余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷(二)

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余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷(一)

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷（一）（时间90分钟，满分120分）姓名原班级得分一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．化简2(2)(2)a a a -⋅--的结果是（）（A ）24a - （B ）26a - （C ）24a （D ）22a 2．下列说法正确的是（）（A ）64的平方根的立方根是±2；（B ）零的相反数和倒数都是零；（C ）若0x y +=，那么xy的值为－1；（D ）若x x a +=，则a 是正数．3．如右图，三个正方形有一个公共顶点A ，那么∠1的度数为（）（A ）10° （B ）15° （C ）20° （D ）25°4．袋中有一白一红两个球，它们只是颜色不同其余都相同，从袋中摸出一个球，放回袋中，然后再摸出一个球，那么两次摸出红球的次数可能是（）（A ）0次（B ）1次（C ）2次（D ）0次或1次或2次 5．下列各对数的大小比较错误的是（）（A）12<（B）11> （C ） 3.14π-<- （D ）2435-<- 6．如右图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案，已知此图案的总面积是49，小正方形的面积是4，x ，y 分别表示矩形的长和宽，那么下面式子中不正确的是（）（A ）7x y += （B ）2x y -= （C ）4449xy += （D ）2225x y += 7．若11x x--=，则441x x +的值是（）（A ）1 （B ）7 （C ）9 （D ）11 8．如右图，在△ABC 中，12DC EA FB DB EC FA ===，则△GHI 与△ABC 面积的比值为（）（A ）15 （B ）16 （C ）17 （D ）18二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．已知丁丁与宁宁衣服上的号码在镜子中的形状分别如右图，那么丁丁，宁宁衣服上的号码实际分别130︒45︒第3题图 xy第6题图IH GFEDCBA 第8题图为．10．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，请你研究一下它的规律，计算第23个三角形数与第21个三角形数的差是． 11．若3(1)1x x ++=，则x 可取的值为．12．如果a ，b ，c 为整数，且220.5a b c +=-=，2001a b c k ++=，则k 的最小正整数值是．13．如右图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC=2∠B ，∠B=2∠DAE ，那么∠ACB= （度）． 14．甲乙丙丁四个人同时参加一次数学竞赛，赛后，他们四个人预测名次的谈话如下：甲说：丙第一名，我第三名；乙说：我第一名，丁第四名；丙说：丁第二名，我第三名；丁没有说话。

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导集训试卷(二)

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛集训试卷（二）(时间90分钟，满分120分)一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1. 已知x xx x -=-11，则x 应满足（） (A) x ＜1 (B) x ≤0 (C) x ＞1 (D) x ≥0且x ≠12. 有一个游戏的规则是：你想一个数，乘以2，加上6，再除以2，最后减去你所想的数，我就知道结果．这个结果是（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 43. 如图，Rt ABC Δ中，DC 是斜边AB 上的中线，EF 过点C 且平行于AB ．若︒=∠35BCF ，则ACD ∠的度数是（）(A) 35° (B) 45°(C) 55° (D) 65°4．一个立方体的表面展开图如下面左图所示，将其折叠成立方体后的立体图形是（）5. 已知x ，y ，z 满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（）(A) 31 (B) 31- (C) 1 (D) 216. 801班的全体同学为本校一贫困生共捐款125元，根据下表（不完整）中该班的捐款数和捐款人数，可以知道该班捐款数的平均数和中位数依次是（）(A) 2.5元，2元 (B) 2.5元，2.5元 (C) 2元，2.5元 (D) 2元，2元7. 袋中装有3个红球、4个黑球、5个白球．现从袋中任意摸出2个球，摸出的球中恰好有1个红球的概率是（）(A) 449 (B)229 (C)115 (D)31(第4题)(A) (B) (C)(D) (第3题)8. 如图，点A 是5×5方格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长都是1．那么，面积等于25，并且一个顶点是A 点的格点．．等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数有（）(A) 10个 (B) 12个 (C) 14个 (D) 16个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 化简1)111(2-÷-+x xx 得，当x = (选择一个你喜欢的x 值)时，求得原式的值为． 10. 计算008200621861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 的结果是． 11. 观察下列各式：225100)11(115+⨯+⨯=；225100)12(225+⨯+⨯=； 225100)13(335+⨯+⨯=；……依此规律，第n 个等式(n 为正整数)为．12. 一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为．13. 三个同学对问题“若二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111,c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,4,3y x 求方程组⎩⎨⎧=+=+222111523,523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．14. 某文具店销售的水笔只有A ，B ，C 三种型号，下表中给出了上月这三种型号水笔每支的利润和销售量．若该店计划下月共进货这三种型号水笔600支，结合上月销售情况，你认为A ，B ，C 三种型号的水笔各进货多少支总利润最高？此时所获得的总利润是多少？答：进A 型水笔支，B 型水笔支，C 型水笔支，总利润最高，此时所获得的总利润为元．(第8题)A ，B ，C 三种水笔每支利润和销售量三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15. 当x 分别取值00821，00721，…，31，21，1，2，3，…，2 007，2 008时，求所得各代数式2211x x +-值的和．16. 已知一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数是x ，方差是2S ，设另一组数据b ax x +='11，b ax x +='22，b ax x +='31，…，b ax x n n +='的平均数是x '，方差是2S '．请说明以下等式成立的理由：(1) b x a x +='；(2) 222S a S ='．17. 已知四边形ABCD 两条对角线互相垂直，点O 是对角线的交点，∠ACD =60 ，∠ABD =45，点A 到CD 的距离是6，点D 到AB 的距离是8，求四边形ABCD 的面积S ．18. 现有一张矩形纸片ABCD (如图)，其中AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点B '．求线段C B '的长． BA CD (第18题)B 'A BC DO(第17题)。

