高等代数课件--§1.3 整除的概念
第一章引言、整除的概念、带余数除法
定理 4 (带余数除法 ) 若 a, b是两个整数,其中 b>0, 则存在着两个 整数 q 及 r , 使得 a bq r , 0 r b. 成立,而且 q 及 r 是惟一的. (2)
证明思路
存在性: 构造序列 ，-3b, 2b, b,0, b,2b,3b, 惟一性：设 还有两个整数 q1 与 r1 满足 a bq1 r1 ,0 r1 b.只要证明r1 r , q1 q 即可。
陈景润1933－1996，主要研究 解析数论，他研究哥德巴赫猜 想和其他数论问题的成就，至 今仍然在世界上遥遥领先。其 成果也被称之为陈氏定理。
潘承洞，在解析数论研究方面 有突出贡献。主要成就涉及算 术数列中的最小素数、哥德巴 赫猜想研究，以及小区间上的 素变数三角和估计等领域。
王元1930－50年代至60年代初， 首先在中国将筛法用于哥德巴 赫猜想研究，并证明了命题3+4， 1957年又证明2+3，这是中国学 者首次在此研究领域跃居世界 领先地位.
初等数论
黎琳 lilin@ 2015.03.11
授课教师：黎琳 E-mail：lilin@， 办公地点：九教北310，
电话：51688637
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定 理 3 若 a1 , a2 , q1 , q2 ,
, an 都 是 m 的 倍 数,
, qn 是 任 意 n 个 整 数, 则 q1a1 q2a2
qn an 是 m 的 倍 数.
例1 证 明 ： 若 3 n 且 7 n , 则 2 1 n . 由 3 n 知 n 3m, 所 以 7 3m . 由 此 及 7 7 m 得 7 (7 m 2 3m) m . 因 而 有 2 1 n . 例 2 设 a 2t -1. 若 a 2n , 则 a n . 由 a 2t n 及 2t n an n, 得 a (2t n an) , 即 a n .
高等代数--第八章 多项式_OK
因此有
但是 (q(x) q(x)) (g(x)) (r(x) r(x))
矛盾。这就证明了
(g(x)) (r(x) r(x))
q(x)称为g(x)除f(x)的商，r(x)为余式
q(x) q(x),r(x) r(x)
25
例题
f 3x3 4x2 5x 6, g x2 3x 1
an ：首项系数；
n为（1）的次数，记为 ( f (x)) 。 零多项式不定义次数。
11
运算：
n
m
f (x) ai xi , g (x) bj x j
i0
j0
加法：如n≥m，为方便，在g(x)中令
，
bn bn1 bm1 0
对于加减法： f (x) g(x)
n
(ai bi )xi
p(x)|f(x). 反过来，如果p(x)|f(x),p(x)|g(x)，那 么p(x)一
定整除它们的线性组合 r(x)=f(x)-q(x)g(x)
由此可见，如果g(x),r(x)有一个最大 公因式 d(x)，那么d(x)也是f(x),g(x)的一个 最大公因式。
36
定理2 对于P[x]中任意两个多项式 f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x)， 且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个线性组合，即有P[x]中多项式u(x),v(x)使
定义4 所有系数在数域P中的多项式的全体，
称为数域P上的一元多项式环，记为P[x],
P称为P[x]的系数域
BACK
19
§3 整除的概念
以后讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环中进行。 带余除法 整除 整除的性质
20
带余除法
对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其
高等代数课件-§13整除的概念
04 整除的应用
在多项式分解中的应用
01
整除是多项式分解的重要工具，通过整除可以找到 多项式的根，从而将其分解为因式。
02
利用整除性质，可以将多项式中的项进行分组，从 而简化多项式的结构。
03
在进行因式分解时，整除可以帮助确定公因式，使 分解过程更加简便。
在矩阵运算中的应用
01 在矩阵运算中，整除可以用来计算行列式值，从 而判断矩阵是否可逆。
应用场景
在高等代数中，最大公因式主要用于 解决多项式的整除问题，而最小多项 式则更多地应用于矩阵的特征值计算 和求解方程组等领域。
03 欧几里得算法
欧几里得算法的原理
欧几里得算法基于辗转相除法的 原理，通过不断将大数除以小数， 直到余数为0，最终得到两个数
的最大公约数。
该算法基于数学归纳法的原理， 通过递归的方式不断缩小问题规
最小多项式的定义与性质
最小多项式的定义
对于给定的矩阵或多项式，最小多项式是满足条件的最小次数的 多项式。
唯一性
对于给定的矩阵或多项式，最小多项式是唯一的。
整除性
最小多项
关系描述
最大公因式和最小多项式在数学上存 在一定的联系，但它们分别描述了不 同的概念。
，从而找到方程组的解向量。
03
整除还可以用来验证解的正确性，确保找到的解满足
原方程组。
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模，最终得到最大公约数。
欧几里得算法的原理还可以用数 学公式表示，即gcd(a, b) =
gcd(b, a mod b)，其中mod表 示取余操作。
欧几里得算法的实现步骤
1 2
初始化
选择两个需要求最大公约数的数a和b，其中a>b。
高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念
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若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章 多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。 因而在 F x 中，这一等式仍然成立。 由 q x , r x 的唯一性知， 在 F x 中 g x
第二章 多项式
x f k x 例1.3.2：证明
k 1 的充要条件是 x f x
证：充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章 多项式
m1 x , m2 x F x
若 性质3： h x f x ，对 g x F x 。 h fg 有 证：
f x
第二章
多项式
作业 P44 1（1），2（1），3（1）
