,所以函数()g x 的解析式为：()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,图象如下图：通过图象可知：方程()0g x k -=有两个不同的实根时, [1,2)k ∈. 9．（2020·全国月考（理））函数()()πcos 2f x A x ωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．则（ ）A ．()π2cos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()π2cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()π2cos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】由图象可知2A =，5ππ4π2126T ω⎛⎫=⨯-=⇒=⎪⎝⎭，当π6x =时，函数取得最大值，所以π22π6k ϕ⨯+=，k Z ∈， 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-．10．（2020·山东聊城·月考）某长江大桥的主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合.已知拱桥部分长552m ，两端引桥各有190m ，主桁最高处距离桥面89.5m ，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（ ）A ．24.5cos 3y x =B ．20.45cos 3y x = C ．30.9cos 2y x =D ．39cos2y x = 【答案】B【解析】不妨设主桁部分对应的函数为()cos f x A x ω=， 由题中条件可得，5521902932T =+⨯=，89.544.252A ==， 则20.0067Tπω=≈，所以()()44.25cos 0.0067f x x =， A 选项，()()44.25cos 0.0067f x x =与24.5cos 3y x =相比，A 近似扩大了10倍，ω缩小10倍才能使周期扩大10倍，而23缩小近100倍才是0.0067，故A 排除；B 选项，()()44.25cos 0.0067f x x =与20.45cos 3y x =相比，A 近似扩大了100倍，ω缩小了100倍，使周期扩大100倍，故B 正确；C 选项，()()44.25cos 0.0067f x x =与30.9cos 2y x =相比，A 近似扩大了50倍，ω缩小了50倍才能使周期扩大50倍，而32缩小近224倍才是0.0067，故C 排除； C 选项，()()44.25cos 0.0067f x x =与39cos 2y x =相比，A 近似扩大了5倍，ω缩小了5倍才能使周期扩大5倍，而32缩小近224倍才是0.0067，故D 排除；11．（2020·北京101中学期末）要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A ．先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B ．先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D ．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度【答案】C【解析】函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到sin2x y =，再向右平移π6个单位长度πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选C12．（2020·江西省信丰中学月考（文））函数()()sin f x x ωϕ=+ 0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位【答案】A【解析】看图可知周期满足741234T πππ=-=，故T π=，22Tπω∴==， 又712x π=时取得最小值-1，故732122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将()sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦向右平移6π个单位，得到sin 2y x =. 13．（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））要得到()cos 21g x x =+（x ∈R ）的图象，只需把()()2sin cos f x x x =+（x ∈R ）的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移2π个单位 D ．向右平移2π个单位 【答案】A【解析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简可得()()2sin cos =sin 21f x x x x =++而()cos 21sin 212g x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 214x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以将()f x 的图象向左平移4π个单位得到()4g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象14．（2020·江西南昌·月考（文））已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若223f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．2ω=，6π=ϕ B ．53ω=，518πϕ=C ．2ω=，3πϕ=D ．53ω=，6π=ϕ【答案】C【解析】由图象可得函数的最小正周期T 满足766T πππ⎛⎫<--= ⎪⎝⎭， 所以该函数图象在y 轴右侧的第一个对称轴648T x ππ=-+<，又223f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以该函数图象在y 轴右侧的第二个对称轴12722312x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，且7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以函数的最小正周期T 满足37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭即T π=， 所以22Tπω==，()()sin 2f x x ϕ=+， 所以77sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=.15．（2019·广东湛江·期末（文））已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（） A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图像关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min1222x x ππω-==⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6x π=对称，可得262k ππθπ⨯+=+，k ∈Z .∴6πθ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图像.令222k x k πππ≤≤+，求得2k x k πππ≤≤+，则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z16．（多选题）（2020·武邑宏达学校高二期末）将函数cos y x =的图象向左平移32π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称D ．()y f x =的图象关于,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称【答案】AC【解析】将函数cos y x =的图象向左平移32π个单位，可得()3cos sin 2x x y f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭=+， 所以()y f x =是奇函数，且图象关于直线π2x =对称. 17．（多选题）（2020·福建其他）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把曲线1C 向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到曲线2CB ．