数学建模与数学实验习题
数学建模与数学实验：习题7
0
,
0 0.1 0
0.9998
J
diag
2.1927,
2.0419.
0.1508 ,
P
0.0205
0.0009
0.9998 0.0220
0.0011
0.9414
0.2810
0.1864
谱半径(A)=0 =2.1927>1，主特征值只有一个0,归一化主特征向量P1 0.979 0.0201 0.0009T
（3）+（4）
假设每个年龄组出生率控 制为原来的k倍，如果要保 持总数总数不变，则控制
0
L
0.7
k 0
1.8k
0
后的Leslie矩阵主特征值
0 0.4 0
应为1.
特征方程为f () I L 3 0.7k 0.504k 0.
根据f (1) 0可解得k 0.83.
控制后稳定的年龄结构为
特征方程为 f I P 3 0.7 0.54 0
构造Newton迭代格式 xk1
xk
f f
xk xk
xk
xk3
0.7 3xk2
xk 0.54 0.7
,
取初值x0
1
方法二
（Matlab求解,eig,roots,charpoly,fzero,fsolve,etc）
数学建模课后习题答案
实验报告
姓名：和家慧 专业:通信工程 学号：20121060248 周一下午78节
实验一：方程及方程组的求解
一 实验目的：学会初步使用方程模型，掌握非线性方程的求解方法，方程组的求解方法，MA TLAB 函数直接求解法等。
二 问题：路灯照明问题。在一条20m 宽的道路两侧，分别安装了一只2kw 和一只3kw
的路灯，它们离地面的高度分别为5m 和6m 。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时 （1）两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？ （2）如果3kw 的路灯的高度可以在3m 到9m 之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？ （3）如果两只路灯的高度均可以在3m 到9m 之间变化，结果又如何？
三 数学模型
解：
根据题意，建立如图模型
P1=2kw P2=3kw S=20m 照度计算公式：
2
sin r p k I α= （k 为照度系数，可取为1；
P 为路灯的功率）
（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q 点的照度分别为
21111sin R p k I α= 22
2
22
sin R p k I α=
2
21
21
x h R += 1
1
1sin R h =
α
2
22
2
2)(x s h R -+= 2
22sin R h =
α
Q 点的照度：
3
23
23
222
2
23
221
11))20(36(18)
25(10)
)((()
(()(x x x s h h P x h h P x I -++
+=
-++
+=
要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点
5
25
25
数学建模习题3
数学建模（I ）习题
习 题 3
1．一个包裹从100米高的气球上掉下，当时，气球的上升速度为2米/秒，请根据以下两种情况计算包裹落到地面上约需多少时间：
（1）空气阻力不计
（2）空气阻力与包裹的速度成正比，阻力系数为0.05。
2．大气压强p 可用对海拔高度h 的变化率dh dp 与p 成正比来建模，且位于海平面的压强为1013毫巴（大约每平方英尺7.14磅），位于海拔高度20公里处的压强为90毫巴。 )(a 解初始值问题:微分方程： kp dh dp = （k 是一个常数） 初始条件： 0p p = （当0=h ）
得到通过h 表示p 的表达式。根据海拔高度—压强的给定数据确定0p 和k 的值。 （b ）在海拔高度50=h 公里处大气压强是多少?
