(整理)(1203)高等数学(2)期末复习指导(文本).
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（2008.12.03）高等数学（2）期末复习指导（文本）赵坚：各位老师，各位同学，大家好！现在是高等数学（2）教学活动时间，欢迎大家的参与。
今天活动的主题是：课程教学答疑和期末复习指导。
考试采取半开卷笔试的形式，考试时间为90分钟。
本学期高等数学（2)考试时间为09年1月9日8：30-10：00试题类型及结构：本课程的考试题型分为四种：填空题、单项选择题、计算题和应用题，相应的分数比例大致为15:15:52:18．命题依据：本课程使用的教学大纲是《中央广播电视大学高等专科高等数学课程教学大纲》．使用的教材为分别是《高等数学（下册）——多元函数微积分》和《高等数学（上册）》中第七章无穷级数中7，8，9节（柳重堪教授主编，中央电大出版社出版，2000年1月）．考试说明是考试命题的依据．第7章无穷级数（7，8，9节傅里叶级数部分）考核知识点：1．傅里叶级数：傅里叶级数的概念、傅里叶系数公式，周期为函数或定义在上的函数的傅里叶级数，狄利克雷定理．2．正弦级数或余弦级数：定义在上的函数展为正弦级数或余弦级数．考核要求：1．熟练掌握周期为或定义在上的函数的傅里叶级数展开，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性．2．掌握定义在上的函数展开成正弦级数或余弦级数，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性．第9章空间解析几何与向量代数考核知识点：1．空间直角坐标：空间直角坐标系概念，两点间距离公式．2．向量代数：向量概念，向量的模，单位向量，向量的坐标，方向余弦，向量的加减法，数乘向量，向量的数量积、向量积，两向量的夹角，平行、垂直的条件．3．空间平面：平面的点法式方程，一般方程，点到平面的距离．4．空间直线：直线的标准方程，参数方程，一般方程．平面与直线的位置关系的讨论．5．空间曲面与曲线：球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面，空间曲线的参数方程．考核要求：1．了解空间直角坐标系概念，掌握两点间的距离公式．2．了解向量、向量的模、单位向量、方向余弦等概念，掌握它们的坐标表示．掌握向量的加减法、数乘向量及它们的坐标表示．了解向量的数量积和向量积概念，掌握它们的坐标表示，熟练掌握向量平行和垂直的判别方法．3．熟练掌握平面的点法式方程，掌握平面的一般方程，会求点到平面的距离．4．熟练掌握空间直线的标准方程，掌握参数方程和一般方程，会进行这三种方程间的互化．掌握用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系（平行、垂直、重合等）．5．知道球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面的方程及图形；知道空间曲线的参数方程．第10章多元函数微分学考核知识点：1．多元函数：多元函数定义，二元函数的几何意义．2．偏导数与全微分：偏导数定义和求法，二阶偏导数，全微分，复合函数的(一阶)偏导数，隐函数的(一阶)偏导数．3．偏导数应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线． 4．多元函数极值：二元函数极值的概念，极值点存在的必要条件，拉格朗日乘数法．考核要求：1．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域．2．了解偏导数的概念，熟练掌握给定的具体函数的一阶、二阶偏导数的计算方法．掌握复合函数（包括含有函数符号的，如）一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数一阶偏导数．掌握全微分的求法．3．会求曲线（参数方程表示）的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线的方程．4．了解二元函数极值的概念，知道极值点存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题．第11章重积分考核知识点：1．重积分概念：二重积分的定义，几何意义、性质．2．二重积分的计算：直角坐标系下二重积分的计算方法、极坐标系下二重积分的计算方法．3．二重积分的应用：求立体的体积．考核要求：1．知道二重积分的定义，了解二重积分的几何意义和性质．2．熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算方法．会在直角坐标系下交换积分次序．掌握在极坐标系下二重积分的计算方法．3．掌握曲顶柱体的体积的求法，会求由简单曲面围成的空间立体的体积．第12章第二类曲线积分考核知识点：1．曲线积分概念：第二类曲线积分的概念、性质．2．曲线积分计算方法：把曲线积分化为定积分再计算．3．格林公式：用格林公式将曲线积分化为二重积分计算．4．曲线积分与路径无关的条件．考核要求：1．了解第二类曲线积分的概念和性质（线性性质、对积分路径的可加性）．2．掌握把曲线积分化为定积分的计算方法；掌握用格林公式将曲线积分化为二重积分的方法；3．了解曲线积分与路径无关的条件．高数（2）（08）秋期末综合练习一、填空题1．两向量b a ,满足b a //的充分必要条件是 ．2．球心在点)0,1,1(-，半径为2的球面方程为 ．3．设函数2e xy z =，则=∂∂yz ． 4．设函数y x z 22=，则=z d ．5．若改变累次积分的次序，则⎰⎰=xx y y x f x 2d ),(d 10 ． 6．设l 是圆周422=+y x 的正向，则=+-⎰l y x x y d d 21 ． 7．设D 是由封闭曲线l 围成的区域，若在D 内恒有等式 ，则有0d ),(d ),(=+⎰l y y x Q x y x P ．二、单项选择题1．平面053=-+z y x 的位置关系是（ ）．A ．与OXY 面平行B ．与OXZ 面平行C ．经过坐标原点D ．与X 轴垂直2．下列方程中表示锥面的方程是（ ）．A ．22y x z +=B ．222y x z +=C ．1222=++z y xD ．22y z =3．函数yx z arcsin =的定义域为（ ）． A ．11≤≤-y x B ．11<<-yx C ．y x <-1 D ．1<y x 4. 若函数y x z 2=，则=∂∂∂xy z 2（ ）． A ．yx 2 B ． 2x C ．x 2 D ． 22y x -5. =⎰⎰Dy x d d （ ），其中D 是由x 轴、y 轴及直线x y -=1围成的区域．A ．1B ．21C ．31D ．41 6．若)(x f 是以π2为周期的奇函数，则)(x f 的傅氏系数的计算公式是（ ）．A ．),2,1(d sin )(π1,),2,1,0(0π0ΛΛ====⎰n x nx x f b n a n n B ．),2,1(0,),2,1,0(d cos )(π1π0ΛΛ====⎰n b n x nx x f a n n C ．),2,1(d sin )(π2,),2,1,0(0π0ΛΛ====⎰n x nx x f b n a n n D ．),2,1(0,),2,1,0(d cos )(π2π0ΛΛ====⎰n b n x nx x f a n n 三、计算题1．求过点)0,1,1(且平行于直线⎩⎨⎧-=+=-2312z y y x 的直线方程． 2．求过点)1,0,2(且平行于平面52=-y x 的平面方程．3．设),(22y x y x f z +=，求yz ∂∂． 4．设)cos ,e (2y x x f z y =，求y z ∂∂． 5．设z y xz e =，求z d ．6．设y z z x e sin +=，求z d ．7．计算⎰⎰+Dy x y x d d 22，其中D 是区域：由0,422≥≤+x y x ．8． 计算⎰⎰Dy x y d d ，其中D 是由x y x y ==,2围成的区域．9．将函数⎩⎨⎧≤<-≤<=0π,0π0,)(x x x x f 展成周期为π2的傅里叶级数． 10．将函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--=≤<=0π,10,0π0,1)(x x x x f 展成周期为π2的傅里叶级数．四、 应用题1．在直线1+=x y 上找一点，使它与点)0,1(A 的距离最短．2．在一个半径为R 的半圆内内接一个矩形，矩形的边长取何值时其面积最大？高数（2）（08）秋期末综合练习参考答案一、填空题1. 0=⨯b a2. 4)1()1(222=+++-z y x3. 2e2xy xy 4. y x x xy d 2d 42+ 5．⎰⎰y y x y x f y d ),(d 10 6．π4 7．y P x Q ∂∂=∂∂ 二、单项选择题1．C 2．B 3. A 4. D 5. B 6．C三、计算题1．解： 因为所求直线的方向向量为：)6,2,1()1,3,0()0,1,2(--=⨯-=n所以直线方程为： 62111z y x =--=-- 2．解： 因为所求平面的法向量为：)0,2,1(-=n 所以平面方程为：022=--y x3．解：设),(v u f z =，其中y x v y x u 22,=+=，得 vz x u z y y v v z y u u z y z ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂22 4．解：设),(v u f z =，其中y x v x u y cos ,e 2==，因为 vz y x u z x y v v z y u u z y z y ∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin e 2 5．解 左)d d (21)(d 21)(d z x x z xz xz xz xz +=== 右y z y y y y z z z z z d e d e d e )e (d )e (d +=+==由此得 y xz y x xzx xz y x zz z z z d e 2e 2d e 2d -+--=6．解：等式两端求微分得左z z x x z z x d cos d sin )sin (d +==右y z z z y y y d e d )e (d d )e (d +=+=+=由此得 y z x x z x z z yd 1cos e d 1cos sin d -+--= 7．