把曲线1C 向左平移3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2CC ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到曲线2CD ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C 【答案】AD【解析】解：2sin 2sin 2cos 23266y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以将曲线1C ：cos y x =向左平移6π个单位长度，得cos 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x π，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到曲线cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 或将曲线1C ：cos y x =上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到cos 2y x =，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到cos 2cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 18．（多选题）（2020·广东深圳·月考）将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图象，若12()()9g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的可能取值（ ） A ．5912π-B ．356π-C ．256πD ．4912π【答案】AD【解析】由()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度得，()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由12()()9g x g x =可知1()3g x =，2()3g x =，所以22,32x k k Z πππ+=+∈,即,12x k k Z ππ=+∈ ，由[]12,2,2x x ππ∈-可得12231113,,,,12121212x x ππππ=--， 所以可有1223135922121212x x πππ⎛⎫-=⨯--=- ⎪⎝⎭， 也可有1223134922121212x x πππ⎛⎫-=⨯--=⎪⎝⎭，19．（多选题）（2020·江苏扬中市第二高级中学高三开学考试）已知函数())3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在[0,]π上有三个零点C ．当56x π=时，函数()f x 取得最大值 D ．为了得到函数()f x 的图象，只要把函数()3cos()3f x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) 【答案】AC【解析】A 选项，根据周期公式22T ππ==，故A 正确； B 选项，画出函数图象，根据图象可知函数()f x 在[0,]π上有两个零点，故B 错误； C 选项，画出函数图象，根据图象可知当56x π=时，函数()f x 取得最大值，故C 正确；D 选项，为了得到函数()f x 的图象，只要把函数()3)3f x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，故D 错误. 20．（多选题）（2020·营口市第二高级中学期末）已知函数()2sin cos cos f x x x x =-，则（ ）A ．函数()f x 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．直线38x π=是函数()f x 图像的一条对称轴 C ．函数()f x 的图像可由函数2sin 22y x=的图像向右平移8π个单位得到D ．对任意x ∈R ，恒有()14f x f x π⎛⎫++-=- ⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】()11cos 221sin 2sin 222242x f x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭. 当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,044x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数()f x 为增函数，故A 中说法正确； 令242x k πππ-=+，k ∈Z ，得382k x ππ=+，k ∈Z ， 显然直线38x π=是函数()f x 图像的一条对称轴，故B 中说法正确； 函数2sin 2y x =⋅的图像向右平移8π个单位得到函数22sin 2sin 22824y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，故C 中说法错误； 212()sin 2sin 2424224f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122sin 2sin 21122424x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 中说法正确. 二、拓展提升1．（2020·全国高一课时练习）已知函数1()3sin(),24f x x x R π=-∈.（1）列表并画出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）将函数sin y x =的图象作怎样的变换可得到()f x 的图象？【解析】（1）函数()f x 的周期2412T ππ==由130,,,,22422x πππππ-=，解得3579,,,,22222x πππππ=. 列表如下： x2π32π52π72π 92π124x π-2ππ32π2π3sin(124x π-) 03–3描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图. 图象如下.（2）先把sin y x =的图象向右平移4π个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到()f x 的图象. 2．如图为函数()sin y A x ωϕ=+的一段图象.(1)请写出这个函数的一个解析式；(2)求与（1）中函数图象关于直线2x π=对称的函数图象的解析式，并作出它一个周期内的简图． 【解析】（I ）13214,,332T T ππππω=-===又3,A = 由13sin 2y x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过,0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭103sin 23πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭，6πϕ=-（为其中一个值）.∴13sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭为所求.（II ）设(),x y 为所求函数图象上任意一点，该点关于直线2x π=对称点为()4,x y π-，则点()4,x y π-必在函数13sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上.∴()13sin 426y x ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，即13sin 26y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以与13sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线直线2x π= 对称的函数图象的解析式是13sin 26y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭列表：x3π-23π 53π 83π 113π126x π+ 02ππ32π 2πy0 3- 0 3 0作图：3．（2019·湖南天心·长郡中学高二期中）已知向量()2sin ,1a x =，()2cos ,1b x =，x ∈R ． （1）当4x π=时，求向量a b +的坐标；（2）设函数()f x a b =⋅，将函数()f x 图象上所有点向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的最小值．【解析】解：（1）当4x π=时，()2,1a =，()2,1b =，∴()22,2a b +=；（2）∵()2sin ,1a x =，()2cos ,1b x =， ∴()4sin cos 1f x a b x x =⋅=+2sin 21x =+，∵函数()f x 图象上所有点向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象， ∴()2sin 214g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2cos21x =+， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]20,x π∈，∴[]cos21,1x ∈-，∴()[]1,3g x ∈-，∴()g x 的最小值为1-．