数学建模与数学实验(4版) 模糊综合评判

是普通集合。
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2、建立权重集
权重是一个相对的概念，是针对某一指标而言。某一指标的权重是指该指标在整 体评价中的相对重要程度。一般说来，各个因素的重要程度是不一样的。因此，应根据
各因素的重要程度赋予相应的权重 ai（i 1,2,, m），并要求：
n
ai 1, ai 0
i 1
由各权重所组成的集合 A {a1, a2 ,an}称为因素权重集，简称权重集。
首先明确影响问题的因素，并把它条理化、层次 化，理出递阶层次结构。 AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：
目标层（最高层）：指决策的目的、要解决的问题； 准则层（因素层）：指考虑的因素、目标决策的准则； 方案层（最低层）：指决策的备选方案。
4
2.构造判别矩阵
确定判别矩阵的方法为：反复咨询专家，根据判别矩 阵的准则，对元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要 性程度按1-9赋值
当 C.R. 0 时，认为判别矩阵具有完全一致性； 当 C.R. 0.1时，认为判别矩阵的一致性是可以接受的；
当 C.R. 0.1时，认为判别矩阵不符合一致性要求，需要对
该判别矩阵进行重新构造，加以修正。
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例 假期旅游地选择
假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴 河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、 费用、居住、饮食、旅途等因素选择去哪个地方。用 层次分析法确定这五个因素的重要性。
lambda=max(eig(Z))
n=sum(eig(Z))
CI=(lambda-n)./(n-1)
RI=1.12 %查表
To MATLAB
CR=CI./RI if CR>=0.1
(cx1)
error('Z不通过一致性检验');
else 'pass text'
end 运算结果：
lambda=6.35, w =( 0.2636 0.4758 0.0538 0.0981 0.1087)
设评判对象按因素集中第 i 个因素 ui 进行评判，对备择集中第 j 个元素 v j 的隶属程度 为 rij ，则按第 i 个因素 ui 评判的结果为：
Ri [ri1, ri2,, rin ] ， i 1,2,, m
将各单因素评判结果为行组成矩阵
r11 r12 r1n
R

(rij
一级模糊综合评判
糊
综
合
评
判
三级模糊综合评判
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一级模糊综合评判
一级模糊综合评判的基本方法和步骤：
1、建立因素集 因素集是影响评判对象的各种因素为元素所组成的一个普通集合。通常用U 表示，
即
U {u1,u2,,um} ui（i 1,2,, m） 代表影响因素，这些因素可以是模糊的，也可以是非模糊的，但它们 对因素集U 的关系，要么 ui U ，要么 ui U ，二者必居且仅居其一。因此因素集本身
特征向量作为权向量，即归一化向量 w 的各分量为对应元素的相对重要性权
重。在 MATLAB 中利用命令[V,D]=eig(x)非常方便的求出最大特征根和相应的 特征向量。
7
(2)和法步骤：
a 将判别矩阵按列归一化： bij n ij aij
i 1
n
按行求和： vi bij j 1
CI=0.07， CR=0.0565， ans=pass text
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二、德尔菲法（Delphi法）
（1）选择专家。这是很重要的一步，专家选得好不好将直接 影响到结果的准确性。一般情况下，选本专业领域中既有实际工 作经验又有较深理论修养的专家10～30人。
（2）将待定权重的各个指标和有关资料以及统一的确定权重 的规则发给选定的各位专家，请他们独立的给出各指标的权数值。
表 设计方案数据表
据勘探该矿探明储量8800 吨，开采总投资不超过8000 万元，试做出各方案的 优劣排序，选出最佳方案。
解 首先确定隶属函数： （1）可采矿量的隶属函数
因为勘探的地质储量为8800 吨，故可用资源的利用函数作为隶属函数
A(
x
)

x 8800
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（2）基建投资的隶属函数：
)

r21 r22 r2n

rm1 rm2

rm
n
Байду номын сангаас
称为单因素评判矩阵。
单因素评判是一 个难点，主要是确 定隶属度往往带有 主观性。
20
5、模糊综合评判
模糊综合评判就是综合考虑所有因素的影响，得 出正确的评判结果。
F 综合评判可表示为：
r11 r12 r1n
v 归一化： wi n i 即为近似权向量。 vi
i 1