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2：若 h x g x , h x f x ，则 h f g 。 证： g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证： 充分性。 若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。 若 g x f x ，则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。
高等代数课件--§1.3 整除的概念
项都为anxn, 令多项式
f1 ( x ) f ( x ) bm a n x
1
nm
g (x)
因而，多项式f1(x) 的次数小于n或为零多 项式。由归纳假设，对f1(x), g(x)必存在 q1(x), r1(x) 使得 f1(x)= g(x)q1(x)+r1(x) 其中(r1(x))< (g(x))或r1(x)=0。 于是
且 (q(x)q (x))+(g(x))= (r (x) r(x) )
但 (g(x))>(r (x)r(x)) 矛盾 故 q(x)=q (x) , r (x) = r(x) .
附：综合除法
例1 设f(x)=a0xn+ a1xn1+…+ an1x+a0, g(x)
=x c, 求g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。 分析 设f(x)是n次多项式, g(x)是1次多项 式, 则q(x)必是n1次多项式和余式r(x)为零 次多项式或零多项式。
求x+3除x5+22x2+40的商q(x)和余式r(x).
解：由综合除法
‒3
1 1
0 3 3
0 9 9
22 27 5
0 15 15
40 45 5
所以q(x)= x43x3+9x2 5x +15, r(x)= 5
综合除法的用途
① 求一次多项式xa去除f(x)的商式及余式． ② 计算函数值f(a)．
若(g(x))>0,则令q(x)=0, r(x)=a0,结论成立
ii)若n<m,则令q(x)=0, r(x)=f(x)即可。 若nm,假设对次数小于n的f(x)，结论 已成立．下证次数为n的情形．
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
11
如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
高等数学第一章课件-整除的概念
g x不能整除②()例4 设f (x)≠0,相伴。
的余式。
① 若 ()0,f x =则令 ()()0.q x r x ==结论成立．② 若 ()0,f x ≠设 (),()f x g x 的次数分别为 ,,n m 证：当时， n m <结论成立．显然取 即有 ()0,()()q x r x f x ==()()()(),f x q x g x r x =+下面讨论 的情形，n m ≥假设假设对对次数小于n 的 ，()f x 结论已成立．先证存在性．对 n 作数学归纳法． 次数为0时结论显然成立．设 的首项为 ()f x ,n ax ()g x ,()mbx n m ≥的首项为 则 与 首项相同，()1n mb ax g x −−()f x 因而，多项式 ()1()()-1=-g n-m f x f x b axx 若 ()1=0,f x 令 1(),()0n m q x b ax r x −−==即可． 若 ()()1,f x n ∂<由归纳假设，存在 11(),()q x r x 使得 ()()()()111f x q x g x r x =+现在来看次数为n 的情形．的次数小于n 或 为0．1f其中 ()()()1()r x <g x ∂∂或者 1()0.r x =于是()()()()()111.n m f x b ax q x g x r x −−=++即有()()()111(),n mq x b ax q x r x r x −−=+=使()()()(),f x q xg x r x =+成立．的存在性得证．由归纳法原理，对(),()0,f x g x ∀≠(),()q x r x再证唯一性．()()()(),f x q x g x r x =+若同时有()()()()()0.r x g x r x ∂<∂或＝其中()()()()()0.r x g x r x ′′∂<∂或＝其中()()()(),f x q x g x r x ′′=+和则 ()()()()()()q x g x r x q x g x r x ′′+=+即()()()()()().q x q x g x r x r x ′′－＝－()()()()()0,0q x q x g x r x r x ′′≠≠≠若，由有－()()()()()()()()q x q x g x r x r x ′′∴∂∂∂－＋＝－()()()max ,r r ′≤∂∂但 ()()()()()()(),q x q x g x g x ′∂∂≥∂－＋矛盾． ()()g x <∂所以()(),q x q x ′=从而 ()().r x r x ′=唯一性得证．例1 设除 的商式为 余式为()g x ()f x (),q x (),r x 求除 的商式与余式。
第三节 整除的概念
第一章 多项式 Polynomial
第三节 整除的概念
§1.3 整除的概念
一、引入
这一节以及后面各节的讨论都是在某一固定的 数域 P 上的多项式环 P[x] 中进行的. 在一元多项式环中， 可以作加、减、乘三种 运算，但是乘法的逆运算——除法并不是普遍可以
做的. 因此整除就成了两个多项式之间的一种特殊
f (x) | ( u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + … + ur (x) gr(x) ) , 其中 ui (x) 是数域 P 上任意的多项式. 证明 由 f (x) | g i (x) 得
gi (x) = hi (x) f (x ) , i = 1 , 2 , … , r , 由此即得
§1.3 整除的概念
u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + … + ur (x) gr(x) =(u1 (x) h1(x) + u2 (x) h2(x) + … + ur (x) hr(x)) f (x). 从而 f (x) | ( u1 (x) g1(x) + u2 (x) g2(x) + … + ur (x) gr(x) ). 证毕
3. 整除的性质
性质 1 如果 f (x) | g(x) , g(x) | f (x) , 那么
f (x) = c g (x) ,
其中 c 为非零常数.
