人教新课标版数学高一A版必修2备课资料 两条平行直线间的距离
人教新课标版数学高一A版必修2教材梳理 两条平行直线间的距离
疱丁巧解牛知识·巧学一、两条平行直线间的距离1.公式：一般地，已知两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),则这两条平行直线间的距离为d=2221||B A C C +-.2.公式的得出：已知两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),求两平行线间的距离.发现两条平行线的方程经过变形都可化为l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0的形式.在l 1上任取一点P(0，B C 1-)，点P 到l 2的距离经化简为d=2221||BA C C +-，发现这个距离只与x 、y 的系数和两个常数项有关，且关系明显，我们把它作为求两条平行线间的距离公式.即：一般地，已知两条平行线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2).设P(x 0，y 0)是直线l 2上的任意一点，则Ax 0+By 0+C 2=0，即Ax 0+By 0=-C 2.于是，点P(x 0，y 0)到直线l 1：Ax+By+C 1=0的距离d=222122100||||B A C C B A C By Ax +-=+++就是两平行直线l 1与l 2之间的距离.3.另外，两平行线的方程用点斜式方程表示为：l 1：y=kx+b 1，l 2：y=kx+b 2，那么两平行线间的距离d=2211||k b b +-.误区警示 两平行线间的距离的求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是直接使用两平行线间距离公式d=2221||B A C C +-，在应用平行线间距离公式时要注意前提：除了要将直线方程化为一般形式之外，还要使x 、y 的系数分别相等.否则不能直接套用公式.这是在应用中经常出现的一个错误，同学们要特别注意.问题·探究问题1 对于一个三角形ABC ，如果已知点A(0,21)、B(32,0)，点C 在已知直线l ：3x+4y+3=0上滑动，那么三角形ABC 的面积是否随着点C 的变化而变化呢？探究:由A 、B 两点的坐标可以得出三角形ABC 中边AB 所在直线的方程为3x+4y-2=0，显然与直线3x+4y+3=0平行.而三角形ABC 的面积等于AB 线段长与AB 边上的高的乘积的一半.而|AB|=65，AB 边上的高即为C 点到直线AB 的距离，而C 在直线3x+4y+3=0上滑动，所以高即为两平行直线3x+4y+3=0与3x+4y-2=0的距离，无论C 点如何变化，高恒为定值h=15|23|=+，所以S △ABC =21|AB|·d=12516521=⨯⨯.所以三角形ABC 的面积不随点C 的变化而变化.问题2什么是两条平行线之间的距离?它有什么特点?这个距离的公式是什么？有什么要求与特点，是否适合于任意的两条平行直线？探究:两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，平行线间的距离处处相等.对于两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),距离为d=2221||B A C C +-.要求在应用公式前必须将两直线方程表示为一般式，且x 、y 的对应系数一致，在此前提下，这个公式适合于任意两平行直线，包括斜率不存在的直线也成立.典题·热题例1 与两平行直线l 1:3x-4y-5=0和l 2:3x-4y+7=0距离之比为1∶2的直线方程为( )A.3x-4y-1=0或3x-4y+19=0B.3x-4y+3=0或3x-4y-1=0C.3x-4y-1=0或3x-4y-17=0D.3x-4y+3=0或3x-4y+19=0思路解析：方法一(排除法)由题意知，所求直线一条在l 1、l 2的内侧，另一条在l 1、l 2所夹带形区域的外侧，且靠近l 1的部分，3x-4y+19=0在靠近l 2的外侧部分，不合题意，故舍去A 、D.又B 中两条均在l 1、l 2的内侧，不成立，故选C.方法二：(应用平行线间距离公式)由题意，设所求方程为3x-4y+c=0，由22222143||2143||+-=+-c c c c ， 即2|c+5|=|c-7|，解得c=-17或c=-1.故选C.答案：C深化升华 从本题解法来看，如果作为选择题，用数形结合进行排除的方法比较简捷.而作为填空或解答题出现，则可应用两平行线间距离公式解方程.如果问题改成求到两平行直线Ax+By+C 1=0和Ax+By+C 2=0等距离的直线，则直线有且仅有一条，其方程为Ax+By+0221=+C C . 例2 直线l 1过点A(0，1)，l 2过点B(5，0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程.思路解析：本题要求直线的方程，其关键是求l 1、l 2的斜率，根据条件l 1、l 2的距离为5，可通过待定系数法求出斜率.设直线的斜率时要考虑斜率是否一定存在，否则要对斜率不存在的情况进行验证.解：设直线的斜率为k.由斜截式得l 1的方程y=kx+1，即kx-y+1=0.由点斜式得l 2的方程y=k(x-5)，即kx-y-5k=0.在直线l 1上取点A(0，1)，点A 到直线l 2的距离d=51|51|2=++k k ，∴25k 2+10k+1=25k 2+25.∴k=512. ∴l 1的方程为12x-5y+5=0，l 2的方程为12x-5y-60=0.若l 1、l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x=0，l 2的方程为x=5，它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：⎩⎨⎧=--=+-060512:,05512:21y x l y x l 和⎩⎨⎧==.5:,0:21x l x l误区警示 在本类问题的解决中，要注意两个易错点:第一是两条平行线间距离公式的应用必须注意前提，就是把两条直线的方程化为一般式，且x 、y 对应的系数分别相等，才能代入公式求解运算.第二个注意点是在待定系数法求直线方程时，如果设直线斜率，则必须考虑直线的斜率是否一定存在，如果可以不存在，要对该特殊情况进行验证，以防漏根.