微分几何习题解答曲线论

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数)(t r

具有固定方向的充要条件是)(t r

×

)('t r

= 0 。

分析：一个向量函数)(t r

一般可以写成)(t r

=)(t λ)(t e

的形式，其中)(t e

为单位向

量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e

具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r

具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r

=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r

×

'r =2

λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方

向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e

2)＝2'e ，（因为e

具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e

为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r

平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n

，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r

的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n

为常向

量，且)(t r

·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直

于同一非零向量n

，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。

反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0

，由上题知

)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'

r ≠

，则存在数量函数)(t λ、

)(t μ，使''r = r λ+μ'r

①

令n =r ×'r

，则n

≠

0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r

求微商并将①式代入得

'n =r ×''r =μ（r ×'r ）

=μn ，

于是n ×'n =0

，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r

平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z

=t 在（1,0,0）的切线和法平面。

解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r

(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1

1

1z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。

2．求三次曲线},,{32ct bt at r =

在点0t 的切线和法平面。

解 }3,2,{)('2

000ct bt a t r = ，切线为2

3

0020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-， 法平面为 0)(3)(2)(3

02020

00=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。 3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。

证明 'r

= {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos

=22||||'b

a b

e r k r +=⋅ 为常数，故ϕ为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。 4. 求悬链线r ={t

，a t a cosh }（-∞∞ t ）从t =0起计算的弧长。

解 'r

= {1，a t

sinh }，|'r

| =

a

t

2

sinh 1+ = a t

cosh ， ｓ＝

a t

t

a t a dt sinh cosh

=⎰ 。

９．求曲线2232,3a xz y a x ==在平面3a

y = 与y = 9a 之间的弧长。

解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{2

2

3x

a a x x ，曲面与两平面3a y = 与y = 9a 的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222x

a a

x -，｜'r ｜＝4

4

444

1x

a a x ++＝2

2

222x a a x +，所求弧长为a dx x

a a x s a

a

9)2(22

322=+=⎰

。 10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。

解 'r

= { -a t sin ,a t cos ,b }，s =

t b a dt r t

220

|'|+=⎰

，所以2

2

b

a s t +=

，

代入原方程得 r ={a cos

2

2

b

a s +, a sin

2

2

b

a s +,

2

2

b

a bs +}

11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。 解 由θθρcos )(=x ，θθρsin )(=y 知'r

={)('θρθ

cos -θ

θρsin )(，

)('θρθsin +θθρcos )(}，|'r

| = )(')(22θρθρ+，从0θ到θ的曲线的弧长是

s=⎰

θθ0

)(')(22θρθρ+d θ 。

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z

= b t 在任意点的密切平面的方程。

解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b },''r

={-a t cos ,- a t sin ,0 }

所以曲线在任意点的密切平面的方程为

sin cos cos sin sin cos t

a t

a b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .