八年级数学下册 一次函数的图像和性质教案

21.2 一次函数的图像和性质

1．会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质；(重点)

2．能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．(难点)

一、情境导入 做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．

(1)y

＝12x ； (2)y ＝1

2x ＋2；

(3)y ＝3x; (4)y ＝3x ＋2. 观察函数图象有什么形式？ 二、合作探究

探究点一：一次函数的图象

【类型一】 一次函数图象的画法

在同一平面直角坐标中，作出下

列函数的图象．

(1)y ＝2x －1; (2)y ＝x ＋3； (3)y ＝－2x; (4)y ＝5x . 解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y ＝2x －1图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y ＝x ＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y ＝－2x 的图象过(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y ＝5x 的图象过(0，0)，(1，5)．

解：如图所示．

方法总结：此题考查了一次函数的作

图，解题关键是找出两个满足条件的点，连

线即可．

【类型二】 判定一次函数图象的位置

已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函

数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y ＝x ＋k 的图象大致是( )

解析：∵正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ＜0.∵一次函数y ＝x ＋k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y ＝x ＋k 的图象经过第一、三、四象限，且与y 轴的负半轴相交．故选B.

方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)是一条直线．当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．图象与y 轴的交点坐标为(0，b )．

探究点二：一次函数的性质

【类型一】 判断增减性和图象经过的象限等

对于函数y ＝－5x ＋1，下列结论：

①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x ＞1时，y ＜0；④y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的个数是( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

解析：∵当x ＝－1时，y ＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(1，－5)不在一次函数的图象上，故①错误；∵k ＝－5＜0，b ＝1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；∵x ＝1时，y ＝－5×1＋1＝－4.又∵k ＝－5＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＞1时，y ＜－4，则y ＜0，故③正确，④

错误．综上所述，正确的只有③.故选B.

方法总结：一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．

【类型二】 一次函数的图象与系数的关系

已知函数y ＝(2m －2)x ＋m ＋1， (1)当m 为何值时，图象过原点？ (2)已知y 随x 增大而增大，求m 的取值范围；

(3)函数图象与y 轴交点在x 轴上方，求m 的取值范围；

(4)图象过第一、二、四象限，求m 的取值范围．

解析：(1)根据函数图象过原点可知，m ＋1＝0，求出m 的值即可；(2)根据y 随x 增大而增大可知2m －2＞0，求出m 的取值范围即可；(3)由于函数图象与y 轴交点在x 轴上方，故m ＋1＞0，进而可得出m 的取值范围；(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m 的不等式组，求出m 的取值范围．

解：(1)∵函数图象过原点，∴m ＋1＝0，即m ＝－1；

(2)∵y 随x 增大而增大，∴2m －2＞0，解得m ＞1；

(3)∵函数图象与y 轴交点在x 轴上方，∴m ＋1＞0，解得m ＞－1；

(4)∵图象过第一、二、四象限，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧2m －2<0，m ＋1>0，解得－1＜m ＜1. 方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中，当k ＜0，b ＞0时，函数图象过第一、二、四象限．

探究点三：一次函数图象的平移

在平面直角坐标系中，将直线l 1：

y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，则下列平移作法正确的是( )

A ．将l 1向右平移3个单位长度

B ．将l 1向右平移6个单位长度

C ．将l 1向上平移2个单位长度

D ．将l 1向上平移4个单位长度 解析：∵将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，

得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，∴－2(x ＋a )－2

＝－2x ＋4，解得a ＝－3，故将l 1向右平移3个单位长度．故选A.

方法总结：求直线平移后的解析式时要注意平移时k 的值不变，只有b 发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．

探究点四：一次函数的图象与性质的综合运用

一次函数y ＝－2x ＋4的图象如

图，图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .

(1)求A 、B 两点坐标；

(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积．

解析：(1)x 轴上所有的点的纵坐标均为0，y 轴上所有的点的横坐标均为0；(2)利用(1)中所求的点A 、B 的坐标可以求得OA 、OB 的长度．然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB 的面积．

解：(1)对于y ＝－2x ＋4，令y ＝0，得－2x ＋4＝0，∴x ＝2.∴一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 轴的交点A 的坐标为(2，0)；令x ＝0，得y ＝4.∴一次函数y ＝－2x ＋4的图象与y 轴的交点B 的坐标为(0，4)；

(2)由(1)中知OA ＝2，OB ＝4.∴S △AOB ＝12·OA ·OB ＝12×2×4＝4.∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.

方法总结：求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可求面积．

三、板书设计

1．一次函数的图象 2．一次函数的性质

3．一次函数图象的平移规律

本节课，学生活动设计了三个方面：一是通过画