(完整版)倒立摆建模

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建模4(单级倒立摆系统建模,供参考)

②
J 1θ + f1θ1 = M 0 + M 21 + m1 gL1 sin θ1 1
③ ④
其中,M0为电机输出转矩， 0 = K m (u K eθ 1 ) M
M21为摆杆对旋臂的作用力矩，有：
M 21
图2单级旋转倒立摆的模型分析
d2 = m2 [ g + 2 ( R1 cos θ1 + L2 cos θ 2 )] R1 sin θ1 dt d2 m2 [ 2 ( R1 sin θ1 + L2 sin θ 2 )] R1 cos θ1 ] dt = m2 gR1 sin θ1 m2 R12θ m2 R1 L2θ 22 sin(θ1 θ 2 ) 1 m R L θ cos(θ θ )
单级旋转倒立摆系统结构
两个角度电位器分别安装在直流电动机的转轴处和摆杆关节处，可以测量旋臂与铅直线角度偏移量，摆杆与旋臂之间的相对角度偏移量。由两个角度电位器提供的电压信号分别定标后，作为旋转倒立摆的两个输出量,经过A/D转换,送入计算机, 由计算机按照一定的控制算法计算出数字量的控制信号，再经过D/A转换及功率放大器放大后去驱动直流力矩电动机，使单级旋转倒立摆在不稳定的平衡点处平衡。
Mlx4 ( M + m) gx3 + u (t ) = 0
小车倒立摆系统状态方程模型
于是4个一阶微分方程为：
x1 = x2 , x3 = x 4 , x2 = mg 1 x3 + u (t ) M M ( M + m) g 1 x4 = x3 u (t ) Ml Ml
0
系统状态方程为： X = AX + Bu (t )
x = [x1 x2 x3 x4 ] = y

(完整)倒立摆MATLAB建模

Matlab程序设计上交作业要求：1）纸质文档：设计分析报告一份（包括系统建模、系统分析、系统设计思路、程序及其执行结果）.2)Matlab程序：按班级统一上交后备查。

题目一：考虑如图所示的倒立摆系统.图中，倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题.图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量:m=0.1g摆杆的长度:2l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=10/s2摆杆惯量:I=0.003kgm2摆杆的质量在摆杆的中心.设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量％≤10%,调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0）。

要求：1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标—-能控性、能观性、稳定性3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点,这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。

题目二：根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象,按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。

题目一：考虑如图所示的倒立摆系统.图中,倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题.图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g摆杆的长度:2l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=10/s2摆杆惯量：I=0。

003kgm2摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量％≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置,并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求:1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标—-能控性、能观性、稳定性3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图.设计分析报告1 系统建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。

倒立摆建模

1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中：M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为（2）摆杆重心的运动方程为得（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lgsin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-式中J 为摆杆的转动惯量：32m l J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 2.2 模型建立及封装1、建立以下模型：图2 模型验证原理图2、由状态方程可求得：Fcn:(4/3*u[1]+4/3*m*l*sin(u[3])*power(u[2],2)-10*m*sin(u[3])*cos(u[3] ))/(4/3*(1+m)-m*power(cos(u[3]),2))Fcn1:(cos(u[3])*u[1]+m*l*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-10*(1+m)*s in(u[3]))/(m*l*power(cos(u[3]),2)-4/3*l*(1+m))Fun2:(4*u[1]-30*m*u[3])/(4+m)Fun3:(u[1]-10*(1+m)*u[3])/(m*l-4/3*l*(1+m))（其中J =mL^2/3，小车质量M=1kg，倒摆振子质量m=1Kg，倒摆长度l=1m，重力加速度g=10m/s^2）将以上表达式导入函数。

(完整)倒立摆实验报告

专业实验报告摆杆受力和力矩分析θmg VH θX V X H图2 摆杆系统摆杆水平方向受力为：H 摆杆竖直方向受力为：V 由摆杆力矩平衡得方程：cos sin Hl Vl I φφθθπφθφ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩（1）代入V 、H ，得到摆杆运动方程。

