弹塑性力学应力
弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析
1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
单 向 拉 伸 时 轴 与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
弹性与塑性力学基础
哈工大（威海） 材料学院
第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
哈工大（威海） 材料学院
000弹塑性力学-应力理论
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
弹塑性力学 第3章弹性与塑性应力应变关系
3－5 塑性应力应变关系
在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应
变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，
以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论 是塑性力学中的基本理论。
A B
模型：
s
e E E s s e
O
线性强化弹
塑性模型：
A
B E1
s
E
O
s
e E E1 ( s ) s e
B
线性强化刚塑性
A
模型：
s
O
E s
或 其中
i s
i
3 2
0 3J 2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 Ws 12G
用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 用3个主应力差与3个主应变差表示
屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它
是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。 在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点（屈服应力点）连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面， 这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。
弹塑性力学名词解释
弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。
2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。
一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。
3.体积力：作用在物体每一点的外力。
比如每一点都有的重力。
4.面力：作用在物体表面的外力。
比如水给大坝表面的压力。
5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。
物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。
6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。
8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。
变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。
9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。
直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。
10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。
12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。
13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。
塑性力学-应力状态
几何关系
l m n 1
2 2 2
l,m,n不能同时为零 ，因此前式为包括三个未知量
应力强度 或广义剪应力
i
3 2
0
1
1 2 2
( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 3J 2 ( x y )2 ( y z )2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
2 2 2
0 为平均应力或静
水压力，只引起物 体体积的变化，i 或0只引起物体形 状的变化， 与应 力状态有关。
应力偏量分量、主应力用应力强度、 平均应力与应力状态状态角表示
应力偏量 主应力
s1+s2+s3 = 0
1+2+3 = 30
应力星圆
应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心，以
塑性力学
第1章 应力分析
1. 应力状态
2. 三维应力状态分析
3. 三维应力状态的主应力
4. 最大剪应力
5. 等倾面上的正应力和剪应力 6. 应力罗德参数与应力罗德角 7. 应力张量的分解 8. 平衡微分方程
1－1 应力状态
1. 外力
体力、面力
(1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
Q —— 体力分布集度 F lim （矢量） V 0 V F Xi Yj Zk
八面体上 的正应力 与剪应力
p 0 0
称为应力状态的特征角，cos 为应力形式指数 。
弹塑性力学 第02章应力状态理论
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
应力状态理论
体力和面力 应力和一点的应力状态 与坐标轴倾斜的微分面上的应力 平衡微分方程·应力边界条件 主应力·应力张量不变量 最大切应力 偏应力张量及其不变量
§2-1 体力和面力
作用于物体上的外力分为两类 ①体力：指分布在物体内所有质点上的力，如重 力、惯性力和电磁力等；用 Fbx , Fby , Fbz 表示单位 体积的体力；其量纲为 MT −2 L−2 ；其单位为 N m 3。 ②面力：指作用在物体表面上的力，如风力、液 体压力等；用 f sx , f sy , f sz 表示单位面积的面力；其 量纲为 MT L ；其单位为 N m 。
⎧σ x = −γy ⎨ ⎩τ xy = 0
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
AB边
l = 0， m = −1
f sx = 0， f sy = γh
⎧ ⎪σ y = −γh ⎨ = 0 τ ⎪ xy ⎩
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
弹塑性力学总复习
弹塑性⼒学总复习《弹塑性⼒学》课程第⼀篇基础理论部分第⼀章应⼒状态理论1.1 基本概念1．应⼒的概念应⼒：微分⾯上内⼒的分布集度。
从数学上看，应⼒sPF s ??=→?0lim ν由于微分⾯上的应⼒是⼀个⽮量，因此，它可以分解成微分⾯法线⽅向的正应⼒νσ和微分⾯上的剪应⼒ντ。
注意弹塑性⼒学中正应⼒和剪应⼒的正负号规定。
2．⼀点的应⼒状态（1）⼀点的应⼒状态概念凡提到应⼒，必须同时指明它是对物体内哪⼀点并过该点的哪⼀个微分⾯。
物体内同⼀点各微分⾯上的应⼒情况，称为该点的应⼒状态。
（2）应⼒张量物体内任⼀点不同微分⾯上的应⼒情况⼀般是不同的，这就产⽣了⼀个如何描绘⼀点的应⼒状态的问题。
应⼒张量概念的提出，就是为了解决这个问题。
在直⾓坐标系⾥，⼀点的应⼒张量可表⽰为=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知⼀点的应⼒张量，则过该点任意微分⾯ν上的应⼒⽮量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进⼀步求出该微分⾯上的总应⼒p 、正应⼒νσ和剪应⼒v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平⾯、主⽅向与主应⼒由⼀点的应⼒状态概念可知，通过物体内任⼀点都可能存在这样的微分⾯：在该微分⾯上，只有正应⼒，⽽剪应⼒为零。
这样的微分⾯即称为主平⾯，该⾯的法线⽅向即称为主⽅向，相应的正应⼒称为主应⼒。
