平面两级倒立摆的建模
二级倒立摆系统的最优控制
∞
ut
+
B
+
1 /S
x
C
y
A
R-1BT
P
五、仿真分析
将某二级倒立摆系统模型各参数代入式1-8，得出系数矩阵 设, 写出Matlab程序如下：
A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1; 0,-2.57163,0.164291,-16.6674,0.0124145,0.005; 0,29.9499,-15.1957,40.3167,-0.204856,0.17380; 0,29.9499,65.4455,-49.3949,0.463474,-0.59148]; B=[0;0;0;8.64636;-20.9146;25.9146]; C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0]; %求开环特征值 r1=eig(A) %加入最优反馈器 q1=100;q2=10;q3=5000;q4=0;q5=0;q6=0; Q=[q1 0 0 0 0 0;0 q2 0 0 0 0;0 0 q3 0 0 0;0 0 0 q4 0 0;0 0 0 0 q5 0;0 0 0 0 0 q6];R=1; %求最优增益矩阵、黎卡提方程的解、闭环特征值 [K,P,r2]=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D]; T=0:0.02:20;U=zeros(size(T)); x0=[0;-0.05;0.1;0;0;0]; [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0); %绘制下摆偏离垂直方向的角度变化曲线 figure(1);plot(T,Y(:,1)); xlabel('Time/sec');ylabel('01/rad');grid; %绘制上下摆角度之差的曲线 figure(2);plot(T,Y(:,2)); xlabel('Time/sec');ylabel('02-01/rad');grid; %绘制小车位移曲线 figure(3);plot(T,Y(:,3)) xlabel('Time/sec');ylabel('x(小车)/m');grid;
二级倒立摆的数学模型推导
二级倒立摆的数学模型推导一、二级倒立摆系统的结构二级倒立摆系统的结构如图1如示，机械部分主要有小车、下摆、上摆、导轨、皮带轮、传动皮带等，控制对象由小车、下摆、上摆组成，电气部分由电机、晶体管直流功率放大器、传感器以及保护电路组成。
图1 二级倒立摆结构示意图二、二级倒立摆的数学模型 （一）假设条件为了简化二级倒立摆的数学模型，作如下假设：1． 小车与导轨间的摩擦力与小车速度成正比；电机摩擦转矩与电机转矩成正比；上、下摆连接处摩擦力矩与二摆相对角速度成正比；下摆与小车连接处摩擦力矩与下摆相对角速度成正比。
2． 整个对象系统除皮带外视为刚体。
3． 皮带伸长忽略不计且传递作用力的延迟忽略不计。
4． 电路系统的传递延迟及功率放大器的非线性忽略不计。
5． 电机电感忽略不计。
6． 检测电位器设为线性的，即设检测信号分别为与r 、1θ、21θθ-成正比的电信号，且假设标定完全准确。
（二）系统参数说明推导中各符号的意义如下：0M ：小车、皮带、电机转子、皮带轮归算到小车运动上的等效质量； 1M ：下摆质量； 2M ：上摆质量；1J ：下摆转动惯量； 2J ：上摆转动惯量；r ：小车位移；1θ：下摆角位移；2θ：上摆角位移；1L ：下摆全长（轴心到轴心）； 1l ：下摆质心与小车——下摆连接轴心距离； 2l ：上摆质心与上摆——下摆连接轴心距离；'0F ：小车与导轨间摩擦力，电机机械摩擦转矩，皮带轮摩擦转矩归算到小车运动上的等效摩擦系数，由下式定义等效摩擦力：'00f F r =⋅1F ：下摆与小车摩擦力矩的等效摩擦系数，由下式定义等效摩擦力矩：111T F θ=⋅2F ：上、下摆间摩擦力矩的等效摩擦系数，由下式定义等效摩擦力矩：2221()T F θθ=⋅-P ：电机提供的控制力；U ：电机外加电压即功率放大器输出电压； E ：电机反电势； I ：电机电流；R ：电机等效电阻；i R ：功率放大器等效输出电阻；d ：皮带轮直径；θ：电机转速（/rad s ）；n 电机转速(转/分)；K ：功率放大器电压增益 ；e K ：电势系数； t K ：转矩系数；e ：功率放大器的输入电压；参阅相关资料后，对各参数的取如下值：0M =1.328kg ，1M =0.220kg ，2M =0.187kg ，1J =0.004962kg m ⋅，2J =0.004822kg m ⋅，1L =0.490m ，1l =0.304m ，2l =0.226m ，'0F =22.947kg/s ，1F =0.00705/kg m s ⋅，2F =0.00264/kg m s ⋅，R =8.550Ω，i R =1.252Ω，d =0.130m ，K =8.000，t K =0.946/N m A ⋅（三）数学模型推导 此处少图3-2（P7）图3-2中，'i i f f =(1,2)i =小车在y 方向上无运动，小车受导轨垂直方向力示标出，推导中iy f ，ir f (1,2)i =分别表示i f 在y ，r 方向的分力。
平面二级倒立摆系统仿真
考虑本仿真系统，X 和Y 向具有类同性，以X 向作为代表性分析，Y 向类似。
X 向初始条件：1120x=x ααα====20.05α=00100000010000001000000050.223514.7272000050.890849.4875000A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭00015.12485.19294B ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭100000010000001000C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭仿真系统程序图1. 状态控制器设计（1） 取矩阵(111111)1r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1）得[1.0000 13.4672 95.6968 2.3975 10.7845 15.9971]r K =状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）u 的曲线12250%70.450.70.62s t s x u σαα==≤≤≤≤结果:指标不理想（2） 取矩阵(20011111)1r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1） 得[14.1421 64.9555 166.3031 14.7223 25.4912 28.8348]r K =状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）u 的曲线1260%20.4 1.00.8 2.8s t s x u σαα==≤≤≤≤结果:指标有改善,需要细致调整。