4．（2020·江西省奉新县第一中学月考（理））已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，其图象上的一个最高点为(,2)6M π．（1）求函数()f x 的解析式 （2）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最值及相应的x 值 【解析】（1）由T π=，得222T ππωπ===，由最高点为,26M π⎛⎫⎪⎝⎭，得2A =， 且2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈， 故2()6k k Z πϕπ=+∈．又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6π=ϕ．所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当266x ππ+=时，即0x =时，()f x 取得最小值1；当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2．5．（2020·永州市第四中学高一月考）已知()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（a 为常数）. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，求a 的值. 【解析】（1）由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72666x πππ≤+≤，2sin 26x π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的最大值为2，()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值为4，214a ∴++=， 1a．。
2020-2021学年高一数学课时同步练习 第五章 第2节 三角函数的概念
第五章 三角函数 第2节 三角函数的概念一、基础巩固1．（2020·北京延庆·期末）若角α终边经过点()1,2-，则sin α=（ ）A B C ． D ．【答案】C【解析】因为角α终边经过点()1,2-，则sin α=y r ==. 2．（2020·江西省奉新县第一中学月考（理））若α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α等于（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-【答案】D【解析】解：因为5tan 12α=-，所以sin 5cos 12αα=-，即12cos sin 5αα=-， 因为22sin cos 1αα+=， 所以22144sin sin 125αα+=，即225sin 169α=， 因为α是第四象限角，所以5sin 13α=- 3．（2020·江苏高三月考）若sin cos 1sin cos 3αααα+=-，则tan α等于（ ） A ．2- B ．34C ．43-D ．2【答案】A 【解析】因为sin cos 1sin cos 3αααα+=-，所以tan 11tan 13αα+=-，即3tan 3tan 1αα+=-，解得tan 2α.4．（2020·山西忻府·忻州一中高二开学考试）若45角的终边上有一点(4,1)a a -+，则a =（ ） A ．3 B ．32-C ．1D ．32【答案】D【解析】因为01tan4514a a +==-，所以32a =. 5．（2020·江西省信丰中学高一期末）已知点55sin ,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭落在角θ的终边上，且[)02θπ∈，，则θ的值为（ ） A ．23πB ．56π C ．53π D ．116π【答案】C【解析】由55sin ,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，即1,2P ⎛ ⎝⎭，tan θ=，[)02θπ∈， 所以53πθ=.6．（2020·西藏日喀则·高三其他（文））已知sin 25παπα⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，，，则tan α= A ．12-B ．2C ．12D ．2-【答案】A【解析】因为2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以cos =α-=， 所以sin 1tan cos 2ααα==-. 7．（2020·玉门市第一中学高三月考（文））若tan 2α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为（ ）A ．-13B ．-53C ．13D ．53【答案】C 【解析】sin cos tan 1211sin cos tan 1213αααααα---===+++.8．（2020·四川射洪中学高二开学考试）设角α的终边与单位圆相交于点34,55P⎛⎫-⎪⎝⎭，则sin cosαα-的值是（）A．15B．15-C．75-D．75【答案】C【解析】由三角函数的定义，知3cos5α=，4sin5α=-，所以7sin cos5αα-=-.9．（2020·江西高一期末（文））若角α的终边过点()2cos6045P︒︒，则sinα=（）A．B．12-C．2D．【答案】C【解析】因为角α的终边过点()2cos6045P︒︒，可得()1,1P，所以sin2α==.10．（2020·湘乡市第二中学高二开学考试）若3sin cos0αα+=，则21cos sin2αα=+（）A．103B．53C．23D．2-【答案】A【解析】因为3sin cos0αα+=，所以1tan3α=-，因此22222111sin cos11092cos sin2cos2sin cos12tanan3t31ααααααααα+++====+++-.11．（2019·河南中牟·期末（文））已知sin cos2αα-=-，则1tantanαα+的值为（）A．－4 B．4 C．－8 D．8【答案】C【解析】2551 sin cos(sin cos)12sin sin cos sin cos;448ααααααα-=⇒-=⇒-=⇒=-1sin cos1tan8.tan cos sin sin cosαααααααα+=+==-故选C12．（2019·河南中牟·期末（文））若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125B ．125-C ．512D ．512-【答案】D【解析】∵sin a =513-,且a 为第四象限角,∴1213cosa ==， 则512sina tana cosa ==- 13．（2020·洮南市第一中学月考（文））若α是第二象限的角，4sin 25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【解析】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin 025α=>，2α是第一象限的角， 所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 14．（2020·江西省万载中学高二开学考试）已知sin α，cos α是方程220x x m --=的两个根，则m =（ ）A ．34B ．34-C ．12D ．12-【答案】A【解析】sin α，cos α是方程220x x m --=的两个根，可得1801sin cos 2sin cos 2m m αααα⎧⎪∆=+≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=-⎪⎩，()21sin cos 12sin cos 4αααα+=+=，得3sin cos 82m αα=-=-，解得34m =15．（2020·福建高三其他（理））如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角θ（0180θ<︒≤）满足233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数. 60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（ ）A ．20，84157B ．12，84157C ．20，399D ．12，399【答案】A【解析】解：设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，∵每个顶点都是三个面的公共点， ∴56603x y+=，又32x y +=，解得12,20x y ==， ∴共有20个六边形；又由题意得13.28α=， 2.283.28β=，0γδ==， ∴1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-， ∵0180θ<≤，∴2225841sin 1cos 157θθ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，16．（多选题）（2020·全国高一课时练习）给出的下列函数值中符号为负的是（ ） A ．sin(1000)︒- B ．10cos3π C ．tan 2 D ．