例3 两条互相平行的直线分别过A(6,2)、B(-3，-1)，并且各自绕着A 、B 旋转，如果两平行线间的距离为d ，(1)求d 的取值范围；(2)求当d 取最大值时两直线的方程.思路解析：根据题意，由两条平行线间的距离公式写出ｄ与k 之间的函数关系式，不难求出ｄ的范围.可由范围发现ｄ取最大值时的对应直线方程.解：(1)设两平行线的斜率为k ，则两直线方程分别为y-2=k(x-6)，y+1=k(x+3)，即kx-y-6k+2=0,kx-y+3k-1=0.所以d=21|39|k k +-.由此得(81-d 2)k 2-54k+9-d 2=0.∵k ∈R ，∴Δ=542-4(81-d 2)(9-d 2)≥0.∴d 4-90d 2≤0,得0<d≤103.(2)当两直线斜率不存在时，两直线分别为x=6，x=-3，则d=9，因为d max =103,此时k=3)81(2542-=-d . 两直线方程为3x+y-16=0,3x+y+10=0.深化升华 本题若从问题的几何背景考虑，易知分别过A 、B 的一切平行线的距离均不超过A 、B 两点的距离｜AB ｜，当且仅当两平行线与直线AB 垂直时，两平行线间距离等于｜AB ｜，所以d max =103)12()36(22=+++，此时，13612-=++•k ,即k=-3.可见借助几何直观背景发挥形象思维优势，常可得到简捷解法.。
【参考教案】《两条平行直线间的距离》(数学人教A版必修)
《3.3.4两条平行直线间的距离》教学设计教学目标：（一）知识目标让学生理解两条平行直线间的距离公式的推导过程 ，掌握两条平行直线间的距离公式及其简单应用．（二）能力目标通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达 等基本数学思维能力．（三）情感目标引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神；同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣． 教学重难点：教学重点：两条平行直线间的距离公式的推导．教学难点：两条平行直线间的距离公式的应用．教学方法：探究研讨法，讲练结合法等.教学准备(教具)：直尺，彩色粉笔，小黑板.课型：新授课.教学过程（一）复习回顾点到直线间的距离（通过抽问回答补充的方式）已知点00(,)A x y ，直线:0l Ax By C ++=．d =．（二）探究新知 过A 点作一条直线l1且平行直线l ，如下图所示两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长．思考：可以将两条平行直线间的距离转化为点到直线来求解．不妨假设在直线l 1任取一点11(,)p x y ，则有0010Ax By C ++=，点p 到直线 l 的距离d ==（注意：两条直线方程x 、y 前面的系数对应相等．）（三）例题讲解例1 已知直线l l: 2780x y --=，直线l 2：62110x y --=，判断直线l 1与l 2是否 平行？若平行求它们之间的距离．分析：根据两条直线平行判定可得只需求得它们斜率相等即可判断两条直线是否平行．要求它们之间的距离，将两条直线方程x 、y 前面的系数化成相等．解：l 1的斜率k 1= 27，l 2的斜率k 2= 27． 因为k 1= k 2，所以l 1平行l 2． 将直线l 2化为12703x y --=，由两条平行直线间的距离公式可得()123|8|d ---=== （四）巩固练习求下面两条平行线间的距离：（1）2380x y +-=， 23180x y ++=；（2）3410x y +=， 340x y +=．解：由两条平行直线间的距离公式可得（1）|188|d --=== （2）1025d ===． （五）课时小结知识：（1）学习了两条平行直线间的距离的定义．a .两条平直线间的距离的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度．b ．两条平行直线间的距离处处相等．（2）学习了两条平行直线间的距离公式的推导及其应用．思想：在推导两条平行直线间的距离的距离公式过程中运用的转化的思想.即将几何问题转化为代数问题．（六）课后作业（1）复习今天所学知识．（2）课本上P 109-P 110必做题 A 组第5、10题，选做题B 组第1题．（3）思考：若两直线方程x 、y 前面系数对应不相等我们如何求解它们之间的距离．（4）预习下节课要学习的圆的方程．板书设计。
高中数学人教A版必修2课件：3.3.4两条平行直线间的距离
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
使用公式计算两条平行直线间的 距离。公式为：距离 = |C1 - C2| / √(A^2 + B^2)，其中A、B、 C1和C2是直线的系数和常数项。
距离公式的几何解释
两条平行直线间的距离可以通过考虑 它们之间的“最短路径”来解释，即 通过作垂线来找到这个最短路径。
距离公式实际上是计算了两条平行直 线间的垂线段的长度，这个长度即为 两条平行直线间的最短距离。
如果一条线段的两个端点分别在两条平行线上，那么这条线段的长度与两条平行线之间的距离成正比 。
03 两条平行直线间的距离的 求法
通过作垂线求距离
确定两条平行直线， 并在其中一条直线上 取一点。
测量垂线段的长度， 即为两条平行直线间 的距离。
过这个点作另一条直 线的垂线。
利用公式求距离
01
确定两条平行直线，并知道它们 的方程。
04 两条平行直线间的距离的 应用
在几何图形中的应用
确定几何图形面积
通过两条平行线间的距离，可以确定 一个几何图形的面积，例如平行四边 形、矩形等。
判断平行关系
利用两条平行线间的距离，可以判断 两条直线是否平行，或者两条直线是 否相交。
在解析几何中的应用
求解直线方程
通过两条平行线间的距离，可以求解直线的方程。
平行线间的距离性质
唯一性
两条平行线之间的距离是唯一的，不 会因测量点的位置变化而改变。
最小性
两条平行线之间的距离是最短的，任 何其他点到这两条平行线的距离都不 会小于这个值。
距离与线段的比例关系
平行线间距离与线段的比例关系
如果一条线段与两条平行线相交，那么这条线段与两条平行线之间的距离成比例。
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离
