倒立摆建模

系统建模系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模.实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器的检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统输入---输出关系.这里包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容.机理建模就是在了解研究对象在运动规律基础上,通过物理,化学的知识和数学手段建立起的系统内部的输入输出状态关系.系统的建模原则：1) 建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。

2) 按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式；3) 根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。

小车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。

只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。

事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。

本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。

小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制.在忽略空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车忽然均匀质杆组成的系统,如下图所示:图中F是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，φ是摆的倾斜角。

若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。

即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。

M 小车的质量 0.5Kgm 摆杆的质量 0.2KgB 小车的摩擦力 0.1N/m/secL 摆杆转动轴心到杆之质心的长度 0.3mI 摆杆惯量 0.006kg×m2T 采样频率 0.005secF 加在小车上的力X 小车位置θ摆杆与垂直方向向下的夹角φ摆杆与垂直方向向上的夹角倒立摆系统最终的控制目的是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统，单节倒立摆系统的控制模型是目前国内外广泛采用的模型是研究各种控制算法的基础。

该系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，倒立摆，本体和光电码盘等几部分组成了一个闭环系统。

如图所示：光电码盘1将小车的位移速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置，速度信号由光电码盘2也反馈回运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动，移动速度，加速度等。

）并实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机带动小车,保持平衡。

1.结构参数倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。

这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图3所示平面内运动。

控制力F作用于小车上。

摆杆长度为l，质量为m，小车的质量为M，小车瞬时位移为x，摆杆瞬时位置为（x+2L*sinφ），在外力的作用下，系统产生运动。

假设摆杆的重心位于其几何中心。

设输入为作用力F，输出为摆角φ。

2.系统的运动方程控制要求：在摆受到外力F时，调节小车的位置x，保持摆杆平衡。

图3 小车受力分析图 图4 一级摆受力分析图 应用牛顿力学可推导出该倒立摆系统的运动学方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=--+=-=+θI Nlcos θPlsin θcos θθml sin θθml mg P sin θθml cos θθml x m N x b F N x M 2注意:此方程中力矩的方向,由于ϕπθ+=,ϕθcos cos -=,ϕθsin sin -=,故等式前有负号.约去P 和N,得到方程:F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos )(2 (1) θθcos sin )(xml mgl x m M -=++ (2) 3. 线性化设ϕπθ+=假设ϕ与1(单位是弧度) 相比很小，即ϕ远远小于1,则可以进行近似处理0,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=dt d θϕθθ 设u 代表被控对象的输入力F ,方程(1) 和方程（2）经过线性化后⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I ϕϕϕ)()(2 (3) 其中 231ml I = 因此倒立摆的状态方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=+-++-=F m M m M mg x F m M l m M l m M g 4443)4(3)4()(3θθθ 4. 单节倒立摆传递函数的推导对式(3) 进行拉氏变换,得到:⎩⎨⎧=-++=-+)()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I ϕϕϕ (4) 初始条件为0 时,由于输出角度为φ,求解方程组的第一个方程,可以得到)()()(22s s g mlml I s X ϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+= 把上式代入到(4)中的第二个方程中,得到:)()()()()()()(22222s U s s ml s s s g mlml I b s s s g ml ml I m M =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ϕϕϕ 整理后得到:den num qbmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s =-+-++=)()()()(223ϕ 其中])())([(22ml ml I m M q -++= 5. 状态空间方程的推导系统的状态方程：⎩⎨⎧+=+=DuCX y Bu AX X其中: A 为状态矩阵。

B 为输入矩阵。

C 为输出矩阵。

D 为前馈矩阵。

方程组(3) 求解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==+++++++++-==u Mml m M I ml Mml m M I m M mgl x Mml m M I mbl u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x 2222222222)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕ 整理后,系统状态空间方程为u Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlb Mml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010ϕϕϕϕu x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001ϕϕϕ 由直线一级倒立摆的数学模型式可知, 被控对象是个单输入力(F) 、双输出(小车的位移, 摆杆的角度) 的对象。

6.系统稳定性分析一级倒立摆系统的特征方程为det{λI-A}=0，经过Matlab 计算得到系统开环特征根为：λ(A)=(0，5．5651，-0．1428，-5．6041)系统有一个极点在复平面的右半平面上，有一个极点在原点，因此系统是不稳定的。

由一级倒立摆系统线性状态方程得到：rank[B AB A 2B A 3B]=4rank[C CA CA 2 CA 3]=4所以一级倒立摆是能控且能观测的。

对于一级倒立摆状态方程，对A 矩阵进行奇异值分解，得到A 矩阵的奇异值阵： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==000001000001.100002996.31)(A svd W 定义：被控对象控制的难易程度，即系统状态矩阵最大奇异值的到数称为相对能控度。

A 矩阵的奇异值为W 对角线上的值，所以一级倒立摆的相对能控度，03195.02996.311==δ，δ越小系统的控制难度越高。

PID 控制考虑角度的PID 控制对于一级倒立摆，由前面式子及系统数据，得到数学模型如下：u x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5455.408182.1001818.314545.00100006727.21818.000010ϕϕϕϕ u x x y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕ 01000001 系统结构框图如图所示：图1 PID 控制框图图中KD(S)是控制器的传递函数，G(S)是一级倒立摆的传递函数。

考虑到r(s)=0，结构图可以变换成：图2 输入为0时系统框图该系统的输出为： )())(())(())(()())(())((1)()()(1)()(s f num numPID den denPID denPID num s f den denPID num numPID den nums f s G s KD s G s y +=+=+=其中，num —被控对象传递函数的分子项den 一被控对象传递函数的分母项numPID —PID 控制器传递函数的分子项denPID —PID 控制器传递函数的分母项被控对象的传递函数是：den num s qbmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s =-+-++=23242)()()()(φ 其中， ])())([(22ml ml I m M q -++=PID 控制器的传递函数为： denPIDnumPID s K s K s K s K K s K s KD I P D I P D =++=++=2)( 在工程实际当中，常采用工程整定法，它们是在理论基础上通过实践总结出来的。

这些方法通过并不复杂的经验便能迅速获得调节器的近似最佳整定参数，因而在工程中得到广泛应用。

具体步骤如下：(1)置调节器积分时间T i 到最大值，微分时间T d 为0，比例带置较大值，使系统投入运行。

(2)待系统运行稳定后，逐渐增大K p ，直到系统出现等幅震荡过程，记下此时的比例带并计算两个波峰间的时间T cr (临界震荡周期)。

利用δcr 和T cr ，的值，按照下面给出的经验公式计算：对于PID 调节器：8;2;67.11cr d cr i cr p T T T T K ===δ 得：K P =40 K I =1 K D =10系统响应曲线如图所示： control 为受控系统，nature 为自然状态：图3 PID 控制一级倒立摆相应曲线从上图中可以看出，进过PID 控制后，倒立摆在1.5达到稳定状态，系统超调量很小，而且没有稳态误差，该方法对单级倒立摆的控制可以很容易实现。