主应⼒、主⽅向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应⼒张量分量构成的矩阵，n σ为主应⼒，}{i n 为主⽅向⽮量。
弹塑性力学应力应变关系
我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。
但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。
而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。
变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。
在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。
此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。
而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。
相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。
我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。
本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。
在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。
即，),,(T t f εσ=。
另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。
简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。
我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。
在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。
而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。
另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。
在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。
初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。
初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。
最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。
弹塑性力学——应力
x xy xz yx y yz z zx zy
• 张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
• 应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
y
应力分量的坐标变换
• 新旧坐标的夹角 ex
e ' x
ey
m1 m2
ez
n1 n2
l1 l2
ey '
ez'
l3
m3
n3
• e ' 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 x
Tx＝xl1+yxm1+zxn1 Ty＝xyl1+ym1+zyn1 Tz＝xzl1+yzm1+zn1
• 力矩平衡：绕z轴
(xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xy＝yx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx
静力学边界条件
n X A
xl+yxm+zxn＝ X
xyl+ym+zyn＝ Y ＝
xzl+yzm+zn
Z
z y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。
zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
xy x y y zy z Y 0
xz yz z Z 0 x y z
弹塑性力学应力分析
解之 将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
二. 最大和最小应力
3 z
3
设一点的主应力及其主方向已知，现以 三主方向取Oxyz坐标，如图所示 设任一斜截面N，其方向余弦为l1、l2、l3 2
则由斜截面正应力公式 及
1x
N
12
N
O
y2
1
主应力单元体
3
求极值
解之 同理，将
xxyy ( x 12))22 x2x2yy
xxyy ( y 12))22 x2x2yy
ll33((21) 0
设 为第一主方向与x轴的夹角
则由三角函数关系可得
例2-2 已知弹性体内部某点的 应力状态为
a 0 a
ij
0
a
0
a 0
a 0 a
求主应力和主方向。
解：不变量的计算
代入特征方程
C zx pz
yx
xy
xz
x
zy yz
N
pN y
设斜截面上全应力为：
O y
yz
x
zy
xz xy zx
yzp y
B
y
沿坐标的分量为：
px
A
z
x
简写为：
设四面体斜面的面积为：
则三个直面的面积为：
简写为：
考虑四面体微元的平衡
X 0 Y 0
pxdSN xdSx yxdSy zxdSz 0 pydSN xydSx ydSy zydSz 0
将 向外法线和斜面分解为 和 。
则
即
将Cauchy定理代入：
展开整理得：
弹塑性力学 应力和应变之间的关系
我所认识的应力和应变之间的关系在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。
在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。
对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。
所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。
这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。
各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。
2.体积应力与体积应变成比例。
3.应力强度与应变强度成比例。
4.应力偏量与应变偏量成比例。
工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。
在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()21E G μ=+。
屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。
习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。
对于加载过程如图1OA: 比例阶段；线性弹性阶段AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。
在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。
如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变eε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
2-弹塑性力学-应力分析
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
应力的坐标变换(例题讲解) 应力的坐标变换(例题讲解)*
实际应用:晶体取向, 实际应用:晶体取向,织构分析等
应力莫尔圆**: 应力莫尔圆 :
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画,如何分析(工程力学已学,看书) 掌握如何画,如何分析(工程力学已学,看书)
不计体力) (不计体力)
物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 对弹性变形和塑性变形均适用. 对弹性变形和塑性变形均适用.
