倒立摆模型

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(完整版)一级倒立摆系统分析

一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。

合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。

用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。

倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)

系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。

整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。

如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。

1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。

这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing(16)摆杆连接套Pendulum Socket(17)IP02配重模块IP02 Weight图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure编号名称英文(22)导轨末端挡板Rack End Plate(23)导轨固定螺丝Rack Set Screw(24)小车运动限位Track Discontinuity直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。

倒立摆姿态控制模型

倒立摆倒立摆百度文库解释：倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。

直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。

作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。

当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。

为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。

倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。

最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。

近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。

倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。

由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。

平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。

倒立摆分类倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。

倒立摆模型

摆杆/小车铰接点与摆杆质心的距离
l 0.25m
摆杆绕其质心的转动惯量
I 0.0034kg m2
备注：可忽略了空气阻力以及小车与摆杆之间铰接点上的摩擦力矩。
表 1. 实验装置参数
现基于现代控制理论，按照如下步骤实现对研究直线一级倒立摆的控制方法：1）建立直线一级倒立摆的运动方程；2）推导状态空间方程；3）分析能控
F
M
g
a. 小车的受力分析
b. 摆杆的受力分析
图2. 小车与摆杆的受力分析
小车在水平方向运动，则通过对小车的水平受力分析，可以得到以下方程：
(1) 摆杆作平面运动，可以分解为质心的平动和绕质心转动，由水平方向的受力分析，可以得到下式：
即，
(2)
带入方程（1）得：
(3) 再由摆杆的垂直方向的受力分析，得到下式：
即，又由摆杆对质心的力矩平衡方程有：
2
(4) (5)
直线一级倒立摆控制方法
由于
，所以等式左边有负号。最后，整理方程 (4)，(5)，可得： (6)
由于，则有
. 用 u 代表输入，也就是作用在
小车上的作用力，整理方程(3)，(6)可以得到一级倒立摆的运动方程
(7) 2. 系统的状态空间方程
为求系统的状态空间方程，对方程（7）进行拉氏变换，得到：
1
直线一级倒立摆控制方法
及能观性；4）计算状态反馈矩阵及状态观测矩阵；5）通过离线仿真分析验证上述控制算法的有效性；6）通过上机实验观察其实际控制效果。 1. 建立直线一级倒立摆的运动方程
对小车和摆杆进行受力分析如图 2，其中，N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直两个方向的分量。
N
P

倒立摆数学模型(word文档良心出品)

1单级倒立摆的数学模型的建立：小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。

电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。

导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。

轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。

图1 单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下[]：M 小车质量 1.096Kg ；m 摆杆质量 0.109Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m /secI 摆杆质量 0.0034kg*m*ml 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mT 采样频率 0.005s下面N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：N x b F x M --=&&& (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()θθθθθsin cos sin 222&&&&&ml ml x m N l x dtd m N -+=+= （2）把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2&&&& （3）为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：()θcos 22l dtd m mg P =- θθθθcos sin 2&&ml ml mg P --=- （4）力矩平衡方程如下：θθ&&I Nl Pl =--cos sin （5）方程中力矩的方向，由于φπθ+=，θφθφsin sin ,cos cos -=-=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： ()θθθcos sin 2x ml mgl ml I &&&&-=++ （6）假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1〈〈φ，则可进行近似处理：0,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θφθθ用u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ&&&&&&&&&2（7）对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+)()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I φφφ （8）（推到时假设初始条件为0）则，摆杆角度和小车位移的传递函数为： mgl s ml I mls s X s -+=222)()()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s X s φ摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： ()mgl s ml I mls A s -+=22)()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s A s φ摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：22432222()()()()()()ml s s q b I ml M m mgl bmgl F s s s s s q q qq M m I ml m l φ=+++--⎡⎤=++-⎣⎦将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32()2.35655()0.088316727.9169 2.30942s s F s s s s φ=+-- 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：222222222201000()00()()()00010()00()()()x x I ml b m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：0100000.08831670.62931700.8831670001000.23565527.82850 2.356551000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：'0100000001000103300044x x x x u gl l φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&&&&&& '1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：0100000001000100029.4031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 2系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：Bu AX X+=& Du CX y +=系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B A AB B n 1,...,,-是线性无关的，或n ×n 维矩阵[]B A AB B n 1-M ΛM M 的秩为n 。

