中国民航大学名师高数课件高阶微分方程(6-9)

两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(可分离变量)
故所求通解为
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高阶微分方程(6-9)
本题结束
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例7.
解初值问题
y e2y y x0
0 0,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
积分得
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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例1.
解: y e2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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高阶微分方程(6-9)
本题结束
总80页 第5页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻
t=0时
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 且
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些.
有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面
积记为 区间[ 0, x ] 上以 为曲边的曲边梯形面积
满足的方程 . (考研)
解:
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在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
S1
1 2
y
2cot
S2
x
0 y(t) d
t
高阶微分方程(6-9)
两边再积分得
x
F0 m
(t2 2
t3 6T
) C2
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x F0 ( t 2 t3 ) 2m 3T
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二. y f (x, y) 型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
y C2 ex , 再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为 本题结束
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
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总80页 第21页
思考与练习
高阶微分方程
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高阶微分方程(6-9)
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第12章微分方程 14学时 102教学计划
6月3日 6月10日 6月13日 6月15日 6月17日 6月20日 6月24日 6月27日 6月29日 7月1日
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星期一 §12.1微分方程基本概念§12.2可分离变量
星期五 星期一 星期三 星期五 星期一 星期五 星期一 星期三 星期五
初速度为0, 求质点的运动规律.
解: 据题意有
d2 dt
x
2
F0 m
(1
t T
)
F0
F
F (t )
F0 (1
t T
)
对方程两边积分, 得
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高阶微分方程(6-9)
O
Tt
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dx dt
F0 m
(
t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) dt m 2T
S2 y
S1
1
P y
ox x
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利用
两边对 x 求导, 得 定解条件为
得
y2 y
x
0 y(t) d t 1
y y ( y)2
y(0) 1, y(0) 1
令 y p ( y),
方程化为
ypdp p2 dy
dp dy py
S2 y
S1
1
P y
ox x
解得 p C1y, 利用定解条件得 C1 1 , 再解 y y, 得
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第六节
第十二章
可降阶高阶微分方程
一、
型的微分方程
二、
型的微分方程
三、
型的微分方程
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高阶微分方程(6-9)
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
§12.3齐次方程 §12.4一阶线性微分方程1 §12.4一阶线性微分方程 2§12.5 全微分方程 §12.6可降阶的高阶 §12.7高阶线性方程 §12.8二阶常系数齐次线性 §12.9二阶线性非齐次 习题课12 总复习1 总复习2
2011年7月4日星期一 高等数学期末考试
2011年暑假：7月13日～8月28日
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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高阶微分方程(6-9)
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例3. 求解 解:
(1 x2 )y 2xy y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 ,
令 y p ( y), 则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
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例5. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
两端再积分得 y x3 3 x C2
利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
本题结束
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三. y f ( y, y) 型的微分方程
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为
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1 ey x 高阶微分方程(6-9)
本题结束
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例8.
二阶可导, 且