解：利用极坐标计算 π38d d d d 2022π2π22==+⎰⎰⎰⎰-r r y x y x D θ8．解：将二重积分化为累次积分得 ⎰⎰⎰⎰=xx Dy y x y x y 2d d d d 10 203)d (21d )2(1041022=-==⎰⎰x x x x y xx 9．解：)(x f 的傅氏系数为 2πd π1d )(π1π0π00===⎰⎰x x x x f a ⎰⎰-==π0π0π0d sin π1sin π1d cos π1x nx n nx x n x nx x a n ]1)1[(π1cos π12π2--==n n nx n ⎰⎰+-==π0π0π0d cos π1cos π1d sin π1x nx n nx x n x nx x b n 1)1(1--=n n故 )ππ(]sin )1()12cos()12(2[4π)(112≤<--+---+=-+∞=∑x nx n x n n x f n n π 10．解：因为)(x f 为奇函数，故0=n a ，Λ,2,1,0=n⎰⎰==ππ00d sin π2d sin )(π2x nx x nx x f b n ])1(1[π2cos π20n n nx n --=-=π故 )ππ()12sin(π)12(4)(1≤<---=∑+∞=x x n n x f n ． 四、 应用题 1．解： 直线1+=x y 上找一点距点)0,1(A 的距离平方为 22)1(),(y x y x f +-=条件函数为 1+=x y作辅助函数 )1()1(),,(22+-++-=y x y x y x F λλ由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=∂∂=-=∂∂=+-=∂∂0102022y x F y yF x x F λλλ解得1,0==y x ，可以断定，直线1+=x y 上点)1,0(M 与点)0,1(A 的距离最短．2． 解： 设矩形的长、宽分别为y x ,2，则矩形的面积为 ),(y x f =xy 2条件函数为 222R y x =+作辅助函数 )(2),,(222R y x xy y x F -++=λλ由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂0022022222R y x F y x yF x y x F λλλ第 11 页 解得R y x 22==，当矩形的长、宽分别为R 2与R 22时面积最大． 马少帅：赵老师好！有什么新指示？赵坚：马老师好，欢迎参加教学活动。
高等数学(下)期末复习指导
高等数学期末复习指导（第二学期使用）卫斌教授编写惠州学院数学系高等数学（2）期末复习指导卫 斌 教授 编写本学期《高等数学》的考试范围是：第六章至第十一章.内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用-级数理论及常微分方程的解法．我们用了72课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围．对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题．对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节．逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固．考试题型为：一.选择题（每小题4分，共16分） 二.填空题（每小题4分，共16分） 三.计算题（每小题7分，共49分） 四.证明题（本题10分） 五.应用题（本题9分）下面分章复习所学知识第六章 向量代数与空间解析几何（一）向量代数1.空间两点111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 的距离公式d =2.非零向量 {}123,,a a a a =的方向余弦公式cos αβγ===3.向量的运算设 {}{}123123,,,,,a a a a b b b b ==，则112233123123,i jk a b a b a b a b a b a aab b b ⋅=++⨯=两非零向量垂直、平行的充要条件11223331212300//0a b a b a b a b a b a a a a b a b a b b b b λ⊥⇔⋅=⇔++=⇔=⇔⨯=⇔==4.向量{}123,,a a a a = 在非零向量{}123,,b b b b =上的投影33Pr cos ,b b a b a j a a a b b ⋅∏==<>==（二）平面与直线1.平面方程（1）一般式：0;Ax By Cz D +++=（2）点法式：000()()()0;A x x B y y C z z -+-+-= （3）截距式：1;x y z a b c ++= （4）三点式：1112121213131310.x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 2.直线方程（1）对称式（点向式、标准式）：000;x x y y z z m n p---== （2）一般式：11112222;0A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ （3）参数式：000,;x x mt y y nt t z z pt=+⎧⎪=+-∞<<+∞⎨⎪=+⎩（4）两点式：111212121.x x y y z z x x y y z z ---==---3.平面()∏与直线()l平行、垂直的充要条件及夹角（1）1212121211112222()()0()//()A A B B C C A B C A B C ∏⊥∏⇔++=∏∏⇔==;(2) 12121212111122220//l l m m n n p p m n p l l m n p ⊥⇔++=⇔==； （3）1111111111111111()()//0m n pl A B C l m A n B p C ∏⊥⇔==∏⇔++=； （4）1()∏与2()∏的夹角：22c o s C ϕ=(5)1l 与2l的夹角：22c o s p ϕ=（6）1()∏与1l的夹角：21s i n C ϕ=4.距离设点0000(,,)M x y z ，平面():0Ax By Cz D ∏+++=直线111:x x y y z z l m n p---==（1）点到平面的距离公式：d =(2) 点到直线的距离公式：01M M ld l⨯=， 其中 {}01101010,,M M x x y y z z =--- ，{}1,,,l m n p M =是直线上任一点．（三）曲面与空间曲线记住一些常见的曲面的方程 （1）旋转曲面园锥面：z =，旋转抛物面：22z x y =+，旋转椭球面：22222 1.x y z a c++= （2）柱面圆柱面：222,x y R +=椭圆柱面：22221x y a b+=，抛物柱面：220x py -=，双曲柱面：2222 1.x y a b-=（3）二次曲面球面：2222()()();x a y b z c R -+-+-=椭球面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c ++=>；椭球抛物面：22,(,22x y z p q p g +=同号）； 双曲抛物面：22,(,2x y z p q p q-+=同号）； 单叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c +-=>；双叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c+-=->．本章的考点：仅是一些简单的填空题或选择题．例 1.设三角形ABC ，已知2,2,BA i j BC i j k D =+=++为BC 的中点，则BC 上 的中线长AD =2例2. 1.两向量a 与b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=.2.向量13(2),(1)a i j b i j k λλλ=-++=-+-平行，则λ= 1 . 3.求同时垂直于向量{}{}2,3,1,1,2,0a b =-=- 的单位向量是 0c ±.解 {}2312,1,1120i j kc a b =⨯=-=--，单位化02,1,1c c c -=== .例2'.（单选题）过点(2,3,5)且平行于平面53210x y z -++的平面是（ C ）.53211A x y z ++-= .532110;B x y z -++= .53211C x y z -+-= .532110.D x y z +++= 例3.（单选题）在空间直角坐标系下，方程350x y +=的图形是（ D ） .A 过原点的一条直线； .B 斜率为35-的一条直线； .C 垂直于z 轴的一平面； .D 过z 轴的一平面. 例4.（单选题）方程231x y +=在空间表示的图形是（ B ） .A 平行于XOY 坐标面的平面； .B 平行于z 轴的平面； .C 过oz 轴的平面； .D 直线．例4'.（选择题）方程22x y =在空间表示的是（ B ） .A 抛物线； .B 抛物柱面； .C 母线平行于x 轴的柱面； .D 旋转抛物面.第七章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念1.二元函数：定义域和对应规律为(,)z f x y =的两要素，其定义域为平面上的点集． 例5(填空题)二元函数z =0,0(,)0,10x y D x y x y ⎧⎫>>⎪⎪=⎨⎬<-<<⎪⎪⎩⎭或二元函数z =的定义域为{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+<2.极限：函数(,)z f x y =的极限为A ，是指点(,)x y 以任何方式沿某路径趋于点 00(,)x y 时，(,)f x y A →，记为00lim (,)x x y y f x y A →→=例6.证明：极限2222200lim ()x y x y x y x y →→--不存在．