倒立摆模型数学模型推导

倒立摆模型数学模型推导倒立摆模型是一种经典的数学模型，它可以用来描述倒立摆的运动规律。

倒立摆是一个由一个质点和一个固定在一根杆上的支点组成的系统，其特点是质点可以在杆的竖直方向上自由运动。

倒立摆模型的推导过程可以帮助我们更好地理解倒立摆的运动行为。

我们需要确定倒立摆模型中的各个物理量。

倒立摆模型包括杆的长度l、质点的质量m、杆与竖直方向夹角θ以及杆与竖直方向的角速度ω。

我们假设杆是质量均匀分布的，忽略空气阻力和摩擦力的影响。

根据牛顿第二定律和力的平衡条件，我们可以得到倒立摆的运动方程。

首先考虑沿杆方向的受力平衡，可以得到以下方程：m * l * ω^2 * sinθ = m * g * sinθ进一步考虑垂直于杆方向的受力平衡，可以得到以下方程：m * l * ω * cosθ = m * g * cosθ + T其中，T表示杆对质点的拉力。

由于杆是刚性的，因此可以认为杆上各点的速度相同，即杆的线速度为v = l * ω。

根据牛顿第二定律，可以得到以下方程：m * l * ω * cosθ = m * g * cosθ + T = m * a其中，a表示质点的加速度。

将上述方程带入到沿杆方向的受力平衡方程中，可以得到以下方程：m * l * ω^2 * sinθ = m * g * sinθ + m * a * sinθ进一步化简上述方程，可以得到倒立摆的运动方程：l * ω^2 + g * sinθ = a * sinθ倒立摆的运动方程是一个非线性微分方程，可以通过数值解或近似解的方法求解。

在实际应用中，可以利用控制理论和控制算法来实现倒立摆的控制。

倒立摆模型的推导过程可以帮助我们更好地理解倒立摆的运动规律。

通过倒立摆模型，我们可以研究倒立摆的稳定性、控制方法以及应用领域等问题。

倒立摆模型不仅在物理学和工程学中有广泛的应用，也成为了控制理论和控制工程的经典案例之一。

总结起来，倒立摆模型是一种用数学方法描述倒立摆运动规律的模型。

倒立摆的动力学模型

倒立摆的动力学模型倒立摆是一个经典的物理实验，同时也是控制系统领域中的一个重要研究对象。

本文将介绍倒立摆的动力学模型以及相关的理论背景。

一、背景介绍倒立摆是由一个杆和一个连接在其上方的质点组成的，它在重力作用下呈现出不稳定的平衡状态。

倒立摆的动力学模型可以通过建立质点与杆之间的力学关系来描述。

二、质点的动力学方程假设质点质量为m，位置用x表示，杆的最低点为平衡位置，根据牛顿第二定律，可以得到质点的动力学方程：m * d^2x / dt^2 = Fg + Fc其中Fg表示质点受到的重力，Fc表示质点受到的摩擦力。

重力可以表示为：Fg = -mg * sinx摩擦力一般可以近似为：Fc = -b * dx / dt其中b为摩擦系数。

将上述方程带入质点的动力学方程中，可以得到：m * d^2x / dt^2 + b * dx / dt + mg * sinx = 0这就是质点的动力学方程。

三、杆的动力学方程杆的运动可以由转动惯量和力矩平衡来描述。

假设杆的质量为M，长度为l，转动惯量为I，杆绕其一端的转动中心转动，可以得到杆的动力学方程：I * d^2θ / dt^2 = -Mgl * sinθ其中θ表示杆的角度。