当0φ→时，cos 1θ=，sin φθ=-，线性化运动方程：2()I ml mgl mlx θθ+-=1.2 传递函数模型以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令，进行拉普拉斯变换得到传递函数：22()()mlG s ml I s mgl=+- （2）倒立摆系统参数值：M=1.096 % 小车质量，kg m=0.109 % 摆杆质量，kg0.1β= % 小车摩擦系数g=9.8 % 重力加速度，l=0.25 % 摆杆转动轴心到杆质心的长度，m I= 0.0034 % 摆杆转动惯量，以小车加速度为输入、摆杆角度为输出时，倒立摆系统的传递函数模型为：20.02725()0.01021250.26705G s s =- （3） 1.3 倒立摆系统状态空间模型以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出，选取状态变量：(,,,)x x x θθ= （4）由2()I ml mgl mlx θθ+-=得出状态空间模型001001000000001330044x x x x x g g lμθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（5） μθθθ'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001 xx x y （6）由倒立摆的参数计算出其状态空间模型表达式：（7）010000001000100029.403x x x x x μθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（8）00x μθθ⎤⎥⎡⎤⎥'+⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎥⎦作用）增大，系统响应快，对提高稳态精度有益，但过大易作用）对改善动态性能和抑制超调有利，但过强，即校正装Ax B Cx μ+= 1n x ⎥⎥⎥⎦，1n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1111n n nn a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 1n B b ⎥⎥⎥⎦，]n C c =。

倒立摆建模与控制

倒⽴摆建模与控制2倒⽴摆系统的模型建⽴2.1 倒⽴摆特性●⾮线性倒⽴摆是⼀个典型的⾮线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进⾏控制。

也可以利⽤⾮线性控制理论对其进⾏控制。

●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻⼒带来实际系统的不确定性。

实际控制中⼀般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧⼒减少⽪带或齿轮的传动误差，利⽤滚珠轴承减少摩擦阻⼒等不确定性因素。

●耦合性倒⽴摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒⽴摆的控制中⼀般都在平衡点附近进⾏解耦计算，忽略⼀些次要的耦合量。

●开环不稳定性倒⽴摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。

●约束限制由于机构的限制，如运动模块的⾏程限制，电机⼒矩限制等。

为了制造⽅便和降低成本，倒⽴摆的结构尺⼨和电机的功率尽量要求最⼩。

⾏程限制对倒⽴摆的摆起影响尤为突出，容易出现⼩车撞边现象[22]。

2.2 ⼀阶倒⽴摆数学模型倒⽴摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应⽤经典⼒学理论建⽴系统的动⼒学⽅程。

下⾯分别采⽤⽜顿⼒学⽅法和拉格朗⽇⽅法建⽴直线型⼀级，⼆级倒⽴摆系统的数学模型。

2.2.1 ⼀级倒⽴摆物理模型在忽略了空⽓阻⼒和各种摩擦之后，可将直线型⼀级倒⽴摆系统抽象成⼩车和匀质杆组成的系统，如图2.1所⽰：⽪带轮图2.1 单级倒⽴摆系统物理模型2.2.2 ⼀级倒⽴摆数学模型各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 ⼀级倒⽴摆参数表参数参数意义参数值 M ⼩车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b ⼩车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴⼼到杆质⼼的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到⼩车上的⼒ x⼩车位置φ摆杆与竖直向上⽅向的夹⾓通过对系统中⼩车和摆杆进⾏受⼒分析，分别可得到以下运动⽅程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-?--=----(2.3) 2.3 ⼆阶倒⽴摆数学模型2.3.1 ⼆级倒⽴摆物理模型如图2.3所⽰为直线型⼆级倒⽴摆物理模型⽪带轮图2.3⼆级倒⽴摆系统的物理模型倒⽴摆装置主要由沿导轨运动的⼩车和固定到⼩车上的两个摆体组成。

倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)

系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。

整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。

如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum deviceQuanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。

1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。

这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。

倒立摆拉格朗日建模方法

倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一种常见的动力学系统，具有广泛的应用。

倒立摆借助控制算法可以实现平衡控制，因此在工业机器人、机械臂、自行车等控制系统中具有重要的意义。

而拉格朗日建模方法是研究动力学系统的常用方法之一，下面将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法。