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷(三)

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷（三）（时间90分钟，满分120分）姓名原班级得分一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．一条船向北偏东60°的方向航行到某地，然后依原航线返回，船返回时航行的正确方向是（）（A ）南偏西40° （B ）北偏西60° （C ）北偏西40° （D ）南偏西60° 2．已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b c b +--的结果是（）（A ）a c + （B ）a c - （C ）c a -- （D ）c b a -+2 3．已知x a y b=⎧⎨=⎩是方程组2527x y x y +=⎧⎨+=⎩的解, 则a b -的值为（）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）－14．“银泰”商场于2007年1月份开业，凡持有“银泰贵宾卡”的顾客可享受打折购物，其中一条围巾标价为242元，若以9折出售，商家仍可获利10%，则这条围巾的成本为（）（A ）178 （B ）188 （C ）198 （D ）208 5．如图，有一个均匀的圆铁片，两面上分别写有1、2，有一个均匀的三棱锥旋转器和一个均匀的四棱锥旋转器，它们的侧面上分别写有1、2、3和1、2、3、 4。

在桌面上同时旋转这三件器物，停下来后，面向桌面的三个数字的积为奇数的概率是（）（A ）21 （B ）31 （C ）61 （D ）81 6．一本练习册内有24份练习卷，总共有426道练习题，每份练习卷中有25题或20题或16题，那么这本练习册中有25题的练习卷的份数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47．盒子里有l0个球，每个球上写有1—10中的1个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数的和可能是3，4，…，19。

现从盒中随意取两个球，这两个球上的数的和，最有可能出现的是（）（A ）10 （B ）11 （C ）13 （D ）148．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分点图，请你推算出P 处所对应的点图是（）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数,那么第2009名学生所报的数是．（A ）（B ）（C ）（D ）第8题图10．在时钟的钟面上，时针和分针互相垂直的时刻是，， ___ _ ____（请写出你知道的三个时间）．11．老王想估计一下自己池塘里鱼的数量，第一天他捕上50条鱼做好标记，重新放回池塘，过了几天带标记的鱼完全混合于鱼群中，他又去捕捞了168条，发现做标记的鱼有8条，你帮老王估算一下池塘里的鱼为 ___________条．12．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．．．．．． 13．如图，梯形ABCD 被对角线分为四个小三角形．已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25m 2和35m 2，那么梯形的面积是 m 2．14．如图，四边形ABDC 中，△ EDC 是由△ABC 绕顶点C 旋转40°所得，顶点A 恰好转到AB 上一点E 的位置，则∠1+∠2= 度．二、解答题（共4小题，分值依次为12分，12分，12分和14分，满分50分）15．某商店有A 种练习本出售，每本零售价为0.30元，1打（12本）售价为3.00元，买10打以上的，每打还可以按2.70元付款。