四、控制方法倒立摆的控制方法可以分为开环和闭环控制。

开环控制是通过输入外部力或力矩来控制摆的位置或角度，而闭环控制是通过测量摆的位置或角度，并根据目标位置或角度来调整输入力或力矩。

闭环控制往往使用PID控制器。

PID控制器是一种经典的控制器，可以根据目标位置与当前位置之间的差异来调整输入力或力矩，从而实现对倒立摆的控制。

五、应用领域倒立摆的研究在控制系统领域具有广泛的应用。

例如，在工业自动化中，倒立摆可以用来模拟和控制各种平衡问题。

此外，倒立摆还可以用于教育和科普领域，帮助人们更好地理解动力学和控制原理。

六、结论倒立摆的动力学模型是控制系统领域中一个重要的研究对象。

通过建立质点与杆之间的力学关系，可以得到质点和杆的动力学方程。

直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模

直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模首先，我们需要定义系统的坐标和状态变量。

在这个问题中，我们可以选择将质点的位置和角度作为系统的状态。

令x表示质点的水平位置，θ表示摆杆与竖直方向的夹角。

其次，我们需要确定系统的动力学方程。

根据牛顿第二定律和欧拉定理，可以得到如下的动力学方程：m * x'' = -m * g * sin(θ) - c * x';I * θ'' = m * g * cos(θ) * L - J * θ'其中，m是质点的质量，g是重力加速度，c是摩擦系数，L是摆杆的长度，I是质点关于摆杆固定点的转动惯量，J是摆杆的转动惯量。

最后，我们可以采用数值方法来求解这个动力学方程。

牛顿-欧拉方法是一种常用的数值方法，它基于一阶泰勒级数展开近似，并使用离散时间步长来进行数值计算。

具体步骤如下：1.将时间t离散化为n个时间步长Δt的序列：t_0,t_1,...,t_n。

2.初始化系统的状态变量：x(0),θ(0),x'(0),θ'(0)。

3.对于每个时间步长i，计算状态变量的更新：a. 计算加速度：x''(i) = (1/m) * (-m * g * sin(θ(i)) - c * x'(i))θ''(i) = (1/I) * (m * g * cos(θ(i)) * L - J * θ'(i))b.使用泰勒级数展开逼近位置和速度：x(i+1)=x(i)+Δt*x'(i)+0.5*Δt^2*x''(i)θ(i+1)=θ(i)+Δt*θ'(i)+0.5*Δt^2*θ''(i)c.使用泰勒级数展开逼近速度和加速度：x'(i+1)=x'(i)+Δt*x''(i)θ'(i+1)=θ'(i)+Δt*θ''(i)d.根据实际情况对状态进行调整，如质点位置不能超过摆杆范围等。

(完整版)倒立摆建模

1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中：M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为（2）摆杆重心的运动方程为得（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩&&&&&& sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-&&2222(sin ) (2)(cos ).........(3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ&⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 2.2 模型建立及封装1、建立以下模型：图2 模型验证原理图2、由状态方程可求得：Fcn:(4/3*u[1]+4/3*m*l*sin(u[3])*power(u[2],2)-10*m*sin(u[3])*cos(u[3] ))/(4/3*(1+m)-m*power(cos(u[3]),2))Fcn1:(cos(u[3])*u[1]+m*l*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-10*(1+m)*s in(u[3]))/(m*l*power(cos(u[3]),2)-4/3*l*(1+m))Fun2:(4*u[1]-30*m*u[3])/(4+m)Fun3:(u[1]-10*(1+m)*u[3])/(m*l-4/3*l*(1+m))（其中J =mL^2/3，小车质量M=1kg，倒摆振子质量m=1Kg，倒摆长度l=1m，重力加速度g=10m/s^2）将以上表达式导入函数。

附-倒立摆简介与模型

倒立(dàolì)摆简介倒立(dàolì)摆系统是理想的自动控制(zìdònɡkònɡzhì)教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。

许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。

倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转(xuánzhuǎn)运动平台，也可以是两维运动平台。

通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。

倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法(suàn fǎ)，加深对所学课程的理解。

由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。

同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。

因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。

直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。

除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。

由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。

一. 系统(xìtǒng)组成及参数：倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成(gòuchéng)。