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
推导原理:
– 静力平衡条件: 静力平衡条件: –
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
八面体应力的求解思路: 八面体应力的求解思路:
σij (i, j = x, y, z) →σ1,σ2 ,σ3 →σ8,τ8
↓→I1,I2 →↑
因为
2 2 τ8 = (I1 3I2 ) 3
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
等效应力( 2.6 等效应力(equivalent stress) )
通常规定: 通常规定:
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ3
τ max = σ1 σ 3
2
则有最大剪应力:
或者: 或者: 其中: 其中: 且有:
τ max = max{ 12 , τ 23 , τ31 } τ τ12 = ± σ1 σ 2
2 ,τ 23 = ±
σ 2 σ 3
2
,τ31 = ±
σ3 σ1
2
τ12 +τ 23 +τ31 = 0
弹塑性力学-1 应力分析
斜截面上的应力 分量计算公式
如果作用在物体表面上的外面载荷用Fx，Fy，Fz表 示，而斜面为边界面，此时上式中的Pvx,Pvy,Pvz都 换成Fx，Fy，Fz，则上式亦可作为应力边界条件。
2 2 2 pvy pvz 总应力 pv pvx
正应力 v lPvx mP vy nP vz l 2 x m2 y n2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx 剪应力 v pv2 v2
对于动力学问题，还要给出初始条件。
弹塑性力学的基本解法： 根据基本方程求解 精确解法 即能满足弹塑性力学中全部方程的解。 近似解法 即根据问题的性质，采用合理的简化假 设，从而获得近似结果。 有限元数值分析方法 它不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复 杂的物理关系都能算出正确的结果。
1-2 三维应力状态分析
z
pvz
斜截面的法线v与坐标轴 正向夹角余弦：
xy y yx xz yz zy zx pvx x z
x
pvy
cos(v, x) l , cos(v, y ) m, cos(v, z ) n
y
四面体平行于坐标轴的棱 边长度为dx，dy，dz 斜截面的面积为dS 静力平衡方程
3 基本方程与基本解法
弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学 和物理学三方面来进行研究。 几何学方面 建立位移和应变之间的关系。 几何方程，位移边界条件 运动学方面 建立物体的平衡条件。 运动（或平衡）微分方程，载荷的边界条件
以上两类方程与材料的力学性质无关，属于普适方程。
物理学方面 建立应力与应变之间的关系。 本构方程
正应力 p cos cos2 剪应力 p sin sin cos
弹塑性力学第三章 应力与应变讲解
式中：n和s分别为微分面的法线和切线方向的单位 矢量。全应力和应力分量之间有
n pn n
n pn s
pn2
2 n
(3.3)
研究具体问题时，总是在一个可以选定坐标系里进 行。对给定的直角坐标系，全应力还可以沿坐标系 方向进行分解。
p 的单位法向量，它与三个坐标轴之间的夹角余弦为 l1、l2、l3
则该主平面上的应力矢量 n 可表示为
pn n (3.14)
或
px py
l1 l2
(3.15)
pz
l3
式中： 表示主应力
将应力分量表达式(3.7)代入上式，经移项并整理后得
(
x
)l1
设给定的坐标系Oxyz下，某点M的应力张量为
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
现让该坐标系原点不动，坐标轴任意旋转一个角度而得 到新坐标系Ox’y’z’,新旧坐标关系如下表：
x
y
z
X’ l11 cos(x ', x) l12 cos(x ', y) l13 cos(x ', z)
要使主方向存在，也即要使方程组（3.17)或（3 .18)有 非零解，则其系数行列式必须为零。
x yx zx
xy y
zy
xz yz 0 z
(3.19a)
方程组(3.19)也可以写成
det ij ij 0
(3.19b)
式（3.19)展开后，得
对面）上有9个应力分量。这9个应力分量的整
有效应力原理的基本概念
有效应力原理的基本概念有效应力原理是弹塑性力学的基本原理之一，它用于描述材料中的应力状态和变形情况。
有效应力表示材料内的真正应力负荷，排除了由于材料中的孔隙、裂纹或微观缺陷引起的局部应力集中效应。
有效应力原理的主要目的是通过假设材料中的应力分布是均匀的，并将材料中各部分应力之间的关系表示为一个统一的应力张量。
有效应力原理的基本概念如下：1. 应力与变形关系：根据应力-应变曲线，可以将材料的力学行为划分为弹性和塑性阶段。
弹性阶段中，应力与应变成正比，且应力释放后材料恢复到初始状态。
而在塑性阶段，应力超过一定临界值时，材料开始发生可持续的形变，并且在去除外部应力后，材料只能恢复部分变形。
