数学建模与数学实验(4版) 模糊综合评判

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6、评判指标的处理
• 最大隶属度法 • 加权平均法
若 bl

max{b j
j
}
，则评判结果隶属于
vl
.
取以 b j 为权重，对各个备择元素 v j 进行加权平均的值为评判结果。
n
n
即
V bjv j
bj
j 1
j 1
此法要求将 v j ( j 1,2,, n )中非数量性备择元素数量化。
平均随机一致性指标 R.I.表
矩阵阶数 1
2
3
4
5
6
7
8
R.I.
0
0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41
矩阵阶数 R.I.
9 1.46
10 1.49
11 1.52
12 1.54
13 1.56
14 1.58
15 1.59
第三步，计算一致性比例 C.R. C.I. ，并进行判断 R.I.
一级模糊综合评判
糊
综
合
评
判
三级模糊综合评判
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一级模糊综合评判
一级模糊综合评判的基本方法和步骤：
1、建立因素集 因素集是影响评判对象的各种因素为元素所组成的一个普通集合。通常用U 表示，
即
U {u1,u2,,um} ui（i 1,2,, m） 代表影响因素，这些因素可以是模糊的，也可以是非模糊的，但它们 对因素集U 的关系，要么 ui U ，要么 ui U ，二者必居且仅居其一。因此因素集本身
B

A R

(a1 ,
a2
,,
am
)

r21 r22 r2n

rm1 rm2

rm
n

(b1,b2,,bn )
b j ( j 1,2,, n )称为 F 综合评判指标，简称评判指标。
b
j
含义：综合考虑所有因素的影响时，评判对象对备择元
v
j
的隶属度。 21
3. A 的最大特征根为 λ n ，其余 n-1个特征根均为 0
4. A 的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量
6
3.计算权向量与判别矩阵的一致性检验
权向量是指判别矩阵各因素针对其准则的相对权重。
计算权向量的方法：
(1)特征根法步骤：
求判别矩阵的最大特征根和相应的特征向量。即计算满足 Aw w 的最 大特征根 及对应的特征向量 w 。Saaty 等人建议用最大特征根对应的归一化
的重要性之比为 a ji

1 aij
5
设判别矩阵为 A (aij )nn ，判别矩阵具有如下性质：
aij 0
1 a ji aij
aii 1
若判别矩阵的所有元素都满足传递性：
aij a jk aik
则称该判别矩阵为一致性矩阵。
一致阵的性质：
1. AT 也是一致矩阵
2. A 的各行成比例，则矩阵的秩 rankA 1
各项指标的变异系数公式如下：
Vi

i（i
xi
1,2,,n）
式中：Vi 是第 i 项指标的变异系数； i 是第 i 项指标的均方差；
xi 是第 i 项指标的平均数。
将Vi 归一化得到各项指标的权重为：
Wi
Vi
n
Vi
i 1
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四、均方差法
均方差赋权法是“求大异存小同”的方法，其特点是： ①不具有任何主观色彩； ②具有评价过程的透明性、再现性； ③确定的权重不再具有继承性、保序性。
m
模型Ⅴ：指数模型： bj
r ai
ij
i 1
模型Ⅳ不仅考虑了所有因素的影响，而且保留了单因 素评判的全部信息。该模型称为加权平均型模型。在实践 中常常用该模型。
模型Ⅴ的最大特点是评判对象的综合评判指标等于所有
r ai
ij
的最小值，因此为了有效提高评判对象的综合评判指标，务必全面 改善所有单因素指标才能达到目的。该模型是一种制约性全面促进 型模型。
“*”的取法主要有如下几种：
m
模型Ⅰ：M（∧，∨）： bj (ai rij ) , (j＝1，2，…，n) i 1
这里“”、“”表示取小、取大运算。
模型Ⅰ是一种制约性主因素突出型模型，不宜应用于因素太多或太少的情况。
m
模型Ⅱ：Ｍ（· ，∨）： bj (ai rij ) , (j＝1，2，…，n) i 1
i 1