sin5E.cos 4π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】A 为正，∵1000336080︒︒︒-=-⨯+，∴1000︒-是第一象限角，∴sin(1000)0︒->；B 为负，104233πππ=+，∴103π是第三象限角，∴10cos 03π<；C 为负，∵2rad 2571811436︒︒''≈⨯=，是第二象限角，∴tan20<；D 为负，∵3522ππ<<，5弧度是第四象限角，∴sin50<；E 为正，因为4π-是第四象限角，∴cos 04π⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 17．（多选题）（2020·山东临沂·高一期末）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为（ ） A ．①③ B ．①④C ．④⑥D ．②⑤【答案】BC【解析】若θ为第二象限角，则sin 0θ>，cos 0θ<，tan 0θ<.所以，θ为第二象限角sin 0cos 0θθ>⎧⇔⎨<⎩或sin 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩或cos 0tan 0θθ<⎧⎨<⎩. 18．（多选题）设角α的终边上一点P 的坐标是()4,4sin cos --，则α的值不可能为（ ）、 A ．42π-B ．42π+C ．42π-+D ．42π--【答案】ABC【解析】因为角α的终边上一点P 的坐标是()44sin cos --，， 则40sin ->，40cos ->， 所以角α第一象限角， 所以cos 4tan tan 4sin 42πα-⎛⎫==- ⎪-⎝⎭，所以42k παπ=+-，k Z ∈，当1k =-时，42πα=--为第一象限的角， 所以α的值可能为42π--，42π-和42π+不可能为α的值，而42π-+不是第一象限的角．所以A ，B ，C 都不能取到．19．（多选题）（2020·海南临高二中高二期末）下列结论正确的是（ ）A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=- D ．若角α为锐角，则角2α为钝角 【答案】BC 【解析】选项A ：76π-终边与56π相同，为第二象限角，所以A 不正确；选项B ：设扇形的半径为,,33r r r ππ=∴=，扇形面积为13322ππ⨯⨯=，所以B 正确； 选项C ：角α的终边过点()3,4P -，根据三角函数定义，3cos 5α=-，所以C 正确；选项D ：角α为锐角时，0<<,02πααπ<<，所以D 不正确.20．（多选题）（2019·福建三明·高一期中）下列说法错误的是（ ） A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度 B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当22()4k k k Z ππαπ<<+∈时，sin cos αα<【答案】ABC【解析】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，命题错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤<+∈，命题错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，命题错误； 对于D ，当22()4k k k Z ππαπ<<+∈时，sin cos αα<，命题正确.二、拓展提升1．（2020·全国高一课时练习）在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值.【解析】当角α的终边在射线y ＝－34x (x >0)上时，取终边上一点P (4，－3)， 所以点P 到坐标原点的距离r ＝|OP |＝5， 所以sin α＝y r ＝35-＝－35，cos α＝x r ＝45， tan α＝yx ＝－34. 所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154. 当角α的终边在射线y ＝－34x (x <0)上时，取终边上一点P ′(－4，3)， 所以点P ′到坐标原点的距离r ＝|OP ′|＝5， 所以sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45， tan α＝yx ＝－34. 所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×45⎛⎫- ⎪⎝⎭－34＝35＋125－34＝94.综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94. 2．（2020·浙江课时练习）若点(2,3)(0)P m m m -<在角α的终边上，求sin ,cos ,tan ααα的值． 【解析】由题意，知点(2,3)(0)P m m m -<在第二象限，且r =．故3sinm r α-=== 2cosm r α=== 33tan 22m m α-==-．3．（2020·启东市吕四中学高三开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．（1）若点B 的横坐标为－45，求tan α的值； （2）若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； （3）若α∈20,3π⎛⎤⎥⎝⎦，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式． 【解析】（1）由题意可得B 43,55⎛⎫-⎪⎝⎭， 根据三角函数的定义得tan α＝yx ＝－34. （2）若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝3π，故与角α终边相同的角β的集合为2,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z . （3）若α∈20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦，则S 扇形＝12αr 2＝12α， 而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α， 故弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝12α－12sin α，α∈20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 第五章 三角函数 单元测试
2020-2021学年新教材人教A 版必修第一册 第五章 三角函数 单元测试1、α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α=（ ） A ．513 B ．513- C ． 512 D ．512-2、已知，则（ ）A. B. C. D.3、函数()Asin()(0,0,)2f x x h A πϖϕϖϕ=++>>≤的部分图像如图所示，若将函数向右平移m(m ＞0)个单位后成为偶函数，则m 的最小值为（ ）A ．53π B ．5 C ．23π D ．1 4、若tanα＝，则cos2α＋2sin 2α等于( ）。
A ．B ．C ． 1D ． 5、若函数的图象过点，则（ ） A ．点是的一个对称中心 B ．直线是的一条对称轴 C ．函数的最小正周期是 D ．函数的值域是6、已知0ω>，将函数()cos f x x ω=的图象向右平移2π个单位后得到函数()sin 4g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则ω的最小值是（ ）A. 3B.43 C. 23 D. 327、已知()11,A x y 是单位圆O 上任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π，与单位圆O 交于点()22,B x y ，若()1220x my y m =->的最大值为2，则m 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ． 38、已知且，则=（ ）A. B. C. D.9、点在直角坐标平面上位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 10、如图，已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11、设偶函数()sin()f x A x ωϕ=+，(0,0,0)A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形， ∠KML=90,KL=1，则1()6f 的值为( )A.34-B.14-xyKLOMC.12-D. 3412、已知α为第四象限的角，且==+ααπtan ,54)2sin(则 （ ）A ．34-B ．34C ．43-D ． 4313、 函数()sin cos()6f x x x π=+-,若30a -<<,则方程()f x a =在[0,4]π内的所有实数根之和为 . 14、化简：2sin 201sin 2012sin 20cos 20︒︒︒︒---= .15、先将函数2sin(2)3y x π=+的周期扩大到原来的3倍，再将其图象向右平移2π个单位，所得的函数式为______________________.16、 已知扇形的圆心角为,扇形所在圆的半径为，则扇形的面积_________.17、已知函数21sin cos sin 3)(2++=x x x x f .