逻辑推理(第二十三讲)

第二十三讲逻辑推理

教学目标：1、学会根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，做出正确的判断；

2、学会解决这类问题的几种典型方法。

教学重难点：三个规律和三种解决逻辑推理问题的方法。

【知识要点】

1．逻辑推理问题

在近年来的许多竞赛试题中，常常会见到这样的一类题目，没有或很少给出什么数量关系；它们的解决方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，较少用到专门的数学知识，而是根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案，这就是逻辑推理问题。（详见例题）

2．逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性，并且没有一定的钥匙模式，因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终保持灵活的头脑，更需要遵循思维的基本规律——同一律、矛盾律和排中律。

（1）“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。

（2）“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真也不假。

（3）“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用，不许偷换。

3．逻辑推理问题解决的方法一般有：

（1）列表画图法。

（2）假设推理法。

（3）枚举筛选法。

下面将通过例题来学习上述提出的三个规律和三种解决逻辑推理问题的方法。

典型例题

例1 、某个参观团根据下列约束条件从A,B,C,D,E五个城市中选择参观地点：

（1）若去A 市，也必须去 B 市;

（2） D,E两市至少去一市；

（3）Ｂ，Ｃ只去一市；

（4）Ｃ，Ｄ两市都去或者都不去；

（5）若去Ｅ市，则Ａ，Ｄ两市也必须去。

试分析该参观团至多能去几个城市。

【分析与解答】从条件（２）出发分析，由于Ｄ，Ｅ至少去一市，若去Ｅ市，则有条件（５），必须去Ａ，Ｄ两市。于是，分别有条件（１）及（４），Ｂ，Ｃ也必须去，这与条件

（３）相违，所以不能去Ｅ市。

由上讨论可见，参观团必须去Ｄ市。由条件（４），Ｃ市也要去，再由条件（３），不能去Ｂ市，从而由条件（１），Ａ市也不能去。

所以，参观团最多去Ｃ，Ｄ两市，又经检验，去Ｃ，Ｄ两市满足所有约束条件。

说明，这里选取条件（２）出发分析，是由于这个条件较肯定，分析起来较简便。从其他条件入手讨论，也会得到相同结论，不妨试一试。

例2、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个小孩在院子里踢球，把房间的窗玻璃打破了。询问后得到的答复分别是：Ａ说：“Ｂ打破的。”Ｂ说：“Ｄ打破的。”Ｃ说：“不是我打破的。”Ｄ说：“Ｂ撒谎。”已知其中只有一个小孩说了真话，而且肇事者也是其中一个人，问说真话的是谁，肇事者是谁？

【分析与解答】

同样的记号。下面用穷举法逐一排除，直到找出谁是肇事者。

（1）若Ａ是肇事者，故Ａ说“Ｂ打破的。。同理，

者。

（2）

（3）

（4）

所以，Ｄ说了真话，Ｃ是肇事者。

例３、一次考试共考了英语、化学、数学、物理和语文五科，每科满分５分，其余等级依次为４，３，２，１分。今已知某５个学生按总分由多到少的名次是Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，且满足下列条件：①在同一科目中及总分中没得到相同分数的人；②Ａ的总分是２４分；③Ｃ有４门课得到相同的分数；④Ｅ的物理得５分，语文得３分；⑤Ｄ的化学得４分，试求出题中未直接给出的每个人的其他各科成绩。

【分析与解答】（1）由①在每一科中，个人的得分依次是1，2，3，4，5。从而，５人的

总分为５（１＋２＋３＋４＋５）＝７５分。因Ａ总分为２４分，故Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ共得７５－２４＝５１分。又由④Ｅ两科共得８分，故Ｅ至少得１１分。由此可得Ｅ５科共得１１分（因若Ｅ总分多于１１分，则排名顺序及①，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ至少共得１２＋１３＋１４＋１５＝５４分，矛盾。）所以，Ｅ英语、化学、数学、均得１分，且Ｂ，Ｃ，Ｄ的总分只能依次是１５，１３，１２。

（2）A总分为24分，故A只有一科时4分，其余都是5分，而E物理得5分，故A物理得4分，其余都得5分。

(3)C的总分是13分，由③C有四科得分相同，因此，C的得分情况只可能是一科5分，四科2分，或者一科1分，四科3分，但5分全由A,，Ｅ得去，故Ｃ四科３分，一科１分。又Ｅ的语文得３分，故Ｃ语文得１分，其余都是３分。

（4）Ｄ的总分１２分，化学得４分，还余下８分。因全部５分被Ａ，Ｅ得去，全部３分被Ｃ，Ｅ得去，四个１分也被Ｃ，Ｅ所得，所以，除化学以外，Ｄ其他各科都是２分（Ｄ不能得剩下的一个１分，否则四门总分不可能是８分。）

(5)由Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｅ的得分及①，就可以得知Ｂ英语、数学、语文都是４分，化学４分，化学２分，物理１分。

说明：本题若在推理前先列一张表，把已知的分数填入，然后逐步把推理所得的分数填入，这样会使思路更清晰，也便于检验所得结果，最后得到下表：

例４、已知Ａ，Ｂ，Ｃ三人中有两种人，一种人只说真话，一种人句句撒谎。一次晚会上，Ａ说：“Ｂ，Ｃ都是撒谎者”；Ｂ坚决否认；Ｃ说：“Ｂ确实撒谎。”问Ａ，Ｂ，Ｃ各是

那种人？

【分析与解答】本题可能的答案有８种，列表如下：

我们先假定某个答案正确，然后分析这个答案逻辑上有没有矛盾，从而筛选出正确的答案。例如：

若①对，由于Ａ说真话，从而Ｂ，Ｃ撒谎，这与①自相矛盾；若④对，由于Ｃ说真话，则Ｂ是撒谎者，与④矛盾。类似地，可分析答案②，③，⑤，⑧都有矛盾。

若⑥对，由于Ｂ说真话，所以Ａ说“Ｂ，Ｃ都是撒谎者”是假话，Ｃ说“Ｂ确实撒谎。”是假话，故Ａ，Ｃ是说谎者，即答案⑥无矛盾，是本题答案之一。类似地，答案⑦也无矛盾。

综上，本题的答案有两种：Ｂ是诚实人，Ａ，Ｃ说谎者；Ｃ是诚实人，Ａ，Ｂ是撒谎者。

例5 、如图，一个正方形，六个面上分别写着A 、B 、C 、D 、E 、F ，你能根据这个正方形的不同摆法，求出相对的两个面的字母各是什么？

【分析与解答】A ―E B ―D C ―F 由前2个图得:A 与D ﹑F ﹑C ﹑B 相邻,则与E 相对. 由后2个图得:C 与A ﹑B ﹑D ﹑E 相邻,则与F 相对. 剩下的B 与D 相对.

例6 、在一次射击练习中，甲乙丙三位战士各打了四发子弹，全部中靶，其命中情况如下： 每人四发子弹所命中的环数各不相同； 每人四发子弹所命中的总环数均为17环；