第十讲 几何轨迹与尺规作图

• 化圆为方 • 三等分角 • 立方倍积
由于尺规作图在理论上的限制，使得希腊几 何留下两项任务有待解决： 第一项是特殊任务，这就是三大几何作图问 题，它引起人们极大的兴趣，虽然它的答 案是否定的，但至今还使一些人着迷。 第二项任务则具有普遍意义，即源于古希腊 人通过作图来证明数学对象（尤其是几何 对象）的存在性，然而仅用尺规显然限制 过严，这就需要突破狭隘的几何方法的束 缚，放宽存在性问题的准则。
• 在传统的几何作图中，尺规作图是指没有 刻度的直尺和圆规两件工具，并用有限次 步骤作出合乎预先约定条件的图形，有时 也叫欧几里得作图。
所谓完成了一个尺规作图，就是说能把问题 归结为有限次的如下几个认可的简单作图： • ⑴通过两个已知点可作一条直线； • ⑵已知圆心和半径可作一个圆； • ⑶若两已知直线相交，或一已知直线和一 已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交， 则可作出其交点。
几何轨迹与尺规作图
一、轨迹的定义
• 在几何中，把具有某性质的点P组成的集合 叫做具有这种性质的点的轨迹 • L为适合条件φ的点的轨迹，F为某图形，则 （1）适合条件φ的任一点都在图形F上； （完备性或充分性） （2）图形F上的任一点都适合条件φ；（纯 粹性或必要性） 则图形F是适合条件φ的点的轨迹。
• 例8 定圆O内有互垂直径AA‘和BB’，直径端 点A‘和圆上任一点P的连线交直线BB’于点Q， 在P作圆的切线PR，过Q作BB‘的垂线QR， 求交点R的轨迹
• 例9 BC是给定等腰三角形ABC的底边，求 合于条件∠APB= ∠APC的点P的轨迹
尺规作图
• 假设给了一些条件，而设法求作具备这些 条件的图形，这便是作图问题。完成作图 以后，便可断言具备某些条件的图形存在。 或在什么情况下这样的图形存在，因而使 言之有物。这样，解几何作图问题，在某 种意义上说，就是存在问题的证明。
A
B
C
l
M A B
• 【练习2】求作一三角形，已知其两边及其 中一边的对角。
等分圆周
• 【例题】五等分圆周。 • 作法：在圆内作互相 垂直的直径PQ和AS， 平分OQ于M；以M为 中心以MA为半径作弧， 交OP于点N。又以A为 中心以AN为半径作弧， 交圆于B，则AB为内 接正五边形的一边。
• 两千多年来，几十代人为三大问题绞尽脑汁，希 腊人的巧思，阿拉伯人的学识，文艺复兴时期大 师们的睿智，都曾倾注于此，但在尺规作图的严 格约束下，均以失败告终。 • 于是人们开始怀疑它们的可解性，转向不可作方 面的讨论。这种考虑问题的“着眼点”的改变， 在数学发展中是非常重要的，然而，就三大问题 而言，在没有给出尺规作图可能或不可能的判别 准则之前，要得到关于三大问题不可作的严格证 明是不可能的，这种明确的准则，是借助于代数 方法完成的，事实证明，仅仅依靠欧氏几何本身 是无能为力的。
• ⑴完成一个作图题，在学生头脑里能把个 别的几何事实具体化起来，将注意力从字 面上的几何命题转到这命题所含的现实几 何关系上来。 • ⑵几何作图可以提供题材，把所学的命题 用来解决某些具体问题，使学生学会学以 致用。 • ⑶几何作图的学习给制图学提供理论基础， 它在实践上的意义是不可忽视的。 • ⑷在解作图题过程中，要运用一系列相当 复杂的逻辑思维。
A,B为定点， MA/MB=m定数
• 例5 到两定点距离的平方和为常量的点的轨 迹（倘若存在）为一圆（可能退缩为一点）
• 例6 到两定点距离的平方差为常量的点的 轨迹，是垂直于这两点连线的一条直线
• 例7 从已知半圆直径AB延长线上任一点C作 切线CT和∠ACT的平分线，从圆心O作这 平分角线的垂线，求垂足M的轨迹
例： • 距两点等远的点的轨迹，是该两点连线段 的中垂线； • 距两点等远的点的轨迹是一条直线； • 求距两点等远的点的轨迹
三、基本轨迹定理
• 1、和一个定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆 心，定长为半径的圆； • 2、和两个定点的距离相等的点的轨迹是连结这两个定点 的线段的中垂线； • 3、和一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行 于已知直线且位于此直线两侧并和这直线的距离等于定长 的两条平行线； • 4、与两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行 线距离相等的一条平行线； • 5、与相交两直线距离相等的点的轨迹，是分别平分两已 知直线交角的互相垂直的两条直线； • 6、对已知线段的视角等于定角α的点的轨迹,是以已知线 段为弦,所含圆周角等于α的两段弓形弧;
• 虽然轨迹和几何图形都是点集，但两者是 有区别的，一般来说，图形是知其形而不 知其性，轨迹是知其性而不知其形。我们 研究轨迹问题，就是要探究适合一定条件 的点的集合形成什么样的图形，使形和性 得到完美统一。
二、轨迹命题的三种类型
• Ⅰ、命题结论中明确说明了轨迹图形的形 状、大小和位置； • Ⅱ、命题结论中明确说明了轨迹图形的形 状，但大小和位置不全； • Ⅲ、命题结论中只说求适合某条件的轨迹， 对形状、大小和位置没有说明； • 前两种为轨迹定理，后一种为轨迹问题
A K
B P N O M Q J
S
A K
B P N O M Q J
S
AB2 AN 2 ON 2 OA2 PN 2 R 2 5 1 R R a10 2 2 2 2 AB2 a10 R 2 a5 AB a5 ON MN MO MA MO
• 解作图题的步骤一般分为：写出已知（详 细写出题设条件，并用相应符号或图形表 示）与求作（说明要做的图形是什么，以 及该图形应具有的题设条件），进行分析 （寻求作图线索），写出作法，证明，并 进行讨论。

• 【练习1】给定不共线三点A、B、C，求过 C作一直线l使距AB等远。
C
A
B
l C
四、轨迹命题举例
• 例1 设一点到矩形的一双对顶的距离之和等 于到另一双对顶的距离之和，则其轨迹为 矩形的两条对称轴。
假设ABCD是矩形，l和l’是其对称轴，p是适 合条件PA+PC=PB+PD的点 求证：p点的轨迹是直线l和l’
• 例2 设一点与一定圆的距离等于圆半径，则 该点的轨迹为该圆中心和一个半径加倍的 同心圆的并。
直角等于钝角？
矩形ABCD， FA＝BA， R、N分别是中点。 可证： 角CDA＝角FAD 证：RO、MO各是 垂直平分线 DO＝AO， CO＝FO， FA＝BA， BA＝CD，所以 FA＝ CD，
CDO ＝角 FAO 角 ODC OAF，但 角ODA＝角OAD， 所以角CDA＝角FAD
假设：点P与定圆O（r）的距离PA= 半径r 求证：点P的轨迹是点O和圆O（2r）
• 例3 给定直角XOY,一条定长（记为a）的线 段AB两端在角的两边上滑动，则AB中点P 的轨迹是以O为中心，以a/2为半径的圆被 角的两边所截的弧QR
• 例4 和两定点距离之比等于定比(不为1)的 点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆（阿波 罗尼奥斯圆 ）
C R N B Q F
D
M L
A
O
问题在于作图不严密
C R B Q N
D
M L
F A
O
• 作图题：在定圆内作圆内接正八边形。