（1）求函数)(x f 的单调递减区间；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求)(x f 的取值范围. 18、已知函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π)最大值是2,最小正周期是2π,直线x=0是其图象的一条对称轴,求此函数的式. 19、已知函数()3sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最值及取得最值时的x 的取值集合； （3）求函数()f x 的单调递减区间．20、已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,||2A πωϕ>><)的图象如下图所示.(1)求A ,ω及ϕ的值; (2)若,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭,且521213f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求tan α的值..21、设函数2()2(03)f x x x a x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，其中0,a a R ≠∈．（1）求m 、n 的值（用a 表示）；（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系xoy 中的原点o 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(1,3)A m n -+．求tan()3πβ+的值．22、已知函数sin cos sin cos y x x x x =++，求[0,]3x π∈时函数y 的最值。
【精选练习】部编统编版高中数学必修A版第一册第五章《三角函数》课后作业课时训练同步练习(含答案解析)
【新教材统编版】高中数学必修A版第一册第五章《三角函数》全章课后练习（含答案解析）5.1.1《任意角》一、选择题1．（2018·全国高一课时练习）与463-终边相同的角可以表示为()k ∈ZA.360463k ⋅+B.360103k ⋅+C.360257k ⋅+D.360257k ⋅-2．（2012·全国高一课时练习）若α是第四象限角，则180°－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．（2012·全国高一课时练习）若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A.90α︒-B.90α︒+C.360α︒-D.180α︒+ 4．（2018·全国高一课时练习）若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5．（2017·全国课时练习）2016°角的终边所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2017·全国课时练习）已知α是第三象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第四象限角D ．第二或第四象限角二、填空题7．（2017·全国课时练习）在0~360︒︒范围内与650︒角终边相同的角为________．8．（2017·全国课时练习）在148︒，475︒，960-︒，1601-︒，185-︒这五个角中，第二象限角有______个.9．（2017·全国课时练习）在集合{}120360,A k k αα==︒+⋅︒∈Z 中，属于360~360-︒︒之间的角的集合是________．10．（2012·全国高一课时练习）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________三、解答题11．（2017·全国课时练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，在0360α︒≤<︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）750︒；（2）795-︒；（3）95020'︒.12．（2017·全国课时练习）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中），两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求，的值．参考答案1. 【答案】C【解析】因为4632360257-=-⨯+，所以与463-终边相同的角可以表示为360257k ⋅+，故选C ．2. 【答案】C【解析】特殊值法，给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α在第三象限. 3. 【答案】C【解析】若α是第一象限角，则：90α︒-位于第一象限，90α︒+位于第二象限，360α︒-位于第四象限，180α︒+位于第三象限，本题选择C 选项.4. 【答案】C【解析】360k αθ=︒+，()360m k m Z βθ=︒-∈，∴角α与角θ的终边相同，角β与角θ-的终边相同，角θ与角θ-的终边关于x 轴对称 ∴角α与角β的终边的位置关系是关于x 轴对称故选C5. 【答案】C【解析】，角与角的终边相同，而角是第三象限角，故是第三象限角．故选C ．6. 【答案】D【解析】因为α是第三象限角，所以360180360270,k k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z ，所以180********,2k k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z ，当k 为偶数时，2α是第二象限角，当k 为奇数时，2α是第四象限角，故选D ．7. 【答案】290︒【解析】650360290︒=︒+︒，∴650︒角的终边与290︒角相同，又0290360︒≤︒<︒，∴0~360︒︒范围内与650︒角终边相同的角为290︒.8. 【答案】4【解析】148︒角显然是第二象限角，475360115︒=︒+︒，9603360120-︒=-⨯︒+︒，185360175-︒=-︒+︒，都是第二象限角．1 6015360199-︒=-⨯︒+︒，是第三象限角．故第二象限角有4个.9. 【答案】{}120,240︒-︒【解析】当0k =时，120,α=︒在 360~360-︒︒之间，当1k =-时，240,α=-︒在360~360-︒︒之间，∴属于360~360-︒︒之间的角的集合是{}120,240︒-︒．10. 【答案】00180?360,k k Z βα=-+∈ 【解析】试题分析：∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴2αβ+=90180k ︒︒+，k ∈Z ，即 α+β=︒︒+360k 180，k ∈z ，故答案为：00180?360,k k Z βα=-+∈。
2020_2021学年高中数学第五章三角函数5.5三角恒等变换同步课时作业含解析新人教A版必修第一册
（22）三角恒等变换1.cos525︒=( )A.2.已知πtan 74α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3ππ2α<<，则sin α=( )A.35 B. 35- C. 45D. 45-3.已知πππ1,,sin 6263x x ⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.29 B.59C.79 D.194.sin 373cos 767sin 77sin 227-︒︒︒︒=( ) A.12C.D. 5.已知(0,π)θ∈，且sin 222cos 2θθ=-，则tan θ的值为( ) A.12B.1C.2D.46.已知sin cos αα-=，则sin 2α的值为( ) A.13B. 23-C.23 D. 13-7.已知角α为第三象限角，cos sin αα-=，则cos 2α=( )B.C. D.49-8.已知5ππ10,,sin 12123αα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )9.已知tan 2,tan 3αβ==-，且,(0,π)αβ∈，则αβ-=( ) A.3π4-B.π4-C.π4D.3π410.若()tan ,tan 2a ββ+=，则()3sin π2sin πa a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=( )A ．17B ．7 C.17- D ．-711.已知2π2sin +=43α⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是 .12.已知2sin cos αα=，则2cos2sin 21cos ααα++=__________. 13.已知α为第二象限角，5sin(π)13α-=，则15πtan()4α+=_______.14.已知,αβ为锐角，且()()114αβ=，则αβ+=_____．