证明 如果动点(,)P x y 沿y x =趋于点(0,0)时，则2242224000lim lim 1;()x x y x y x x y x y x →→→==-- 如果动点(,)P x y 沿2y x =趋于点(0,0)时，则2242224200024lim lim 0()4x x y y xx y x x y x y x x →→→===--+因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在.3.连续：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 连续，必须同时满足三个条件，缺一不可： （1）在00(,)U x y 内有定义；（2）0lim (,)x x y y f x y →→存在；（3）0000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=.否则间断． 例7.（单选题）设z =，下面结论正确的是（ D ）.A 在XOY 平面上连续； .B 在XOY 平面上不连续；.C 在XOY 平面上只有(1,0),(0,1)为间断点；.D 在XOY 平面上，只有在区域221x y +<内，函数连续.例7'(单选题)函数22222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）.A 连续； .B 有极限但不连续；.C 极限不存在； .D 无定义. （二）偏导数1.定义与计算偏导数,z z x y ∂∂∂∂是整体记号，不具有商的意义，求zx∂∂时，把(,)z f x y =中的y 固定 （看作常数），利用一元函数的求导公式和法则求出．记住：偏导函数zx∂∂与一点的偏导数000(,)x x x y y z f x y x ==∂'=∂记号不同，及它们之间的关系例8.（填空题）设(,)f x y x y =+(3,4)x f '=25. 2.高阶偏导数（以二阶为主）：22(,)();xxz zf x y x x x ∂∂∂''==∂∂∂ 22(,)();yy z z f x y y y y ∂∂∂''==∂∂∂ 2(,)();xyz z f x y x y y x ∂∂∂''==∂∂∂∂ 2(,)().yx z zf x y y x x y∂∂∂''==∂∂∂∂ （注意：二阶混合偏导数在定义域D 内连续时，相等）（三）全微分1.定义与计算：若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的全改变量（全增量）可表为 ()z A x B y ρ∆=∆+∆+ ，其中,A B 不依赖于,x y ∆∆，仅与00(,)x y 有关，ρ=，则全增量的线性主要部分为为函数的全微分，记作.z z dz A x B y dx dy x y∂∂=∆+∆=+∂∂ 例9.（单选题）函数(,)z z x y =由方程ln()0z xy +=所确定，则dz =（ A ）.;dx dy A x y -- .;dx dy B x y+ .;dx dyC z x+ ..dx dy D xy xy +例9'求22x y z e +=的全微分及二阶偏导数.解 22222,2x y x y z zxe ye x y++∂∂==∂∂222222;x yx y d zx ed xy e d y++∴=+ 2222222222(12),4x y x y z z z e x xye x x y y x ++∂∂∂=+==∂∂∂∂∂22222,2(12).x y z e y y+∂=+∂ 2.二元函数在一点连续、可导（两个偏导数存在）与可微的关系． 偏导数连续⇒可微⎧⎨⎩⇒⇒可导极限存在，反之不一定成立.例10.（单选题）二元函数z =在点(0,0)处（ C ）.A 不连续，两个偏导数不存在； .B 不连续，两个偏导数存在； .C 连续，两个偏导数不存在；.D 连续，两个偏导数存在．例10'（填空题）(,),(,)x y f x y f x y 连续是(,)z f x y =可微的充分条件 3.方向导数与梯度（1）方向导数—函数在特定方向（指定方向）上的变化率：cos cos cos f f f fx y z lαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ ，其中,,αβγ为射线l 与,,x y z 轴正向夹角（2）梯度—不同点的方向导数不同，它在哪个方向上最大呢？函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 处的梯度为：(,,).f f f gradf x y z i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂例11.（填空题）函数22u xy z xyz =+-在点(1,1,2)处沿方向{}l =的方向导数是 10 .*（四）多元复合函数的导数（考点）1.锁链法则—先画出链式图，写出公式，然后计算.(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，则有锁链公式：z z u z vx u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 2.几种推广情形（1）若(,,)z f u v w =，而(,),(,),(,)u x y v x y w x y ϕψω===，则有锁链公式：z z u z v z wx u x v x w x ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂z z u z v z wy u y v y w y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ （2）若(,,),z f u x y =而(,)u u x y =，则有锁链公式：z f f ux x u x ∂∂∂∂=+∂∂∂∂z f f uy y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂ 注意：这里z x ∂∂与f x ∂∂不同，z x∂∂是把复合后的函数，将y 看作常数，对x 求偏导；而fx∂∂是把复合前的函数，将,u y 看作常数对x 求偏导． （3）设(,,,)u f x y z t =，而(),(),()x x t y y t z z t ===，则复合函数只有一个自变量， t 求导dzdt，称为全导数.d z u d x u d y u d z u d td t x d t y d x t d t t d t∂∂∂∂=+++∂∂∂∂何时用锁链法则：①函数关系不具体； ②中间变量多于一个.例12.（单选题）设22(,)()()f x y x y x y x y x y +-=-=+-，则()()f x y f x yxy∂⋅∂⋅+=∂∂（ C ）. .22;A x y - .22;B x y +.;C x y + ..D x y --例13.（填空题）设222x y z z e++=，则2zx y∂=∂∂2224x y z xye ++ 例14.设arctan()zu x y =-，求,,.u u u x y z∂∂∂∂∂∂ 解 由锁链法则121();1()z z u z x y x x y -∂=⋅-∂+-121();1()z z u z x y y x y -∂-=⋅-∂+-21()ln .1()zz u x y x y z x y ∂=-⋅-∂+- 例15.设二元函数(,)x z xy f xy y=+，其中f 是二阶可微函数，求,,.x y yy z z z ''''解 设1,2xxy u v y====，则 121;x z y yf f y '=++122;y x z x xf f y '=+- 11122212223222()()yy xx x x z x f x f f f x f y y y y ⎡⎤⎡⎤''=+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦222111222224322.x x xx f f f f y y y=-++例16.设(5,)u f x y xyz =+，求22.ux∂∂解 12x u f yzf '=+； 2211122122.xx u f yzf yzf y z f ''=+++（五）隐函数微分法：（只讨论一个方程的情形）1. 方程两边对自变量求导（复合函数的锁链法则）， 解出所求的偏导数（是,x y 的函数）.2.公式法：x z F zx F '∂=-'∂， .y z F z y F '∂=-'∂ 3.微分法：利用一阶全微分形式的＂不变性＂，对方程两边求全微分，即可求出所需的偏导数或导数．例17.（填空题）由方程2221x xyz z ++=确定(,)z z x y =，则zx ∂=∂124xy z-+. 例18.设ln ,x z z y =求,.z z x y∂∂∂∂ 解 由隐函数微分法 设 (,,)ln ln ln x z xF x y z z y z y z=-=-+ 因为 22111,,x y z x x zF F F z y z z z+'''===--=- 所以 21x z F z z z x z x F x zz-'∂=-==+'∂+- 221.()y z F z z y x z y F y x z z -'∂=-==+'∂+- 例19.设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明：1x zx y∂∂+=∂∂ 证明设(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+，则2c o s (23)x F x y z '=+--, 2c o s (23)2y F xy z '=+-⋅-2x F '=2c o s(23)(3)33z x F x y z F ''=+--+=-133x x z x F F z x F F ''∂=-=-=''∂-, 2233y x z x F F z y F F ''∂=-=-=''∂-故12 1.33y x z z F F z zx y F F ''∂∂+=--=+=''∂∂ （六）微分法在几何上的应用（不做考试要求）1.空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程 (),(),()x t y t z t ϕψω===，则Γ在点000(,,)x y z 处的 切线方程为：000000()()()x x y y z z t t t ϕψω---==''' 法平面方程为： 0000()()()()()()0t xx t y y t z zϕψω'''-+-+-= 2.