2. 应力状态：一个物体内的应力状态通常由一个代表应力的应力张量来描述。
在三维空间中，应力张量由九个应力分量组成，分别表示正应力和剪应力。
在有效应力原理中，这些应力分量被重新定义为有效应力分量，用于描述材料内部的真实应力状态。
3. Mohr-Coulomb准则：有效应力原理的基础是Mohr-Coulomb准则，它假设材料中的剪应力强度只与有效应力相关。
Mohr-Coulomb准则是一种经验公式，可以用于计算不同材料在不同应变速率和温度下的剪切强度。
4. 孔隙和裂纹对应力的影响：孔隙和裂纹是材料中最常见的缺陷，它们会引起应力集中，导致局部应力增大。
有效应力原理通过忽略这些缺陷的影响，将材料中的应力分布视为均匀的，从而简化了材料的力学分析。
5. 有效应力张量的计算：由于有效应力原理假设了均匀的应力分布，因此可以使用均匀应力分布的计算方法来计算有效应力张量。
常见的计算方法包括：平均应力法、应力不变量法和应变能密度法等。
总结来说，有效应力原理是一种简化材料力学分析的方法，它排除了缺陷对应力分布的影响，用一个统一的应力张量来描述材料内的应力状态。
在应用有效应力原理时，需要考虑材料的性质、受力情况和外部环境等因素，并结合真实的力学实验数据来计算有效应力张量，用于工程结构的设计与分析。
李同林 弹塑性力学 第2章 应力理论 应变理论
yx l1 ( y n )l 2 yz l 3 0 zx l1 zy l 2 ( z n )l 3 0
( x n )l1 xy l 2 xz l 3 0
（2—12）
ij ij n l j 0
ij ij lii l jj
（2—10）
3、平面应力状态
◆
注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。
x x cos2 y sin 2 2 xy sin cos
2 2 n Px2 Py2 Pz2 n
2 2 ( 1l1 ) 2 ( 2l2 ) 2 ( 3l3 ) 2 ( 1l12 2l2 3l3 )
( )l ( )l ( 1 3 )l ( 2 3 )l 3
xy y zy
xz yz 或 z
x xy xz ij yx y yz （2—3） zx zy z
据剪应力互等定理 一个对称的二阶张量。
ij ji (i j) ,应力张量应是
z′
2 2 2 x x l11 y l12 z l13 2 xy l11l12 2 yz l12 l13 2 zx l13 l11 2 2 2 y x l 21 y l 22 z l 23 2 xy l 21l 22 2 yz l 22 l 23 2 zx l 23 l 21 2 2 2 z x l31 y l32 z l33 2 xy l31l32 2 yz l32 l33 2 zx l33 l31
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dx、 xy
xy x
dx、 xz
xz x
dx
• 由x方向的平衡
x
x x
dx dydz
x dydz
yx
yx y
dy dxdz
yx dxdz
zx
zx z
dz dxdy
zx dxdy
Xdxdydz
0
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
以上9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的分量
x
xy
xz
yx y yz
zx
zy
z
• 张量表示
用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13
ij 21
22
2
3
31 32 33
• 应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
zx
zy
z
l1 m1 n1
[] l2 m2
n2
l3 m3 n3
x
'
x'y'
x
'
z
'
• []＝ y'x' y' y'z'
z'x'
z' y'
z'
＝[] [] []T
• 在主平面上
主应力
T( n)＝ n 或 Tx＝ l Ty＝ m Tz＝ n (x)l+yxm+zxn＝0 xy l+(y)m+zyn＝0 xzl+yzm+(z)n＝0
• 求解方法 （1）解析求解 （2）数值求解法： 差分方法、有限元方法和加权残数法等。
弹性力学基本假定
• 连续性 • 完全弹性
• 线弹性、小变形 • 均匀性 • 各向同性
• 定义
应力矢量
T(n) = lim F s0 S
C
n S
z
P F
A y
x
• 坐标分量
T(n) = Txex+Ty ey +Tzez ex，ey和ez表示坐标轴的单位基矢量， Tx、Ty 和Tz是应力矢量沿坐标轴分量。 • 法线方向和切线方向分量 沿法线方向的应力分量称为正应力， 沿切线方向的应力分量称为剪应力。
性质：
• 同一点的T(n)与所取截面的法线方向n有关， 所有这些不同截面上的应力矢量构成该点的应力状态 只有三个面上的应力矢量是独立的；
• 外法线为n微面上的应力矢量为： T(n)= T(n)
应力张量
• 微六面体
xy
x
xz y
zy z