15.23=-. (1)求2πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)已知π3π,22β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且角β的终边是由角α的终边逆时针旋转π2得到的，求cos β的值.答案以及解析1.答案：A解析：()cos525cos 360165cos165︒︒︒︒=+==()()cos 18015cos15cos 4530︒︒︒︒︒-=-=--=()1cos45cos30sin 45sin302︒︒︒︒⎫-+=-=⎪⎭⎝2.答案：B解析：ππ713tan tan 441714αα-⎛⎫=+-== ⎪+⨯⎝⎭，即sin 3cos 4αα=，3ππ2α<<，3sin 5α∴=-．故选B ． 3.答案：C 解析：设ππ063x t t ⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭，则π6x t =+，22ππππ17sin 2sin 2sin 2cos 212sin 12666239x t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=+==-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选C. 4.答案：B 解析：sin 373cos 767sin 77sin 227-︒︒︒︒=sin(36013)cos(72047)sin(9013)sin(18047)++-︒︒︒︒︒︒︒⋅+︒-sin13cos 47cos13sin 47=+︒︒︒︒=()sin 1347sin 60+=︒=︒︒，故选B. 5.答案：A解析：因为sin 222cos 2θθ=-，所以()222sin cos 2212sin 4sin .θθθθ=--=因为(0,π)θ∈，所以cos 2sin θθ=，即1tan 2θ=. 6.答案：C解析：因为sin cos αα-=，两侧同时平方得221sin 2sin cos cos 3ααα-+=，所以11sin 23α-=，所以2sin 23α=.7.答案：A解析：α为第三象限角，cos sin αα-=， 512sin cos 9αα∴-=，2sin cos 9αα∴=，sin 0,cos 0αα∴<<，且cos sin αα<，cos sin 0αα∴+<，213(sin cos )12sin cos 9αααα+=+=，sin cos αα∴+=则cos2(cos sin )(cos sin )ααααα⎛=-+= ⎝⎭，故选A. 8.答案：B解析：由5π0,12α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得πππ,12122α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又π1sin 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πcos 12α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以πππππππ11cos()cos[()]cos()cos sin()sin 412612612632αααα+=++=+-+=-⨯=，故选B. 9.答案：B解析：因为tan 0,tan 0αβ><，且,(0,π)αβ∈，所以π0π2αβ<<<<，于是(π,0)αβ-∈-.又由已知得，2(3)tan()112(3)αβ---==-+⨯-，所以π4αβ-=-.故选B.10.答案：B解析：()tan tan 1tan tan 1ta ()()n n 7ta a a a a ββββββ+=+-==+⎡⎦+⎤⎣-，()3πsin cos 127sin πsin tan a a a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭====+-. 11.答案：13解析：因为2π2sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由2π1π12sin 1cos 2(1sin 2)42223ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1sin 23α=. 12.答案：3解析：将2sin cos αα=代入22sin cos 1αα+=，得2215sin 1,sin 5αα==，∴24cos 5α=，24sin22sin cos 4sin 5αααα===，则22224141cos2sin21cos sin sin2155534cos cos 5ααααααα-++++-++===，故答案为：3 13.答案：177-解析：因为5sin(π)13α-=，所以5sin 13α=，又α为第二象限角，所以12cos 13α=-，所以sin 5tan cos 12ααα==-，所以15π5tan tan115π17412tan()15π5471tan tan 1412ααα+--+===---. 14.答案：2π3解析：由()()114αβ-=可得：()1tan 3tan tan 4αβαβ-++=，)tan tan tan tan 1αβαβ+-， ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-∴，,αβ∵为锐角，0παβ<+<∴，2π3αβ+=∴. 故答案为：2π3. 15.答案：(1)π2sin 2π232sin π632cos 6ααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==-+=- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 故π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππππ1sin sin sin cos 6232333αααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以22ππ27cos 22cos 113399αα⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.πππ2sin 22sin cos 366πππ2sin sin 362ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ2sin cos π2662sin(π63cos 6αααα⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭==-+=-⎪⎛⎫⎭-+ ⎪⎝⎭，故π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以22ππππ7cos 2cos 2πcos 212sin 33369αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.(2)由题意得π2βα=+，所以π2αβ=-. 由（1）知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ1sin 263β⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即π1sin 33β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为π3π,22β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π,366β⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦.又11032<<，所以π5π,π36β⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以πcos 3β⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以ππ1ππcos cos cos 33233ββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。
2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数素养检测同步刷题课件新人教A版必修第一册.pptx
所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．
第五章素养检测
解
刷速度
第五章素养检测
解
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第五章素养检测
刷真题
考点1 利用诱导公式或同角三角函数关系求值
1．[福建文2015·6，5分]若sin α＝- 5 ，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )
13
解析
第五章素养检测
2．[四川文2016·11，5分]sin 750°＝__________．
价于函数y＝f(x)－1在[0，m]上的图像与直线y＝a只有一个交点．由函数y＝f(x)－1的最小正周期为π，
且与x轴的交点为
，k∈Z，可知当 ≤m＜5 时，对任意的a∈[0，1)，函数y＝f(x)
8
8
－1的图像与直线y＝a仅有一个交点，m的取值可以为或.故选AB.