空间曲线的切平面与法线隐函数的曲面方程：(,,)0F x y z =， 显函数的曲面方程：(,)z f x y =，（七）多元函数的极值及其求法1.极值的必要条件：见教材.264P 定理1（极值发生在可疑点，即驻点或偏导数不存在的点上.2.极值的充分条件：设00(,)x y 为为函数(,)z f x y =的驻点，000022222,,x x x x x x y y y y y y zz z A B C x x yy======∂∂∂===∂∂∂∂,则下结论（1）20,0B AC A -<>有极小值，0A <有极大值； （2）20B AC ->，无极值； （3）20B AC -=,不定，另作讨论. 例20.（单选题）下列说法中，正确的是（ ）.A 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 达到极值，则必有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .B 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 达到极值，则必有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .C 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .D 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 的偏导数不存在，则必不存在极值. 例21求函数224(23)z x y =-+的极值.解 804(23)0x y z x z y ⎧'==⎪⎨'=-+=⎪⎩，得驻点3(0,)2-又22333(0,)(0,)(0,)222()xyxxyyB AC z z z ----=-⋅08(8)640-⋅-=>，故函数在3(0,)2-处无极值.3.用Lagrange 乘子法求条件极值的应用题解题步骤：（1）将实际问题化为二元或三元函数的条件极值问题； （2）作辅助函数(,,,)F x y z λ＝原函数+λ乘条件函数； （3）将辅助函数对,,,x y z λ分别求偏导数，得方程组； （4）解方程组，得唯一驻点（5）答：根据实际问题的意义，知此唯一驻点即极值点，也是最值点， 并求出最值．例22 应用题：造一个容积为V 的长方体盒子，如何设计，才能使所用材料最少？解 设盒长为x ，宽为y 则高为V xy，故表面积为：2()V V S xy x y =++，于是，将问题化为求二元函数的最大值问题，222(02()0SV y xx S V x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解得唯一驻点，根据实际问题的意义，此唯一驻点即为极大值点，也是最大值点，，即正方体时，所用材料最少.第八章 重 积 分（一）重积分的概念1.定义：二重积分表示一种类型的和式极限； 三重积分表示另一种类型的和式极限.2.几何与物理意义二重积分表示曲顶柱体的体积，平面薄板的质量； 三重积分表示空间物体的质量（无几何意义）． 3.性质与定积分类似性质3：如果在定义域D 上，函数(,)1f x y =，σ为D 的面积，则1DDd d σσσ=⋅=⎰⎰⎰⎰*（二）二重积分的计算（考点）化为累次积分.1.直角坐标系下二重积分的计算步骤： 面积元素 d dxdy σ= ①先通过解方程组曲线交点的坐标，然后画出积分域的草图； ②如是x -形积分域，将其化为先对y 后对x 的积分次序积出来 y -形积分域，将其化为先对x 后对y 的积分次序积出来. 注 利用“穿口法”的定限口诀是： 后积先定限，限内画条线； 先交下限写，后交上限见.2.极坐标系下二重积分的计算①何时采用极坐标：（ⅰ）积分域是园形或环形；（ⅱ）被积函数包含22x y +.②记住极坐标变换：cos x r θ= 面积元素：d rdrd σθ=， sin y r θ=然后将积分化为先对r ，后对θ的次序积出来； ③积分限如下定：（ⅰ）若极点O 在域D 内，则2()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr πθσθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅱ）若极点O 在域D 的边界上，则()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr βθασθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅲ）若极点O 在域D 的外部，则21()()(,)(cos ,sin ).r r Df x y d d f r r rdr βθαθσθθθ=⎰⎰⎰⎰例23.（单选题）设(,)f x y 是连续函数，交换二重积分1220dy x y dx ⎰的的积分次序后的结果为（ C ）1220.;A dxx y dy ⎰ 12200.3;B x y dy ⎰21122.3;x C dxx y dy -⎰⎰211220.3.x D dx x y dy +⎰⎰例24.(单选题)设域22:1D x y +≤，且0,0x y ≥≥，则2Dx yd x d y =⎰⎰（ B ）11200.;A dxxy dy ⎰⎰120.;B dx dy ⎰12.;C dxdy ⎰ 20..D xy dy例25.计算二重积分Ⅰ＝22yDx e dxdy -⎰⎰，其中D 是由直线,1y x y ==及y 轴所围 的平面区域．解 画出积分区域草图，这是y -型积分域，故选取先对x 后对y 的积分次序，得 Ⅰ＝221220yy y Dx e dxdy e dy x dx --=⎰⎰⎰⎰ ＝221113000111()366y t y t ty e dy te dt td e =---==-⎰⎰⎰令 1100112(1).66t t te e dt e--⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦⎰分部法例26.计算D，其中D 由2,2y x y x x ==-围成．解 将22y x x =-改写为：1x =+{}(,)1,01D x y x y y =≤≤≤≤，所以原式＝101ydx y dy =-⎰⎰⎰＝0154-+⎰ ＝2sin 2220442(1sin )sin .15815y tt tdt ππ==-+-=-⎰令例27.计算Dσ，其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的闭区域 解 根据积分域和被积函数的特点，选用极坐标计算cos 202R Dd rdr πθσθ=⎰⎰＝33332024(sin )().333R R R d πθθπ--=-⎰ 例28.求二重积分22()xy De dxdy -+⎰⎰，其中222:0,0,.D x y x y a ≥≥+≤解 选用极坐标计算22222()2201()(1).224aax y r r a Dedxdy d e rdr e d r e πππθ-+----=⋅=⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰例29.D 是由曲线24()y x y =+以及4x y +=所围成的图形，试求D 的面积. 例29'利用极坐标计算二重积分22ln(1)Dx y dxdy ++⎰⎰， 其中 22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥ 解 由于极点在D 的边界上，故原式＝12220ln(1)ln(1)Dr rdrd d r r dr πθθ⋅+=+⎰⎰⎰⎰＝12201ln(1)(1)22r d r π⋅++⎰=分部法122100(1)ln(1)2(2ln 21).44r r rdr ππ⎡⎤++-=-⎢⎥⎣⎦⎰解 2244444464(4).43yy Dy S dxdy dy dx dy ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰（三）三重积分的计算1.直角坐标系下的计算 体积元素：dv dxdydz =1212(,)(,):()()z x y z z x y y x y y x a x b ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，（这是上下张着的曲面，x -型的投影域）则2211()(,)()(,)(,,)(,,);by x z x y ay x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.柱坐标系（＝极坐标z +轴）下的计算体积元素：dv rdrd dz θ=1212(,)(,):()()z r z z r r r r θθθθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，(这是上下张着的曲面，极点在投影域外部)则2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin );r z r r z r f x y z dv d rdr f r r dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.球坐标系下的计算体积元素：2sin dv r drd d ϕϕθ=s i n c o s s i n s i n c o s x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩， 1212(,)(,):()()r r r ϕθϕθϕθϕϕθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2211()(,)2()(,)(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r f x y z dv d d f r r r r dr βϕθϕθαϕθϕθθϕϕθϕθθϕΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰.例30.（填空题）设空间一光滑曲面S ：(,),z f x y D =是S 在坐标面XOY 上的投影， 则D 的面积＝1Dd σ⋅⎰⎰例31.