人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离选择题(2016·青岛高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是()A. 4B.C.D.【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离。
用两条平行直线间的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要，这时才可以有两条平行直线间的距离为。
选择题点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A. a>7B. a7或a7或-3>3，解得a>7或a=5，故0【答案】直线l2的方程是x+y-3=0.【解析】试题分析：由l1∥l2设出l2的方程y=-x+b(b>1)，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,然后由梯形的面积求解试题解析：设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.选择题点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点P 的坐标为()A. (8，0)B. (-12，0)C. (8，0)或(-12，0)D. (0，0)【答案】C【解析】设P(x0，0)，因为d==6，所以|3x0+6|=30，故x0=8或x0=-12.故选C选择题已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为()A. 1B. -1C.D. ±【答案】D【解析】.由题意，得=1，即|a|=，所以a=±.解答题在△ABC中，A(3，2)，B(-1，5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标.【答案】点C的坐标为(-1，0)或.【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，所以只需求AB两点间距离，然后设C点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出C 点坐标试题解析：由题知|AB|==5，因为S△ABC=|AB|·h=10，所以h=4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y-2=-(x-3)，即3x+4y-17=0.所以解得或所以点C的坐标为(-1，0)或.选择题过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为()A. 4x+y-6=0B. x+4y-6=0C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0【答案】D【解析】显然直线斜率存在，设直线方程为：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，A，B到直线距离相等，则=，解得k=-4或k=-，代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.点晴：本题考查的是过一点到另外两点距离相等的直线方程。
人教A版高中数学必修2《3.3.4 两条平行直线间的距离》_48
3.3.4两条平行直线间的距离教学设计一、教学目标：（1）、知识目标使学生理解两条平行直线间的距离公式的推导过程，掌握两条平行直线间的距离公式及其相关应用。
（2）、能力目标通过两条平行直线间的距离公式的推导，使学生体会坐标法的思想及两条平行直线间的距离的推导过程体现了化归的思想。
即，把两条直线间距离转化为直线上任一点到另外一条直线的距离，利用点到直线的距离公式求平行线之间的距离。
（3）、情感目标通过本节课的学习培养学生数形结合、转化、化归的数学思想与方法。
二、教学重点：理解两条平行直线间的距离公式的推导过程。
三、教学难点：两条平行直线间的距离公式的相关应用。
四、教学方法：探究启发法，讲练结合法。
五、教学过程:一、复习回顾通过习题巩固点到直线间的距离（通过课堂练习的方式）1、求点P（-1，4）到直线3x+4y=2的距离设计意图：学生板演，有利于纠错，点评。
二、情境创设——中国悬索桥随着迅猛的经济发展，我国的桥梁事业也有了新的飞跃。
悬索桥是以悬索主缆为主要承重构件，通过竖向拉杆将桥面负荷载传到主缆上，再由主缆通过主塔上索鞍传到锚锭和主塔上。
其中吊索和桥身用一根根平行的细钢绳连接起来。
这些平行的西钢绳可以看做一条条平行的直线。
以此为切入点，那么这些平行直线间的距离如何求呢？播放微视频。
三、探究新知，释疑解惑想一想：什么是两条平行直线间的距离？两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度。
思考：直线l 1：x ＋y －1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l 2：x ＋y ＋1＝0与直线l 1平行，那么点A ，B ，C 到直线l 2的距离分别为多少？有什么规律吗？点A,B,C 到直线l 2的距离为 ，规律是：当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等。
探究：如图所示，直线1l 平行直线2l ，如下图所示 0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 直线1l ∥2l ，如何求间的距离？（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？ （2）如何取点，可使计算简单？:22=++C By Ax l思考：可以将两条平行直线间的距离转化为点到直线来求解。
人教新课标版数学高一必修2课件点到直线的距离两条平行直线间的距离
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
新课标人教A版数学必修2全部课件：3.3.3点到直线、两平行线间的距离
y
P (x0,y0) y=y1
Q (x0,y1)
y
(x1,y0)
Q
P(x0,y0) x x=x1
o
x
o
PQ = y 0 - y 1