为了进行后面的一致性检验，求最大特征根 max

1 n
n i 1
(
Aw )i wi
8
(3)根法步骤：
n
1
将判别矩阵按行求： vi ( aij )n
j 1
v
归一化得到近似权向量： wi
i n
vi
i 1

为了进行后面的一致性检验，求最大特征根 max

1 n
n i 1
( Aw )i wi
9
一致性检验的步骤：
第一步，计算一致性指标 C.I.（consistency index）
C.I. max n
n 1
第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标 R.I. （random index）
B

A R

(a1 ,
a2
,,
am
)

r21 r22 r2n

rm1 rm2

rm
n

(b1,b2,,bn )
b j ( j 1,2,, n )称为 F 综合评判指标，简称评判指标。
b
j
含义：综合考虑所有因素的影响时，评判对象对备择元
v
j
的隶属度。 21
重要性标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义
表示两个元素相比，具有同等重要性
表示两个元素相比，前者比后者稍重要
表示两个元素相比，前者比后者明显重要
表示两个元素相比，前者比后者强烈重要
表示两个元素相比，前者比后者极端重要
表示上述判断的中间值
若元素 i 与元素 j 的重要性之比为 aij , 则元素 j 与元素 i
某个指标的均方差越大，表明指标值的变异程度越大，提供的信息 量越多，其权重也越大。相反，某个指标的均方差越小，表明指标值的 变异程度越小，提供的信息量越少，其权重也应越小。
按公式
1
s(k )

[
n
1
1
n i 1
(X ki

X
(k ))2
2
]
求得均方差，将均方差归一化，得各项指标权重。
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模
平均随机一致性指标 R.I.表
矩阵阶数 1
2
3
4
5
6
7
8
R.I.
0
0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41
矩阵阶数 R.I.
9 1.46
10 1.49
11 1.52
12 1.54
13 1.56
14 1.58
15 1.59
第三步，计算一致性比例 C.R. C.I. ，并进行判断 R.I.
23
6、评判指标的处理
• 最大隶属度法 • 加权平均法
若 bl

max{b j
j
}
，则评判结果隶属于
vl
.
取以 b j 为权重，对各个备择元素 v j 进行加权平均的值为评判结果。
n
n
即
V bjv j
bj
j 1
j 1
此法要求将 v j ( j 1,2,, n )中非数量性备择元素数量化。
（3）回收结果并计算各指标权数的均值和标准差。
如果第一轮的专家意见比较集中，并且标准差在控制的范围之内，即可以 用均值确定指标权重。
如果第一轮专家的意见比较分散，把第一轮的计算结果反馈给专家，并请
他们重新给出自己的意见，直至各项指标的权重与其均值的离差不超过预先给
定的标准为止
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三、变异系数法
基本思想：在评价指标体系中，指标取值差异越大的指标，也就是越难 以实现的指标，这样的指标更能反映被评价单位的差距，其权重就越大。
数学建模与数学实验
模糊综合评判
后勤工程学院数学教研室
1
实验目的
1、直观了解评判的基本内容。 2、掌握用数学软件包求解评判问题。
实验内容
1、确定权重的方法 2、F综合评判的基本理论 3、实验作业
2
层次分析法
确
定
权
德尔菲法
重
的 方
变异系数法
法
均方差法
3
一、层次分析法
层次分析法的基本步骤：
1.将因素分层
各项指标的变异系数公式如下：
Vi