§1.3 整除的概念
证明
由 f ( x ) | g ( x ) , 有 g ( x ) = h 1( x ) f ( x ) ,
又由 g(x) | f (x) , 有 f (x) = h2(x) g(x) . 于是
《数的整除总复习》课件
整除与分治策略在数学中有着广泛的应用。例如，在求解最大公约数和最小公倍数时，常常采用分治 策略，将问题分解为更小的部分，分别求解后再合并结果。这种方法能够简化问题，提高解题效率。
整除与数论的关系
总结词
数论是研究整数的性质和结构的数学分 支，整除是数论中的一个基本概念。
VS
详细描述
整除是数论中的一个核心概念，它是整数 的一个基本性质。通过研究整除的性质和 规律，可以深入了解整数的结构，进一步 探索数论中的其他问题。同时，整除也为 密码学、计算机科学等领域提供了重要的 理论基础和应用价值。
05
数的整除拓展
整除与同余式
总结词
同余式是整除的一种扩展，它描述了整数在模运算下的等价关系。
详细描述
同余式是数论中的一个重要概念，它表示两个或多个整数在模运算下具有相同 的余数。整除是同余式的一个特例，即当模数为1时，如果一个数a能被另一个 数b整除，则a与b模1同余。
整除与分治策略
总结词
分治策略是将复杂问题分解为若干个简单子问题，通过解决子问题来达到解决原问题的目的。
逻辑推理
03
利用整除性质进行逻辑推理是解决一些数学竞赛问题的重要方
法。
在日常生活中的应用
购物优惠
商家经常使用整除点来设置商品价格，以提供优 惠或促销活动。
时间计算
在日程安排和时间管理中，整除常用于计算时间 间隔或确定特定时间点。
金融计算
在投资和理财方面，整除在计算复利、评估风险 和制定预算时非常有用。
整除的唯一分解定理
总结词
整除的唯一分解定理是指，一个正整数可以表示为若干个质数的乘积，并且这种 表示方法是唯一的。
详细描述
这是整除的一个重要定理，它告诉我们一个正整数可以分解为若干个质数的乘积 ，而且这种分解方式是唯一的。这个定理在数学中有着广泛的应用，因为它可以 帮助我们更好地理解整数的结构，并解决与整数有关的数学问题。
1.整除的概念和性质.ppt
知识方面
(1)整除的定义； (2)整除的基本性质；
(3)能被一些特殊整数（3、9、11）整除的正整数的特征； 思想方法方面
观察、归纳、猜想等合情推理思想； 类比；特殊到一般； 数学核心素养方面
0，2，4, 6, 8, 10，128.他们能被什么整数整除？ (2)0，5，20, 205,1055.他们能被什么整数整除？
1、一个整数的末位数字是0、2、4、6、8 ，则这个数能被2整除； 2、一个整数的末位数字是0、5，则这个数 能被5整除；
问题6.观察下列正整数，这几组数有什么规 律？他们能被什么整数整除？ (1)6，18，21, 108, 243，56382； (2)9，45，189，6651； (3)11，88，968； (4)121，1001,1331。
整除的概念：一般地，设a、b为整数，且b不为0，如果 存在整数q,使得a=bq,则称b整除a,或者a能被b整除。记 作b|a。并且称b是a的因数，a是b的倍数。如果这样的整 数q不存在，则称b不能整除a。
问题4：由整除的概念，你能否推出下列整除的基本性质？ (1)若a|b, b|a,则a=b,或a=-b； (2)若a|b, b|c,则a|c； (3)若a|b,a|c,则对任意整数x、y,恒有a|bx+cy.