余杭区2009年“假日杯”初中数学竞赛试卷参考答案和评分标准

余杭区2009年“假日杯”初中数学竞赛试卷参考答案和评分标准一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分) 1. 答案：D解：分别在这三个代数式中，交换任意两个字母，其代数式都不变，故选D ． 2. 答案：C解：由加权平均数的算法可知，所求的百分数应选C ．或通过“7月份的总支出－6月份的总支出)÷6月份的总支出”来计算． 3. 答案：B解：这一列数的规律是121n -+，当n =10即第10个数是10121-+=513．故选B ． 4. 答案：D解：222a b c bc ac ab ++3331[()]a b a b abc=+-+221[33]a b ab abc =--3()a b c =-+3()3c c=-⨯-=．故选D ．(也可用赋值法解答)5. 答案：A解：如图，虚线为折痕，由折法知，AE∠AED =∠DEC ，又∠DEC =∠ADE ，∴∠AED =∠ADE ．∴AD =AE形纸片ABCD的面积＝1 1.4．故选A ． 6. 答案：A解：易知△DEF 是等边三角形，且Rt △ADF ≌Rt △BED ≌Rt △CFE ．设点G 是Rt △ADF 斜边AF 的中点，连结DG ，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以Rt △ADG 是等边三角形．设AD =a ，则等边三角形ABC 的边长是3a ，2；可求得等边三角形DEF，2．所以△DEF 的面积与△ABC 的面积之比是1∶3，故选A ． 7. 答案：C解：从甲地到乙地3人共有27种不同的走法，其中恰有两人走同一条a 道路的走法共有6种情况，故所求的概率是62279=，故选C ． A BCD(第5题)E8. 答案：B解：作辅助线如图所示，则Rt △ADB ≌Rt △BEC ，BE =AD =7，∵2BC 2=AC 2，∴212BC =，又11EC ==．则CF =CE -EF =11-7=4，即l 1，l 2之间的距离为4，故选B ．二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分) 9. 答案：20°解：根据题意，画出示意图如图①、图②所示．在图①中，∠BDC =45°-∠ADC =45°-[180°-(40°+90°)]÷2=20°；在图②中，∠BDC =∠ADC -45° =[180°-(90°-40°)]÷2-45°=20°．故答案为20°． 10. 答案：8或10 解：设众数是8，则由3685x+=，解得4x =，故中位数是8；设众数是10，则由36105x+=，解得14x =．故中位数是10． 11. 答案：1,x n y m =+⎧⎨=-⎩解：经观察，将1,x n y m =+=-代入111222,a x y a c a x y a c -=+⎧⎨-=+⎩ 得1122,.a n m c a n m c +=⎧⎨+=⎩ 恰满足已知条件，故所求方程组的解是1,.x n y m =+⎧⎨=-⎩12. 解：cm cm cm ， ∵ 222+=， ∴ 底面是直角三角形．故所求的上底面面积为12=2)．(第8题)l 1 l 2l 3ACBEDFB CDAA BCD图①图②13. 答案：abc +14π2ab 解：该几何体是一个直四棱柱和一个圆柱组合而成，棱柱的体积是abc ，圆柱的体积是π2()2b a ，所以这个几何体的体积是abc +14π2ab ．14. 答案：22号或29号解：设小李的出生日期是x 号，则小王的出生日期是(x -7k )号，其中k =1，2，3，4，且x 和x -7k 都是不大于31的正整数．据题意，得(x -7k )+x =30，7152x k =+．∵x 是整数，∴k 只能取2或4．当k =2时，x =22，x -7k =8；当k =4时，x =29，x -7k =1．∴小李的出生日期是22号或29号．三、解答题(共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分) 15．(12分)解：(1)；……2分(cm)，或……4分cm ．……3分(2) 蚂蚁爬过的棱长依次为5cm ，4cm ，5cm ，4cm ，3cm ，4cm ，5cm 时，其路程为最长，最长路程是30cm ． ……3分 16．(12分)解：EF +EG =AD ． ……2分连结EC ，则1122ABC EBC ECA S S S BC EF AC EG ∆∆∆=+=⋅+⋅．……2分又BC =AC ， ∴ 1()2ABC S BC EF EG ∆=+．……2分另一方面，12ABC S BC AD ∆=⋅． ……2分 ∴ EF +EG =AD ．……4分ABCD E G(第16题)F17．(12分)解：22222,233,a a b b a b ab b ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩①②①×3-②，得 222233a b a b ab -=-． ……3分得 (a -b )(a +b )=3ab (a -b )． ……3分由条件，知 a -b ≠0， ∴ a +b =3ab ．……3分由题意，得 ab ≠0，∴ 在a +b =3ab 的两边都除以ab ，得 113a b+=． ……3分评分注：若取a =1，b =12，则113a b+=．则可得6分． 18．(14分)解：设5路公交车的速度是x 米／分，小王行走的速度是y 米／分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．由每隔6分钟从背后开过一辆5路公交车，得 66x s y =+．……4分由每隔3分钟从迎面驶来一辆5路公交车，得 33x y s +=． ……4分由以上两式，得 4s x =．……3分所以4sx=，即5路公交车总站发车的间隔时间是4分钟．……3分评分注：(1)知道“发车的间隔时间=同向行驶的相邻两车的间距÷5路公交车的速度”，可得2分；(2)只有答案“4分钟”，但没有过程(或过程太简略)，也可得3分．2009年11月。