（3） 取矩阵(111111)10r r Q diag R == 阶跃输入（X=0.1） 得[0.3162 6.1247 81.2826 1.0619 8.3252 13.4153]r K =状态曲线图（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）状态的一阶导数曲线（黄色代表X ，紫色代表1α，绿色代表2α）u 的曲线12460%100.450.70.62s t s x u σαα=≥≤≤≤≤结果：指标变差，调整r R 破坏了性能指标。
二级倒立摆的建模与MATLAB仿真
二级倒立摆的建模与 ＭＡＴＬＡＢ 仿真 刘文斌，等
二级倒立摆的建模与ＭＡＴＬＡＢ仿真
刘文斌，干树川 （四川理工学院电子与信息工程系 四川自贡，６４３０００）
取为最小值。设控制输入函数形式为： Ｕ（ｔ）＝ －Ｋｘ（ｔ） （１１） 状态反馈矩阵： Ｋ ＝ Ｒ －１Ｂ Ｔ Ｐ （ １２） 其中，Ｐ 可由 Ｒｉｃｃａｔｉ 微分方程： （１３） 其中， 性能指标函数： （１４）
［Ｊ］．计算机测量与控制，２００６，１４（１２）：１６４１ － １６４２ ５ 张 春，江 明，陈其工等．平行单级双倒立摆系统的建模与滑
模变结构控制［Ｊ］．２００８．１
２３
图１ 二级倒立摆模型
（１）
（２）
（３） 经过线性化如下： （４）
（上接第 ７ 页） ０； ０； ０； ０］； ｐ＝ｅｉｇ（Ａ） ［ｎｕｍ，ｄｅｎ］＝ｓｓ２ｔｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，１）； ｐｒｉｎｔｓｙｓ（ｎｕｍ，ｄｅｎ） Ｑ＝［１０００ ０ ０ ０ ０ ０； ０ ０ ０ ０ ０ ０； ０ ０ １０ ０ ０ ０； ０ ０ ０ ０ ０ ０； ０ ０ ０ ０ １０ ０； ０ ０ ０ ０ ０ ０］； Ｔｃ＝ｃｔｒｂ（Ａ，Ｂ）； ｒａｎｋ（Ｔｃ） Ｔｏ＝ｏｂｓｖ（Ａ，Ｃ）； ｒａｎｋ（Ｔｏ） Ｒ＝１； Ｋ＝ｌｑｒ（Ａ，Ｂ，Ｑ，Ｒ）； Ａｃ＝［（Ａ－Ｂ＊Ｋ）］； Ｂｃ＝［Ｂ］； Ｃｃ＝［Ｃ］； Ｄｃ＝［Ｄ］； Ｔ＝０：０．００５：２０； Ｕ＝０．２＊ｏｎｅｓ（ｓｉｚｅ（Ｔ））； ［Ｙ，Ｘ］＝ｌｓｉｍ（Ａｃ，Ｂｃ，Ｃｃ，Ｄｃ，Ｕ，Ｔ）； ｐｌｏｔ（Ｔ，Ｙ（：，１），＇：＇，Ｔ，Ｙ（：，２），＇ －＇，Ｔ，Ｙ（：，３），＇
二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告
二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告一、选题背景及意义直线倒立摆系统是一种应用广泛的控制系统，它具有复杂的非线性特性，因此对其建模、控制和仿真都具有一定的挑战性。
直线倒立摆系统广泛应用于自动驾驶、飞行器、医疗器械等领域。
本文将研究二级直线倒立摆系统的建模、仿真与实物控制，以提高对该系统的理解和掌握。
通过实验控制实际系统，验证仿真模型的正确性并提高控制策略的可靠性与性能。
二、研究内容1.二级直线倒立摆系统的建模研究系统的动力学特性，建立数学模型，包括机械、电子等方面的模型，并给出系统的描述方程。
2.仿真系统的设计与实现通过MATLAB或Simulink等工具，根据系统的动力学模型进行仿真，分析系统的动态特性，验证模型的正确性。
3.实物系统的设计与实现根据建模结果，设计实物系统，包括硬件和软件，搭建实验环境，并选取合适的控制器，使用反馈控制算法对实验数据进行处理。
4.实物控制系统的测试与优化将实验得到的数据进行分析、处理和优化，比较实物系统和仿真系统的差异并给出改进方案，从而提高系统的动态响应特性和控制性能。
三、研究方法及预期结果本文将采用系统分析、数学建模、仿真分析、控制器设计和优化等方法，通过建模、仿真、实物控制等多个方面去了解直线倒立摆系统。
预期结果是建立二级直线倒立摆系统的模型，完成仿真和实验的设计与实现，控制系统实现稳定的控制策略，并得出实物系统和仿真系统的控制性能优化方案。
四、进度安排第一阶段：文献综述和理论研究，研究直线倒立摆控制系统的基本原理和方法。
（2周）第二阶段：根据文献进行仿真研究，建立稳定的仿真模型。
（2周）第三阶段：设计实物控制系统，搭建实验环境。
（2周）第四阶段：实现控制系统与优化，得出实验数据并进行分析和优化，提高系统的控制性能。
（2周）第五阶段：撰写论文和答辩。
（4周）五、预期成果本文通过对二级直线倒立摆系统的建模、仿真和实物控制的研究，完成了对系统的深入理解和掌握，得出了系统的优化控制方案。
直线二级倒立摆建模与matlab仿真LQR
直线二级倒立摆建模与仿真1、直线二级倒立摆建模为进行性线控制器的设计,首先需要对被控制系统进行建模.二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在实验过程中同步带长保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接拖加于小车；4)在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。
图1 二级摆物理模型二级倒立摆的参数定义如下：M 小车质量m1摆杆1的质量m2摆杆2的质量m3质量块的质量l1摆杆1到转动中心的距离l2摆杆2到转动中心的距离θ1摆杆1到转动与竖直方向的夹角θ2摆杆2到转动与竖直方向的夹角F 作用在系统上的外力利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能其中错误!未找到引用源。
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为系统在第i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为x,θ1,θ2,θ3。
首先计算系统的动能：其中错误!未找到引用源。
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分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。
小车的动能：错误!未找到引用源。
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，错误!未找到引用源。
分别为摆杆1的平动动能和转动动能。
错误!未找到引用源。
，其中错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
分别为摆杆2的平动动能和转动动能。
对于系统，设以下变量： xpend1摆杆1质心横坐标 xpend2摆杆2质心横坐标 yangle1摆杆1质心纵坐标 yangle2摆杆2质心纵坐标 xmass 质量块质心横坐标 ymass 质量块质心纵坐标 又有：(,)(,)(,)L q q T q q V q q =-则有：系统总动能：系统总势能：则有：求解状态方程：可解得：使用MATLAB对得到的系统进行阶跃响应分析，执行命令：A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 01;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0];B=[0;0;0;1;6.64;-0.808];C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0];sys=ss(A,B,C,D);t=0:0.001:5;step(sys,t)求取系统的单位阶跃响应曲线：图2 二级摆阶跃响应曲线由图示可知系统小车位置、摆杆1角度和摆杆2角度均发散，需要设计控制器以满足期望要求。