在柱坐标中，a θ=（常数）表示的曲面是：z 过轴的半平面. 例32.(填空题)设一立体由上半球面z =及锥面z =则其在XOY 平面上的投影为：21yx y +≤. 例33.（单选题）Ⅰ＝22()xy dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面z =，平面(0)z a a =>所围成的闭区域，则它在柱坐标系下的三次积分是（ D ）20.;a a rA d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 2220.;a arB d rdr r dz πθ⎰⎰⎰20.;a a C d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 220..a arD d rdr r dz πθ⎰⎰⎰例33'（单选题）设区域{}222(,,)(1)1x y z x y z Ω=++-≤，且()f t 是连续函数，则222()f xy z dv Ω++=⎰⎰⎰（ A ）22c o s2200.()sin A d d f r r dr ππϕθϕϕ⎰⎰⎰；22c o s2200.(2cos 1)sin B d d f r r r dr ππϕθϕϕϕ++⎰⎰⎰； 22c o s 200.(2c o s)s i n C d d f r r d rππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰； 22c o s 220.(2c o s)s i n .D d d f r r d r ππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰第九章 曲线积分与曲面积分（曲面积分不做考试要求）（一）曲线积分1.第Ⅰ型曲线积分（对弧长的积分）2.第Ⅱ型曲线积分（对坐标的积分）-与积分路径有关.3.两类积分之间的联系.4.计算方法（1）设曲线L 由它的的参数方程：(),()x t t y t ϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩给出(特例) ,()x xa xb y y x =⎧≤≤⎨=⎩)，则[(,)(),(),();Lf x y ds f t t εαϕψαβ=<⎰⎰（2）若弧AB 由()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩给出，起点A 对应t α=，终点B 对应,t β=则[][]{}(),()()(),()()ABPdx Qdy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰. 5.Green （格林）公式：()DLQ Pdxdy Pdx Qdy x y ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ 应用：,P y Q x =-=，得D 得面积 12A xdy ydx =-⎰. 6.平面曲线积分与路径无关的条件 （1）0;Pdx Qdy +=⎰（2）设G 是单连通域，,P Q 在G 内有一阶连续偏导数，则曲线积分LPdx Qdy +⎰在G 内与路径无关的充分必要条件是：P Qy x∂∂=∂∂在G 内恒成立. 例34.（单选题）设AB为由点A (0,)π到点(,0)B π的直线段，则sin sin ABydx xdy +=⎰（C ）.2;A .1;B - .0;C .1.D例35.计算曲线积分22()()Lx y dx x y dyx y -+++⎰，其中L 是沿着园： 22(1)(1)1x y -+-=从点(2,1)到点(0,1)的上半圆弧. 解 2222(,),(,)x y x yP x y Q x y x y x y -+==++因为 222222,(0,0)()P y xy x Qx y y x y x∂--∂==≠≠∂+∂所以，在不含原点的任何闭曲线L 上0L=⎰ ，即在不含原点的任一闭区域内积分与路径无关.故选择路径为线段:,1,02,AB x x y x ==≤≤，在AB 上有： 1,0y d y ==，故原式＝02222()()11ABx y dx x y dyx dx x y x -++-=++⎰⎰ ＝22222011ln(1)arctan 12x dx x x x -+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦⎰ln 5arctan 2.2=-例36.计算曲线积分22()Lx y ds +⎰，其中L 是园的渐开线：(cos sin ),02.(sin cos )x a t t t t y a t t t π=+⎧≤≤⎨=-⎩解 [][]222222(cos sin )(sin )(1)x y a t t t a t t a t +=++-=+ (sin sin cos 0cos x a t t t t at t '=-++= (cos cos sin )sin y a t t t t at t '=-+=ds atdt ==原式＝2222330(1)()a t atdt at t dt ππ+=+⎰⎰＝24322320()2(12).24t t a a πππ+=+例37.（填空题）L 为园：224x y +=，计算弧长的曲线积分L=⎰8π第十章 无 穷 级 数（一）数项级数敛散性的判别一.级数的概念12121,nn nnn uu u u Su u u∞==++++=+++∑若lim n n S S →∞=，则称级数收敛到和S级数收敛的必要条件：1nn u∞=∑收敛，则lim 0.n n u →∞=二.逆否命题：若lim 0,n n u →∞≠则级数1nn u∞=∑发散．三.收敛判别法1.正项级数的两个判别法：比较判别法，比值判别法；2.任意项级数的两个定理； （1）绝对收敛定理1nn u∞=∑与1nn u∞=∑有如下关系：1nn u∞=∑收敛 ⇒1nn u∞=∑也收敛；1nn u∞=∑发散 ⇒1nn u∞=∑收敛或发散；1nn u∞=∑收敛 ⇒1nn u∞=∑收敛或发散；1nn u∞=∑发散 ⇒1nn u∞=∑必定发散.（2）比值判别法2（补充）3.交错级数的Leibniz （莱布尼兹）判别法；4.从定义、性质判别. 四.两个重要的参照级数：1.等比（几何）级数1211n n n aqa aq aq aq ∞--==+++++∑当1q <时，级数收敛；当1q ≥时，级数发散. 2.p 级数11111123p p p p n n n ∞==+++++∑ 当1p >时，级数收敛；当1p ≤时，级数发散；特例：1p =时，11n n ∞=∑称为调和级数，发散.五.判别级数收敛的一般步骤： 1.先看通项n u 是否趋于零？ 若lim 0n n u →∞≠，则级数1nn u∞=∑发散；若lim 0n n u →=，则需进一步判断.2.选用合适的判别法；3.实在不行，再用定义试试，即看极限lim n n S →∞是否存在？例38.（单选题）若级数1nn u∞=∑收敛，则级数（ D ）收敛1.;nn A u∞=∑ 21.;n n B u ∞=∑1.();nn C uc ∞=+∑ 1..n n D c u ∞=⋅∑例39.判定级数12sin3n nn π∞=∑的收敛性解 这是正项级数法一.用比较判别法 因 22sin ()33nnn n u ππ=≤⋅，而12()3n n π∞=∑是公比213q =<的等比级数，收敛，由比较判别法，知原级数收敛. 法二.用比值判别法 因111112sin3lim lim2sin 3223lim 1.323n n n n n n n nn n n n nu u ππππ+++→∞→∞++→∞=⋅==<⋅无穷小替换，由比值判别法，知原级数收敛. 例39'判断级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑的收敛性.解 因 111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++(1,2,)n =1lim0ln(1)n n →∞=+ ，故由leibniz 判别法，知原交错级数收敛.例39''（填空题 ）极限2!lim n n n n n→∞的值为0解 以2!n n n n u n=为通项的正项级数，根据比值判别法知其收敛，又据收敛级数的必要条件，知其通项的极限为零.例39'''证明：若0,lim 0n n n u nu a →∞>=≠，则级数1nn u∞=∑发散.证明 因为 lim lim01nn n n u n u a n→∞→∞⋅==≠，由0n u >，根据正项级数比值判别法的极限形式，由于11n n ∞=∑为调和级数，发散，所以级数1n n u ∞=∑也发散.（二）求幂级数的收敛半径及收敛区间 1. 用比值判别法2 1()lim()n n n u x u x +→∞=（一般与x 有关），再讨论，求出收敛半径.2. 1l i mn n n a a ρ→∞+=， 则收敛半径为：1R ρ= 3.对端点单独讨论后，确定收敛区间. 例40.（填空题）幂级数11(1)(1)nn n x n∞-=--∑的收敛域为](0,2 解 这是一般形式的幂级数，令1,t x =-则幂级数化为11(1)n n t n ∞-=-∑， 收敛半径 11limlim 11n n n n a nR a n ρ→∞→∞+====+ 讨论端点的情况： 当 1t =时，级数化为111(1)n n n ∞-=-∑，据Leibniz 判别法，知其收敛， 当 1t =-时，级数化为1211111(1)(1)(1)n nn n n n n∞∞--==--=-∑∑，这是调和级数，知其发散. 综上讨论，知其原幂级数的收敛域为 11,t -<≤即 111,0 2.x x -<-≤<≤例41.（综合题）求幂级数2ln (1)nnn n x n∞=-∑的收敛域；当1x =时，是绝对收敛， 还是条件收敛？并给出证明. 