一阶倒立摆系统模型分析、状态反馈与观测器设计 ppt课件

T
•
21.4174 28.3480 计算 A GC 6.3224 122.1830
1 3.9281 0 0 78.5615 0 0 27.9079 1 0 152.8225 0.6747
ppt课件
21
• 带状态观测器的状态反馈系统为
• 比较 p(s) a s • 可求得
0.6747 5.9747k 4 k 2 24.2 58.6118 5.9747k 0.6747k k 193 3 2 1 0.6747k1 58.6118k 2 600 - 58.6118k1 900
ppt课件 17
• 解得 k1 15.3551 , k2 10.4136 , k3 45.8588 , k4 5.6804 • 则反馈增益阵为
K -15.3551-10.4136 45.8588 5.6804
• 状态反馈通过调整K能任意配置闭环系统的极点，有效地改善系统的性能。同时，系统解耦、镇定、渐近跟踪以及最优控制等都离不开状态反馈。但状态反馈的前提条件是必须得到系统内部的各个状态变量，而系统的状态变量往往比较难获取，甚至是无法测量，因此需要设计状态观测器来重构系统的状态。
一阶倒立摆系统模型分析、状态反馈与观测器设计
ppt课件
1
1.建立一级倒立摆数学模型
•
图1过程中忽略了空气阻力和弹性形变等。
ppt课件 2
• 首先对摆杆进行受力分析，如图2所示。其中H表示摆杆受到的水平方向力，N表示摆杆所受的竖直方向的力，摆杆所受的旋转摩擦力矩用 c 表示，则得到摆杆平面运动微分方程。
• 可知系统完全能观，满足全维观测器极点配置条件。

倒立摆控制方法

倒立摆控制方法倒立摆是一种经典的控制系统问题，它是指一个竖直放置的杆子上面安装了一个质量集中在一点上的小球，通过控制杆子底部的电机或者其他形式的能源输入来控制小球在杆子上面做周期性运动。

倒立摆广泛应用于机器人、汽车、飞行器等领域，其控制方法也是研究自适应控制、非线性控制等领域的重要课题。

本文将介绍倒立摆的基本模型和常见的控制方法。

一、倒立摆模型1.单自由度倒立摆模型单自由度倒立摆模型是指小球只能在竖直方向上运动，并且可以忽略小球与杆子之间的滑动摩擦力和空气阻力。

这种模型可以用如下图所示的简单结构来表示：其中，m为小球质量，l为杆长，g为重力加速度，θ为小球相对竖直方向偏离角度。

2.多自由度倒立摆模型多自由度倒立摆模型是指考虑了小球与杆子之间滑动摩擦力和空气阻力等因素，可以用如下图所示的结构来表示：其中，x为小球与竖直方向的位移，θ为小球相对竖直方向偏离角度，u为输入控制量。

二、常见的倒立摆控制方法1.线性控制方法线性控制方法是指利用线性系统理论来设计控制器，使得系统能够稳定运行。

常见的线性控制方法包括PID控制器、LQR控制器等。

（1）PID控制器PID控制器是一种经典的线性反馈控制器，其输出信号由比例、积分和微分三个部分组成。

对于单自由度倒立摆模型，其PID控制器可以表示为：其中，Kp、Ki和Kd分别表示比例、积分和微分增益系数。

（2）LQR控制器LQR（Linear Quadratic Regulator）是一种基于最优化理论的线性反馈控制方法。

对于单自由度倒立摆模型，其LQR控制器可以表示为：其中，Q和R分别为状态权重矩阵和输入权重矩阵。

2.非线性控制方法非线性控制方法是指利用非线性系统理论来设计控制器，使得系统能够稳定运行。

常见的非线性控制方法包括滑模控制、自适应控制等。

（1）滑模控制滑模控制是一种基于变结构控制理论的非线性反馈控制方法，其主要思想是通过引入一个滑动面来实现系统稳定。

对于单自由度倒立摆模型，其滑模控制器可以表示为：其中，s为滑动面，sgn为符号函数。

倒立摆的数学模型

倒立摆的数学模型质量为m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。

由经验知：通过控制施加在小车上的力F （包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。

在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型。

倒立摆模型如图所示。

小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。

电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。

导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。

轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。

以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为输入X=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x'x 'θθ Y=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x 由线性化后运动方程组得x1’=θ’=x2 x2’=''θ=()Ml g m M +x1-Ml1 F X3’ =x ’=x4 x4’=x ’’=-M mg x1+M1 F 故空间状态方程如下： X ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1x x x x =()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+00010000000010Mm gMl g m M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M Ml 1010 FY= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡01000001 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + 0⨯F 其中，M=1 kg ，m=0.1kg ，l=.1m ，g=10m/s 。

由倒立摆系统数学模型，倒立摆系统是一个具有两输出变量的不稳定系统，按照传统模糊控制设计方法，一个两输入的模糊控制器不可能实现对输出变量摆角和小车位移的控制，得需要一个四输入的模糊控制器。