三个坐标面上的应力矢量 T(ex)＝xex+xyey+xzez T(ey)＝yxex+yey+yzez T(ez)＝zxex+zyey+zez
x
0
0 0
y
• 偏应力张量sij的主值
s3+J2 s+J3=0
J1 =skk = sx+sy+sz=0
J2
=sijsij=
1
[(xy)2+(yz)2+(xz)2+6(
2 xy
2 yz
2 zx
)]
6
x - 0 xy
xz
J3 sij yx
y - 0
yz
zx
zy
z 0
2 s1
J 2 cos 3 3
2 s2
J 2 cos 3 3
3
cos3 3 J 3 3 2 J2
2 s3
J 2 cos 3
• 与应力张量主值关系 s1 = 10 s2 = 20 s3 = 30
2 1
J2 3
cos
3
0
2 2
J2 3
cos
3
0
2 3
J 2 cos 0
3
两者方向相同
3
2
2
2 n
1 3 2
• 最大剪应力
规定123
2
max
1
3 2
• 所在平面
1
与2平行而与1和3的角度分别为450
3 1 2
3
Mohr应力图
• 每个截面上有正应力和剪应力，建立平面坐标系 — 截面上的应力对应坐标系的一个点
• 截面上的正应力和剪应力 2n 2n T 2 ＝(l1)2+( m2)2+( n3)2
1 1 1 0 22
1 (4) 1 2
2
2
2
T2
n112
n222
n332
1 2
0
1 2
3
1 0 3
2
2
T3
n113
n223
n333
1 2
(4)
1 2
0
1 5 2 5 2
2
2
N
T1n1
T2n2
T3n3
1 (1 22
2
2) 1 3 2 2
1 2
2
5
2 2
7 2
Z
z
y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。
解：在x=0上，l= 1，m =0，
1x
(x )x=0X (1y) +(Yyx)x=000 = y
(xy)x=0 (1) +(y)x=00 = 0
(x)x=0= y (xy)x=0
在斜边上 l= cos，m = sin
T 2 = (l1)2+( m2)2+( n3)2 • 斜截面上的剪应力是
2 n
=
(l1)2+(
m2)2+(
n3)2－(l21+
m22
+
n23)2
＝l2m2(1－2)2+ m2n2 (2－3)2 + n2l2(3－1)2
当斜截面方向l、m、n变化时，剪应力n随之变化。
求上式的极值可得最大剪应力
• 约束条件
zx
zy
z
• 主应力性质
（1）主平面相互垂直
（2）极值性
最大剪应力
• 在法线为n的斜截面上，应力矢量为 T( n)＝T(e1)l+T(e2)m+T(e3)n＝l1e1 + m2e2 + n3e3
x3
1 n
n
2
e3
e1
n e2
T(n) x2
3 x1
• 斜截面上的正应力
n = T( n)•n=l21+ m22 + n23 • 应力矢量的模为
0ij
0
0
0 0
0
0
0
x - 0
sij
yx
zx
ij = sij + 0ij
其中ij是Kronecker符号，定义为
ij = 1，当i＝j
ij = 0，当i≠j，
xy y - 0
zy
xz yzFra bibliotekz0
• 关于静水压力状态
z
任意一个面都是主平面 主应力值均相等 在应力圆上是一个点 静水压力张量是各向同性张量
• 将斜面应力矢量T( n)沿坐标轴方向分解 T( n)＝Txex+Tyey+Tzez
• 斜截面公式 Tx＝xl+yxm+zxn Ty＝xyl+ym+zyn Tz＝xzl+yzm+zn
• 张量表示
Tj = niij
• 求斜截面的各种应力 （1）正应力
n=T(n)•n = Txl + Tym + Tzn
Chauchy公式（斜面应力公式）
• 已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应力矢量，
由四面体平衡条件导出。
z
C
T(-e x)
T(-e y)
x
ez
ex
ey
n T(n)
y
T(-e z )
• 由微四面体的平衡条件得：
T(n)dS+T(ex)ldS+ T( ey)mdS+ T( ez)ndS +Xdh dS /3=0 T( n)＝T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n
称为等倾面
• 等倾面上的应力
8= 1 (1+2+3)
3
8
1 3
(1 2 )2 (2 3 )2 (3 1)2
8
2 3
J
2
1 3
sij
sij
（1）材料质点的平衡， 未知应力数总是超出微分方程数，弹性力学问题总是超静定的
（2）材料质点之间的变形必须是协调的， （3）应满足应力与变形关系的方程，
取决于材料性质，故称为物理方程，或称为本构方程。
弹性力学的基本体系
• 基本理论 建立弹性力学的基本方程 从静力学、变形协调和材料的物理关系等三个方面着手。 弹性力学问题就归结为在给定的边界条件下求解这些基本方程。
n＝xl2+ym2+zn2+2xylm+2yzmn+2zxnl
＝ijninj
（2) 剪应力
T (n) Tx2 Ty2 Tz2
n
T (n)
2
2 n
• 确定力边界条件
• 例题
1
ij
0
4
0 4
3
0
0 5
求在
n
1 2
e1
1 2
e2
1 2 e3