1理解并掌握整除的定义； 2探索、掌握、证明整除的基本性质； 3探索、概括、并证明能被一些特殊整数（3、9、11 ）整除的正整数的特征；
问题1.两个整数的加法、减法、乘法运算， 结果仍为整数，除法呢？
问题2.请你们给出以前学过的一个整数能除 尽另一个整数的例子？ 问题3.如何从乘法角度判断一个整数能除尽 另一个整数？
结论： (1)一个正整数的各位数字之和能被3整除，则 这个正整数能被3整除。 (2)一个正整数的各位数字之和能被9整除，那 么这个正整数能被9整除； (3)一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字 之和的差能被11整除，那么这个正整数能被11 整除；
高等代数经典课件
第一章 多项式§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.例1 所有具有形式的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.例2 所有可以表成形式的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i 是整数.例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的. 性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.§2 一元多项式一、一元多项式定义2 设n 是一非负整数，形式表达式0111a x a x a x a n n n n ,(1)其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式.在多项式（1）中，i i x a 称为i 次项，i a 称为i 次项的系数.以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式.注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么)(x f 与)(x g 就称为相等，记为)()(x g x f .系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.在（1）中，如果0 n a ，那么n n x a 称为多项式（1）的首项，n a 称为首项系数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f 的次数记为))((x f .二、多项式的运算设是数域P 上两个多项式，那么可以写成在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ，为了方便起见，在)(x g 中令011 m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为而)(x f 与)(x g 的乘积为其中s 次项的系数是所以)(x f )(x g 可表成s mn s s j i j i x b a x g x f )()()(0 .显然，数域P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P 上的多项式.对于多项式的加减法，不难看出)))(()),((max())()((x g x f x g x f .对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)( x g x f ，则0)()( x g x f ，并且 由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律：1. 加法交换律：)()()()(x f x g x g x f .2. 加法结合律：))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f3. 乘法交换律：. )()()()(x f x g x g x f4. 乘法结合律：))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f5. 乘法对加法的分配律：)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f6. 乘法消去律：若)()()()(x h x f x g x f 且0)( x f ，则)()(x h x g .定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P ，P 称为][x P 的系数域.§3 整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)( x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使)()()()(x r x g x q x f (1)成立，其中))(())((x g x r 或者0)( x r ，并且这样的)(),(x r x q 是唯一决定的.带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式. 定义5 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式成立.用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.当0)( x g 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)( x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中，)(x g 可以为零.这时0)(0)()()( x h x h x g x f .当)(|)(x f x g 时，如0)( x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用来表示.二、整除的性质1. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.2. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式0.3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.4. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f ,其中c 为非零常数.5. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.6. 若r i x g x f i ,,2,1),(|)( ，则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r ,其中)(x u i 是数域P 上任意的多项式.通常，)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r 称为)(,),(),(21x g x g x g r 的一个组合.由以上性质可以看出，)(x f 与它的任一个非零常数倍)0)(( c x cf 有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，)(x f 常常可以用)(x cf 来代替.最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式，P 是包含P 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ，则在][x P 中，)(x g 也不能整除)(x f .例1 证明若)()(|)(),()(|)(2121x f x f x g x f x f x g ，则例2 求l k ,，使1|32 kx x l x x .例3 若)(|)(),(|)(x h x g x f x g ，则)()(|)(x h x f x g .§4 多项式的最大公因式一 、多项式的最大公因式如果多项式)(x 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，那么)(x 就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.定义6 设)(x f 与)(x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ，)(x g 的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1）)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式；2）)(x f ，)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.例如，对于任意多项式)(x f ，)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理 如果有等式)()()()(x r x g x q x f (1)成立，那么)(x f ，)(x g 和)(x g ，)(x r 有相同的公因式.定理2 对于][x P 的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ，且)(x d 可以表成)(x f ，)(x g 的一个组合，即有][x P 中多项式)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d . (2)由最大公因式的定义不难看出，如果)(),(21x d x d 是)(x f ，)(x g 的两个最大公因式，那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ，也就是说0),()(21 c x cd x d .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用（)(x f ，)(x g ）来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm). 例 设求（)(x f ，)(x g ），并求)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d .注：定理2的逆不成立.例如令1)(,)( x x g x x f ,则122)1)(1()2(2 x x x x x x .但1222 x x 显然不是)(x f 与)(x g 的最大公因式.但是当(2)式成立，而)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，则)(x d 一定是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.二、多项式互素定义7 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 称为互素（也称为互质）的，如果 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.定理3 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 互素的充要条件是有][x P 中多项式)(),(x v x u 使1)()()()( x g x v x f x u .定理4 如果1))(),(( x g x f ，且)()(|)(x h x g x f ,那么)(|)(x h x f .