（c ）在海拔高度是多少公里处大气压强等于900毫巴？
3．在某化学反应中，物质的数量随着时间的改变率与其当前的数量成正比。例如，δ-醣蛋白内酯变成葡萄糖酸，当时间t 以小时为单位时，化学反应方程式是 y dt
dy 6.0-= 如果当0=t 时，有δ-醣蛋白内酯100克，那么一小时后还剩下多少？
4．从惠蒂尔峡谷的油井中抽走了一定数量的石油，会使加利福尼亚的石油产量每年以10%的比率减少。试问什么时候加利福尼亚的石油产量将降到当前值得五分之一？
5．一个放电的电容器，电压的改变率和终端电压成正比，并且时间t 以秒为单位时，其满足的方程是
V dt dV 40
1-= 解此方程，用0V 表示当0=t 时的V 值。试问经过多长时间电压将降落到初始值得10%？
6．粗糖的加工过程中，有一个步骤称为转化，这一步骤将改变粗糖的分子结构。反应一旦开始，粗糖量的改变速率和粗糖量成正比，如果1000公斤粗糖在10 小时后只剩下100公斤，那么再过14小时还剩下多少？
数学建模习题
数学建模练习题
1.1.线性规划题目
问题1：毛坯切割问题
用长度为500厘米的材料，分别截成长度为98厘米和78厘米的两种毛坯，要求截出长度98厘米的毛坯1000根，78厘米的毛坯2000根，问怎样去截，才能是所用的原材料最少，试建立数学模型。
问题2：进货收获问题
某商店你制定某种商品7－12月的进货、售货计划，已知商品仓库最大容量为1500件，6月底已经库存300件，年底不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进和售出的价格如下表所示，若每件每月库存费为0.5元，问各月进货，售货多少件，才能是净收益最多。试建立数学模型。
问题3：货船装货问题
某货船的载重量为12000吨，总容积为45000立方米，冷藏容积为3000立方米，可燃性指数的总和不得超过7500，准备装6中货物，每种货物的单价、重量、体积和可燃性指数如下表：
1.2.微分方程题目
问题1. 什么时候开始下雪？
早晨开始下雪，整天稳降不停。正午一辆扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为一常数。到下午2时它清扫了两公里，到下午4时又清扫了1公里，问雪是什么时候开始下的？
问题2. 谁喝的咖啡热一些？
总统与首相面前同时送上同温度的热咖啡。总统在送到咖啡后立即加上一点冷奶油，等了10分钟才喝；首相则等了10分钟后添加等量的冷奶油开始喝，问谁喝的咖啡热一些？
问题3. 需冷却多久？
一位稀里糊涂的咖啡泡煮师，想让水达到185o F，可他几乎总是忘记这一点而把水煮开。温度计又坏了，他要你计算一下，从212o F冷却到185o F要等多少时间，你能解决他的问题吗？
数学建模与数学实验课后习题答案
P59
4•学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432 人住在C 宿舍。学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各 宿舍的委员数。
解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。i 表示各个宿舍（分别取 A,B,C ）， p i 表 示i 宿舍现有住宿人数， n i 表示i 宿舍分配到的委员席位。
首先，我们先按比例分配委员席位。 23710 A 宿舍为:n A =
=2.365 1002 333"0 B 宿舍为：n B =
3.323 1002 432X0 C 宿舍为：n C =
4.311
1002
现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。
经比较可得，最后一席位应分给 A 宿舍。
所以，总的席位分配应为： A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。
Q
A
2372
2 3
= 9361.5 Q B
3332
3 4 = 9240.7 Q C
4322 4 5
=9331.2
商人们怎样安全过河
傻麴删舫紬削＜ I 11山名畝
臥蹄峨颂
禮训鋤嫌邂 韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展 縣確牡GH 錚俩軸飙奸比臥鋪謎 smm 彌
鯉械
即第紘麵觎岸締熾 x^M 曲颁M 删牘
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% V O J U;
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模型求解 -穷举法〜编程上机 ■图解法
S={(x ?jOI x=o, j-0,1,2,3;
数学建模 -实验报告1
（4 − 4）
������������⁄������������ = ������1������∗������ − ������2������
（4 − 5）
������������⁄������������ = ������2������ − ������3������
（4 − 6）
根据以上参数定义。上述方程组中各方程式的生物意义为：(4-3)式为单位 体积内癌细胞所占总细胞数的比例对时间变化率=有限空间限制下因癌细胞增殖 导致癌细胞所占比例上升的数量一被效应细胞清除掉癌细胞形成的数量；(4-4) 式为单位体积内效应细胞的数量对时间的变化率= 癌细胞死亡后复合物分解所 产生的效应细胞的数量−用于清除癌细胞所需的效应细胞的数量；(4-5)式为单 位体积内癌细胞与效应细胞所形成的复合物的数量对时间的变化率=效应细胞清 除癌细胞形成的复合物的数量−癌细胞死亡后形成的复合物的数量；(4-6)式为 单位体积内死亡癌细胞所占总细胞数的比例对时间变化率=癌细胞死亡后形成 的复合物分解所产生的死亡癌细胞的数量一单位体积内死亡癌细胞的数量．
Y=
exp(-7^(1/2)*t)*((7^(1/2)*(7^(1/2) - 7))/21 + exp(t + 7^(1/2)*t)*((5*7^(1/2))/42 - 1/3)) + exp(7^(1/2)*t)*(7^(1/2)/3 - exp(t - 7^(1/2)*t)*((5*7^(1/2))/42 + 1/3) + 1/3)
《数学建模与数学实验》(第三版)6.5习题作业2
1.根据物理定律K K K R I V =,R I P 2=,建立如下模型：
（1）：目标函数为：∑==412k k k R I
P 约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=≤≤8
,6,41023213214I I I I I I I I R I k k k 1)直接计算求解
183214=++=I I I I
()
K K k K K K K R I I R I P ∑∑====41
4
12
min min
=K k K V I
∑=41min
现在K V 一定，要想求P 的最小值，只需K I 最小即可。
又因为K I 已知，代入数据即可求解。
即218282624min 4
4332211⨯+⨯+⨯+⨯=+++=V I V I V I V I P
2）有K I 已知及K V 的取值范围，可得K R 的取值范围。
min =I1^2*R1+I2^2*R2+I3^2*R3+I4^2*R4;
I1=4;
I2=6;
I3=8;
I4=18;
R1>=1/2;
R2>=1/3;
R3>=1/4;
R4>=1/9;
R1<=5/2;
R2<=5/3;
R3<=5/4;
R4<=5/9;
End
Global optimal solution found.
