微分几何习题解答 曲线论

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r

= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e

为单位向量函

数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e

为常向量，（因为)(t e

的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r

具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r

= ' （e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r

×

'r =2 （e ×'e

）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意

方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e

·'e

2)＝2'e ，（因为e

具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e

为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r

）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n

= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r

的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n

为常向量，

且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r

，'r ，''r 垂直于同一

非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r

）=0 。

反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r 0 。若r ×'r =0

，由上题知)

(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'

r

，则存在数量函数)(t 、)(t ，

使''r = r r

+ 'r ①

令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r

求微商并将①式代入得'n =r ×

''r = （r r ×'r

）= n ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)

(t r 平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z

=t 在（1,0,0）的切线和法平面。

解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r

(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0 t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1

1

1z y x ，法平面为 y + z = 0 。

2．求三次曲线},,{32ct bt at r

在点0t 的切线和法平面。

解 }3,2,{)('2

000ct bt a t r ，切线为2

3

0020032ct ct z bt bt y a at x ， 法平面为 0)(3)(2)(3

02020

00 ct z ct bt y bt at x a 。 3. 证明圆柱螺线r r

={ a cos ,a sin , b } ( )的切线和z 轴作固定角。

证明 'r

= {-a sin ,a cos ,b },设切线与z 轴夹角为 ,则 cos

=22||||'b

a b

e r k r 为常数，故 为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。 4. 求悬链线r r ={t ，a t a cosh }（- t ）从t =0起计算的弧长。

解

'r = {1，a

t

sinh }，|'r | =a

t 2sinh 1 = a t

cosh ， ｓ＝

a t

t

a

t

a dt sinh cosh

。

９．求曲线2232,3a xz y a x 在平面3a

y 与y = 9a 之间的弧长。

解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{2

23x

a a x x ，曲面与两平面3a y 与y = 9a 的交点分

别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222x

a a

x ，｜'r ｜＝44

4441x a a x ＝22222x

a a x ，所求弧

长为a dx x

a a x s a

a

9)2(22

322

。 10. 将圆柱螺线r r

={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。

解 'r

= { -a t sin ,a t cos ,b}，s = t b a dt r t 220

|'| ，所以2

2

b

a s t

，

代入原方程得 r r

={a cos

2

2

b

a s , a sin

2

2

b

a s ,

2

2

b

a bs }

11.求用极坐标方程)( 给出的曲线的弧长表达式。 解 由 cos )( x ， sin )( y 知'r

={)('

cos -

sin )(，

)(' sin + cos )(}，|'r

| = )(')(22 ，从0 到 的曲线的弧长是s=

)(')(22 d 。

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 在任意点的密切平面的方程。

解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r

={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为

sin cos cos sin sin cos t

a t

a b t a t a bt z t a y t a x = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .

2. 求曲线r r

= { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , 'r

(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0} t ={0,1,1}，

)0(''r

{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0} t ={2,0,2} ，

所以切线方程是

1

10z

y x ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2

02110z

y x

=0 ，即x+y-z=0 ，

主法线的方程是 00z y z y x 即112z

y x

； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式

1

11 z

y x 。 3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 的主法线和z 轴垂直相交。