解 收敛半径 11ln 1limlim 1ln(1)n n n n a n n R a n n ρ→∞→∞++===⋅=+， 当1x =时，数项级数1ln (1)nn nn∞=-∑为交错级数， 令 2ln 1ln (),()x xf x f x x x -'==，（设为函数而不是数列，可以求导） 当 n e >时，()0,()f x f x '<单调减少， 当 3n ≥时，1()(1)n n u f n f n u +=>+=，又 ""ln 1lim limlim 0n n n n u n n∞∞→∞→∞→∞===罗法则，（这时也理解为函数，分子分母双导）由Leibniz 判别法，知级数3ln (1)nn nn∞=-∑收敛， 此级数加一项，即原级数2ln (1)nn nn∞=-∑的收敛性不变； 但一般项加绝对值后的级数2ln n nn∞=∑为正项级数， 2ln ln 2,n n n n n u v v n n ∞==≥=∑是调和级数各项乘ln 2的级数，发散 由比较判别法，知级数2ln n nn∞=∑也发散，故原级数条件收敛； 当1x =-时，级数为222ln ln (1)nn n n nn n ∞∞==-=∑∑如上讨论，也是发散的， 故原级数的收敛域为(]1,1-.（三）利用幂级数和函数的分析性质，求和函数.设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为(0)R >，则在(,)R R -内，和函数具有下列性质：（1）和函数是连续的； （2）()S x 逐项可导，且100()()nn n n n n S x a xna x ∞∞-==''==∑∑；（3）()S x 逐项可积，且10()1xx xnnn n n n n n n a S t dt a t dt a t dt x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰.注意：求导和积分后的和函数收敛半径不变，但在收敛区间端点可能不同．例42.求幂级数41141n n x n +∞=+∑的和函数.解 设和函数411()41n n x S x n +∞==+∑，易得收敛区间为(1,1)-，利用逐项微分和积分，414442411()()()()41n n n n n x S x x x x x n +∞∞==''===+++++∑∑ 这是41q x =<的等比级数，由因(0)0S =，故4444001(1)()()11xxx x x S x S x dx dx dx x x --'===--⎰⎰⎰＝4220011111(1)(1)12121xx dx dx x x x -=-+⋅+⋅-+-⎰⎰ ＝111arctan ln .241x x x x+-+- (11)x -<< （四）傅立叶级数(不做考试要求) 设()f x 是以2π为周期的函数，形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑的三角级数，称为傅立叶级数，其中 1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰ (0,1,2,)n = 1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ (1,2,)n = 例42'．函数()f x 的周期为2,()f x π在[],ππ-上的表达式为 2,0()3,0x x f x x x ππ-≤≤⎧=⎨≤<⎩，将()f x 展成傅氏级数。
大学高等数学第二册复习资料
第六章 定积分的应用学习指导一、基本内容 （一）微元法根据问题的具体情况选取积分变量x 与变化区间，再小区间[]dx x x +,。
求出部分量的近似值的积分元素()dx x f du =，从而求出所求量()⎰=ba dxx f u 。
（二）平面图形的面积1．由平面曲线()x f y =，直线a x =，b x =和0=y 所围图形的面积：()dxx f A b a⎰=。
2．由平面曲线()x f y 1=，()x f y 2=和直线a x =，b x =所转图形的面积：()()⎰-=b adxx f x f A 21。
3．由极坐标曲线()θγγ=， αθ=、βθ=转的图形的面积：()⎰=βαθθγd A 221。
4．由参数方程()t x x =，()t y y =给出的曲线和直线()()αx a x ==，()()βx b x ==，0=y 所围图形的面积：()()⎰⎰'==βαdtt x t y dx y SA b a。
（三）体积1．由曲线()x f y =和直线a x =，b x =，0=y 所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积：()⎰+=ba x dxx f V 2π。
2．由曲线()y x x =和直线c y =，d y =，0=x 所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体积：()⎰=dc y dyy x V 2π。
3．垂直于x 轴的平行截面面积为x 的函数()x A 的立体的体积：()⎰=ba dxx A V 。
（四）平面曲线的弧长1．直角坐标曲线()x f y =b x ≤≤0：()[]⎰'+=b adxx f L 21。
2．参数方程曲线()t x x =，()t y y =，βα≤≤t ：()[]()[]⎰'+'=βαdtx y t x L 22。
3．极坐标曲线()θγγ=，βθα≤≤：()()[]⎰'+=βαθθγθd r L 22。
（五）定积分在物理上的应用对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解。
高等数学II复习提要
高等数学（二）归纳（归纳不完全，仅供期末复习参考）第一部分：空间解析几何与向量代数||21.6.sin ,.5cos .4,,Pr Pr cos ..3,cos Pr .2}co ,cos ,{cos cos cos ,cos },,{cos ,cos ,cos .1222222222222222AC AB ABC b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b j a a j b b a b a u AB AB j z y x z z y x y z y x xz y x AB zyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x a b u ⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++===⋅=⋅=++=++=++==面积三角形两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
与是向量在轴上的投影：为与则：式：设称为方向余弦。
计算公称为方向角；，，的夹角弦：向量与三个坐标轴向量的方向角与方向余θθθϕϕγβαγβαγβαγβα⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-ptz z nty y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 00000022200000000002;},,{,)1(.9.81)3(0)2(),,(},,,{0)()()()1(.7）参数方程：（为直线的方向向量其中点向式：空间直线方程：面的距离：平面外任意一点到该平截距式方程：一般方程：，其中点法式：平面的方程：9.二次曲面（常见的）（1）旋转曲面 例如：旋转抛物面22y x z +=（2）锥面 例如 圆锥面222y x z +=（3）球面 例如2222a z y x=++zyzx yx yxFF y zF F x z y x z z z y x F FF dx dy x y y y x F dy yv dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z yy x f x y x f dz z dzz udy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂==-===∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 则：所确定的函数）方程（， ， 则：所确定的函数）方程（隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法近似计算： 全微分：分法及其应用第二部分：多元函数微),(0),,(2)(0),(1.4),(),()],(),,([)](),([.3),(),(.2.1性方程组的法则求） 不必记忆公式，用解线数的偏导求法 所确定的两个二元函）方程组：（(0),,,(0),,,(3⎩⎨⎧==v u y x G v u y x F 5.多元函数可微，偏导存在，连续，方向导数存在，偏导连续之间的关系。
高等数学II期末考试复习要点
高等数学II期末考试复习要点
一、考试题型，题量：
选择题，填空以及计算，约15-20道题
二、复习要点：
（一）微分方程：
1．可分离变量方程
2．二阶常系数线性非齐次微分方程的通解
（二）多元函数微分学
1．多元复合函数的偏导数
2．由一个方程所确定的隐函数的偏导数
3．方向导数的计算
4．曲面的切平面
5．条件极值
（三）多元函数积分学
1．交换二重积分顺序
2．二重积分的基本计算
3．三重积分的基本计算
4．第一类，第二类曲线积分的基本计算
5．第一类，第二类曲面积分的基本计算
6．化三重积分为球面坐标、柱面坐标下的三次积分7．格林公式、曲线积分与路径无关的条件
8．高斯公式
9．函数的奇偶性与积分区域的对称性对积分的影响（四）无穷级数
1．幂级数的收敛域
2．简单函数的幂级数展开
3．简单函数的傅里叶级数以及其和函数。
高等数学(二)期末复习
第四章 不定积分
一. 不定积分
1. 原函数与不定积分的定义
f ( x ) 在区间 I F ′ ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ I
设函数 则称 记作
上有意义， 上有意义，若存在 或
F ( x) 是 f ( x)
F ( x ) 使得 dF ( x ) = f ( x ) dx ∀x ∈ I
f ( x ) 在 [ a, b] 上的定积分在几何上表示由曲线 y = f ( x ) 所围成的曲边梯形的面积. x = b, y = 0 所围成的曲边梯形的面积
函数
和直线
x = a,
5.关于函数可积的三个定理 关于函数可积的三个定理 定理1. 定理 如果函数 定理2. 定理 如果函数 在区间 上可积. [a, b]上可积
比较容易计算时， 那么可以利用公式把计算前者转化为计算后者. 比较容易计算时， 那么可以利用公式把计算前者转化为计算后者 (4) 利用分部积分公式时 关键是把被积函数中的一部分看成 利用分部积分公式时,
v′, 并和dx凑成微分
dv, 从而把被积表达式改写成 udv的形式就可.