Objective value: 72.00000
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost I1 4.000000 0.000000 R1 0.5000000 0.000000 I2 6.000000 0.000000 R2 0.3333333 0.000000 I3 8.000000 0.000000 R3 0.2500000 0.000000 I4 18.00000 0.000000 R4 0.1111111 0.000000
《数学建模与数学实验》(第三版)6.5习题作业
1.电路问题
一电路由三个电阻123R R R 、、并联，再与电阻4R 串联而成，记k R 上电流为k I ，电压为k V ，在下列情况下确定k R 使电路总功率最小(1,2,3,4)k =： 1）1234,6,8,2k I I I ===≤V ≤10; 2）1234,6,8,2k V V V I ===≤≤6;
1）解：根据建立2
;P I R U IR ==数学模型为：
W=min 42
1
k k k I R =∑
1
23
4123
46..82(1,...,4)k
I I s t I I I I I
k I ⎧
⎪=⎪=⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎪=⎪⎩k k 10
≤R ≤I
用Lingo 求解：
min =I1^2*R1+I1^2*R1+I2^2*R2 结果：
+I3^2*R3+I4^2*R4;
I1=4;
I2=6;
I3=8; I4=18; R1>1/2; R2>1/3; R3>1/4; R4>1/9; end
2）解：根据建立2
;P I R U IR ==数学模型为：
W=min 4
2
1k k k I R =∑ 4123
112233
R =4/I ;..R =6/I ;R =8/I ;
2I I I I s t I =++⎧⎪
⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩k ≤≤6(k =1,...,4);
用Lingo 求解：
min =I1^2*R1+I2^2*R2+I3^2*R3 结果：
+I4^2*R4;
I4=I1+I2+I3;
I1<6; I2<6;
I3<6;
I4<6; 《数学建模与数学实验》（第三版）6.5习题作业
数学建模与实验习题库a
1《数学建模与实验》习题库a 感谢信息与计算科学02级的五位同学作为毕业设计英文翻译任务完成了此习题库的构建工作他她们的工作分别为: 刘静: 第1 4章
朱佳琦: 第2 3 6章李新颖: 第5 7章朱晓强: 第8 9 10章甘永生: 第11 12章. 参考文献数学建模英文版机械工业出版社北京2003. 5. 经典原版书库原书名: A First Course in Mathematical Modeling Third Edition by Frank R. Giordano Maurice D. Weir William P. Fox. 第1章1.1习题1.写出下列序列的前五项40aa?? a 1na30a0a1 b 1na20a6 0a0 c 1na 2nana3 0a4 d 1na2na0a1 2.求序列第n项的公式a 33333…
b141664256… c214181161321… d1371531… 差分方程3.考察下列序列写出差分方程以表示作为序列中前一项的函数的第n个区间上的变化. 4.写出满足下列差分方程的序列前五项动力系统5.代入n0123写出下列动力系统表示的前四个代数方程. 6.写出你认为可以用动力系统来建模的若干行为的名称. 确切地对变化建摸对问题7-10写出能对所述情景的变化建模的动力系统的公式7.目前你在储蓄帐户上有月息为0.5的5000存款你每个月再存入200. 8.你的信用卡上有月息1.5的欠款500美元你每月偿还50并且没有新的欠款. 9.你的父母在考虑一项贷款期限30年每月要支付0.5利息的100000美元抵押贷款.试建立一个每月还款p且能够在360次负费后还清抵押贷款借款的模型.提示:如果na表示n个月后的欠款那么0a和360a表示什么呢10.你
数学建模与实验第三版 习题6.5-5
钢管下料问题
原题：