推论1 如果)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ，且1))(),((21 x f x f ,那么)(|)()(21x g x f x f .推论2 如果1))(),((1 x g x f ,1))(),((2 x g x f ,那么1))(),()((21 x g x f x f推广：对于任意多个多项式)2)((,),(),(21 s x f x f x f s ，)(x d 称为)2)((,),(),(21 s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果)(x d 具有下面的性质：1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( ;2）如果s i x f x i ,,2,1),(|)( ，那么)(|)(x d x .我们仍用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式存在，而且当)(,),(),(21x f x f x f s 全不为零时， 就是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式，即))(,),(),((21x f x f x f s =))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式s i x u i ,,2,1),( ,使如果1))(,),(),((21 x f x f x f s ，那么)(,),(),(21x f x f x f s 就称为互素的.同样有类似定理3的结论.注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1 x x x ,但22)1(|1x x ,且22)1(|1 x x .2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如1)(2 x x g ,1)(1 x x f ,)1)(1()(2 x x x f ,则)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,但)(|)()(21x g x f x f .注意:s )2( s 个多项式)(,),(),(21x f x f x f s 互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式是互素的,但2))(),((21 x x f x f . 令P 是含P 的一个数域, )(x d 是][x P 的多项式)(x f 与)(x g 在][x P 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在][X P 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d .即从数域P 过渡到数域P 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i 互素，则)1)((|)(s i x f x h i .2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ，且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素，则)(|)()()(21x h x f x f x f s .3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素，则1))(),()()((21 x h x f x f x f s .§5 因式分解定理一、不可约多项式Con i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224 . 定义8 数域P 上次数1 的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.根据定义，一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.显然，不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍)0)(( c x cp 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数1 的多项式一定是不可约的.由此可知，不可约多项式)(x p 与任一多项式)(x f 之间只可能有两种关系，或者)(|)(x f x p 或者1))(),(( x f x p .定理5 如果)(x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式)(),(x g x f ，由)()(|)(x g x f x p 一定推出)(|)(x f x p 或者)(|)(x g x p .推广：如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ，那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1 的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ,那么必有t s ，并且适当排列因式的次序后有s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( .其中),,2,1(s i c i 是一些非零常数.应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.在多项式)(x f 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式成为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r ,其中c 是)(x f 的首项系数，)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方幂中较小的一个.由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则)(x f 与)(x g 互素.注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域P 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.例 在有理数域上分解多项式22)(23 x x x x f 为不可约多项式的乘积.§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k .如果0 k ，那么)(x p 根本不是)(x f 的因式；如果1 k ，那么)(x p 称为)(x f 的单因式；如果1 k ，那么)(x p 称为)(x f 的重因式.注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆. 显然，如果)(x f 的标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r ,那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重，2r 重，… ,s r 重因式.指数1 i r 的那些不可约因式是单因式；指数1 i r 的那些不可约因式是重因式.不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的k 重因式的充要条件是存在多项式)(x g ,使得)()()(x g x p x f k ,且)(|)(x g x p .二、重因式的判别设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ,规定它的微商（也称导数或一阶导数）是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式: 同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f 称为)(x f 的一阶微商；)(x f 的微商)(x f 称为)(x f 的二阶微商；等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1( n n 次多项式的微商是一个1 n 次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的1 n 阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1( k k 重因式,那么)(x p是微商)(x f 的1 k 重因式.分析: 要证)(x p 是微商)(x f 的1 k 重因式,须证)(|)(1x f x p k ,但)(|)(x f x p k. 注意:定理6的逆定理不成立.如333)(23 x x x x f , 22)1(3363)( x x x x f ,1 x 是)(x f 的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1( k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ，)(x f ,…,)()1(x f k 的因式,但不是)()(x f k 的因式.推论2 不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的重因式的充要条件是)(x p 是)(x f 与)(x f 的公因式.推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),(( x f x f这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域P 过渡到含P 的数域P 时都无改变,所以由定理6有以下结论:若多项式)(x f 在][x P 中没有重因式,那么把)(x f 看成含P 的某一数域P 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.例1 判断多项式有无重因式三、去掉重因式的方法设)(x f 有重因式,其标准分解式为s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 .那么由定理5此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i 整除.于是用)(x d 去除)(x f 所得的商为这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.例2 求多项式的标准分解式.§7 多项式函数到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.一、多项式函数设0111)(a x a x a x a x f n n n n (1)是][x P 中的多项式， 是P 中的数，在(1)中用 代x 所得的数称为)(x f 当 x 时的值,记为)( f .这样，多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为x 在与数域P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果那么定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式)(x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值)( f .如果)(x f 在 x 时函数值0)( f ，那么 就称为)(x f 的一个根或零点.