倒立摆的拉格朗日建模方法是基于拉格朗日动力学原理进行的。

拉格朗日原理主要包括两部分：拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程。

其中，拉格朗日第一方程是关于系统广义力的方程，而拉格朗日第二方程是关于系统的广义力的运动方程。

首先，我们需要确定倒立摆的广义坐标。

对于倒立摆来说，可以选择摆杆的倾斜角度和摆杆的角速度作为广义坐标。

假设摆杆的倾斜角度为θ，摆杆的角速度为ω，那么可以得到广义坐标集合{θ,ω}。

接下来，我们需要确定倒立摆的拉格朗日函数。

拉格朗日函数是广义坐标的函数，它描述了系统的动能和势能之间的关系。

倒立摆的拉格朗日函数可以表示为L=T-U，其中T表示系统的动能，U表示系统的势能。

同时，我们还需要确定系统的动能和势能。

对于倒立摆来说，系统的动能可以表示为T = 1/2 * m * l^2 * ω^2，其中m表示摆杆的质量，l表示摆杆的长度，ω表示摆杆的角速度。

系统的势能可以表示为U = m * g * l * (1 - cosθ)，其中g表示重力加速度，θ表示摆杆的倾斜角度。

通过上述步骤，我们可以得到倒立摆的拉格朗日函数为L = 1/2 * m * l^2 * ω^2 - m * g * l * (1 - cosθ)。

然后，我们可以使用拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程来得到倒立摆的运动方程。

拉格朗日第一方程可以表示为∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') =Q，其中q表示广义坐标集合，q'表示广义坐标的导数，∂表示偏导数，d/dt表示对时间的导数，Q表示系统的广义力。

拉格朗日第二方程可以表示为d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0。

倒立摆_精品文档

倒立摆1. 引言倒立摆（Inverted Pendulum）是一种经典的控制理论问题，它是指一个固定在支点上的杆子上方挂着一个质点，而质点受到重力的作用下，能够垂直于杆子方向做摆动的系统。

倒立摆在控制理论和机器人领域中具有重要意义，是研究控制策略和平衡控制的经典案例。

在本文中，我们将介绍倒立摆的基本原理、数学建模方法以及控制策略。

2. 基本原理倒立摆是一个多输入多输出系统，它受到外部输入（控制力）的作用下，通过控制杆子的倾斜角度，使质点能够保持在垂直方向上平衡。

倒立摆系统的基本原理可以用以下方程描述：ml^2θ'' + mgl sin(θ) = u - bθ'其中，m是质点的质量，l是杆子的长度，θ是杆子与垂直方向的夹角，u是施加在杆子上的控制力，b是阻尼系数，g是重力加速度。

3. 数学建模方法为了对倒立摆进行控制，我们需要对其进行数学建模。

首先，我们可以把倒立摆系统分解为两个自由度：质点在杆子上的位置和杆子的角度。

然后，我们可以利用拉格朗日方程进行建模。

对于质点在杆子上的位置，拉格朗日方程可以表示为：mx'' = N - mg - mθ'^2l sin(θ) - mlθ'' cos(θ)对于杆子的角度，拉格朗日方程可以表示为：ml^2θ'' = u - bθ'将以上两个方程联立，我们可以得到完整的倒立摆系统的数学模型。