毕业设计 二级倒立摆建模
四川理工学院毕业设计（论文）二级倒立摆系统建模与仿真学生：学号：专业：自动化班级：自动化指导教师：四川理工学院自动化与电子信息学院二O一一年六月摘要常规的PID控制从理论上可以控制二级倒立摆，但在实际中对PID控制器参数的整定为一难点。
本文针对二级倒立摆系统单输入三输出的不稳定系统，通过三回路PID 控制方案，来完成对倒立摆的控制。
利用状态反馈极点配置的方法来对参数进行整定，解决PID参数整定的难点。
然后借助于MATLAB中的Simulink模块对所得的参数进行仿真，结果表明三回路PID控制是成功的，参数的有效性，也证实了这种参数整定方法简单实用。
并通过配置不同位置的极点，对其结果进行分析得到极点配置的最佳配置方案。
关键词：倒立摆；PID；状态反馈； MATLABABSTRACTDouble Inverted Pendulum System Modeling and SimulationConventional PID control theory to control the inverted pendulum, but in practice the parameters of PID controller tuning is a difficult. In this paper, double inverted pendulum system, the instability of single-input three-output system, through the three-loop PID control program to complete the inverted pendulum control.Pole placement using state feedback approach to setting the parameters to resolve the difficulties PID parameter tuning. With MATLAB and Simulink in the module parameters obtained from simulation results show that the three-loop PID control is successful, the effectiveness of the parameters, but also confirms this tuning method is simple and practical.Different locations through the pole configuration, the results were too extreme configuration of the best configuration.Key words:pendulum；PID control ；state feedback；MATLAB目录摘要............................................................... ABSTRACT (I)第1章引言 01.1 倒立摆研究的目的及意义 01.2 倒立摆的发展史和研究现状 01.3本文的主要工作 (3)第2章倒立摆的建模 (3)2.1 二级倒立摆的简介及物理模型 (3)2.2 二级倒立摆计算机控制系统结构 (4)2.3 二级倒立摆的数学模型 (5)2.4根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模型 (6)第3章控制策略的选择 (11)3.1 MATLAB简介 (11)3.2该系统的能控、能观及稳定性的分析 (14)3.2.1系统的能控性 (14)3.2.2系统能观性 (16)3.2.3系统的稳定性 (16)3.3 确定控制策略 (17)3.4 控制器参数整定方法 (17)3.5 通过状态反馈极点配置法来整定参数 (19)第4章计算机仿真及结果分析 (22)4.1 Matlab下Simulink模块简介 (22)4.2 在Simulink下的仿真 (23)4.3对仿真结果的分析 (31)第5章结束语 (32)致谢 (33)参考文献 (34)第1章引言1.1 倒立摆研究的目的及意义在控制理论发展的过程中, 一种理论的正确性及在实际应用中的可行性，往往需要一个典型对象来验证, 并比较各种控制理论之间的优劣, 倒立摆系统就是这样的一个可以将理论应用于实际的理想实验平台。
倒立摆建模与控制
2倒立摆系统的模型建立2.1 倒立摆特性●非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。
也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。
实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。
●耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
●开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。
●约束限制由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。
为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。
行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。
2.2 一阶倒立摆数学模型倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。
2.2.1 一级倒立摆物理模型在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示：皮带轮图2.1 单级倒立摆系统物理模型2.2.2 一级倒立摆数学模型 各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 一级倒立摆参数表参 数 参数意义 参数值 M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到小车上的力 x小车位置φ摆杆与竖直向上方向的夹角通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.3) 2.3 二阶倒立摆数学模型2.3.1 二级倒立摆物理模型如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型皮带轮图2.3二级倒立摆系统的物理模型倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。