Page 3
PQ = xΒιβλιοθήκη 0 - x 1练习15
(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______. 3
4
(2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______. 3
§3.3. 3
点到直线的距离
Page 1
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y
P
l
Q
o x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?
Page 2
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的 形式.
的距离公式是
d =
Ax
0
+ By A
2
0
+ C
2
+ B
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d = C1 - C A
Page 12
2 2
2
+ B
练习4
1.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值. 2.求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 的直线方程 .
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____. 13
2 13
人教A版高中数学必修2《3.3.4 两条平行直线间的距离》_18
第三章直线与方程3.3.4 两条平行直线间的距离《两条平行直线间的距离》是人教A版数学必修二第三章最后一节的内容，求两条平行直线间的距离，可转化为求点到直线的距离。
点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容,它是解决点线、线线间的距离的基础,也是研究直线与圆的位置关系的主要工具。
点到直线的距离公式的推导方法很多,可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外,还有应用三角函数、应用向量等方法,因此“课程标准”对本节教学内容的要求是:“探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学,能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法,学会利用数形结合思想,化归思想和分类方法,由浅入深,由特殊到一般地研究数学问题,培养学生的发散思维根据本节课的内容特点,学习方法为接受学习与发现学习相结合,学生的探究并不是漫无边际的探究,而是在教师引导之下的探究;教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程,使学生在教师和其他同学的帮助下,充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。
1.教学重点：两平行直线间的距离公式的推导、应用；线线距与点线距的转化；2.教学难点：两平行直线间的距离的求法及灵活应用。
多媒体一、导入新课点P(0,5)到直线y=2x 的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为(x 0,y 0),直线l 的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题. 二、提出问题①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A 、B 均不为零的假设下推导出公式的，若A 、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？ ③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x 0=0,y 0=0时，d=22||BA C +；(ⅱ)x 0≠0,y 0=0时，d=220||BA C Ax ++；(ⅲ)x 0=0,y 0≠0时，d=220||BA C By ++.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x 0,y 0)，d=? 学生应能得到猜想：d=2200||BA C By Ax +++.启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理) 证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax+By+C 1=0，令y=0，得P′(AC 1-,0). ∴P′N=221221|||)(|BA C CB AC A C A +-=++-∙. (*) ∵P 在直线l 1:Ax+By+C 1=0上,∴Ax 0+By 0+C 1=0.∴C 1=-Ax 0-By 0. 代入(*)得|P′N|=2200||BA By Ax C +++即d=2200||BA C By Ax +++,.②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0与l 2:Ax+By+C 2=0的距离d=2221||BA C C +-.证明：设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=2200||BA C By Ax +++.又Ax 0+By 0+C 2=0,即Ax 0+By 0=-C 2，∴d=2221||BA C C +-.讨论结果：①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离 公式为d=2200||BA C By Ax +++.②当A=0或B=0时，上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为d=2221||BA C C +-.应用示例例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.(2)因为直线3x=2平行于y 轴，所以d=|32-(-1)|=35. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式. 