精选中考数学易错题专题复习平行四边形及详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠.

（1）如图1，若120DAB ∠=︒，且90B ∠=︒，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.

（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=︒”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）如图3，若90DAB ∠=︒，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.

【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=

.理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12

AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；

（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；

试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．

理由如下：如图1中，

在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，

∴∠D=90°，

∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∵∠B=90°，

∴AB＝1

2

AC，同理AD＝

1

2

AC．

∴AC=AD+AB．

（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，

∵∠BAC=60°，

∴△AEC为等边三角形，

∴AC=AE=CE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，

∴∠DCB=60°，

∴∠DCA=∠BCE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，

∴△DAC≌△BEC，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB．

（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：

过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，

∴DCB=90°，

∵∠ACE=90°，

∴∠DCA=∠BCE，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB=45°，

∴∠E=45°．

∴AC=CE．

又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

∴△CDA ≌△CBE ，

∴AD=BE ，

∴AD+AB=AE ．

在Rt △ACE 中，∠CAB=45°，

∴AE ＝245AC AC cos ︒

＝ ∴2AD AB AC +＝.

2．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF ．

（1）求证：△DOE ≌△BOF ．

（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE =90°时，四边形BFED 为菱形，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE ≌△BOF （ASA ）；

（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED ，即可得出答案．

试题解析：（1）∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，

∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，

在△EOD 和△FOB 中

，

∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；

（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，

理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵∠EOD=90°，∴EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．

3．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2.

（1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数；

（3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.

【答案】（1）()22303y x x x =

-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为2或1172

. 【解析】

试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论．

（2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，

∠AET =∠B =70°．

又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论．

（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论．

②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴22221y x =+-， 则()22303y x x x =-++<<

（2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，

∴∠AET =∠B =70°．

又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°．

（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2．

②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =-- 则2241174AD CA x x AC CB x -±=⇒=⇒=-（舍负） 易知∠ACE <90°，所以边BC 117+