二级倒立摆系统的控制与仿真
二级倒立摆系统的控制与仿真一、引言在计算机参与的具有联系受控对象的控制系统中，有必要对联系控制系统设计数字控制器的必要，一般对于联系的控制对象设计数字控制器的方法有：第一种是应用联系系统理论得到的联系控制规律，再将控制规律离散化，用控制器实现，第二种是将联系的控制对象离散化，用离散控制理论设计控制器参数，数字再设计就是根据连续系统及相应的控制规律如何重新设计对应的离散系统与相应的离散控制规律。
我们采用的是最优等价准则、双线性变换法、平均增益法进行数字再设计。
二、LQR控制器设计(1) 二级倒立摆系统的状态空间模型设线性定常系统为x’=A*x（t）+B*u（t）,y=C*x（t）其初始条件为x（t）=x0;其中：A=[0,1,0,0;40,0,0,0;0,0,0,1;-6,0,0,0];B=[0;-2;0;0.8];C=[1,0,0,0;0,0,1,0](2) 系统的能控性判定n=size(A); Tc=ctrb(A,B); nc=rank(Tc)n=6 6 nc=6从运行结果可知，系统的阶次为6，能控性矩阵的秩也为6，因此系统是能控的。
(3) 系统的能观性判定To=obsv(A,C);no=rank(To)no=6从运行结果可知，能观性矩阵的秩为6，与系统的阶次相等，因此系统是能观测的。
(4) LQR控制设计基于一级倒立摆系统具有能控性和能观性，因此可采用LQR进行控制，经大量反复试验和仿真，选取R=0.2，Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];F=lqr(A,B,Q,R)得到：F =2.2361 106.6465 -155.4620 5.1719 4.9639 -24.5330三、仿真曲线采用LQR控制方式，设初始状态为x(0)=[1,-1,0,0]’，在相同采样周期T下应用数字再设计方法对一级倒立摆系统进行仿真，其中F(T)分别取为：1. F(T)=F1(T)=F2. F(T)=F2(T)=F[I+(A+BF)T/2]3. F(T)=F3(T)=F[I-(A+BF)/2]-1(1) T=0.013s，øc=e(A+BF)T时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[G,H]=c2d(A-B*F,B,T); %%离散一的函数p0=eig(G),x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(G,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%响应曲线plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p0 =0.8647 + 0.0473i0.8647 - 0.0473i0.9224 + 0.0618i0.9224 - 0.0618i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图1 øc=e(A+BF)T(2) T=0.013s，øc=ø +ΓF1(T)时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[Ad,B]=c2d(A,B,T); %%离散二的函数Ad=Ad-B*F;p1=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p1 =0.8349 + 0.0388i0.8349 - 0.0388i0.9247 + 0.0561i0.9247 - 0.0561i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图2 øc=ø +ΓF1(T)(3) T=0.013s，øc=ø+ΓF2(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P2=(A-B*F)*T/2; %%离散3的函数F2=F*(eye(size(P2))+P2)[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F2];p2=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F2 =1.7236 90.8365 -126.5481 4.0012 4.5195 -19.9211 p2 =0.8676 + 0.0465i0.8676 - 0.0465i0.9224 + 0.0627i0.9224 - 0.0627i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图3 øc=ø+ΓF2(T)(4) T=0.013s，øc=ø+ΓF3(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P3=(A-B*F)*T/2; %%离散4的函数F3=F*(eye(size(P3))-P3)^-1[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F3];p3=eig(Ad),[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F3 =1.7779 92.1683 -129.2365 4.1238 4.5459 -20.3464 p3 =0.8655 + 0.0476i0.8655 - 0.0476i0.9222 + 0.0622i0.9222 - 0.0622i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图4 øc=ø+ΓF3(T)由上面的1-4图我们可以知道：F(T)分别取F1(T)，F2(T)，F3(T)构成的闭环离散系统时仿真曲线基本一致，相应情况的闭环极点也基本相同，而取F(T)=F3(T)时，从系统的极点看，用øc=ø+ΓF3(T)代替øc=e(A+BF)T 构成闭环系统的精确度相当好。
基于LQR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真
基于LQR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真姜岩蕾;史增芳【摘要】倒立摆控制系统是一个典型的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合控制系统.通过研究分析平面二级倒立摆控制系统的数学模型,用线性二次型最优调节器(LQR),实现对二级倒立摆的最优控制,MATLAB仿真结果表明了该方法的有效性.【期刊名称】《精密制造与自动化》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】4页(P26-29)【关键词】最优控制器;倒立摆;最优控制【作者】姜岩蕾;史增芳【作者单位】河南工业职业技术学院河南南阳 473000;河南工业职业技术学院河南南阳 473000【正文语种】中文倒立摆是理想的自动控制教学实验设备，它能全方位地满足自动控制教学的要求。