某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售。从钢管厂进货得到的原材料钢管的长度都是1 850 mm ，现在一顾客需要15根290 mm 、28根315 mm 、21根350 mm 和455 mm 的钢管。为了简化生产过程规定所使用的切割模式的种类不能超过四种，使用频率最高的一种切割模式按照一根钢管1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，并且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外，为了减少余料浪费。每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，为了使总费用最少，应该如何下料？ 符号说明
C 总加工费用
d= (290, 315, 350, 455) 表示4种产品的长度（mm ）
n= (15, 28, 21, 30) 表示4种产品的需求量
r 1i , r 2i , r 3i , r 4i 第i 种切割模式下每根原材料生产4种产品的数量
xi 该模式共使用的次数
y i 表示第i 种切割模式的使用情况
（y i =1 表示使用了第i 种切割模式；y i =0 表示未使用第i 种切割模式）
模型的建立
（1）目标函数 （把总费用认定为切割次数与增加费用的和。）
切割次数为xi 增加费用为 0.1*i
4
1(0.1)i i i C x i y ==+⨯⨯∑
（2）约束条件
（j=1 ，2 ，3 ，4） （i=1, 2, 3，4）
○
1产品数量的需求 41i j i
j i x r n =≥∑
○
2余料的限制 4
北京电子科技学院数学建模实验报告材料
北京电子科技学院（BESTI）
实验报告
课程：数学建模与数学实验
班级：
姓名：
成绩：
指导教师：
实验日期及时间：
必修/选修：选修
实验一2.6习题
1.冒泡法排序n个数
function y = qp(x)
[m,n]=size(x);
fori = 1:n
for j = 1:n-i
if(x(j)>x(j+1))
a = x(j);
x(j) = x(j+1);
x(j+1)=a;
end
end
end
y=x;
运行结果：
2.求落地后球反弹高度
function[s,h] = sh(n)
z=100;
s=z;
fori = 1:n-1
z=z/2;
s=s+2*z;
end
h=z/2
运行结果
3.函数
function y = f(x,y)
y = x^2 + sin(x*y)+2*y;
运行结果：
4.绘图
fplot('cos(tan(pi*x))',[0,1],1e-4)
x=0:1e-4:1
plot(x,cos(tan(pi*x)))
运行结果：
5.绘图
ezplot('exp(x*y)-sin(x+y)',[-3,3,-3,3]) 运行结果：
6.绘图
x = -3:0.1:3;
y = -3:0.1:3;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
Z = 2*X^2+Y^2;
surf(X,Y,Z)
运行结果：
7.绘图
clear
a=100;thita=0:0.1:2*pi;
rho=a*thita;
polar(thita,rho)
运行结果：
8.绘图
clear
a=2;thita=0:0.1:2*pi;
rho=a*sin(3*thita);
华南理工大学数学建模复习题
《数学建模与数学实验》复习
（2012年12月）
1. 棋子颜色的变化
2．席位公平分配的判别数法
3．Fibonacci数列及其应用
4．传送带的效率（或同类问题）
5．存贮模型(不允许缺货)
6．Steiner点及其应用（n<=4）
7. 人口预测的阻滞增长模型
8．处理废物问题
9．捕鱼业的产量模型
10．效益分配的Shapley值
11．指派问题
12．生产配套模型
13．统筹方法
注：(1) 闭卷考试；(2) 记得带计算器；(3)记得带学生证
(4) 答疑: 1月7日下午3:00～5:30, 在四号楼4238.
(5) 考试: 1月9日上午9:00～11:30. (试室：330603或330604)
(6) 考试过程2.5小时，做七题
(7) 研究生院培养办电话：87110730
************************************************************
复习题
1.在“棋子颜色的变化”问题中，若初态不出现全黑或全白的特殊状态，则当n=5时，从第一步开始，必是3步一个周期地变化. 请证明之.
2. 某城市共有六个区, 各区有居民：一区221万, 二区120万, 三区111万, 四区57万, 五区86万, 六区38万. 现该市要选出503名人大代表,请你用判别数法设计一个代表名额的分配方案.
