离散数学样卷参考答案

参考答案试卷一一、选择填空1.C2.A3.D4.D5.A6.A7.B8.C9.D 10.B二、填空1.主合取范式)()(q p q p ⌝∨∧∨⌝.前束范式))()((x G x F x →∀或))()((y G x F y x →∀∀ 2. n-k,93.=)(A ρ{Φ,{1}，{2}，{1，2}}，B A ⨯={〈1,a 〉,<1,b>,<2,a>,<2,b>}4. [b]R ={1,2,3}, X/R={{1,2,3},{4},{5}}.5． ,,G y x ∈∀ )()()(y f x f y x f *= 。

6.=-)(1R r { <2,1>,< 4,2>,<1,1>,<3,3>,<2,2>}，=S R {<1,4>,<2,2>}。

7.15，12.8. =τσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42134321 =(132) =-1στ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41324321=(123) 9．0, 45 10．2,0三 1.× 2.√ 3. √ 4.× 5.×四.1．一棵树具有3个2度结点，2个3度结点，2个4度结点，其余为叶。

试求其共有多少个结点？多少片叶？解: 设该树其有x 片叶,则顶点数为x+7, 根据树的性质知,该树有x+6边,由握手定理有:3*2+2*3+2*4+x*1=2(x+6), 得x=8故该树共有15个结点,8 片叶 .2.已知X={a,b,c},给出X 上的所有等价关系。

解:X 的划分其有五种:S 1={{a,b,c}}, S 2={{a,b},{c}}, S 3={{a,c},{b}}, S 4={{a},{b,c}},S 5={{a},{b},{c}},因为X 上划分与等价关系一一对应,故x 上共有五个等价关系，它们是：R 1＝{<a,b>,<b,a>,<a,c><c,a>,<b,c>,<c,b>}X I ⋃R 2＝{<a,b>,<b,a>}X I ⋃, R 3＝{<a,c><c,a>}X I ⋃R 4＝{<b,c>,<c,b>}X I ⋃, R 5＝X I3.．画一棵权为2，3，3，4，5，6，7，8 的最优二叉树，并计算出它的树权。

解:图略,W(T)=106五、1、已知偏序集〈X,R 〉,其中X={a,b,c,d,e}, Y={d,e},R 的关系矩阵为求：(1).用集合的列举法写出R(2).画出R 的哈斯图；(3).找出X 的极大元、极小元、最大 元、最小元；(4).找出Y 的上界、下界、最小上界、最大下界。

解:(1). R 的关系矩阵R={<a,c>,<b,c>,<d,a>, 〈d,b>,<d,c><d,e>,<e,a>,<e,b>,<e,c>}x I ,(2).略⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1011111111001000011000101R M(3)．X 的极大元c 、极小元d 、最大元c 、最小元d ；(4). Y 的上界e,a,b,c 、下界d 、最小上界e 、 最大下界d 。

2．已知有向图G=<V,E>,其中v={a,b,c,d}，E={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>,<d,a>,<d,b>}(1).求出各点的入度序列、出度序列(2).判定图G 是否为欧拉图？，是否哈密顿图？并说明理由。

(3).写出G 的邻接矩阵；(4).找出所有长度等于3的路的条数.解:1. 各点的入度序列:2 ,3,1,3各点的出度序列:2 ,4,1,22. 不是欧拉图,是哈密顿图3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0011100011111010G M 4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=21210011313211222M ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=42542121638652533M 所有长度等于3的路共有59条六、证明题1．构造推理证明，前题 ))()((x H x F x ⌝→∀，))()((x G x H x ∨∀结论)()(y yG x xF ∃→∃证明:(1) )(x xF ∃ 附加前题;(2) )(a F T(1) EI 规则;(3) ))()((x H x F x ⌝→∀ P;(4) )()(a H a F ⌝→ T(3) UI 规则;(5) )(a H ⌝ T(2)(4)假言推理规则;(6) ))()((x G x H x ∨∀ P;(7) )()(a G a H ∨ T(6) UI 规则;(8) )(a G T(5)(7)析取三段论.(9) )(y yG ∃ T(8) EG 规则.2．在实数集R 上定义二元运算 ︒：xy y x y x -+=，其中的其它运算符均为R 上的普通运算，证明<R ，︒>是可交换独异点。