许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观地表现出来[1]。
由于倒立摆系统的高阶次、严重不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，吸引着许多学者和研究人员不断地从倒立摆控制中发掘新的控制策略和算法，文献[2]、[3]提出了基于模糊神经网络的倒立摆控制系统，该方法有效地克服了系统存在的非线性和不确定性，但该方法过分依赖人类直接控制被控对象的经验。
文献[4]、[5]提出了倒立摆拟人控制方法，系统的稳定范围大，鲁棒性好，但控制率从定性到定量的转化较复杂。
本文采用基于状态空间设计法的LQR最优调节器，较好地兼顾了系统的鲁棒稳定性和快速性。
MATLAB 仿真结果表明了该方法的有效性。
倒立摆系统最终的控制目的是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之称为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
首先对摆杆进行空间几何建模。
采用如图1所示的坐标，并定义如下参数：：X方向平台运动部分以及摆体支座质量；：Y方向平台运动部分以及摆体支座质量；：摆杆1长度；：摆杆2长度；：摆杆1质量；：摆杆2质量；：两摆杆中间连接质量块的质量。
二级倒立摆的建模问题
目录摘要 ..................................................................................... 错误！未定义书签。
ABSTRACT ................................................................................ 错误！未定义书签。
第1章绪论 .. (1)1.1研究背景和意义 (1)1.2国内外研究现状 (2)1.3 模糊控制的简介 (3)1.4倒立摆的最优控制与模糊控制与神经网络系统的简要比较 (4)第2章控制方案 (6)2.1模糊控制方案 (6)2.2 PID方案 (7)2.3模糊控制与PID控制的比较 (8)第3章控制系统的设计 (9)3.1二级倒立摆数学模型的建立 (9)3.2二级倒立摆的最优状态反馈控制 (15)3.3融合函数的设计 (16)3.4模糊控制器的设计 (18)第4章控制仿真 (23)4.1二级倒立摆模糊控制的调试 (23)4.2二级倒立摆PID控制的调试 (26)4.3模糊控制与PID控制的比较 (28)第5章结论 (29)参考文献 (30)致谢 (32)第1章绪论1.1研究背景和意义1.1.1 研究倒立摆的工程背景20世纪60年代到现在以来，可以看到科学家们为了处理侦察卫星在摄像机的轻微抖动时等不利状况，并且摄像机的轻微抖动时等不利状况对摄像的图像质量产生的一些或小或大的影响，为了使摄像机能自动地保持摄像时摄像的图像质量稳定，并且能够消除摄像机摄像的震动。
尽管第一台机器人从制作出来问世至今已有三十年的历史，机器人的一些关键技术一直没有很好地被处理，可以看到就像机器人的行走的控制至今仍未能很好解决和得以很好的控制。
在看到通信卫星在预先计算好的轨道运行时必须要保持其稳定，并且要通信卫星在确定的位置上运行的同时，必须要保证通信卫星的稳定，从而使卫星天线的线能够恒定的指向地球。
二级倒立摆数学模型的建立与仿真培训资料
二级倒立摆数学模型的建立与仿真二级倒立摆数学模型的建立与仿真专业：控制工程姓名：淡丹学号：1406073摘要本文用分析力学中牛顿力学法及拉格朗日方程建立了二级倒立摆的数学模型。
根据已经建立的倒立摆数学模型，对其进行了可控性，可观测性及稳定性的分析与研究，并对状态反馈及状态观测器进行了仿真模拟，分析研究。
并通过分析比较得出，加状态观测器并不影响系统的输出的结论。
关键词：倒立摆状态空间极点配置状态反馈ABSTRACTNewtonian mechanics analysis method and the Lagrange equation of a mathematical model of double inverted pendulum has been used in this paper. According to the established mathematical model of inverted pendulum on the controllability, observability and stability of the analysis and research, and the state observer and state feedback is carried on the simulation ,analysis and research. And through the analysis and comparison of results, plus state observer does not affect the conclusions of the output of the system.KEY WORDS: inverted pendulum state space pole allocation state feedback一、二级倒立摆系统的组成二级倒立摆主要由以下四部分组成:1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;2.与小车铰接在一起，并能在竖直平面内分别绕q，q点转动的下、上摆;3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;4.使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位置附近的控制器。
二级倒立摆的建模与MATLAB仿真毕业论文
二级倒立摆的建模与MATLAB仿真摘要：本文根据牛顿力学原理，使用机理建模法对二级倒立摆系统进行了建模与仿真研究。
利用最优化控制理论，研究了线性二次型最优控制器对倒立摆系统进行了有效控制。
基于MATLAB程序的设计、仿真的运行，结果表明，二级倒立摆的数学建模法是切实可行的，而且十分可靠，同时利用LQR 控制器实现了对系统的控制，可以达到系统所需要的稳定性，鲁棒性。
关键词：二次型最优控制；二级倒立摆；MATLAB1 引言倒立摆系统是一个常用的、简单的、典型的可进行控制理论研究的实验平台，很多难以用常规实验研究的控制理论问题，都可以通过倒立摆系统来进行研究从而使这些抽象的控制理论问题，通过该系统可以直观的鲜明的显示出来。
所以倒立摆系统一直是控制领域的热点，并且在这些年来在不断的发展进步对控制理论的研究起到了重要作用。
倒立摆系统是一个典型的不稳定系统，具有多变量、强耦合、非线性等特点。
同时也是仿人类行走机器人和火箭发射飞行的过程调整和直升机飞行等实际运用控制对象的最简模型。
本文建立在牛顿力学定律的基础上，研究对象设置为二级倒立摆，对其进行数学建模，再使用二次型最优控制器（linear quadratic regulator，LQR）可以得到一个最优状态反馈的矩阵K，然后在通过对Q和R两个加权矩阵的严谨选取从而实现对二级倒立摆系统良好的自动控制。