3. 袋中有白球与黑球各半，每次从袋中随机摸出1球，取后放回袋中，直到连续两次均摸到白球为止. 设B n表示摸n次就终止时其中首次是摸到黑球的各种可能方式数目, {F n}表示Fibonacci数列，(1)分析B n与F n 的关系; (2)写出B n的通式.
08数学建模与数学实验十一讲习题
08数学建模与数学实验⼗⼀讲习题
1、考察温度x 对产量y 的影响，测得下列10组数据：
x= 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 y= 13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3
求y 关于x 的线性回归⽅程，检验回归效果是否显著，并预测x=42℃时产量的估值及预测区间（置信度95%）. 解答：
法①：回归：
x=20:5:65;
X=[ones(10,1) x'];
Y=[13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats 结果： b = 9.1212 0.2230 bint =
8.0211 10.2214 0.1985 0.2476 stats =
0.9821 439.8311 0.0000 0.2333
即0?β= 9.1212，1?β= 0.2230；0?β的置信区间为[8.0211 10.2214], 1
β的置信区间为0.1985 0.2476; r 2=0.9281, F=439.8311, p=0.0000 p<0.05, 可知回归模型 y=9.1212+ 0.2230x 成⽴.
法②：拟合：
x=20:5:65;
y=[13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3]; [A,B]=polyfit(x,y,1) Y=polyval(A,42)
数学建模与数学实验习题
数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结
第一章
1.简述数学建模的一般步骤。
2.简述数学建模的分类方法。
3.简述数学模型与建模过程的特点。
第二章
4.抢渡长江模型的前3问。
5.补充的输油管道优化设计。
6.非线性方程（组）求近似根方法。
第三章
7.层次结构模型的构造。
8.成对比较矩阵的一致性分析。
第五章
9.曲线拟合法与最小二乘法。
10 分段插值法。
第六章
11 指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。
12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。
13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。
14 一阶差分方程求解。
15 养老保险模型。
16 金融公司支付基金的流动。 17 LESLLIE 模型。 18 泛函极值的欧拉方法。 19 最短路问题的邻接矩阵。 20 最优化问题的一般数学描述。 21 马尔科夫过程的平衡点。 22 零件的预防性更换。 练习集锦
1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵
31/52a b P c d e f ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，（1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求
P 模最大特征值。
（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。
2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵
322P ⎡
⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最
大特征值。
（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受。 3.考虑下表数据
(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 4.. 考虑微分方程
08数学建模与数学实验习题6章
习题：某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台．每季度的生产费用为f(x)=ax+bx^2（元），其中x是该季生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释．
设：第一季度生产x1台，第二季度生产x2台，第三季度生产x3台。
Min＝50x1+0.2x2^2 +50x2+0.2x2 ^2+50x3+0.2x3
^2+4(x1-40)+4(x1+x2-100)
St
x1>=40;
x1+x2>=100;
x1+x2+x3=180;
x1<=100;
x2<=100;
x3<=100;
MATLAB运行:先建立M文件 cc1.m,定义目标函数:
function f=cc1(x)：
f=50*x(1)+0.2*x(1)^2+50*x(2)+0.2*x(2)^2+50*x(3)+0.2*x(3)^2+4*(x(1)-40 )+4*(x(1)+x(2)-100);
再建立M文件从此cc11.m定义非线性约束：
x0=[60;60;60];
A=[-1 -1 0];
b=[-100];
Aeq=[1 1 1];
beq=[180];
vlb=[40;0;0];
vub=[100;100;100];
[x,fval]=fmincon('cc1',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
《数学实验》实验练习题汇总 实验 1 数学建模初步
c. y = 1 + x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 ; 2 1 − x2 d. y = e , − 2 ≤ x ≤ 2. 2π 5． 选用三种数值积分方法计算π。
& + kx = F cos ωt , 在 6. 弹簧在周期性外力作用下 （忽略阻力） 其位移 x(t ) 满足微分方程 m& x
& (0) = 0 下的解为 初始条件 x(0) = x
0.3 1.5
k xk yk
1 0.3 0.3895
2 0.5 0.6598
3 0.7 0.9147
4 0.9 1.1611
5 1.1 1.3971
6 1.3 1.6212
7 1.5 1.8325
已知该表数据为函数 y = x + sin x / 3 所产生，将计算值与精确值作比较。 4． 选择一些函数用梯形、辛普森和 Gauss-Lobatto 三种方法计算积分。改变步长（对 梯形），改变精度要求（对辛普森和 Gauss-Lobatto），进行比较、分析。如下函数供选择 参考： 1 , 0 ≤ x ≤ 1; a. y = x +1 b. y = e 3 x sin 2 x, 0 ≤ x ≤ 2 ;
2
1） 2）
以加州和其它各州的人口数量为对象。 以加州和其它各州在美国总人口中的比例为对象，观察趋势。
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数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结