为了进行后面的一致性检验，求最大特征根 max

1 n
n i 1
( Aw )i wi
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一致性检验的步骤：
第一步，计算一致性指标 C.I.（consistency index）
C.I. max n
n 1
第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标 R.I. （random index）
设评判对象按因素集中第 i 个因素 ui 进行评判，对备择集中第 j 个元素 v j 的隶属程度 为 rij ，则按第 i 个因素 ui 评判的结果为：
Ri [ri1, ri2,, rin ] ， i 1,2,, m
将各单因素评判结果为行组成矩阵
r11 r12 r1n
R

ห้องสมุดไป่ตู้(rij
这里“· ”是普通乘法。
m
模型Ⅲ：Ｍ(∧， )： bj min{1, (ai rij )} , (j＝1，2，…，n) i 1
模型Ⅱ和Ⅲ与模型Ⅰ比较，能较好地反映单因素评判结果和因素的重要22程度。
m
模型Ⅳ：Ｍ(·, )： bj min{1, (ai rij )} , (j＝1，2，…，n) i 1
• F分布法
n
对 b j ( j 1,2,, n )进行归一化。令 b bj j 1
Bi

b1 b

b2 b

bn b
b1
b2
bn
这样
b

j
反映了评判对象在所评判的特性方面的分布状态，即所占的百分比。
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例 某露天煤矿有五个边坡设计方案，其各项参数根据 分析计算结果得到边坡设计方案的参数如表所示。
lambda=max(eig(Z))
n=sum(eig(Z))
CI=(lambda-n)./(n-1)
RI=1.12 %查表
To MATLAB
CR=CI./RI if CR>=0.1
(cx1)
error('Z不通过一致性检验');
else 'pass text'
end 运算结果：
lambda=6.35, w =( 0.2636 0.4758 0.0538 0.0981 0.1087)
某个指标的均方差越大，表明指标值的变异程度越大，提供的信息 量越多，其权重也越大。相反，某个指标的均方差越小，表明指标值的 变异程度越小，提供的信息量越少，其权重也应越小。
按公式
1
s(k )

[
n
1
1
n i 1
(X ki

X
(k ))2
2
]
求得均方差，将均方差归一化，得各项指标权重。
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模
特征向量作为权向量，即归一化向量 w 的各分量为对应元素的相对重要性权
重。在 MATLAB 中利用命令[V,D]=eig(x)非常方便的求出最大特征根和相应的 特征向量。
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(2)和法步骤：
a 将判别矩阵按列归一化： bij n ij aij
i 1
n
按行求和： vi bij j 1
1 5
2
1
1

1
1
3
1
1
3 5

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利用MATLAB编写程序cx1：
Z=[1 1/2 4 3 3;2 1 7 5 5;1/4 1/7 1 1/2 1/3;1/3 1/5 2 1 1;1/3 1/5 3 1 1];
[V,D]=eig(Z)
w=V(:,1)/ sum(V(:,1)) %归一化特征向量
首先明确影响问题的因素，并把它条理化、层次 化，理出递阶层次结构。 AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：
目标层（最高层）：指决策的目的、要解决的问题； 准则层（因素层）：指考虑的因素、目标决策的准则； 方案层（最低层）：指决策的备选方案。
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2.构造判别矩阵
确定判别矩阵的方法为：反复咨询专家，根据判别矩 阵的准则，对元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要 性程度按1-9赋值
当 C.R. 0 时，认为判别矩阵具有完全一致性； 当 C.R. 0.1时，认为判别矩阵的一致性是可以接受的；
当 C.R. 0.1时，认为判别矩阵不符合一致性要求，需要对
该判别矩阵进行重新构造，加以修正。
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例 假期旅游地选择
假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴 河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、 费用、居住、饮食、旅途等因素选择去哪个地方。用 层次分析法确定这五个因素的重要性。
v 归一化： wi n i 即为近似权向量。 vi
i 1

为了进行后面的一致性检验，求最大特征根 max

1 n
n i 1
(
Aw )i wi
8
(3)根法步骤：
n
1
将判别矩阵按行求： vi ( aij )n
j 1
v
归一化得到近似权向量： wi
i n
vi