第五章素养检测
刷速度
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
上单调递减
D.在区间
-
5 6
，- 2 3
上单调递
第五章素养检测
12．[山东济南市中区2020高一期中]已知函数f(x)＝ a＝1(0≤x≤m)仅有一个实数根，则m的取值可以为( AB )
刷速度 ，对于任意的a∈[0，1)，方程f(x)－
解析
函数f(x)＝
2
cos
2x
4
＋1，对于任意的a∈[0，1)，方程f(x)－a＝1(0≤x≤m)仅有一个实数根，等
3
＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0，2π)，因此θ＝ 2 或
.
2
第五章素养检测
刷真题
2020学年新教材高中数学第五章三角函数章末综合检测(五)新人教A版必修第一册(最新整理)
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章末综合检测(五）（时间：120分钟,满分:150分)一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角α的终边经过点P（－3，4)，则tan 2α＝( ）A.错误!B。
错误!C．－错误!D．－错误!解析:选A。
因为tan α＝－错误!，所以tan 2α＝错误!＝错误!＝错误!.2．函数y＝3tan错误!的定义域是( ）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!解析：选C。
令2x＋错误!≠kπ＋错误!,k∈Z，得x≠错误!π＋错误!，k∈Z，所以函数y＝3tan错误!的定义域是错误!。
3．已知cos错误!＝错误!，－错误!＜α＜0，则sin 2α的值是( ）A。
错误!B。
错误!C．－错误!D．－错误!解析：选D。
由已知得sin α＝－错误!，又－错误!＜α＜0，故cos α＝错误!，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×错误!×错误!＝－错误!。
4．函数y＝1－2sin2错误!是（)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为错误!的奇函数D．最小正周期为错误!的偶函数解析：选A.因为y＝1－2sin2错误!＝cos错误!＝cos错误!＝－sin 2x,所以该函数为奇函数,且其最小正周期为π.5．sin 600°＋tan 240°的值等于（）A．－错误!B。
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第五章 三角函数章末综合检测第Ⅰ部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<所以角α在第二象限2．函数2sin6x y π=，x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．12B ．6C ．12πD ．6π 【答案】A 【解析】函数2sin 6xy π=的最小正周期为：2126T ππ==.3．下列函数中，既是奇函数又在区间()1,1-上是增函数的是（ ）A ．1y x =B ．tan y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =【答案】B【解析】A 选项，1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 不满足题意； D 选项，余弦函数cos y x =是偶函数，故D 不满足题意；B 选项，正切函数tan y x =是奇函数，且在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故在区间()1,1-是增函数，即B 正确； C 选项，正弦函数sin y x =是奇函数，且在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以在区间()1,1-是增函数；因此sin y x =-是奇函数，且在()1,1-上单调递减，故C 不满足题意.4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( )A ．135平方米B ．270平方米C ．540平方米D ．1080平方米 【答案】B【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.5．已知cos 5α=，()sin 10αβ-=-，α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．2 BC D ．12 【答案】A 【解析】解：α、β0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴sin α==，,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()sin 0αβ-=<， ∴,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴()cos 10αβ-==. ∴()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos sin sin ααβααβ=⋅-+⋅-⎛== ⎝⎭6．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数【答案】C 【解析】原函数利用诱导公式化简为：()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A,B 正确，函数的对称轴由：()2x k k Z π=∈得到：()2k x k Z π=∈，显然，无论k 取任何整数，4x π≠，所以C 错误，答案为C.7．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.8．函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则12()f x x +=（ ）A ．1B ．12C ．22D 3【答案】D 【解析】由图象可知， 1,()2362T A πππ==--=，即T π=，所以2ω=，即()sin(2)f x x ϕ=+， 又因为()03f π=，则sin(2)03πϕ⨯+=，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈， 又由2πϕ＜，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+， 又因为()36212πππ+-=，所以图中的最高点坐标为,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 结合图象和已知条件可知122126x x ππ+=⨯=， 所以1223()()sin(2)sin 6633f x x f ππππ+==⨯+==，故选D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】AD【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，正确； 选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误；选项C ：()2f x x =，错误； 选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称， 错误. 10．定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．sin β=B ．1cos()4πβ+=C ．tan β=D ．tan β= 【答案】AC 【解析】∵1sin()sin 4παα+=-=-，∴1sin 4α=， 若2παβ+=，则2πβα=-.A 中，sin sin cos 24πβαα⎛⎫=-==±⎪⎝⎭， 故A 符合条件； B 中，1cos()cos sin 24ππβαα⎛⎫+=--=-=-⎪⎝⎭， 故B 不符合条件；C 中，tan β=sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin β=， 故C 符合条件；D 中，15tan 5β=，即15sin cos 5ββ=， 又22sin cos 1ββ+=，所以6sin β=±， 故D 不符合条件. 11．