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷(八)

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷（八）（时间90分钟，满分120分）姓名原班级得分一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．有以下两个结论：① 任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；② 如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数。

则（）（A ）①，②都不对；（B ）①对，②不对；（C ）①，②都对；（D ）①不对，②对；2．数轴上坐标是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2009厘米的线段AB,则线段AB 盖住的整点的个数是( )（A ）2008 或2009 （B ）2008或 2010 （C ）2009 或2010 （D ）2010 或20113．用9根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，且2DC ＝BD ，则∠B 满足( )（A ）0<∠B<15° （B ）∠B ＝15°（C ）15°<∠B<30° （D ）∠B ＝30°5．已知2)(,111mn n m n m n m -+=-则的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36．已知的值为则1,013422+=+-a a a a （）（A ）21 （B ）52 （C ）91 （D ）71 7．初一（1）班7 学生60名，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的14多2人，则同时参加这两个小组的人数是（）（A ）16 （B ）12 （C ）10 （D ）88．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（（A ）73cm（B ）74cm（C ）75cm （D ）76cm ① ② （第8题）（第4题）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．计算：⎝⎛⎭⎫m m －2－m m ＋2·2－m m ＝． 10．若x ＋y ＝3，x 2－y 2＝21，则x 3＋12y 3＝__________．11．直角三角形的周长等于24cm ，斜边上的中线长为5cm ，则此三角形的面积等于．12．如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则x y z -+的值为．13．如图，D 、E 分别是ABC 的AC 、AB 边上的点，BD 、CE 相交于点O ，若S △OCD =2， S △OBE =3，S △OBC =4，那么 S ADOE = ．14．如图AE 是∠CAB 的平分线，DE 是∠CDB 的平分线，∠C= 40°，∠E=35°，那么∠B 的度数为．二、解答题（共4小题，分值依次为12分，12分，12分和14分，满分50分）15．如图，一张长方形纸片ABCD ，AD=9cm ，AB=3cm ，将它折叠，使点D 与点B 重合，求△ABE 与长方形ABCD 的面积比．16．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图16-1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试。

余杭区2009年假日杯初中数学竞赛试卷(含答案)