倒立摆的s函数建模及仿真

倒立摆的s函数建模及仿真倒立摆是一类普遍存在于现实生活中的控制工程问题，也是机器人控制领域中的典型问题。

为了探究倒立摆的控制方法，需要进行建模和仿真研究。

本文将介绍如何对倒立摆进行s函数建模，并进行仿真研究。

一、倒立摆的建模1. 系统假设倒立摆系统假设为：（1）摆杆质量可以忽略，只考虑质点的重量；（2）摆杆的摩擦系数可以忽略；（3）摆杆的惯性可以忽略。

2. 系统模型假设摆杆长度为L，质点质量为m，摆杆与竖直方向成θ角度，摩擦系数为f，则可得到如下系统模型：mx”=mgLsinθ-fx’+uθ’=x其中，x表示质点距离垂直方向的距离，u是外部输入信号，可用来控制系统。

3. s函数模型根据系统模型，可以进行s函数建模。

将其转化为状态空间的形式，得到如下s函数模型：function [sys,x0,str,ts] = pendulum(t,x,u,flag)switch flag% Initializationcase 0sys = [0 0 1 2 0 1];x0 = [0; 0];str = [];ts = [];% Derivativescase 1sys = [x(2); (u(1)*cos(x(1))-9.8*sin(x(1)))/0.5];% Outputscase 3sys = [x(1)];% Unhandled flagscase {2, 4, 9}sys = [];otherwiseerror(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);end二、倒立摆的仿真倒立摆的仿真可以使用Matlab软件进行实现。

下面介绍具体的仿真过程：1. 创建仿真模型打开Matlab软件，选择“Simulink”工具栏，创建一个新的模型文件。

2. 添加控制器在模型中添加一个控制器，用于产生外部输入信号u。

具体可选择Proportional Integral Derivative(PI D)控制器或者其他控制器。

(完整版)倒立摆建模

倒立摆拉格朗日建模方法(一)

倒立摆拉格朗日建模方法(一)倒立摆拉格朗日建模介绍倒立摆是一种经典的控制系统问题，它常用于教育和研究领域。

拉格朗日建模是一种用来描述力学系统动力学的数学方法。

本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法，包括各种方法的详细说明。

方法一：拉格朗日方程1.第一步：定义坐标系。

倒立摆通常使用极坐标系，其中θ表示摆杆的角度。

2.第二步：确定系统的势能能量。

根据重力势能的定义，势能能量可以表示为mgL(1 - cosθ)，其中m是摆杆的质量，g是重力加速度，L是摆杆的长度。

3.第三步：确定动能能量。

动能能量可以表示为2θ2，其中L是摆杆的长度。

4.第四步：应用拉格朗日方程。

拉格朗日方程可以表示为d/dt(∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ = ∂V/∂θ，其中T是系统的总动能，V 是系统的总势能。

通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程。

方法二：线性化方法1.第一步：使用欧拉-拉格朗日方程。

欧拉-拉格朗日方程可以表示为∑(∂L/∂qi)d q̇i = q之力 - q之耗散，其中L是拉格朗日函数，qi是系统的广义坐标，q i̇是广义速度。

2.第二步：线性化倒立摆方程。

在小角度下，可以通过将sinθ近似为θ，将cosθ近似为1来线性化倒立摆方程。

3.第三步：线性化的拉格朗日方程可以简化为M q̇ = τ - C q̇ -Gq，其中M是质量矩阵，q̇是广义加速度，τ是外部输入力矩，C是速度相关的阻尼矩阵，G是重力矩阵。

方法三：控制方法1.第一步：设计控制器。

倒立摆系统可以用PID控制器来控制。

PID控制器包括比例部分、积分部分和微分部分，可以通过调整各个部分的参数来实现系统的稳定控制。

2.第二步：实施控制。

将PID控制器的输出作为输入力矩τ，通过不断调整输入力矩来控制倒立摆的角度。

3.第三步：闭环控制。

通过实施闭环控制，将实际角度与目标角度进行比较，并根据误差调整控制器的输出，以实现系统的精确控制。

方法四：倒立摆模拟1.第一步：选择合适的模拟软件。

倒立摆建模

倒立摆建模样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统，单节倒立摆系统的控制模型是目前国内外广泛采用的模型是研究各种控制算法的基础。