2 二级倒立摆模型建立一个典型的二级倒立摆系统主要由机械部分和电气装置两部分组成。
机械装置的结构主要由小车、摆杆1、摆杆2及连接轴等组成，电气装置的主要结构是功率放大器、电动机、驱动电路、保护电路等。
其系统的结构如图1所示。
实验假设如下：(1)小车、摆杆1、摆杆2的材料性质都是刚体的。
(2)小车的驱动力和放大器的输出直接的，无滞后的作用于小车上。
(3)忽略实验中过程中出现的不可避免的各种摩擦力如库伦摩擦力等。
图1 二级倒立摆控制系统的结构二级倒立摆的参数设定如表1。
二级倒立摆
ux
(5)
带入参数值，系统的状态方程为：
x 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 x 0 0 86.69 21.62 1 0 40.31 39.45 2 x 1 0 0 0 0 y 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x 0 0 1 0 1 2 0 u 0 x 1 6.64 0 1 0 2 0.08
通过如下公式可以求得综合误差E和综合误差率EC 表达式：
K1 K 2 Kr 0 K2 K2 K2 E EC f1 ( x) K r 0 0 0 K2 0 0 0.1 0.53 1 0 0 0.63 0.06 0 0 K1 K
二级倒立摆自动起 摆[标清版].mp4
20
x 1 0 0 2 u 0 0 x 0 0 1 2
模糊控制器的设计
二级倒立摆系统有6个状态变量，直接进行模糊控制器设计， 模糊控制规则会很多，而过多的控制规则，会使控制器的设计 和系统的实时性都难以达到要求，所以需要对状态变量进行适 当的处理，以减少模糊控制器输入变量，同时又能更好的控制 倒立摆系统。 根据各个状态变量的特点和作用，引入两个综合变量E和 EC,其中E表示综合误差(小车的位移 x 、上摆的摆角 1、下摆的 、上摆的角速 摆角 2)，EC表示综合误差变化率（小车的速度 x ）。 、下摆的角速度 x1 度 2 1
二级倒立摆数学模型的建立
二级倒立摆数学模型的建立专业：自研-09姓名：刘文珍学号：2009Y01310126一、二级倒立摆系统的组成二级倒立摆主要由以下四部分组成:1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;2.与小车铰接在一起，并能在竖直平面内分别绕q，q点转动的下、上摆;3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;4.使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位置附近的控制器。
二级倒立摆的结构简图如图1的监督管理功能，如实时画面，数据采集等;数据采集卡安装在计算机内，用完成模/数、数/模转换;功率放大器用于电压和功率放大;电机是系统的执行元件;电位计是系统的测量元件，它分别检测小车相对于轨道中心点的相对位置、下摆相对于铅垂线的角位移、上摆相对于下摆延长线方向的角位移。
图1 倒立摆系统的计算机控制系统二级倒立摆系统的整套机械部件安装在一个钢架上，上面固定着导轨、电机底座和转轮等装置。
通过导轨支架安装好小车滑行的导轨，小车用电机和转轮通过传动钢丝实现运动。
2、结构参数通过实际物理测量，得到二级倒立摆系统的参数如下:小车的等效质量:M =1.0kg;小车与轨道间的滑动摩擦系数:b=5.0kg/s;下摆的质量:m=0.1481kg;下摆半长:1l =0.18m;下摆绕其重心的转动惯量:1j =0.00192kgm ; 上摆质量:2m =0.0998kg; 上摆半长:2l =0.24m;上摆绕其重心的转动惯量: 2j = 0.00182kgm ; 上、下摆重心之间的距离: 1L =0.29m;上、下摆之间的转动摩擦系数: 2F =0.0l 2kgm /s; 下摆和小车之间的转动摩擦系数:1F =0.012kgm /s; 电机及功率放大器的增益: u K =15Nt/V 。
3、Lagrange 方程介绍Lgarnage 方程为..11(1,2,...,)1i q d T T V DF i k dt q q i q q ⎛⎫⎪∂∂∂∂-++== ⎪∂∂ ⎪∂∂⎝⎭(1-1)式中T —系统的动能函数，.1q ，q ，—Lganarge 变量，分别成为广义坐标和广义速度Qi —作用于系统上的广义力 1(1,2,...,)i q VQi F i k q ∂=-+=∂，(1-2) 式中：V —系统的势能函数1Vq ∂-∂—有势力的广义力 i q F —非有势力的广义力将式(2-2)代入式(2-l)得.11(1,2,...,)1i q d T T VF i k dt q q q ⎛⎫⎪∂∂∂-+== ⎪∂∂ ⎪∂⎝⎭二、二级倒立摆数学模型的推导二级倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强祸合、和绝对不稳定的系统，为了简化建立数学模型的过程，我们做了以下假设: 1.上摆、下摆都是一个均匀的刚体;2.力矩电机的输出驱动力与其输入电压成正比，且无滞后地直接作用在小车上;3.车与轨道间的摩擦力仅与小车的速度成正比，下摆与车绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比，上、下摆绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比;4.忽略电机的电感;5.忽略钢丝的弹性。
基于LQR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真
基于1QR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真第一章绪论11研究背景1.2研究目的1.3论文结构第二章平面二级倒立摆建模与仿真2.1动力学分析2.2时间域仿真2.31QR最优调节器第三章非线性系统仿真3.1平面二级倒立摆参数识别3.2平面二级倒立摆非线性特性仿真第四章强化学习控制技术4.1强化学习控制技术原理4.2平面二级倒立摆强化学习仿真第五章改进P1D控制技术5.1P1D控制器参数确定5.2平面二级倒立摆改进PID控制仿真第六章结论6.1总结6.2展望第一章绪论当今社会，智能化机械系统的使用日渐普及，为了使其更好地实现所求的功能，对控制策略的设计和研究发挥了重要作用。
倒立摆系统是很常见的控制问题，具有时变不可知的结构，因而其调节过程十分复杂。
考虑到倒立摆的重要性，本文以平面二级倒立摆为研究对象，建立了基于1QR最优调节器的平面二级倒立摆的建模与仿真。
本文通过对平面二级倒立摆的动力学分析、时间域仿真、1QR最优调节器、平面二级倒立摆非线性特性仿真、强化学习控制和改进PID控制的实验性研究,研究了最优调节系统的建模与仿真方法。
本文的研究目的是建立平面二级倒立摆系统的动力学模型，并以此模型为基础进行研究，研究和比较1QR最优调节器和强化学习技术在此系统中的控制效果，同时提出改进P1D控制技术。
研究希望能够有效地控制平面二级倒立摆系统，针对实际工程情况应用。
