维纳滤波

维纳滤波

7.2 维纳滤波

从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。滤波器研究的一个基本课题就是:如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。

20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。维纳滤波理论用于解决最小均方误差下的线性滤波问题。设接收到(或观测到)的信号为随机信号

(7-1)

其中s(t)是未知的实随机信号，n(t)是噪声。要设计的线性滤波器，其冲击响应为h(t, τ)，输入为x(t)，输出为，即

(7-2)

令为估计误差。冲击响应h(t, τ)按最小均方误差准则确定，即h(t, τ)必须满足使

(7-3)

达到最小。根据最小均方误差估计的正交条件，有以下关系成立

(7-4)

令

(7-5)

(7-6)

则有

(7-7)

上述方程通常称为非平稳随机过程条件下的维纳-霍甫(Wiener-Kolmogorov)积分方程。特别当x(t)，s(t)均为广义(或宽)平稳随机信号，而滤波器是线性时不变系统的情况下，x(t)与s(t)必为联合平稳，式(7-7)可写为

(7-8)

令，，则有

(7-9)

此处，“*”号表示卷积，对上式两边取Fourier变换，可得

(7-10)

(7-11)

对于因果线性系统，有

(7-12)

采用完全相同的分析方法，推得因果平稳维纳-霍甫积分方程如下

(7-13)

(7-14)

其中，表示的零、极点位于，表示的零、极点位于。表示位于的零、极点。MATLAB图像处理工具箱提供了wiener2函数进行自适应滤出图像噪声，它根据图像的局

部方差来调节滤波器的输出，往往较线性滤波效果好，可以更好地保存图像的边缘和高频细节信息。

Wiener2函数采用的算法是首先估计像素的局部均值和方差:

(7-15)

Ø (7-16)

其中，Ω是图像中每个像素的M×N的邻域。然后，对每个像素利用wiener滤波器估计其灰度值:

(7-17)

2式中，v是图像中噪声的方差。

Wiener2的语法格式为:

J=wiener2(I,[m,n])

J=wiener2(I,[m,n],noise)

[J,noise]=wiener2(I,[m,n])

其中，J=wiener2(I,[m,n])返回有噪声图像I经过wierner(维纳)滤波后的图像，[m,n]指定滤波器窗口大小为，默认值为。J=wiener2(I,[m,n],noise)指定噪声的功率，[J,noise]=wiener2(I,[m,n])在图像滤波的同时，返回噪声功率的估计值noise。

【例7-1】对加入高斯噪声的图像saturan.png作维纳滤波。

例程7-1 噪声图像维纳滤波

% e.g.7-1.m for example7-1;

%test the function of weina filter.

RGB = imread('saturn.png');

I = rgb2gray(RGB);

J = imnoise(I,'gaussian',0,0.005);

figure, imshow(J);

K = wiener2(J,[5 5]); %指定滤波器窗口大小

figure, imshow(K);

图7-1 噪声图像图7-2 维纳滤波复原图像

实现维纳滤波的要求是:?输入过程是广义平稳的;?输入过程的统计特性是已知的。根据其他最佳准则的滤波器亦有同样要求。然而，由于输入过程取决于外界的信号、干扰环境，这种环境的统计特性常常是未知的、变化的，因而难以满足上述两个要求。这就促使人们研究自适应滤波器。

卡尔曼滤波器

由于维纳滤波器难以用于实时处理，满足不了20世纪50年代航天航空技术发展的要求，于是人们开始探索新的理论和技术途径。20世纪60年代新出现的卡尔曼滤波理论，用信号与噪声的状态空间模型取代了相关函数，用时域的微分方程来表示滤波问题，得到了递推估计算法，适用于计算机实时处理，它突破了维纳滤波的平稳过程的限制，也没有无限时间的要求，这一对维纳滤波理论的重大突破很快地被用于空间技术、自动控制和信号处理等领域。卡尔曼滤波由滤波方程和预测方程两部分组成。

7.5.1 滤波基本方程

设信号状态方程和量测方程分别为

(7-133)

(7-134)

式中，为信号的状态向量，为量测向量，和分别为状态噪声和量测噪声，且为互不相关的高斯白噪声向量序列，其协方差分别为和

;，和分别为状态转移矩阵、输入矩阵和观测矩阵。

卡尔曼滤波基本方程为

(7-135)

(7-136)

(7-137)

(7-138)

(7-139)

其中，残差(新息)定义为

(7-140)

协方差矩阵为

(7-141)

7.5.2 一步预测基本方程

卡尔曼一步预测基本方程为

(7-142)

(7-143)

(7-144)

式中，为一步预测增益阵。

【例7-16】利用卡尔曼滤波器跟踪机动目标。例程7-14 基于卡尔曼滤波器的机动目标跟踪