该系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，倒立摆，本体和光电码盘等几部分组成了一个闭环系统。

如图所示：光电码盘1将小车的位移速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置，速度信号由光电码盘2也反馈回运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动，移动速度，加速度等。

）并实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机带动小车,保持平衡。

1.结构参数倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。

这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图3所示平面内运动。

控制力F 作用于小车上。

摆杆长度为l ，质量为m ，小车的质量为M ，小车瞬时位移为x ，摆杆瞬时位置为（x+2L*sin φ），在外力的作用下，系统产生运动。

假设摆杆的重心位于其几何中心。

设输入为作用力F ，输出为摆角φ。

2.系统的运动方程控制要求：在摆受到外力F 时，调节小车的位置x ，保持摆杆平衡。

计运伺伺服摆光电码光电码图2 系统结构组成原理图3 小车受力分析图图4 一级摆受力分析图应用牛顿力学可推导出该倒立摆系统的运动学方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=--+=-=+θI Nlcos θPlsin θcos θθml sin θθml mg P sin θθml cos θθml x m N x b F N x M 2 注意:此方程中力矩的方向,由于ϕπθ+=,ϕθcos cos -=,ϕθsin sin -=,故等式前有负号. 约去P 和N,得到方程:F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos )(2(1)θθcos sin )(xml mgl x m M -=++ (2)3. 线性化设ϕπθ+=假设ϕ与1(单位是弧度) 相比很小，即ϕ远远小于1,则可以进行近似处理,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θϕθθ设u 代表被控对象的输入力F ,方程(1) 和方程（2）经过线性化后⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I ϕϕϕ)()(2(3)其中 231ml I =因此倒立摆的状态方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=+-++-=F m M m M mg x F m M l m M l m M g 4443)4(3)4()(3θθθ4. 单节倒立摆传递函数的推导对式(3) 进行拉氏变换,得到:⎩⎨⎧=-++=-+)()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I ϕϕϕ (4) 初始条件为0 时,由于输出角度为φ,求解方程组的第一个方程,可以得到)()()(22s s g mlml I s X ϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=把上式代入到(4)中的第二个方程中,得到:)()()()()()()(22222s U s s ml s s s g mlml I b s s s g ml ml I m M =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ϕϕϕ整理后得到:den num qbmgl s q mgl m M s q ml I b s sqml s U s =-+-++=)()()()(223ϕ其中])())([(22ml mlI m M q -++=5. 状态空间方程的推导系统的状态方程：⎩⎨⎧+=+=Du CX y Bu AX X其中: A 为状态矩阵。

倒立摆的数学模型

倒立摆的数学模型质量为m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。

由经验知：通过控制施加在小车上的力F （包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。

在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型。

倒立摆模型如图所示。

小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。

电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。

导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。

轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。

倒立摆模型

直线一级倒立摆数学模型建立及线性化处理直线一级倒立摆系统的组成本系统由水平移动的小台车及由其支撑的单节倒立摆构成。

控制输入量是拖动小台车的直流伺服电机的驱动力，被控制量是摆的偏角和小台车的位移。

系统的构成示意如图1所示。

图1系统示意图应用牛顿力学方法建立系统的数学模型在以上假设的前提下，来分析系统的运动情况。

采用隔离的办法，首先分析倒立摆系统的受力情况。

一、小台车的受力分析设小台车的质量为[]M kg ，[]f N 为由电机提供的x 方向的驱动力，[]w f N 为系统的外部干扰作用力，2[]kg m ξ⋅为小车和轨道的摩擦系数，[/]K Nm s 为电动机动特性影响因数，则根据小车水平方向所受的合力，可得如下方程： ()()w F Mx f f f K x ξ=+--+ （1）其中[]F f N 表示摆的水平运动对台车的作用力，其方向与驱动力[]f N 的方向相反。