第一章
1.简述数学建模的一般步骤。
2.简述数学建模的分类方法。
3.简述数学模型与建模过程的特点。
第二章
4.抢渡长江模型的前3问。
5.补充的输油管道优化设计。
6.非线性方程（组）求近似根方法。
第三章
7.层次结构模型的构造。
8.成对比较矩阵的一致性分析。
第五章
9.曲线拟合法与最小二乘法。
10 分段插值法。
第六章
11 指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。
12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。
13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。
14 一阶差分方程求解。
15 养老保险模型。
16 金融公司支付基金的流动。 17 LESLLIE 模型。 18 泛函极值的欧拉方法。 19 最短路问题的邻接矩阵。 20 最优化问题的一般数学描述。 21 马尔科夫过程的平衡点。 22 零件的预防性更换。 练习集锦
1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵
31/52a b P c d e f ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，（1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求
P 模最大特征值。
（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。
2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵
322P ⎡
⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最
大特征值。
（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受。 3.考虑下表数据
(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 4.. 考虑微分方程
(0.2)0.0001(0.4)0.00001dx
x xy dt
dy y xy dt
εε⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
（1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0ε=时的周期平均值。（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？
5考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-=
（1）求种群量增长最快的时刻。（2）根据下表数据估计参数k 值。
6.
布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是
3 (m r s
单位：）。 （1） 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？ 求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。
7. 假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？
8. 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有,,A B C 3
个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去
A ，C 食堂就餐，C 食堂分别有20%，20%的同学去A ，
B 食堂就餐。 （1）建立该问题的数学模型。（2）确定该校3个食堂的大致就餐人数。
9. 已知一阶差分方程100.80.3,
0.6n n y y y +=+=。
（1）求该差分方程平衡点。 （2）求n y 表达式。 10. 某种群至多只能活3岁，且按年观测的Leilie 矩阵
230.400,00.70L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（1）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么？ （2）在稳定的条件下，如果想只通过改变3龄组生育率来保持该种群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少？
11. 某人决定用10万元投资A 、B 、C 、D 四支股票，已知购买时四支股票股价分别为每股10元，15元，30元，95元，股市交易要求购买的每支股票数量以手为单位,至少为1手（1手=100股），四只股票的预期收益率分别为30%,20%,50%和15%，如果希望持有股票数量不超过80手，为了使得收益达到最大，请为他的投资建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。不需要求出具体数值结果。 12. 小李夫妇曾经准备申请商业贷款20万元用于购房，每月还款880.66元，25年还清。此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款20万元，每半月还款1761.32元，22年还清，但贷款时，应先预付8000元，以后每次按半月还款。小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少3年还款期意味减少还款近3万2千元，而且每月多跑一趟，
也不算什么，这家机构的条件还是优惠的。
（1）商业贷款的利率是多少？ （2）分析金融机构的条件是否优惠。
13. 一家油运公司每天具有5000吨的运力，由于油轮货舱容积的限制，公司每天只能运输500003m 的货物，每天可供运输的货物数量如下：
请建立该问题利润最大的优化模型（不需求
14.沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。
如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。 （1） 对于最优方案，用α
表示,βγ。 （2） 求最优取水口位
置。
15. （1）给出下图从点1到
点7的邻接矩阵。
（2）建立该问题最短路的优化模型。 （3）给出该问题的最优结果。
16. 考虑下图所描述的最短路问题。
（1）写出从位置1到位置9的最短路的数学模型 。 （2）给出从位置1经过位置5到位置9的最短路。 （3）给出从位置1到位置9的最短路。
17 某零件寿命X （单位：月）的分布函数为[]2
140,
0(),
0,21,2t F t t t t t <⎧⎪=-∈⎨⎪>⎩
。 零件损坏时更换和预防性更换费用分别为3万元和2万元。 （1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。 （2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。
如果不存在，请说明理由。
18. 某零件寿命X 为服从均匀分布的随机变量，假设零件最大使用寿命为6个月。零件损坏时更换和预防性更换费用分别为5万元和1