4. 控制策略为了使倒立摆保持平衡，我们需要设计合适的控制策略。

常见的控制策略包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器等。

PID控制器是一种广泛应用的控制策略，它通过调节比例、积分和微分三项来实现控制。

在倒立摆系统中，PID控制器可以通过测量杆子的角度和角速度，来调整施加在杆子上的控制力。

模糊控制器是一种基于模糊逻辑的控制策略，它通过模糊化输入和输出以及定义一系列模糊规则来实现控制。

在倒立摆系统中，模糊控制器可以根据当前的角度和角速度来确定施加在杆子上的控制力。

倒立摆建模与控制终结报告(最终版)讲义

目录1 实验一：根轨迹方法控制实验 (2)1.1 根轨迹校正Simulink 软仿真 (2)1.2 根轨迹校正硬件在环实时仿真 (3)1.3 思考题 (4)2 实验二：频域响应方法控制实验 (6)2.1 频域响应校正Simulink 软仿真 (6)2.2 频域响应校正硬件在环实时仿真 (7)2.3 思考题 (9)3 实验三：极点配置方法控制实验 (12)3.1 极点配置Simulink 软仿真 (12)3.2 极点配置硬件在环实时仿真 (13)3.3 思考题 (16)4 实验四：摆杆的自动起摆 (16)4.1实现思路 (16)4.2 实验验证 (16)5 实验总结 (17)倒立摆建模与控制1 实验一：根轨迹方法控制实验倒立摆模型的开环传递函数为：26705.00159125.002725.0)(2-=s s G 设计的控制器的传递函数为： 20)1.4(106)(++=s s s Gc 1.1 根轨迹校正 Simulink 软仿真建立好倒立摆闭环控制系统的Simulink 模型如下所示图1.1 倒立摆根轨迹校正Simulink 软仿真模型在摆杆角度施加0.05 弧度信号，观察实验结果，对实验数据进行处理和分析，得到的阶跃响应曲线如下所示图1.2 软仿真施加0.05 弧度信号后的阶跃响应从图上可以得出稳态值09107.0=∞y ，峰值09257.0max =y ，超调量%65.1=σ 335.0=s t ，满足设计要求1.2 根轨迹校正硬件在环实时仿真将设计好的控制器的开环传递函数20)1.4(106)(++=s s s Gc 输入到控制器模块“Controller K(s)”中，得到的在环仿真模型如下所示：图1.3 倒立摆根轨迹方法控制系统硬件在环实时仿真模型系统稳定后，在摆杆角度施加0.05 弧度信号得到的阶跃响应曲线如下所示图1.4 在环仿真施加0.05 弧度信号后的阶跃响应实验时测得稳定值08901.0=∞y ，峰值09687.0max =y ，超调量%83.8=σ，调整时间53.0=s t ，基本满足符合要求。

倒立摆拉格朗日建模方法

倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一种经典的控制系统问题，用于研究平衡和控制的稳定性。

拉格朗日建模方法是描述运动系统的一种常用方法。

以下是关于倒立摆拉格朗日建模方法的10条详细描述：1. 倒立摆是由一根可以旋转的杆（摆杆）和一个可以在摆杆上移动的质点（摆点）组成。

我们的目标是使摆点在垂直位置保持平衡。

2. 拉格朗日建模方法利用拉格朗日方程来描述运动系统中的动能和势能之间的关系。

这个方法非常适用于复杂的系统，因为它能够自然地引入约束条件和非线性项。

3. 拉格朗日方程可以写成以下形式：L = T - V，其中 L 是拉格朗日函数，T 是系统的动能，V 是系统的势能。

4. 在倒立摆的拉格朗日建模中，我们需要首先确定系统的广义坐标。

对于倒立摆，一个广义坐标可以是摆杆的角度θ。

5. 然后，我们需要计算系统的动能和势能。

摆杆的动能可以写成 T_1 = (1/2) * m * L^2 * (dθ/dt)^2，其中 m 是摆杆的质量，L 是摆杆的长度，dθ/dt 是摆杆角度的导数。

6. 摆点的动能可以写成 T_2 = (1/2) * M * (dx/dt)^2，其中 M 是摆点的质量，dx/dt 是摆点在摆杆上移动的速度。

7. 摆杆的势能可以写成V_1 = (1/2) * m * g * L * cos(θ)，其中 g 是重力加速度。

8. 摆点的势能可以写成V_2 = M * g * x * cos(θ)，其中 x 是摆点在摆杆上的位置。

9. 将动能和势能代入拉格朗日方程中，我们可以得到系统的拉格朗日函数 L = T - V。

10. 我们可以使用拉格朗日方程描述系统的运动方程，例如：d/dt(∂L/∂(dθ/dt)) - ∂L/∂θ = 0 和 d/dt(∂L/∂(dx/dt)) - ∂L/∂x = 0。

通过求解这些方程，我们可以得到倒立摆系统的运动行为和稳定性分析的结果。

倒立摆的拉格朗日建模方法是一种用于描述运动系统的常用方法。

(完整版)倒立摆建模

1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中：M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为（2）摆杆重心的运动方程为得（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩&&&&&& sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-&&2222(sin ) (2)(cos ).........(3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ&⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 2.2 模型建立及封装1、建立以下模型：图2 模型验证原理图2、由状态方程可求得：Fcn:(4/3*u[1]+4/3*m*l*sin(u[3])*power(u[2],2)-10*m*sin(u[3])*cos(u[3] ))/(4/3*(1+m)-m*power(cos(u[3]),2))Fcn1:(cos(u[3])*u[1]+m*l*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-10*(1+m)*s in(u[3]))/(m*l*power(cos(u[3]),2)-4/3*l*(1+m))Fun2:(4*u[1]-30*m*u[3])/(4+m)Fun3:(u[1]-10*(1+m)*u[3])/(m*l-4/3*l*(1+m))（其中J =mL^2/3，小车质量M=1kg，倒摆振子质量m=1Kg，倒摆长度l=1m，重力加速度g=10m/s^2）将以上表达式导入函数。