变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.解:2243|2643|+-⨯-a =4⇒|3a-6|=20⇒a=20或a=346. 例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积. 解:设AB 边上的高为h ，则S △ABC =21|AB|·h. |AB|=22)31()13(22=-+-， AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在的直线方程为131313--=--x y ,即x+y-4=0. 点C 到x+y-4=0的距离为h=2511|401|22=+-+-，因此，S △ABC =21×2522⨯=5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练求过点A(-1,2),且与原点的距离等于22的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x ＋y －1=0或7x ＋y ＋5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=5353145314)7(2|80732|22==-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 三、达标检测1．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0间的距离为( ) A ．3 B ．2 C ．1D.12【解析】 d ＝|－7－－32＋42＝1.【答案】 C2．分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________． 【解析】 d ＝|3－(－2)|＝5. 【答案】 53．求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程. 【解】 ∵与l 平行的直线方程为5x －12y ＋b ＝0， 根据两平行直线间的距离公式得|b －6|52＋－2＝3，解得b ＝45或b ＝－33.∴所求直线方程为：5x －12y ＋45＝0或5x －12y －33＝0.。
人教A版高中数学必修二3.3.4两条平行直线间的距离课件
温故知新
1、已知平面内两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2) 的距离是：
y
P
1
o
x
P
2
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
2、点到直线的距离公式
已知P(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离：
yP l
Q
o
x
| PQ | | Ax 0 By0 C | A2 B2
是多少？
y
l1
l2
o
x
观察两平行线的系数有什么特点.
y
l1
A
l2
o
x
B
在l1与x轴交点处取
A( C1 ,0)，A点到l2的距离 A
d
|
A (- C1) B 0 C2 | A
| C2 - C1|
A2 B2
A2 B2
由于两平行直线l1和l2的斜率k1=k2（或者斜率 都不存在），所以两条平行直线一定可以写成
则| 2 C | | 5 C |， 42 62 42 62
即|C+2|=|C+5|，解得C=-7/2.
所以所求直线为
4x 6y 7 0 2
例3、 求与直线l：5x-12y+6=0平行，且到直 线l的距离为2的直线的方程.
解：设所求直线为5x-12y+C=0， 则 | 6 C | 2， 52 (-12)2
解 ka ：
ba
8,
7
2 7 bb
,kb
6 21
1 21
,
ba
bb
2 7
,
k
a
kb
人教A版高中数学必修二3.3.4 两条平行直线间的距离课件
y
P
l
Q
o
x
合作探究
两条平行直线的相对位置关系常通过距离来 反映，两平行直线间的距离的含义是什么？
A
B 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 线间垂线段的长。
A A1 A2
B B1 B2 夹在两条平行直线间垂线段的长相 等。
问（1）：直线 l1
l2 ，如何求 l1与 l2 之间的距离？
y
l1
解：设所求直线为5x-12y+C=0, 则 | 6 C | 2，
52 (-12)2 即|6-C|=26,解得C=-20或32。 所求直线为5x-12y-20=0或5x-12+32=0。
变式2：已知到两条平行直线2x-y+2=0和 直线2x-y+4＝0的距离相等的直线方程为 ________．
法一：可将求平行直线间的距离 转化为求点到直线的距离。
法二：两条平行线Ax+By+C1=0 与Ax+By+C2=0的距离是
d C1 - C2 A2 B2
y
A
o
l1 l2
Bx
小试牛刀
姓名：
班级： 学号 Mathematics
1．直线 l1：3x＋4y－2＝0 和直线 l2：6x＋8y＋1＝0 之间的距离是( )
d C2 - C1 C1 - C2
A2 B2
A2 B2
该公式用来计算两平行直线间的距离。
注意：两直线方程中A,B系数分别相同。
例1. 已知直线l1 : 2x 7 y 8 0,l2 : 6x 21y 1 0,l1与l2
是否平行？若平行，求l1与l2之间的距离。
解：直线l1的斜率为：- 72 ，直线l2的斜率为：- 72。
高中数学人教A版必修2《3.3.4两条平行直线间的距离》课件1
A．4
2 13
B. 13
5 13
7 13
C. 26 D. 26
解析 ∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行， ∴3∶2＝6∶m，∴m＝4. 直线6x＋4y＋1＝0可以化为3x＋2y＋ 12＝0， 由平行直线间的距离公式可得：
| 1 (3) |
d＝
2 32Leabharlann 22＝7
2＝
13
7 13 26
.答案
D
3．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和 l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为_____.