证明: 按下列4步进行证明(1)*是二元运算, <R ，*>是代数系统;(2) *满足结合律 , <R ，*>是半群;(3) 0是单位元, <R ，*>是独异点;(4)*满足交换律试卷二一、选择填空1.A2.D3.C4.D5.D6.B7.C8.B9.D 10.B二、填空1.主析取范式)()(q p q p ∧∨⌝∧⌝.前束范式))()((y G x F y x ∨∀∃2. 2, ),(y x F3.=)(A ρ{Φ,{Φ}}，B A ⨯={〈1,1〉,<1,2>,<2,1>,<2,2>}4. [b]R ={1,2}, X/R={{1,2},{3},{4,5}}.5． 3, 206.=)(R S { <1,2>,<2,1>,< 4,2>,<2,4>,<3,3>}，=S S {<4,4>,<2,2>}。

7.10，12.8. =τσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31424321 =(1243) =-1στ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24314321=(234) 9．1, -1/410．2,0三 1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5.×四.1．一棵树具有2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，其余为叶。

试求其共有多少个结点？多少片叶？解: 设该树其有x 片叶,则顶点数为x+9, 根据树的性质知,该树有x+8条边,由握手定理有:2*2+3*3+4*4+x*1=2(x+8), 得x=13故该树共有22个结点,13 片叶 .2.．已知X={a,b,c},给出X 上所有的双射。

答X 上共有六个双射:f 1＝{<a,a>,<b,b>,<c,c>}, f 2＝{<a,a>,<b,c>,<c,b>}f 3＝{<a,b>,<b,a>,<c,c>}, f 4＝{<a,b>,<b,c>,<c,a>}f 5＝{<a,c>,<b,a>,<c,b>}, f 6＝{<a,c>,<b,b>,<c,a>}3.．画一棵权为2，3，3，4，5，6，7，8 的最优二叉树，并计算出它的树权。

解:图略,W(T)=111五1、已知偏序集〈X,R 〉,其中X={2,3,4,6,8,12}, Y={3,6},R 的X 上的整除关系 ,(1).用集合的列举法写出R(2).画出R 的哈斯图；(3).找出X 的极大元、极小元、最大 元、最小元；(4).)找出Y 的上界、下界、最小上界、 最大下界。

解:(1). R 的关系矩阵R={<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>〈3,6>,<2,12>,<4,8>,<4,12>,<6,12>}x I ,(2).略(3)．X 的极大元12、极小元2,3、最大元12、最小元无；(4). Y 的上界6,12 下界3、最小上界6、 最大下界3。

2．已知有向图G=<V,E>,其中v={a,b,c,d}E={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>,<d,b>,}1.画出该图;2.判定图G 的连通性(强连通、单侧连通、弱连通)?3.写出G 的邻接矩阵；4.找出所有从a 到c 的长度为3的简单路;解: 解:1.图略 2. 强连通3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010100011111010G M 4.共有两条adbc, abbc六、证明题1．构造推理证明，前提：,,,s r q p p r ⌝→∧⌝→⌝ 结论： .q s ∧⌝证：(1)q p ∧ P; (2) p T(1)化简规则; (3) q T(1)化简规则(4) p r ⌝→⌝ P;(5) r T(2)(4)拒取式规则;(6) s r ⌝→ P;(7) s⌝ T(5)(6)假言推理; (8) q s∧⌝ T(3)(7)合取式.2．Z 11 ={0,1,2,3}，在Z 11上定义运算⊕：)(y x y x +=⊕mod 11，证明<Z 11 , ⊕>是一个循环群。

证明: 按下列4步进行证明(1) ⊕是二元运算, <Z 11 , ⊕>是代数系统;(2) ⊕满足结合律 , <Z 11 , ⊕>是半群;(3) 0是单位元, <Z 11 , ⊕>是独异点;(4) 001=-,x x -=-111,()0≠x ,所以,<Z 11 , ⊕>是群;(5)1是生成元. 010=, 111=,212=,313=,x x 1=所以<Z 4 , ⊕>是循环群;试卷三一、 填空题：1、 给定含有4个原子命题的某命题公式，则该公式的真值表中共有 16 种不同的真值指派。

2、 公式（P ∧Q ）∨1的对偶公式是 （P ∨Q ）∧0 。

3、 在根树中，树叶的出度为_____0_____，入度为___1_____。