由余数定理得到根与一次因式的关系.推论 是)(x f 的根的充要条件是)(|)(x f x .由这个关系，可以定义重根的概念. 称为)(x f 的k 重根，如果)( x 是)(x f 的k 重因式.当1 k 时， 称为单根；当1 k 时， 称为重根.定理8 ][x P 中n 次多项式)0( n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有)()(x g x f ,而对于P 中所有的数 都有)()( g f ?由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.定理9 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即)()(i i g f ,1,,2,1 n i ,那么)(x f =)(x g .因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域P 上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.三、综合除法根据余数定理,要求)(x f 当c x 时的值,只需用带余除法求出用c x 除)(x f 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.设并且设r x q c x x f )()()(. (2)其中比较等式(2)中两端同次项的系数.得到这样,欲求系数k b ,只要把前一系数1 k b 乘以c 再加上对应系数k a ,而余式r 也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:表中的加号通常略去不写.例1 用3 x 除94)(24 x x x x f .例2 求k 使355)(234 kx x x x x f 能被3 x 整除注意 :若)(x f 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗日插值公式已知次数n 的多项式)(x f 在)1,,2,1( n i c x i 的值)1,,,2,1()( n i b c f i i .设 依次令c x 代入)(x f ,得这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.例3 求次数小于3的多项式)(x f ,使3)2(,3)1(,1)1( f f f .下面介绍将一个多项式表成一次多项式 x 的方幂和的方法.所谓n 次多项式)(x f 表成 x 的方幂和，就是把)(x f 表示成的形式.如何求系数011,,,,b b b b n n ，把上式改写成01211)]()()([)(b x b x b x b x f n n n n ,就可看出0b 就是)(x f 被 x 除所得的余数，而就是)(x f 被 x 除所得的商式.又因为123121)]()()([)(b x b x b x b x q n n n n .又可看出1b 是商式)(1x q 被 x 除所得的余式，而233122)()()()(b x b x b x b x q n n n n .就是)(1x q 被 x 除所得商式.这样逐次用 x 除所得的商式，那么所得的余数就是n n b b b b ,,,,110 .例4 将5)2()2(3)2(2)2()(234 x x x x x f 展开成x 的多项式.解 令2 x y ，则2 y x .于是532)2(234 y y y y y f .问题变为把多项式532234 y y y y 表成2 y （即x ）的方幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14------------------------------------------------------- -2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2------------------------------------------------------ -2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8----------------------------------------------- -2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以9596)(234 x x x x x f .注意：将)(x f 表成 x 的方幂和，把 写在综合除法的左边，将 x 的方幂和展开成x 的多项式，那么相当于将)(x f 表成c c x )(的方幂和，要把c 写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数1 的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1 的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理 每个次数1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中s ,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果 是实系数多项式)(x f 的复根，那么 的共轭数 也是)(x f 的根,并且 与 有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理 每个次数1 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数，s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数，并且),,2,1(2r i q x p x i i 是不可约的，也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 ..代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.三、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第),,2,1(n k k 个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1( .若多项式的首项系数,10 a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解1 n x 为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.一、有理系数多项式的有理根设是一个有理系数多项式.选取适当的整数c 乘)(x f ，总可以使)(x cf 是一个整系数多项式.如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf ,也就是其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n 的系数01,,,b b b n n 没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f .可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果)()()(11x g r x rg x f ,其中)(),(1x g x g 都是本原多项式，那么必有因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论 设)(x f ，)(x g 是整系数多项式，且)(x g 是本原多项式，如果)()()(x h x g x f ，其中)(x h 是有理系数多项式，那么)(x h 一定是整系数多项式.这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法.定理12 设是一个整系数多项式.而sr 是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么 (1) 0|,|a r a s n ;特别如果)(x f 的首项系数1 n a ，那么)(x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子. (2) ),()()(x q sr x x f 其中)(x q 是一个整系数多项式.给了一个整系数多项式)(x f ,设它的最高次项系数的因数是k v v v ,,,21 ,常数项的因数是.,,,21l u u u 那么根据定理12,欲求)(x f 的有理根,只需对有限个有理数j i v u 用综合除法来进行试验. 当有理数ji v u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.首先,1和-1永远在有理数j i v u 中出现,而计算)1(f 与)1( f 并不困难.另一方面,若有理数)1( a 是)(x f 的根,那么由定理12,而)(x q 也是一个整系数多项式.因此商都应该是整数.这样只需对那些使商a f a f 1)1(1)1(与都是整数的ji v u 来进行试验.(我们可以假定)1(f 与)1( f 都不等于零.否则可以用1 x 或1 x 除)(x f 而考虑所得的商.)例1 求多项式的有理根.例2 证明在有理数域上不可约.二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得1. n a p |; 2. 021,,,|a a a p n n ;3. 02|a p. 则多项式)(x f 在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)( n x x f .,其中n 是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.有时对于某一个多项式)(x f ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把)(x f 适当变形后,就可以应用这个判断法.例3 设p 是一个素数,多项式叫做一个分圆多项式,证明)(x f 在][x Q 中不可约.证明：令1 y x ，则由于1)()1( p x x f x ,y C y C y y y yf p p p p p p 1111)1()1( ,令)1()( y f y g ，于是1211)( p p p p p C yC y y g , 由艾森斯坦判断法，)(y g 在有理数域上不可约，)(x f 也在有理数域上不可约.第一章 多项式(小结)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(2) )).(())(())()(())),(()),((max())()((000000x g x f x g x f x g x f x g x f(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1) 带余除法定理.(2) 设1)()()()(|)(,0)(][)(),( x r x f x g x f x g x g x F x g x f 的余式除，. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素.(1) 最大公因式,互素的概念.。
高等代数【北大版】17PPT课件
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P
高等代数整除的概念
. .. . . ..