倒立摆拉格朗日建模方法(一)

倒立摆拉格朗日建模方法(一)倒立摆拉格朗日建模介绍倒立摆是一种经典的控制系统问题，它常用于教育和研究领域。

拉格朗日建模是一种用来描述力学系统动力学的数学方法。

本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法，包括各种方法的详细说明。

方法一：拉格朗日方程1.第一步：定义坐标系。

倒立摆通常使用极坐标系，其中θ表示摆杆的角度。

2.第二步：确定系统的势能能量。

根据重力势能的定义，势能能量可以表示为mgL(1 - cosθ)，其中m是摆杆的质量，g是重力加速度，L是摆杆的长度。

3.第三步：确定动能能量。

动能能量可以表示为2θ2，其中L是摆杆的长度。

4.第四步：应用拉格朗日方程。

拉格朗日方程可以表示为d/dt(∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ = ∂V/∂θ，其中T是系统的总动能，V 是系统的总势能。

通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程。

方法二：线性化方法1.第一步：使用欧拉-拉格朗日方程。

欧拉-拉格朗日方程可以表示为∑(∂L/∂qi)d q̇i = q之力 - q之耗散，其中L是拉格朗日函数，qi是系统的广义坐标，q i̇是广义速度。

2.第二步：线性化倒立摆方程。

在小角度下，可以通过将sinθ近似为θ，将cosθ近似为1来线性化倒立摆方程。

3.第三步：线性化的拉格朗日方程可以简化为M q̇ = τ - C q̇ -Gq，其中M是质量矩阵，q̇是广义加速度，τ是外部输入力矩，C是速度相关的阻尼矩阵，G是重力矩阵。

方法三：控制方法1.第一步：设计控制器。

倒立摆系统可以用PID控制器来控制。

PID控制器包括比例部分、积分部分和微分部分，可以通过调整各个部分的参数来实现系统的稳定控制。

2.第二步：实施控制。

将PID控制器的输出作为输入力矩τ，通过不断调整输入力矩来控制倒立摆的角度。

3.第三步：闭环控制。

通过实施闭环控制，将实际角度与目标角度进行比较，并根据误差调整控制器的输出，以实现系统的精确控制。

方法四：倒立摆模拟1.第一步：选择合适的模拟软件。

倒立摆建模

倒立摆建模样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统，单节倒立摆系统的控制模型是目前国内外广泛采用的模型是研究各种控制算法的基础。

该系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，倒立摆，本体和光电码盘等几部分组成了一个闭环系统。

如图所示：光电码盘1将小车的位移速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置，速度信号由光电码盘2也反馈回运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动，移动速度，加速度等。

）并实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机带动小车,保持平衡。

1.结构参数倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。

这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图3所示平面内运动。

控制力F 作用于小车上。

摆杆长度为l ，质量为m ，小车的质量为M ，小车瞬时位移为x ，摆杆瞬时位置为（x+2L*sin φ），在外力的作用下，系统产生运动。

假设摆杆的重心位于其几何中心。

设输入为作用力F ，输出为摆角φ。

2.系统的运动方程控制要求：在摆受到外力F 时，调节小车的位置x ，保持摆杆平衡。

计运伺伺服摆光电码光电码图2 系统结构组成原理图3 小车受力分析图图4 一级摆受力分析图应用牛顿力学可推导出该倒立摆系统的运动学方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=--+=-=+θI Nlcos θPlsin θcos θθml sin θθml mg P sin θθml cos θθml x m N x b F N x M 2 注意:此方程中力矩的方向,由于ϕπθ+=,ϕθcos cos -=,ϕθsin sin -=,故等式前有负号. 约去P 和N,得到方程:F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos )(2(1)θθcos sin )(xml mgl x m M -=++ (2)3. 线性化设ϕπθ+=假设ϕ与1(单位是弧度) 相比很小，即ϕ远远小于1,则可以进行近似处理,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θϕθθ设u 代表被控对象的输入力F ,方程(1) 和方程（2）经过线性化后⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I ϕϕϕ)()(2(3)其中 231ml I =因此倒立摆的状态方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=+-++-=F m M m M mg x F m M l m M l m M g 4443)4(3)4()(3θθθ4. 单节倒立摆传递函数的推导对式(3) 进行拉氏变换,得到:⎩⎨⎧=-++=-+)()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I ϕϕϕ (4) 初始条件为0 时,由于输出角度为φ,求解方程组的第一个方程,可以得到)()()(22s s g mlml I s X ϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=把上式代入到(4)中的第二个方程中,得到:)()()()()()()(22222s U s s ml s s s g mlml I b s s s g ml ml I m M =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ϕϕϕ整理后得到:den num qbmgl s q mgl m M s q ml I b s sqml s U s =-+-++=)()()()(223ϕ其中])())([(22ml mlI m M q -++=5. 状态空间方程的推导系统的状态方程：⎩⎨⎧+=+=Du CX y Bu AX X其中: A 为状态矩阵。

