中考数学复习平行四边形专项易错题附答案解析

∴ PD=DQ，
当 0＜t＜ 时， 此时，PD=t，DQ=2t ∴ t=2t ∴ t=0（不合题意，舍去），
当 ≤t＜3 时， 此时，PD=t，DQ=6﹣2t ∴ t=6﹣2t， 解得 t=2； 综上所述，当点 N 到点 A、B 的距离相等时，t=2； （3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t 当点 M 在 BC 边上时， ∴ MN=BQ ∵ PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t ∴ 3t=3﹣2t
中考数学复习平行四边形专项易错题附答案解析
一、平行四边形
1．如图，△ ABC 是等边三角形，AB=6cm，D 为边 AB 中点．动点 P、Q 在边 AB 上同时从 点 D 出发，点 P 沿 D→A 以 1cm/s 的速度向终点 A 运动．点 Q 沿 D→B→D 以 2cm/s 的速度 运动，回到点 D 停止．以 PQ 为边在 AB 上方作等边三角形 PQN．将△ PQN 绕 QN 的中点旋 转 180°得到△ MNQ．设四边形 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形的面积为 S（cm2），点 P 运 动的时间为 t（s）（0＜t＜3）． （1）当点 N 落在边 BC 上时，求 t 的值． （2）当点 N 到点 A、B 的距离相等时，求 t 的值． （3）当点 Q 沿 D→B 运动时，求 S 与 t 之间的函数表达式． （4）设四边形 PQMN 的边 MN、MQ 与边 BC 的交点分别是 E、F，直接写出四边形 PEMF 与四边形 PQMN 的面积比为 2：3 时 t 的值．
OBE ODF OB OD BOE DOF
∴ △ BOE≌ △ DOF（ASA），
∴ EO=FO， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，BD⊥EF， 设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在 Rt△ ADE 中，DE2=AD2+AE2， ∴ x2=42+（6-x）2，
∴ 解得 t=
如图①，当 0≤t≤ 时，
S△ PNQ= PQ2= t2；
∴ S=S 菱形 PQMN=2S△ PNQ= t2，
如图②，当 ≤t≤ 时， 设 MN、MQ 与边 BC 的交点分别是 E、F， ∵ MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t， ∴ ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3， ∵ △ EMF 是等边三角形，
【答案】（1） （2）2（3）S=S 菱形 PQMN=2S△ PNQ= t2；
（4）
t=1 或 【解析】 试题分析：（1）由题意知：当点 N 落在边 BC 上时，点 Q 与点 B 重合，此时 DQ=3； （2）当点 N 到点 A、B 的距离相等时，点 N 在边 AB 的中线上，此时 PD=DQ；
（3）当 0≤t≤ 时，四边形 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形为四边形 PQMN；当 ≤t≤ 时，四 边形 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形为五边形 PQFEN．
（4）MN、MQ 与边 BC 的有交点时，此时 ＜t＜ ，列出四边形 PEMF 与四边形 PQMN 的 面积表达式后，即可求出 t 的值． 试题解析：（1）∵ △ PQN 与△ ABC 都是等边三角形， ∴ 当点 N 落在边 BC 上时，点 Q 与点 B 重合． ∴ DQ=3 ∴ 2t=3．
∴ t= ； （2）∵ 当点 N 到点 A、B 的距离相等时，点 N 在边 AB 的中线上，
∴ S△ EMF= ME2= （5t﹣3）2
．
； （4）MN、MQ 与边 BC 的交点分别是 E、F，
此时 ＜t＜ ，
tFra Baidu bibliotek1 或
．
考点：几何变换综合题
2．如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点 E，F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长．
∴ △ ADF≌ △ CDF（SAS） ∴ AF＝CF， ∵ AB∥ CD，AE∥ CF ∴ ∠ ABE＝∠ CDF，∠ AEF＝∠ CFE ∴ ∠ AEB＝∠ CFD，∠ ABE＝∠ CDF，AB＝CD ∴ △ ABE≌ △ CDF（AAS） ∴ AE＝CF，且 AE∥ CF ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 又∵ AF＝CF， ∴ 四边形 AECF 是菱形 【点睛】 本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.
3．已知：在菱形 ABCD 中，E，F 是 BD 上的两点，且 AE∥ CF． 求证：四边形 AECF 是菱形．
【答案】见解析 【解析】 【分析】 由菱形的性质可得 AB∥ CD，AB＝CD，∠ ADF＝∠ CDF，由“SAS”可证△ ADF≌ △ CDF，可得 AF＝CF，由△ ABE≌ △ CDF，可得 AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形 AECF 是菱形． 【详解】 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB∥ CD，AB＝CD，∠ ADF＝∠ CDF， ∵ AB＝CD，∠ ADF＝∠ CDF，DF＝DF
解得：x= 13 ， 3
∵ BD= AD2 AB2 =2 13 ， ∴ OB= 1 BD= 13 ，
2
∵ BD⊥EF，
∴ EO= BE2 OB2 = 2 13 ， 3
∴ EF=2EO= 4 13 ． 3
点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质， 熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
【答案】（1）证明见解析；（2） 4 13 ． 3
【解析】 分析：（1）根据平行四边形 ABCD 的性质，判定△ BOE≌ △ DOF（ASA），得出四边形 BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论； （2）在 Rt△ ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 BE，由勾股定理求出 BD，得出 OB，再由勾股定理求出 EO，即可得出 EF 的长. 详解：（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， ∴ ∠ A=90°，AD=BC=4，AB∥ DC，OB=OD， ∴ ∠ OBE=∠ ODF， 在△ BOE 和△ DOF 中，