解析 由题意可设l的方程为 2x－y＋c＝0 ，
于是有
|c3| 22 (1)2
| c (1) | 22 (1)2
，
即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
直线到直线的距离转化为点到直线的距离！
两平行直线间的距离公式：
y
l1
任意两条平行直线都
P
可以写成如下形式：
OQ
l2 x
l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
则两平行线l1与l2间的距离为：
d l1l2
C1 C2 A2 B2
例7、试求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
解：d 8 -（- 6） 14 14 53 22 (7)2 53 53
d l1l2
C1 C2 A2 B2
1.两平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的 距离是__2__1_3___;
2.两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离 是____2____.
人教A版高中数学必修二3.3.4两条平行直线间的距离 课件
小试牛刀
1.平行于直线x-y-8=0且与其距离为3的直线
方程是
。
2.求两条平行直线 3x + 4y – 12 = 0与ax + 8y + 11 = 0 间的距离。
3.已知两条平行直线 3x + 2y – 6 = 0与6x + 4y - 3 = 0 ， 求与它们等距离的平行线的方程。
4.求平行线2x-7y-8=0与6x-21y-1=0之间的距离。
l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
Q l2 在直线 l1上任取一点P x0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
x
则点P到直线l2的距离为: PQ
Ax0 By0 C2 A2 B2
点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1
3.3.4 两条平行直线间的距离
温故知新
1.两点间的距离公式？
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.点到直线的距离公式？
平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式：
d = Ax0 + By0 + C A2 + B2
3.类比：两点间距离，点到直线的距离， 我们下面需要学习什么呢？
A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。
两条平行直线间距离的求法：
（1）转化法：几何法、点线间距离、两点间距离；
（2）公式法：两条平行线 l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2= 的距离是 d C1 - C2
人教A版高中数学必修二新课标备课资料两条平行直线间的距离
备课资料备用习题1.求直线2x ＋11y ＋16=0关于点P(0，1)对称的直线方程.分析：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为2x ＋11y ＋C=0，则2222112|110|112|16110|+++=+++C ⇒C=16(已知直线)或C=-38.∴所求直线为2x ＋11y －38=0.2.已知正方形ABCD 的相对顶点A(0,-1)和C(2,5),求顶点B 和D 的坐标.答案：B(4，1)，D(－2，3).3.(2006上海模拟)已知直线l 过两条直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点，且与A(2，3)，B(－4，5)两点的距离相等，求直线l 的方程.解:直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点为(－1，2)，若直线l 平行于直线AB ，易求得直线l 的方程为x+3y-5=0.若直线l 通过线段AB 的中点，易求得直线l 的方程为x=-1.所以直线l 的方程为x=-1或x+3y-5=0.4.直线y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在直线，若A 、B 的坐标分别为A(－4，2)、B(3，1),求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状.解:由平面几何知识,得点A 关于直线y=2x 的对称点A 1必在直线BC 上.设A 1(a ，b),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∙=+-=+-242222142a b a b ⇒a=4,b=-2.故A 1的坐标为(4，-2),由两点式得直线BC 的方程为3x+y-10=0.解方程组⎩⎨⎧==-+,2,0103x y y x 得点C 的坐标为(2，4). 又AB 2=50,AC 2=40,BC 2=10，得△ABC 为直角三角形.(设计者:高建勇、狄秋香)。
最新人教A版必修二3.3两平行线间的距离教案
最新人教A 版必修二3.3两平行线间的距离教案1 / 1课题：两平行线间的距离课 型： 新讲课教课目的： 使学生掌握点到直线的距离公式及其构造特色，并能运用这一公式， 学习并领悟找寻点到直线距离公式的思想过程以及推导方法，教课中表现数形联合、转变的数学思想，培育学生研究探究的能力．推导两平行线间的距离公式并能灵巧运用。