(完整版)倒立摆实验报告(PID控制)

专业实验报告3. 实验装置直线单级倒立摆控制系统硬件结构框图如图1所示，包括计算机、I/O设备、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几大部分，组成了一个闭环系统。

图1 一级倒立摆实验硬件结构图对于倒立摆本体而言，可以根据光电码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到。

摆杆的角度由光电码盘检测并直接反馈到I/O设备，速度信号可以通过差分法得到。

计算机从I/O设备中实时读取数据，确定控制策略（实际上是电机的输出力矩），并发送给I/O设备，I/O设备产生相应的控制量，交与伺服驱动器处理，然后使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。

图2是一个典型的倒立摆装置。

铝制小车由6V的直流电机通过齿轮和齿条机构来驱动。

小车可以沿不锈钢导轨做往复运动。

小车位移通过一个额外的与电机齿轮啮合的齿轮测得。

小车上面通过轴关节安装一个摆杆，摆杆可以绕轴做旋转运动。

系统的参数可以改变以使用户能够研究运动特性变化的影响，同时结合系统详尽的参数说明和建模过程，我们能够方便地设计自己的控制系统。

图2 一级倒立摆实验装置图上面的倒立摆控制系统的主体包括摆杆、小车、便携支架、导轨、直流伺服电机等。

主图7 直线一级倒立摆PD控制仿真结果图从上图可以看出，系统在1.5秒后达到平衡，但是存在一定的稳态误差。

为消除稳态误差，我们增加积分参数Ki，令Kp=40，Ki=60，Kd=2，得到以下仿真结果：图8 直线一级倒立摆PID控制仿真结果图从上面仿真结果可以看出，系统可以较好的稳定，但由于积分因素的影响，稳定时间明显增大。

双击“Scope1”，得到小车的位置输出曲线为：图9 施加PID控制器后小车位置输出曲线图由于PID 控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，所以小车会往一个方向运动，PID控制分析中的最后一段，若是想控制电机的位置，使得倒立摆系统稳定在固定位置附近，那么还需要设计位置PID闭环。

(完整版)直线一级倒立摆建模

一、直线一级倒立摆建模根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。

虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:1) 非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。

也可以利用非线性控制理论对其进行控制。

倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。

2) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。

3) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。

4) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。

由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。

为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。

由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点:(1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度;(2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;(3)为保证倒立摆保持倒立的平衡态,要求控制系统响应速度足够快。

倒立摆系统地建模及Matlab仿真

倒立摆系统的建模及Matlab仿真1.系统的物理模型考虑如图(1)所示的倒立摆系统。

图中，倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g摆杆的长度：l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=9.8m/2s摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 ≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。

2.系统的数学模型2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。

为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。

设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有u l z dtd m dt z d M =++)sin (2222θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2&&&&&① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+&&&&&② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。

由于控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θθ2&项。

于是有u ml z m M =++θ&&&&)( ③ θθg l z =+&&&&④ 联立求解可得u Ml Ml m M u MM mg z 1)(1-+=+-=θθθ&&&&2.2列写系统的状态空间表达式。

倒立摆MATLAB建模

Matlab程序设计上交作业要求：1）纸质文档：设计分析报告一份（包括系统建模、系统分析、系统设计思路、程序及其执行结果）。

2）Matlab程序：按班级统一上交后备查。

题目一：考虑如图所示的倒立摆系统。

图中，倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g摆杆的长度：2l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=10/s2摆杆惯量：I=0.003kgm2摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求：1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。

题目二：根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象，按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。

题目一：考虑如图所示的倒立摆系统。

图中，倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g摆杆的长度：2l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=10/s2摆杆惯量：I=0.003kgm2摆杆的质量在摆杆的中心。