（5）一般说来，根据不同的被积函数，我们是按照以下的顺序 ）一般说来，根据不同的被积函数，我们是按照以下的顺序: 依次考虑取作
b a
∫ f ( x ) dx = f ( c )( b − a )
ak ( k = 1, 2,L , n )
设函数 (8) 定积分的线性性质: 设 f k ( x ) 定积分的线性性质 为任意常数， 为任意常数，则
上连续， ( x ) 在[ a, b] 上连续， 则∃c ∈ [ a,
b ] , 使得
一、 定积分的概念 上有界， = f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上有界，将区间 [ a, b ] 任意分成 个小区间，分点 任意分成n个小区间 个小区间， 依次为 a = x0 < x1 < x2 < L < xn = b, 在每一个小区间 [ xi −1 , xi ]上任意取一点 ci , 设y 作乘积 f ( ci ) ∆xi 分法如何， 分法如何， 1. 定积分的定义
高数II复习大纲
axbx + ayby + azbz = 0
第八章 空间解析几何与向量代数
高数II复习大纲 高数II复习大纲
平面基本方程: 平面基本方程 一般式 点法式 截距式 三点式
x y z + + =1 a b c
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
Ax + By + Cz + D = 0
( A2 + B2 + C2 ≠ 0)
s⋅n sinϕ = s n
第八章 空间解析几何与向量代数
m A + n B + pC = 0
L
ϕ
Π
高数II复习大纲 高数II复习大纲
空间曲面曲面方程 1. 空间曲面 • 球面 三元方程 F(x, y , z) = 0 2 2 2 2 (x − x0 ) + ( y − y0 ) + (z − z0 ) = R
第八章 空间解析几何与向量代数
高数II复习大纲 高数II复习大纲
如求二元函数 z = f (x, y) 在条件 ϕ(x, y) = 0 下的极值, 设拉格朗日函数 解方程组
F = f (x, y) + λϕ(x, y)
求驻点 .
3. 函数的最值问题
第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
s1 ×s2 = 0
s1 ⋅ s2 夹角公式: cosϕ = s1 s2
第八章 空间解析几何与向量代数
m n1 p1 1 = = m2 n2 p2
高数II复习大纲 高数II复习大纲
面与线间的关系 平面 Π : 直线 L : L⊥Π L // Π 夹角公式：
高等数学2（文科）期末考试题型及复习要点
高等数学2（文科）期末考试题型及复习要点第一篇：高等数学2(文科)期末考试题型及复习要点2011年—2012年第二学年高等数学（文科）期末考试题型及复习要点一、选择题（5*3’）知识要点：定积分的定义及性质；简单二元函数的一阶偏导数的函数值；二元函数的极值的定义及其必要条件；常数项级数的性质；一阶线性常微分方程的通解；二、填空题（5*3’）知识要点：变限函数的导数；简单二元函数的一阶偏导数；幂级数的收敛半径；二元函数极值存在的必要条件的求法；二重积分的性质；三、计算题（10*6’）知识要点：定积分的换元法和分部积分法；广义积分的求法（无穷积分）；未定式的极限（变限函数的导数，罗必塔法则）；二元隐函数的导数；全微分求近似值（可参考书上例题及习题）；二元函数的全微分；幂级数的收敛域；利用定积分求平面图形的面积（利用二重积分求面积也可）；二重积分的计算（直角坐标系）；二重积分的计算（交换积分次序）；四、应用题10’经济应用（最优化问题）。
第二篇：期末考试复习要点及题型分布期末考试复习要点及题型分布复习要点:1.参数传递方式(值传递和引用传递)2.类的静态成员和实例成员3.构造函数和析构函数4.简单对话框的用法5.画图工具的使用6.方法的重载7.类的继承与多态8.异常处理9.简单数据库应用程序题型分布：一、程序改错：（共1题，二、程序填空：（共3题，每题三、程序设计：（共3题，每题10分）10分，共20分，共30分）60分）第三篇：《会计学》期末考试题型、分值和复习要点（定稿）期末《会计学》试卷题型、分值和复习要点（请尽早通知到所任教班级班级学习委员和学生）一、判断题（每小题1分，共20分）二、单项选择题（每小题1分，共20分）三、多项选择题（每小题1分，共20分）四、实务题（共40分）（一）报表题（此题20分）1.利润表编制（10分）2.资产负债表项目指标计算（10分）（二）分录题（共20分，每小题2分）【说明】1.判断、单选和多选题：重点复习第5、8、9、10、11、12、13章内容。
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（2008.12.03）高等数学（2）期末复习指导（文本）赵坚：各位老师，各位同学，大家好！现在是高等数学（2）教学活动时间，欢迎大家的参与。
今天活动的主题是：课程教学答疑和期末复习指导。
考试采取半开卷笔试的形式，考试时间为90分钟。
本学期高等数学（2)考试时间为09年1月9日8：30-10：00试题类型及结构：本课程的考试题型分为四种：填空题、单项选择题、计算题和应用题，相应的分数比例大致为15:15:52:18．命题依据：本课程使用的教学大纲是《中央广播电视大学高等专科高等数学课程教学大纲》．使用的教材为分别是《高等数学（下册）——多元函数微积分》和《高等数学（上册）》中第七章无穷级数中7，8，9节（柳重堪教授主编，中央电大出版社出版，2000年1月）．考试说明是考试命题的依据．第7章无穷级数（7，8，9节傅里叶级数部分）考核知识点：1．傅里叶级数：傅里叶级数的概念、傅里叶系数公式，周期为函数或定义在上的函数的傅里叶级数，狄利克雷定理．2．正弦级数或余弦级数：定义在上的函数展为正弦级数或余弦级数．考核要求：1．熟练掌握周期为或定义在上的函数的傅里叶级数展开，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性．2．掌握定义在上的函数展开成正弦级数或余弦级数，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性．第9章空间解析几何与向量代数考核知识点：1．空间直角坐标：空间直角坐标系概念，两点间距离公式．2．向量代数：向量概念，向量的模，单位向量，向量的坐标，方向余弦，向量的加减法，数乘向量，向量的数量积、向量积，两向量的夹角，平行、垂直的条件．3．空间平面：平面的点法式方程，一般方程，点到平面的距离．4．空间直线：直线的标准方程，参数方程，一般方程．平面与直线的位置关系的讨论．5．空间曲面与曲线：球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面，空间曲线的参数方程．考核要求：1．了解空间直角坐标系概念，掌握两点间的距离公式．2．了解向量、向量的模、单位向量、方向余弦等概念，掌握它们的坐标表示．掌握向量的加减法、数乘向量及它们的坐标表示．了解向量的数量积和向量积概念，掌握它们的坐标表示，熟练掌握向量平行和垂直的判别方法．3．熟练掌握平面的点法式方程，掌握平面的一般方程，会求点到平面的距离．4．熟练掌握空间直线的标准方程，掌握参数方程和一般方程，会进行这三种方程间的互化．掌握用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系（平行、垂直、重合等）．5．知道球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面的方程及图形；知道空间曲线的参数方程．第10章多元函数微分学考核知识点：1．多元函数：多元函数定义，二元函数的几何意义．2．偏导数与全微分：偏导数定义和求法，二阶偏导数，全微分，复合函数的(一阶)偏导数，隐函数的(一阶)偏导数．3．偏导数应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线．4．多元函数极值：二元函数极值的概念，极值点存在的必要条件，拉格朗日乘数法．考核要求：1．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域．2．了解偏导数的概念，熟练掌握给定的具体函数的一阶、二阶偏导数的计算方法．掌握复合函数（包括含有函数符号的，如）一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数一阶偏导数．掌握全微分的求法．3．会求曲线（参数方程表示）的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线的方程．4．了解二元函数极值的概念，知道极值点存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题．