二、摆杆的受力分析以小台车与摆的节点为坐标原点，取坐标系如图1。

那么，摆的运动由水平方向，铅直方向以及旋转方向的运动来构成。

记摆的质心距节点的距离为[]L m , 摆的质量为[]m kg ，摆的偏移角为ϕ，那么摆的质心沿各个运动方向的位移分别为：● 水平方向 sin []x L m ϕ+● 铅直方向 cos []L m ϕ● 旋转方向 []rad ϕ且各个方向的运动方程可以表示为：22[sin ]H d f m x L dtϕ=+ （2） 22[cos ]V d f mg m L dtϕ-= （3） sin cos V H J Lf Lf ϕηϕϕϕ+=- （4）其中[]H f N 和[]V f N 分别表示作用在节点上的沿水平方向和铅直方向的反作用力。

记转动惯量为2/3J mL =，摩擦系数为η，则由(2)和(3) 求得[]H f N 和[]V f N ，并代入(4)，得2()cos sin J mL mL x mLg ϕϕηϕϕ++=-+ （5）由于摆的水平方向的推力F f 等于摆的水平运动作用在台车上的阻力H f , 即F H f f = （6）将（2）式中的H f 代入（1）式，得到小台车的运动方程为：2()()(cos )(sin )()w M m x K x mL mL f f ξϕϕϕϕ++++-=+ （7）由（5）式和（7）式可得出倒立摆系统的数学模型为如下方程组：22()()(cos )(sin )()()cos sin w M m x K x mL mL f f J mL mL x mLg ξϕϕϕϕϕϕηϕϕ⎧++++-=+⎪⎨++=-+⎪⎩ （8）直线一级倒立摆系统的结构参数台车的质量(M ) 0.445[kg ]摆的质量(m)0.210[kg]重力加速度(g) 9.8[2m s]/质心距节点的距离(L) 0.305[m]台车与轨道的摩擦系数（ξ） 0.925 2⋅[]kg m摆节点处的摩擦系数（η） 0.06[//]N rad s 电动机动特性影响因数（K） 7.877[/]Nm s。

倒立摆机器人系统的数学模型描述

倒立摆机器人的模型倒立摆动力学模型示意图如图1.1所示。

图1.1倒立摆动力学模型示意图表1.1 参数说明参数名称参数定义1l 主动臂的长度1c l主动臂相对于连接点到质心的距离2c l 欠驱动臂相对于连接点到质心的距离1q主动臂相对于坐标轴的角度2q 欠驱动臂相对于主动臂的角度1I 主动臂相对于质心转动惯量2I 欠驱动臂相对于质心转动惯量1m 主动臂质量2m 欠驱动臂质量g重力加速度拉格朗日动力学方程拉格朗日方程以广义坐标为自变量，通过拉格朗日函数来表示。

拉格朗日体系分析力学处理问题时以整个力学系统作为对象，用广义坐标来描述整个力学系统，着眼于能量概念。

对于机械系统，其拉格朗日函数都可以定义成该系统动能k E 和势能p E 之差，即：k pL E E =-(1.1)系统的动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示。

系统的动力学方程（第二类拉格朗日方程）为：d L Ldt qq τ∂∂=-∂∂ (1.2)由于势能不含速度项，因此动力学方程也可以写成：pk k E E E d dt q q qτ∂∂∂=-+∂∂∂ (1.3)由此可见，对于Pendubot 系统，其拉格朗日运动方程则为：()()()1,,[ 0]()()()1,2T i i i d K q q K q q P q dt q q qi τ∂∂∂-+=∂∂=∂(1.4)其中，(),K q q为Pendubot 系统的动能之和，()P q 为Pendubot 系统的势能总和。

摆臂受到的力矩为τ，只有摆臂与电机相连接的主动关节受力，而另一个关节是欠驱动的。

由于两杆均为刚体，所以摆臂的动能与势能可根据每一根杆的总质量与相对于重心的惯量来唯一确定。

欠驱动机械臂动力学模型根据式(1.4)，分析Pendubot 摆臂的动能和势能。

计算平移动能的一般表达式为22mv K =。

由上图可知，系统两个摆臂的角速度可以表示为：11212ωωqq q ==+ ， (1.5)对于系统的主动臂，其平移动能可以直接描述成以下形式：22111112c K m l q =(1.6)由于系统的势能大小与机械臂的质心位置有关系，这里可以用y 坐标来表示摆臂的其位置高度，于是势能可以直接描述为：1111 sin()c P m l g q =(1.7)对于系统的欠驱动臂，要先得到其质心位置的笛卡儿坐标表达式，然后通过微分处理得到关节角速度。