本文框架如下：第一章绪论，阐述研究的背景、研究的目的以及本文的结构；第二章介绍了平面二级倒立摆系统的建模与仿真，包括动力学分析、时间域仿真和1QR最优调节器；第三章介绍了平面二级倒立摆参数识别和非线性特性仿真；第四章介绍了强化学习控制；第五章介绍了改进P1D控制；最后，第六章总结出本文的研究结果，并对未来的工作进行展望。
第二章平面二级倒立摆建模与仿真本章首先介绍了平面二级倒立摆系统的动力学分析，然后进行仿真，在此基础上利用1QR最优调节技术进行控制。
二级倒立摆模型
二级倒立摆模型1 系统数学模型在忽略空气阻力及各种摩擦力之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和质量块组成的系统。
利用拉格朗日方程推导倒立摆运动学方程，如下：),(),(),(...q q V q q T q q L -=其中，L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能。
拉格朗日方程由广义坐标i q 和L 表示为：i if q Lq L dt d =∂∂-∂∂.其中，i f n i ,,,2,1 =为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的三个广义坐标分别为21,,θθx 。
由于在广义坐标21,θθ上均无外力作用，有以下等式成立：01.1=∂∂-∂∂θθLL dt d (1) 02.2=∂∂-∂∂θθLL dt d (2) 求解代数方程，表示成一下形式：),,,,,,(...2.1.211..1x x x f θθθθθ= (3)),,,,,,(...2.1.212..2x x x f θθθθθ= (4)取平衡位置时各变量初值为零)0,0,0,0,0,0,0(),,,,,,(...2.1.21=x x x θθθθ，将(3)(4)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，)..17213112..1x K K K ++=θθθ (5))..27223122..2x K K K ++=θθθ (6)现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用了加速度作为输入，因此还需要加上一个方程..x u = (7)取状态变量如下:.26.15.423121,,,,,θθθθ======x x x x x x x x 由(5) (6)(7)式得到状态空间方程如下：u K K x x x x x x K K K K x x x x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡271765432123221311.6.5.4.3.2.11000000000000000001000000100000010002 线性二次型最优控制器的设计我们要设计一个线性二次型最优控制器，使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，这里没有考虑小车位置。
倒立摆拉格朗日建模方法(一)
倒立摆拉格朗日建模方法(一)倒立摆拉格朗日建模介绍倒立摆是一种经典的控制系统问题，它常用于教育和研究领域。
拉格朗日建模是一种用来描述力学系统动力学的数学方法。
本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法，包括各种方法的详细说明。
方法一：拉格朗日方程1.第一步：定义坐标系。
倒立摆通常使用极坐标系，其中θ表示摆杆的角度。
2.第二步：确定系统的势能能量。
根据重力势能的定义，势能能量可以表示为mgL(1 - cosθ)，其中m是摆杆的质量，g是重力加速度，L是摆杆的长度。
3.第三步：确定动能能量。
动能能量可以表示为2θ2，其中L是摆杆的长度。
4.第四步：应用拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以表示为d/dt(∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ = ∂V/∂θ，其中T是系统的总动能，V 是系统的总势能。
通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程。
方法二：线性化方法1.第一步：使用欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程可以表示为∑(∂L/∂qi)d q̇i = q之力 - q之耗散，其中L是拉格朗日函数，qi是系统的广义坐标，q i̇是广义速度。
2.第二步：线性化倒立摆方程。
在小角度下，可以通过将sinθ近似为θ，将cosθ近似为1来线性化倒立摆方程。
3.第三步：线性化的拉格朗日方程可以简化为M q̇ = τ - C q̇ -Gq，其中M是质量矩阵，q̇是广义加速度，τ是外部输入力矩，C是速度相关的阻尼矩阵，G是重力矩阵。
方法三：控制方法1.第一步：设计控制器。
倒立摆系统可以用PID控制器来控制。
PID控制器包括比例部分、积分部分和微分部分，可以通过调整各个部分的参数来实现系统的稳定控制。
2.第二步：实施控制。
将PID控制器的输出作为输入力矩τ，通过不断调整输入力矩来控制倒立摆的角度。
3.第三步：闭环控制。
通过实施闭环控制，将实际角度与目标角度进行比较，并根据误差调整控制器的输出，以实现系统的精确控制。
方法四：倒立摆模拟1.第一步：选择合适的模拟软件。
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采用如图 3-1 所示的坐标，并定义如下参数:
M x X 方向平台运动部分以及摆体支座质量 l1 摆杆 1 长度
Y 方向平台运动部分以及摆体支座质量
My
l2
摆杆 2 长度
m1 摆杆 1 质量
m2 摆杆 2 质量
m3 摆杆 1 和摆杆 2 中间连接质量块的质量
(3-1) (3-2)
(3-3)
β1 ——摆杆在 y − z 平面的映射与 z 轴方向的夹角 γ 1 ——摆杆与 z 轴方向的夹角 γ 2 ——摆杆与 z 轴方向的夹角 在摆杆垂直向上的方向上，如果偏角α1, β1 << 1 ，则可以近似的认为
l1xz ≈ l1yz ≈ l1
因此，摆杆绕 X 轴和 Y 轴的转动惯量可以表示为：
⋅2
y1
⋅
⋅ y2
+
1 2
m1
⋅
2
+
1 2
m2
⋅2
z1 +
⋅2
⋅ z2
1 2
+
⋅2 ⋅2
J1 ⋅ (α1 + β1 )
1 2
J2
⋅
⋅
(α 2
2
+
⋅
β2
2
)
⎪ ⎪⎪⎩Tm3
=
1 2
m3
⋅
⋅2
x3 +
1 2
m3
⋅
⋅2
y3 +
1 2
m3
⋅
⋅2
z3
式中 x1 ——摆杆 1 中心点的 X 坐标；
y1 ——摆杆 1 中心点的 Y 坐标；
由拉各朗日方程：
.
.
.
L(q, q) = T (q, q) − V (q, q)
(3-7)
式中 L——为拉各朗日算子 q——为系统的广义坐标
拉各朗日方程由广义坐标 qi 和 L 表示为：
式中
d dt
∂L ∂q&i
− ∂L ∂qi
=τi
i——系统变量标号 i = 1,2,3L；
q—— q = {θ1，θ2，θ3 L}称为广义变量；
..
y,α
1
,
.
β
1
.
,α
2
,
.