教课要点： 两平行线间的距离公式的研究探究过程 . 教课难点： 点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式的应用 .教课过程： 一、复习准备：1、发问：两点间的距离公式2、点到直线的距离是什么？如何正确运用这一公式？3、议论：两条平行直线间的距离如何求？二、讲解新课：教课两条平行直线间的距离：1) 议论：两条平行直线间的距离怎么求？（是指夹在两条平行直线间公垂线段的长）2) 能够将平行直线间的距离转变为点到直线的距离已知两条平行线直线 l 1 和 l 2 的一般式方程为 l 1 ： AxBy C 1 0 ，l 2 ： AxBy C 2 0 ，则 l 1 与 l 2 的距离为 dC 1 C 2A 2B 2P 0x 0y 0是直线 Ax By到直线 Ax By C 1 0 的证明： 设 ( , ) C 2 0上任一点， 则点 P距离为 dAx 0By 0 C 1 A 2 B 2又 Ax 0By 0 C 2 0即 Ax 0By 0C 1 C 2C 2 ，∴ d ＝A2B2x,y思虑：若二平行线中 的系数不同样如何办理？这一公式的实质是利用了等价转变思想。
例 1．已知直线 l 1 : 2x 7 y 8 0,l 2 :6 x 21y 10 ，l 1 与 l 2 能否平行？若平行， 求 l 1 与 l 2 间的距离例 2． 求与直线 l :5 x 12 y6 0 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程例 3． 求与两条平行直线 l 1 : 2x 3y 8 0, l 2 : 2 x 3 y 18 0 的距离相等的直线方程。
人教新课标版数学高一A版必修2导学案 两条平行直线间的距离
3．3.4 两条平行直线间的距离1．掌握两条平行直线间距离的定义．2．会求两条平行直线间的距离．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．【做一做】 两条平行直线x ＋y ＋2＝0与x ＋y －3＝0的距离等于( ) A.52 2 B.22 C ．5 2 D. 2答案：(1)公垂线段 (2)点到直线【做一做】 A两条平行直线间的距离公式剖析：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.当直线l 1∥l 2时，它们的方程可以化为以下形式：直线l 1：A x ＋B y ＋D 1＝0，直线l 2：A x ＋B y ＋D 2＝0.在直线l 1上任取一点P(x 0，y 0)，则有l 1：A x 0＋B y 0＋D 1＝0，即A x 0＋B y 0＝－D 1.所以点P 到直线l 2的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋D 2|A 2＋B 2＝|－D 1＋D 2|A 2＋B 2＝|D 1－D 2|A 2＋B2 ， 即直线l 1，l 2的距离d ＝|D 1－D 2|A 2＋B 2.(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：①把直线方程化为直线的一般式方程；②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．(3)当两条直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合方法来解决．①两条直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则两条平行直线间的距离d ＝|x 2－x 1|；②两条直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则两条平行直线间的距离d ＝|y 2－y 1|.题型一：求两条平行线间的距离【例1】 求两条平行线l 1：3x ＋4y －5＝0和l 2：6x ＋8y －9＝0间的距离．反思：求两条平行直线间距离有两种思路：①利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算，如本题解法一．②利用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，如本题解法二． 题型二：两条平行直线间距离公式的应用【例2】 平行于直线x －3y ＝0，且与其距离为3的直线l 的方程是__________． 反思：求平行于直线A x ＋B y ＋C ＝0的直线方程时，常设为A x ＋B y ＋m ＝0(m ≠C)，利用待定系数法来解决．有关平行直线间距离问题，常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决．题型三：易错辨析易错点 利用两条平行直线间的距离公式求距离时，常忽略方程的系数【例3】 求两条平行直线l 1：3x ＋4y ＋2＝0，l 2：12x ＋16y －8＝0之间的距离．错解：d ＝|2－(－8)|32＋42＝105＝2. 错因分析：错解中，没有把l 2的方程化为3x ＋4y ＋m ＝0的形式，导致出错．反思：使用两条平行线间的距离公式求距离时，应把直线方程化为一般式，同时要使两个直线方程中x ，y 的系数对应相等．答案：【例1】 解：解法一：在直线l 1：3x ＋4y －5＝0上任取一点，不妨取点P (0，54)， 则点P 到直线l 2：6x ＋8y －9＝0的距离即为两条平行直线间的距离．因此d ＝|0×6＋8×54－9|62＋82＝110. 解法二：把l 2：6x ＋8y －9＝0化为3x ＋4y －92＝0， 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|－5－(－92)|32＋42＝110. 【例2】 x －3y ＋6＝0或x －3y －6＝0【例3】 正解：l 2：12x ＋16y －8＝0可化为3x ＋4y －2＝0，根据两条平行线间的距离公式，可得d ＝|2－(－2)|32＋42＝45.1．