带余除法定理
以下设 f(x) ̸= 0. 令 f(x), g(x) 的次数分别为 n, m. 对 f(x) 的次数 n 作 (第二) 数学归纳法. 当 n < m 时, 显然取 q(x) = 0, r(x) = f(x),(1) 式成立.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
整除的ห้องสมุดไป่ตู้单性质
注 1 整除是多项式之间的一种关系, 不能简单看作“除法运算”. 因此可说零多项式整除零多项式，即 0 | 0 有意义. 2 由整除的定义可看出，任一个多项式 f(x) 一定整除它自身， 即 f(x) | f(x) .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
整除的判别法
当 g(x) | f(x) 时,g(x) 就称为 f(x) 的因式，f(x) 称为 g(x) 的倍式. 定理 对于数域 P 上的任意两个多项式 f(x), g(x), 其中 g(x) ̸= 0,
g(x) | f(x) 的充分必要条件是 g(x) 除 f(x) 的余式为零.
. .. . . ..
带余除法
在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆 运算—除法—并不是普遍可以做的. 因之整除就成了两个多项式 之间的一种特殊的关系. 和中学中所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去 除另一个多项式，求得商与余式.
例 设
f(x) = 3x3 + 4x2 − 5x + 6, g(x) = x2 − 3x + 1
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
高等代数(第三版)1.3
于是由 r x 的唯一性得出，在 F[ x] 里 g x 也不能整除
f x .
总之，两个多项式之间的整除关系 不因为系数域的扩大而改变.
第一章 多项式
例1
确定m ，使 x 1 | x mx mx 1 .
2 5 2
例2
m 5 设 f x x3 px q, g x x 2 mx 1
第一章 多项式
作业： P44：1，2，3，4(2)
第一章 多项式
显然仍不能整除 f x .
第一章 多项式
假定 g x 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 r x 0 ．但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
F[ x] 的多项式，因而在 F[ x] 里，这一等式仍然成立．
f x g x qx r x
解：f ( x) ( x c)q( x) r ,，则 q( x) bn 1 x n 1 b1 x b0
比较上等式中两端同次项的系数,我们得到
第一章 多项式
a 0 b0 , a1 b1 cb0 , a 2 b2 cb1 , a n 1 bn 1 cbn 2 , a n r cbn 1 .
第一章 多项式
4、系数所在范围对整除性的影响
设F和F 是两个数域，并且F F ，那么多项式环F[ x] 含有多项式环F [x]．因此Ｆ上的一个多项式 f x 也是
F 上的一个多项式．
f x , g x F[ x]，则如果在F [x]里 g x 不能整除 f x
，那么在 F[ x] 里 g x 也不能整除 f x . 不能整除 f x , f x 不能等于0．因此在F[ x] 里 g x 事实上，若 g x 0 ，那么由于在F [x]里 g x
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i=1,2,…,n , then
f(x)| u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+…+ un(x)gn(x)
注：此命题的逆命题不成立。
6) 整除不变性：两多项式的整除关系不 因系数域的扩大而改变．
扩域: 若P1P2，则称P2 为P1的扩域
例1 当a是什么数时，g(x)=2x+1能整除
f(x)=2x3+ 5x2+ax1？
方法1 带余除法 方法2 待定系数法 方法3 综合除法
结束，谢谢！
过 程：
1
1
0 1 1 1 2 1 3 1 4 1
0 1 1 2 3 3 6 4
0 1 1 3 4 6
0 1 1 4
0 1 1 r 1
1 1
1 1
1 1 1 1 1
5 r2
1 0 r3
1 0 r4
3) If g(x)| f(x) and f(x)| g(x) , then f(x)=cg(x), c0. 4) If g(x)| f(x) and f(x)| h(x) ,
then g(x)|h(x) .(传递性)
5) If f(x)| gi(x), f(x), gi(x)P[x],ui(x)P[x],
且 (q(x)q (x))+(g(x))= (r (x) r(x) )
但 (g(x))>(r (x)r(x)) 矛盾 故 q(x)=q (x) , r (x) = r(x) .