第11章重积分考核知识点：1．重积分概念：二重积分的定义，几何意义、性质．2．二重积分的计算：直角坐标系下二重积分的计算方法、极坐标系下二重积分的计算方法．3．二重积分的应用：求立体的体积．考核要求：1．知道二重积分的定义，了解二重积分的几何意义和性质．2．熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算方法．会在直角坐标系下交换积分次序．掌握在极坐标系下二重积分的计算方法．3．掌握曲顶柱体的体积的求法，会求由简单曲面围成的空间立体的体积．第12章第二类曲线积分考核知识点：1．曲线积分概念：第二类曲线积分的概念、性质．2．曲线积分计算方法：把曲线积分化为定积分再计算．3．格林公式：用格林公式将曲线积分化为二重积分计算．4．曲线积分与路径无关的条件．考核要求：1．了解第二类曲线积分的概念和性质（线性性质、对积分路径的可加性）．2．掌握把曲线积分化为定积分的计算方法；掌握用格林公式将曲线积分化为二重积分的方法；3．了解曲线积分与路径无关的条件．高数（2）（08）秋期末综合练习一、填空题1．两向量b a ,满足b a //的充分必要条件是 ．2．球心在点)0,1,1(-，半径为2的球面方程为 ．3．设函数2e xy z =，则=∂∂yz ． 4．设函数y x z 22=，则=z d ．5．若改变累次积分的次序，则⎰⎰=x x y y x f x 2d ),(d 10 ． 6．设l 是圆周422=+y x 的正向，则=+-⎰l y x x y d d 21 ． 7．设D 是由封闭曲线l 围成的区域，若在D 内恒有等式 ，则有0d ),(d ),(=+⎰ly y x Q x y x P ． 二、单项选择题1．平面053=-+z y x 的位置关系是（ ）．A ．与OXY 面平行B ．与OXZ 面平行C ．经过坐标原点D ．与X 轴垂直2．下列方程中表示锥面的方程是（ ）．A ．22y x z +=B ．222y x z +=C ．1222=++z y xD ．22y z =3．函数yx z arcsin =的定义域为（ ）． A ．11≤≤-y x B ．11<<-yx C ．y x <-1 D ．1<y x 4. 若函数y x z 2=，则=∂∂∂xy z 2（ ）．A ．yx 2 B ． 2x C ．x 2 D ． 22y x -5. =⎰⎰Dy x d d （ ），其中D 是由x 轴、y 轴及直线x y -=1围成的区域． A ．1 B ．21C ．31D ．416．若)(x f 是以π2为周期的奇函数，则)(x f 的傅氏系数的计算公式是（）．A ．),2,1(d sin )(π1,),2,1,0(0π0 ====⎰n x nx x f b n a n nB ．),2,1(0,),2,1,0(d cos )(π1π0 ====⎰n b n x nx x f a n nC ．),2,1(d sin )(π2,),2,1,0(0π0 ====⎰n x nx x f b n a n nD ．),2,1(0,),2,1,0(d cos )(π2π0 ====⎰n b n x nx x f a n n三、计算题1．求过点)0,1,1(且平行于直线⎩⎨⎧-=+=-2312z y y x 的直线方程．2．求过点)1,0,2(且平行于平面52=-y x 的平面方程．3．设),(22y x y x f z +=，求y z∂∂．4．设)cos ,e (2y x x f z y =，求y z∂∂．5．设z y xz e =，求z d ．6．设y z z x e sin +=，求z d ．7．计算⎰⎰+Dy x y x d d 22，其中D 是区域：由0,422≥≤+x y x ．8． 计算⎰⎰Dy x y d d ，其中D 是由x y x y ==,2围成的区域．9．将函数⎩⎨⎧≤<-≤<=0π,0π0,)(x x x x f 展成周期为π2的傅里叶级数． 10．将函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--=≤<=0π,10,0π0,1)(x x x x f 展成周期为π2的傅里叶级数．四、 应用题1．在直线1+=x y 上找一点，使它与点)0,1(A 的距离最短．2．在一个半径为R 的半圆内内接一个矩形，矩形的边长取何值时其面积最大？高数（2）（08）秋期末综合练习参考答案一、填空题1. 0=⨯b a2. 4)1()1(222=+++-z y x3. 2e 2xy xy4. y x x xy d 2d 42+5．⎰⎰y y x y x f y d ),(d 10 6．π4 7．yP x Q ∂∂=∂∂ 二、单项选择题1．C 2．B 3. A 4. D 5. B 6．C三、计算题1．解： 因为所求直线的方向向量为：)6,2,1()1,3,0()0,1,2(--=⨯-=n所以直线方程为：62111z y x =--=-- 2．解： 因为所求平面的法向量为：)0,2,1(-=n所以平面方程为：022=--y x3．解：设),(v u f z =，其中y x v y x u 22,=+=，得 vz x u z y y v v z y u u z y z ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂22 4．解：设),(v u f z =，其中y x v x u y cos ,e 2==，因为vz y x u z x y v v z y u u z y z y ∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin e 2 5．解 左)d d (21)(d 21)(d z x x z xz xz xzxz +=== 右y z y y y y z z z z z d e d e d e )e (d )e (d +=+==由此得y xz y x xzx xz y x zz z z z d e 2e 2d e 2d -+--=6．解：等式两端求微分得左z z x x z z x d cos d sin )sin (d +==右y z z z yy y d e d )e (d d )e (d +=+=+=由此得 y z x x z x z z yd 1cos e d 1cos sin d -+--= 7．解：利用极坐标计算π38d d d d 2022π2π22==+⎰⎰⎰⎰-r r y x y x D θ 8．解：将二重积分化为累次积分得⎰⎰⎰⎰=x x D y y x y x y 2d d d d 10203)d (21d )2(1041022=-==⎰⎰x x x x y xx 9．解：)(x f 的傅氏系数为2πd π1d )(π1π0π00===⎰⎰x x x x f a ⎰⎰-==π0π0π0d sin π1sin π1d cos π1x nx n nx x n x nx x a n]1)1[(π1cos π12π02--==n n nx n ⎰⎰+-==π0π0π0d cos π1cos π1d sin π1x nx n nx x n x nx x b n 1)1(1--=n n故 )ππ(]sin )1()12cos()12(2[4π)(112≤<--+---+=-+∞=∑x nx nx n n x f n n π 10．解：因为)(x f 为奇函数，故0=n a ， ,2,1,0=n⎰⎰==ππ00d sin π2d sin )(π2x nx x nx x f b n ])1(1[π2cos π20n n nx n --=-=π 故 )ππ()12s i n (π)12(4)(1≤<---=∑+∞=x x n n x f n ．四、 应用题1．解： 直线1+=x y 上找一点距点)0,1(A 的距离平方为22)1(),(y x y x f +-=条件函数为 1+=x y作辅助函数 )1()1(),,(22+-++-=y x y x y x F λλ由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=∂∂=-=∂∂=+-=∂∂0102022y x F y yF x x F λλλ解得1,0==y x ，可以断定，直线1+=x y 上点)1,0(M 与点)0,1(A 的距离最短．2． 解： 设矩形的长、宽分别为y x ,2，则矩形的面积为),(y x f =xy 2条件函数为 222R y x =+作辅助函数 )(2),,(222R y x xy y x F -++=λλ 由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂0022022222R y x F y x yF x y x F λλλ 解得R y x 22==，当矩形的长、宽分别为R 2与R 22时面积最大．马少帅：赵老师好！有什么新指示？赵坚：马老师好，欢迎参加教学活动。