直线46x y -＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( )B. C. D ．242．平行直线x －y ＝0与x －y ＋m ＝0，则实数m ＝__________.3．直线l 与两条平行直线l 1：x －3y ＋1＝0，直线l 2：x －3y ＋5＝0的距离相等，则直线l 的方程是__________．4．两条平行线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋a y ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝__________.5．求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程．答案：1．B 2.±2 3.x －3y ＋3＝0 4.105．解：设所求直线的方程为5x －12y ＋m ＝0(m ≠6)，由两条直线的距离为2＝2.则m＝32或m＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.。
(新人教A必修2)两条平行直线间的距离
3..3.4两条平行直线间的距离教学目的：使学生理解什么是两条平行直线间的距离，会将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解。
教学重点：将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解两条平行直线间的距离。
教学难点：两平行直线间的距离的求法。
教学过程一、复习提问1、点到直线的距离公式是什么？默写一遍。
2、两平行线间的距离有什么性质？3、已知点A（－3，－4），B（6,3）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，求a的值。
二、新课1、两条平行直线间的距离的定义两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。
两条平行直线间的距离处处相等。
2、探究两条平行直线间的距离的求法设直线l1∥l2，如何l1与l2之间的距离？（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？（2）如何取点，使计算简单？例7、已知直线,l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－l＝0，l l与l2是否平行？若平行求l l与l2间的距离。
解：将两条直线化为斜截式可求得两直线的斜率：l 1的斜率k 1＝72，l 2的斜率k 2＝72， 因为 k 1＝k 2，所以 l 1∥l 2先求l 1与轴的交点A 的坐标，容易知道点A 的坐标为（4,0）点A 到直线l 2的距离为：d ＝22216102146+-⨯-⨯＝531592353323= 所以，l l 与l 2间的距离为5315923。
由上面的例题可知，两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，取点时 可考虑取x 轴上的点或y 轴上的点，运算可以简便点。
练习：求两条平行线间的距离：（1）2x+3y-8=0 2x+3y+18=0(2)3x+4y=10, 3x+4y=0作业：P112 5、10 B 组1阅读与思考：P117《笛卡儿与解析几何》。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
打印版
高中数学 备课资料
备用习题
1.求直线2x ＋11y ＋16=0关于点P(0，1)对称的直线方程.
分析：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为2x ＋11y ＋C=0，则
2222112|110|112|
16110|+++=+++C ⇒C=16(已知直线)或C=-38.
∴所求直线为2x ＋11y －38=0.
2.已知正方形ABCD 的相对顶点A(0,-1)和C(2,5),求顶点B 和D 的坐标.
答案：B(4，1)，D(－2，3).
3.已知直线l 过两条直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点，且与A(2，3)，B(－4，5)两点的距离相等，求直线l 的方程.
解:直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点为(－1，2)，
若直线l 平行于直线AB ，易求得直线l 的方程为x+3y-5=0.
若直线l 通过线段AB 的中点，易求得直线l 的方程为x=-1.
所以直线l 的方程为x=-1或x+3y-5=0.
4.直线y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在直线，若A 、B 的坐标分别为A(－4，2)、B(3，
1),求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状.
解:由平面几何知识,得点A 关于直线y=2x 的对称点A 1必在直线BC 上.
设A 1(a ，b),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-•=+-=+-24
22
22142a b a b ⇒a=4,b=-2.故A 1的坐标为(4，-2),
由两点式得直线BC 的方程为3x+y-10=0.
解方程组⎩
⎨⎧==-+,2,0103x y y x 得点C 的坐标为(2，4). 又AB 2=50,AC 2=40,BC 2=10，得
△ABC 为直角三角形.。