附：综合除法
例1 设f(x)=a0xn+ a1xn1+…+ an1x+a0, g(x)
=x c, 求g(x)除f(x)的商q(x)和余式r(x)。 分析 设f(x)是n次多项式, g(x)是1次多项 式, 则q(x)必是n1次多项式和余式r(x)为零 次多项式或零多项式。
定理1 f(x), g(x)P[x], g(x)0, 则 g(x)| f(x) g(x)除 f(x)的余式r(x)=0
3．整除的性质
1) f(x)P[x], f(x)| f(x), f(x)|0 a P, a 0, a | f(x) 2) If g(x)| f(x), and 0aP,bP, then ag(x)| bf(x).
§1.3
整除的概念
引入
在上一节，学习了多项式的加法、
减法、乘法运算。但没有讨论除法的
问题。在中学教材中，有多项式的除 法。为此本节探讨在P[x]中，除法的 问题。
一、带余除法
1. 带余除法定理
对f(x), g(x)P[x], g(x)0, 一定存在
q(x), r(x)P[x], 使f(x)= g(x)q(x)+r(x)成立，
设 f (x)首项为anxn，g(x)首项为bmxm，
nm．则
bm a n x
1 nm
g ( x ) 与 f ( x )的 首
项都为anxn, 令多项式
f1 ( x ) f ( x ) bm a n x
1
nm
g (x)
因而，多项式f1(x) 的次数小于n或为零多 项式。由归纳假设，对f1(x), g(x)必存在 q1(x), r1(x) 使得 f1(x)= g(x)q1(x)+r1(x) 其中(r1(x))< (g(x))或r1(x)=0。 于是
则称g(x)整除f(x)，记为g(x) | f(x). 否则
称g(x)不整除f(x)，记为g(x) f(x)。
注
1. 当g(x) | f(x),称g(x)为f(x)的因式， f(x)为g(x)的倍式 2. g(x)可以为零 3. g(x) | f(x)时，可记为
f (x) g (x)
2．整除的判定
5 r5
返回
求x+3除x5+22x2+40的商q(x)和余式r(x).
解：由综合除法
‒3
1 1
0 3 3
0 9 9
22 27 5
0 15 15
40 45 5
所以q(x)= x43x3+9x2 5x +15, r(x)= 5
综合除法的用途
① 求一次多项式xa去除f(x)的商式及余式． ② 计算函数值f(a)．
③ 把f(x)表成xa的方幂和，即表成
f(x)=c0+c1(xa)+c2 (xa)2 +…
例2 把f(x)=x5表成x1的方幂和。
解：由综合除法有
具体过程
所以 f(x)= (x1)5+5(x1)4 +10(x1)3 +10(x1)2 +5(x1)+1
二、整除
1．定义 设f(x), g(x)P[x],如果存在h(x)P[x] , 使 f(x)=g(x)h(x)
对n作数学归纳法．
i) 当n=0时,f(x)=a00.
若g(x)=b00,令q(x)=r(x)=0,则结论成立．
若(g(x))>0,则令q(x)=0, r(x)=a0,结论成立
ii)若n<m,则令q(x)=0, r(x)=f(x)即可。 若nm,假设对次数小于n的f(x)，结论 已成立．下证次数为n的情形．
由带余除法定理，和待定系数法的思
想，可设q(x)= b0xn1+…+ bn2x+bn1,从
而可求出q(x)和r(x).
按下面格式确定系数 c a0
a1 cb 0 a2 cb1 b2 a n 1
an cb n 1 bn
cb n 2
b 0 a 0 b1
b n 1
例2
g(x)必存在q(x), r(x) 使得 f(x)= g(x)q(x) +
r(x),其中(r1(x))< (g(x))或r1(x)=0。
唯一性
设另有多项式q (x)和余式r (x)使得
f(x)= g(x)q (x)+r (x) 其中(r (x))< (g(x))或r (x)=0。 于是 g(x)q(x)+r(x)=g(x)q (x)+r (x) 即 g(x)[q(x)q (x)]=r (x) r(x) 如果 q(x)q (x), 又g(x) 0, 则r (x) r(x) 0
f ( x ) g ( x )[ f 1 ( x ) + b m a n x
1 nm
]f1 ( x ) + bm a n x
1
nm
r ( x ) r1 ( x )
其中(r1(x))< (g(x))或r1(x)=0。
因此,由归纳法原理,对任意的多项式f(x),
其中(r(x))< (g(x))或r(x)=0。且这样的 q(x), r(x)是唯一决定的。
(分别称q(x),r(x)为g(x)除f(x)的商、余式)
分析
此定理的内容包含两部分：
1. 商q(x)和余式r(x)的存在性
2. 商q(x)和余式r(x)的唯一性
证明
唯一性
① 若f(x)=0，则令q(x)=r(x)=0.结论成立． ② 若f(x)0，设f(x), g(x)的次数分别为n, m