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的叙述正确的是（ ）A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为2【答案】AD【解析】A .∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故正确；B.当x ∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ，f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故错误； C.当x ∈[0，π]时，令f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π，又f (x )在[－π，π]上为偶函数，∴f (x )＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故错误；D.∵sin|x |≤1，|sin x |≤1，当x ＝2π＋2k π(k ∈Z)或x ＝－2π－2k π(k ∈Z)时两等号同时成立， ∴f (x )的最大值为2，故正确．12．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭第Ⅱ部分（选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：19. 14．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________【答案】±1 【解析】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T aππ==，解得1a =±. 15．函数cos y x π=的单调减区间为__________．【答案】[]()2,21k k k +∈Z 【解析】由22k x k ππππ≤≤+，k ∈Z 得212k x k ≤≤+，k ∈Z ，即函数cos y x π=的单调减区间为[]()2,21k k k +∈Z .16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1sin 3α=，则sin β=__________，cos 2β=__________． 【答案】13- 79 【解析】因为角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称 所以1sin sin 3βα=-=- 所以2217cos 212sin 1239ββ⎛⎫=-=-⋅-= ⎪⎝⎭ 四、解答题：本小题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知αβ，为锐角，4sin ,cos()5ααβ=+=（1）求cos2α的值；（2）求sin β的值．【解析】（1）因为4sin 5α，所以2327cos 212sin 12525αα=-=-=-； （2）因为αβ，为锐角，所以0αβ<+<π，02πα<<，又4sin ,cos()55ααβ=+=-，所以3cos 5α==，sin()αβ+==， 所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455555=+⨯=.18．已知函数2()22cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 单调递增区间.【解析】解：2()22cos 2cos 21f x x x x x =+=++12(sin 2cos 2)122x x =++2sin(2)16x π=++ （1）因为1sin(2)16x π-≤+≤， 所以12sin(2)136x π-≤++≤所以()f x 的值域为[1,3]-；（2）由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦19．已知函数()()21cos cos 2f x x x x x R =-∈ （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； 【解析】（1）依题意，()211cos 21cos cos 2sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭ 所以2T ππω==.（2）依题意，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈， 解得36k x k ππππ-+≤≤+， 所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈. 设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππππ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 20．已知函数()()()()()32cos cos sin sin 222cos 2cos x x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+. （Ⅰ）化简()f x ；（Ⅱ）若()3f α=-，求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【解析】（1）cos()cos()cos sin 2x x x x ππ-+=，3sin()sin()sin cos 2x x x x π-+= ∴32cos()cos()sin()sin()3sin cos 22x x x x x x πππ-++-+= 2cos(2)cos()cos x x x ππ-+=-∴23sin cos 3()tan 2cos 2x x f x x x ==-- （2）由()3f α=-，知：3tan 32α-=-，即tan 2α= 又1tan tan()41tan πααα++=-，所以tan()34πα+=- 21．如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712（，）παπ∈，12πβ=，且点A 的坐标为1（，）-A m ．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若sin2α的值． 【解析】（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=． 712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin 312124cos 12tan AOB tan tan παπαβαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭∠=-=-==-⎛⎫- ⎪⎝⎭（）（）， 22111,,121212212sin cos πππππααα⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos （）（）（）πππααα∴-=--=-，2722161225cos cos ππαα-=--=（）（）， 7243222266666650sin sin sin cos cos sin ππππππαααα-⎡⎤∴=-+=-+-=⎢⎥⎣⎦（）（）（）． 22．某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD 的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．（1）设OPA α∠=，将展板所需总费用表示成α的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？【解析】（1）过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则cos PH α=，sin OH α=，正方形ABCD 的中心在展板圆心，∴铜条长为相等，每根铜条长2cos α，22sin AD OH α∴==，∴展板所需总费用为280cos 80sin 02y πααα⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭． （2）2280cos 80sin 80cos 80cos 80y αααα=+=-++ 2180cos 1001002α⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当1cos 2α=时等号成立. ∴上述设计方案是不会超出班级预算．。