i（i
xi
1,2,,n）
式中：Vi 是第 i 项指标的变异系数； i 是第 i 项指标的均方差；
xi 是第 i 项指标的平均数。
将Vi 归一化得到各项指标的权重为：
Wi
Vi
n
Vi
i 1
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四、均方差法
均方差赋权法是“求大异存小同”的方法，其特点是： ①不具有任何主观色彩； ②具有评价过程的透明性、再现性； ③确定的权重不再具有继承性、保序性。
3、建立备择集(评价集，评语集)
备择集是评判者对评判对象可能作出的各种总的评判结果所组成的集合。常用V 表示， 即：V {v1,v2,vn} ， vi 表示各种可能的评判结果。
如评判一个教师的素质，评判结果分为很好、好、一般和差，则备择集
V ＝｛很好，好，一般，差｝
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4、单因素模糊评判
单独从一个因素出发进行评判，以确定评判对象对备择集元素的隶属 程度，称为单因素模糊评判。
3. A 的最大特征根为 λ n ，其余 n-1个特征根均为 0
4. A 的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量
6
3.计算权向量与判别矩阵的一致性检验
权向量是指判别矩阵各因素针对其准则的相对权重。
计算权向量的方法：
(1)特征根法步骤：
求判别矩阵的最大特征根和相应的特征向量。即计算满足 Aw w 的最 大特征根 及对应的特征向量 w 。Saaty 等人建议用最大特征根对应的归一化
1 5
2
1
1

1
1
3
1
1
3 5

12
利用MATLAB编写程序cx1：
Z=[1 1/2 4 3 3;2 1 7 5 5;1/4 1/7 1 1/2 1/3;1/3 1/5 2 1 1;1/3 1/5 3 1 1];
[V,D]=eig(Z)
w=V(:,1)/ sum(V(:,1)) %归一化特征向量
m
模型Ⅴ：指数模型： bj
r ai
ij
i 1
模型Ⅳ不仅考虑了所有因素的影响，而且保留了单因 素评判的全部信息。该模型称为加权平均型模型。在实践 中常常用该模型。
模型Ⅴ的最大特点是评判对象的综合评判指标等于所有
r ai
ij
的最小值，因此为了有效提高评判对象的综合评判指标，务必全面 改善所有单因素指标才能达到目的。该模型是一种制约性全面促进 型模型。
⑴建立层次结构模型
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。 B1 ,B2 ,B3 分别表示苏杭、北戴河、桂林。
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⑵构造成对比较矩阵及层次单排序

1

2 1
1
2 1 1
4 7 1
3
5 1
3
5 1

Z 4 7
2 3
1 3
“*”的取法主要有如下几种：
m
模型Ⅰ：M（∧，∨）： bj (ai rij ) , (j＝1，2，…，n) i 1
这里“”、“”表示取小、取大运算。
模型Ⅰ是一种制约性主因素突出型模型，不宜应用于因素太多或太少的情况。
m
模型Ⅱ：Ｍ（· ，∨）： bj (ai rij ) , (j＝1，2，…，n) i 1
的重要性之比为 a ji

1 aij
5
设判别矩阵为 A (aij )nn ，判别矩阵具有如下性质：
aij 0
1 a ji aij
aii 1
若判别矩阵的所有元素都满足传递性：
aij a jk aik
则称该判别矩阵为一致性矩阵。
一致阵的性质：
1. AT 也是一致矩阵
2. A 的各行成比例，则矩阵的秩 rankA 1
这里“· ”是普通乘法。
m
模型Ⅲ：Ｍ(∧， )： bj min{1, (ai rij )} , (j＝1，2，…，n) i 1
模型Ⅱ和Ⅲ与模型Ⅰ比较，能较好地反映单因素评判结果和因素的重要22程度。
m
模型Ⅳ：Ｍ(·, )： bj min{1, (ai rij )} , (j＝1，2，…，n) i 1
• F分布法
n
对 b j ( j 1,2,, n )进行归一化。令 b bj j 1
Bi

b1 b

b2 b

bn b
b1
b2
bn
这样
b

j
反映了评判对象在所评判的特性方面的分布状态，即所占的百分比。
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例 某露天煤矿有五个边坡设计方案，其各项参数根据 分析计算结果得到边坡设计方案的参数如表所示。