小波变换学习心得

小波变换学习心得

第一章什么是小波变换

1从傅里叶变换到小波变换

1.1 短时傅里叶变换

为了克服傅里叶变换中时域和频域不能兼容的缺点，短时傅里叶变换把一个时间信号变为时间和频率的二维函数，它能够提供信号在某个时间段和某个频率围的一定信息。这些信息的精度依赖于时间窗的大小。短时傅里叶变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗大小相同，然而，对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息，需要可变的时间窗。

1.2 小波变换

小波变换提出了变换的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗，图1.3 给出了时间域信号、傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换的对比示意图。

由图1.3看出，小波变换用的不是时间-频率域。而是时间-尺度域，尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。

1.2 连续小波变换

小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。图1.4是一个Daubechies小波（db10）与正弦波的比较。

正弦波：随时间无限振动的光滑波形，小波变换：尖锐变化而且是无规则的波形。因此小波能更好的刻画信号的局部特性。

在数学上，傅里叶变换的公式为

()()j t F f t e dt ωω+∞

--∞

=⎰

连续小波变换（Continue Wavelet Transform ）的数学表达式

()(),,a b a b CWT f t t dt ψ+∞

-∞

=⎰

()12

,a b t b t a a ψψ--⎛⎫

= ⎪⎝⎭

式中，()t ψ为小波；a 为尺度因子；b 为平移参数。图1.6是小波变换的示意图。由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成。

小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下“拉伸”或者“压缩”，图1.7给吃了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。

小波中的平移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。

连续小波变换CWT a,b是参数a和b的函数。下面的五个步骤是获得CWT a,b的最简单方法。第一步，选择尺度a一定的小波，把它与原始信号的开始一段进行比较。

第二步，计算CWT a,b，它表示这段信号与尺度a小波的相关程度。CWT a,b越大，二者越相似。这个结果依赖于所选择的小波的形状。（图1.8）

第三步，向右移动小波，然后重复第一步和第二步，直到处理完成全部的信号（图1.9）

第四步，增大小波的尺度因子（拉升），重复第一步到第三步。

第五步，对全部尺度因子重复第一步到第四步，得到的CWT a,b通常用灰度表示。图1.11是小波变换的灰度图例子。

1.3 离散小波变换

实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算CWT a,b值，加之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换（DWT）。大多数情况下是将尺度因子和位移参数按2的幂次进行离散。最有效的计算方法是S.Mallat于1988年发展的快速小波算法

（又称塔式算法）。

对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分（称为近似部分）和离散部分（称为细节部分）。近似部分代表了信号的主要特征。第二步对低频部分再进行相似运算。不过这时尺度因子已改变。依次进行到所需要的尺度。图1.12给出了一个信号经过第一次运算后获得的近似部分和细节部分。

除了连续小波（CWT ）、离散小波（DWT ），还有小波包（Wavelet Packet ）和多维小波。 第二章 预备知识（傅里叶变换） 第三章 连续小波变换 3.1 引言

小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，很好地解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和频率域有很好的局部化性质。对信号中的低频成分，采用宽的时间窗，得到高的频率分辨率；对信号中的高频成分，采用窄的时间窗，得到低的频率分辨率。小波变换的这种自适应特性，使它在工程技术和信号处理方面获得广泛应用。 3.2 连续小波变换定义

设函数()()2

t L R ψ∈，满足下述条件

()0R

t dt ψ=⎰ （3.1）

称()t ψ为基本小波（Prototype ），引入尺度因子（伸缩因子）a 和平移因子b ，a 和b 满足：

,,0a b R a ∈≠且

将基本小波进行伸缩和平移，得到下列函数族

()12

,a b t b t a a ψψ-

-⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（3.2）

称(),a b t ψ为分析小波，系数12

a -为归一化常数，它使得对所有尺度a 和平移因子

b ，下式

成立

()()()222

,,a b a b R

R

t t dt t dt ψψψ==⎰⎰（3.3）

通常取()2

R

t dt ψ⎰=1，（本式的意义就是能量守恒）

函数()()2

f t L R ∈的连续小波变换（CWT ）的定义为

()()()1

2

,,a b a b R

t b CWT f t t dt a

f t dt a ψψ+∞

-

-∞

-⎛⎫== ⎪⎝⎭

⎰

⎰

（3.4）

式中，(),a b t ψ为(),a b t ψ的共轭函数。 若基本小波()t ψ满足下述条件：

()

ψ<∞⎰

R

d ωωω

（3.5）

（小波变换中狄更斯条件？）

则连续小波变换CWT a,b 存在逆变换，公式为

()()1

,,0

+∞+∞

--∞

=⎰⎰

g ２a b a b dadb

f t C t CWT a a

ψ

ψ （3.6）

()

ψ=⎰

R

C d ψωωω

（3.7）

称式（3.5）为容许条件（Admissibility Condition ），称满足容许条件的小波为容许小波。

1>关于容许条件

（其中，()1

L R 应该为1阶导数）

2>关于尺度因子a

根据傅里叶变换的尺度定理

()()↔ψt ψω

()⎛⎫

↔ψ ⎪⎝⎭

t a a a

ψω

尺度因子a 越小，(),a b t ψ的波形变窄，(),ψa b ω的频谱向高频端扩展；a 越大，(),ψa b ω的波形越宽，(),a b t ψ的频谱向低频段扩展，从而实现了时间-频率窗的自适应调节。