β
2
,
..
x,
..
y
⎟⎠⎞
f
3
⎜⎛ ⎝
x,
y,
α1
,
β1
,α
2
,
β
2
,
.
x,
..
y,α
1
,
.
β
1
.
,α
2
,
.
β
2
,
..
x,
..
y
⎟⎞ ⎠
⎪⎪⎩β.. 2
=
f
4
⎜⎝⎛
x,
y,α1
,
β1
,α
2
,
β
2
,
.
x,
..
y,α
1
,
.
β
τ －系统沿该广义坐标方向上的广义外力
(3-8)
T
=
1
mv 2
=
1
•2
m(x +
•2
y+
•2
z)
是系统的动能，V
是系统的势能。则对于平面两级倒
2
2
立摆系统，其广义坐标为：x，y，α1, β1,α2 , β2 ，系统的总动能为：
T = TM + Tm1 + Tm2 + Tm3
(3-10)
式中 TM ——支座的动能；
⎪⎧ ⎨
J
1xz
⎪⎩ J 1 yz
= =
J
1
×
l2
1xz
J
1
×
l2
1 yz
/ l12 / l12
≈ ≈
J1 J1
同理对第二摆杆可以的到：
(3-4)
⎪⎧ ⎨
J
2
xz
⎪⎩J 2 yz
= =
J2 J2
×
l2 2 xz
×
l2 2 yz
/ l22 / l22
≈ ≈
J2 J2
(3-5)
对于摆杆 2，由于编码器 3 和编码器 4 实际测量的角度为α2 , β2 ，而摆杆 2
⎧ ⎪
d
⎪dt
⎪
⎜⎛ ∂L
⎜ ⎝
∂
.
α
1
⎟⎞ ⎟
−
⎠
∂L ∂α1
=
0
⎪ ⎪
d
⎪⎪d t
⎜⎛ ⎜ ⎝
∂L
.
∂α 2
⎟⎞ ⎟ ⎠
−
∂L ∂α 2
=0
⎨ ⎪
d
⎜⎛
∂L
⎪ ⎪
d
t
⎜⎜⎝
∂
.
β
1
⎟⎞ ⎟⎟⎠
−
∂L ∂β1
=0
⎪ ⎪d
⎜⎛
∂L
⎪ ⎪⎩
d
t
⎜⎜⎝
∂
.
β
2
⎟⎞ ⎟⎟⎠
−
∂L ∂β 2
=0
(3-16)
在
X
'O
'
Z
'
、
Y
'O
'
Z
'
平面内的投影与
Z’轴的夹角分别为
α
' 2
，
β
' 2
，有以下关系：
⎪⎧γ→2'
→→
= γ1+γ 2
⎪⎩⎨αβ
' 2 ' 2
= β1 = α1
+ β2 +α2
(3-6)
在忽略空气阻力以及摩擦等后，可以将倒立摆系统看成平台、均匀杆和质量
块组成，利用拉各朗日方程推导系统的动力学方程。
Tm1 ——摆杆 1 的动能；
Tm2 ——摆杆 2 的动能；
Tm3 ——质量块的动能
TM , Tm1, Tm2 , Tm3 分别计算如下：
⎧ ⎪TM ⎪
=
1 2
M
x
⋅
⋅2
x
+
1 2
M
y
⋅
⋅2
y
⎪ ⎪⎪Tm1 ⎨ ⎪⎪Tm2
= =
1 2 1 2
m1
⋅
⋅2
x1 +
1 2
m1
⋅
m2
⋅
⋅
x2
2
+
1 2
m2
z1 ——摆杆 1 中心点的 Z 坐标；
x2 ——摆杆 2 中心点的 X 坐标；
y2 ——摆杆 2 中心点的 Y 坐标；
z2 ——摆杆 2 中心点的 Z 坐标；
x3 ——质量块中心点的 X 坐标；
y3 ——质量块中心点的 Y 坐标；
z3 ——质量块中心点的 Z 坐标
又有：
⎧ ⎪
x1
⎪
=
x
+
1 2
l1 Sin α1
图 3-1 平面两级摆体几何计算示意图
Fig.3-1 Geometric of a planar double pendulum
对于第一节摆杆，根据几何知识有：
tg 2 γ 1 = tg 2 α1 + tg 2 β1
l1xz
=
cosγ 1 cosα1
l1
=
1
1+
cos2 cos2
α1 β1
sin 2
.. .. .. ..
上式可以计算出α1, β1,α2 , β2 设用以下形式表示：
⎧ ⎪
..
α
1
⎪ ⎪ ⎪
..
β
1
⎨ ..
⎪α 2
⎪
= = =
f1
⎜⎛ ⎝
x,
y,α1
,
β
2
,
.
x,
.
y,
.
α
1
,
.
β
1
,
.
α
2
,
.
β
2
,
..
x,
..
y
⎟⎞ ⎠
f
2
⎜⎝⎛
x,
y,α1
,
β1
,
α
2
,
β
2
,
.
x,
β1
l1
l1 yz
=
cosγ 1 cos β1
l1
=
1+
1
cos2 β1 cos2 α1
sin 2
α1
l1
式中
l1 ——是倒立摆摆杆长度 l1xz ——摆杆 1 在 x − z 平面的映射长度， l1yz ——摆杆 1 在 y − z 平面的映射长度，
α1 ——摆杆在 x − z 平面的映射与 z 轴方向的夹角
⎪⎩z3 = l1 Cos γ 1
V = VM + Vm1 + Vm2 + Vm3 = M1z1g + M 2 z2 g + M 3 z3 g 由拉各朗日算子 L＝T-V，代入(3-8)可以得到 由于在广义坐标α1, β1,α2 , β2 上外力为 0，因此可以建立以下方程：
(3-11)
(3-12) (3-13) (3-14) (3-15)
⎪ ⎨
y1
⎪
=
y
+
1 2
l1