余杭区2009年“假日杯”初中数学竞赛试卷(2009年11月21日上午9∶00—10∶30)题次一二三总分 1～8 9～14 15 16 17 18 得分说明：试卷满分120分，不能使用计算器．一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分)1. 若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a +b +c 就是一个完全对称式.已知三个代数式：①a (b +c )+b (a +c )+c (a +b )； ②a 2bc +b 2ac +c 2ab ；③a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac ．其中是完全对称式的( ) A ．只有①②B ．只有①③C ．只有②③D ．有①②③2. 小王、小李、小张3个家庭6月份的水电费支出依次为a 元、b 元、c 元．这3家7月份的水电费支出依次比6月份增长了10%、30%、20%．这3家7月份的总支出比6月份增长的百分数是( ) A ．10%30%20%3++B ．10%30%20%3a b c⨯+⨯+⨯C ．10%30%20%a b ca b c⨯+⨯+⨯++D ．10%30%20%10%30%20%a b c⨯+⨯+⨯++3. 已知一列有规律的数：2，3，5，9，17，33，…，其中第10个数是( )A ．512B ．513C ．1024D ．10254. 已知abc ≠0，且a +b +c =0，则代数式222a b c bc ac ab++的值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．35. 如图，已知长方形纸片ABCD ，AB =1．以点A 所在直线为折痕折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于点E ；再以点E 所在直线为折痕折叠纸片，使点A 落在射线BC 上，若折痕恰好经过点D ，则长方形纸片ABCD 的面积约为( ) A ．1.4B ．1.5C ．1.6D ．1.76. 如图，D ，E ，F 分别是等边三角形ABC 的边AB ，BC ，AC 上的点，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．2∶5D ．3∶57. 从甲地到乙地有a ，b ，c 三条道路可走，小王、小李、小张都任选一条道路从甲地到乙地．则ABCD(第5题) (第6题)E CFDAB恰有两人走同一条a 道路的概率是( ) A ．23 B ．13C ．29D ．198. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，285AC =，三个顶点C ，A ，B 依次在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 2，l 3之间的距离为7 ，那么 l 1，l 2之间的距离为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分)9. 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，以AB 为边作等腰直角三角形ABD ，使∠BAD =90°，连结DC ．则∠BDC 的度数为．10. 已知5个数据：8，8，x ，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是． 11. 已知方程组1122,a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩的解是,,x n y m =⎧⎨=⎩则关于x ，y 的方程组111222,a x y a c a x y a c -=+⎧⎨-=+⎩的解是 (解中不含a 1，c 1，a 2，c 2)．12. 侧棱长为15cm 的直三棱柱的三个侧面面积分别为252cm 2、255cm 2和253cm 2，则该棱柱上底面的面积为 cm 2．13. 一个几何体的三视图如图所示(图中的a ，b ，c 为相应的线段长度)，则这个几何体的体积是．14. 小王和小李都生于某年的1月份，他们的出生日不是同一天，但都出生于星期日，且小王比小李早出生．两人出生日期之和是30，那么小李的出生日期是1月份的．三、解答题(共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分)15. 如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求：(1) 蚂蚁经过的最短路程；(2) 蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程．(第13题) 主视图左视图俯视图a b c(第8题)l 1 l 2l 3ACBAB16. 如图，AD是等边三角形ABC的高，点E在AB上，EF⊥BC于F，EG⊥AC于G．请判断EF+EG与AD的大小，并说明理由．17. 已知22a ab b=+，222233a b ab b+=+，其中abc(a-b)≠0，求11a b+的值．AB CDEGF得分评卷人18. 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆5路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆5路公交车．假设每辆5路公交车行驶速度相同，而且公交车终点站每隔固定时间发一辆5路公交车．试求5路公交车发车的间隔时间．余杭区2009年“假日杯”初中数学竞赛试卷参考答案和评分标准一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分) 1. 答案：D解：分别在这三个代数式中，交换任意两个字母，其代数式都不变，故选D ． 2. 答案：C解：由加权平均数的算法可知，所求的百分数应选C ．或通过“7月份的总支出－6月份的总支出)÷6月份的总支出”来计算． 3. 答案：B解：这一列数的规律是121n -+，当n =10即第10个数是10121-+=513．故选B ． 4. 答案：D解：222a b c bc ac ab ++3331[()]a b a b abc =+-+221[33]a b ab abc =--3()a b c =-+3()3c c=-⨯-=．故选D ．(也可用赋值法解答)5. 答案：A解：如图，虚线为折痕，由折法知，AE =2．∠AED =∠DEC ，又∠DEC =∠ADE ，∴∠AED =∠ADE ．∴AD =AE =2．∴矩形纸片ABCD 的面积＝12⨯≈1.4．故选A ． 6. 答案：A解：易知△DEF 是等边三角形，且Rt △ADF ≌Rt △BED ≌Rt △CFE ．设点G 是Rt △ADF 斜边AF 的中点，连结DG ，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以Rt △ADG 是等边三角形．设AD =a ，则等边三角形ABC 的边长是3a ，面积是2934a ；可求得等边三角形DEF 的边长是3a ，面积是2334a ．所以△DEF 的面积与△ABC 的面积之比是1∶3，故选A ． 7. 答案：C解：从甲地到乙地3人共有27种不同的走法，其中恰有两人走同一条a 道路的走法共有6种情况，故所求的概率是62279=，故选C ． ABCD(第5题)E8. 答案：B解：作辅助线如图所示，则Rt △ADB ≌Rt △BEC ，BE =AD =7，∵2BC 2=AC 2，∴21(285)1702BC ==，又2222(170)711EC BC BE =-=-=．则CF =CE -EF =11-7=4，即l 1，l 2之间的距离为4，故选B ．二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分) 9. 答案：20°解：根据题意，画出示意图如图①、图②所示．在图①中，∠BDC =45°-∠ADC =45°-[180°-(40°+90°)]÷2=20°；在图②中，∠BDC =∠ADC -45° =[180°-(90°-40°)]÷2-45°=20°．故答案为20°．10. 答案：8或10解：设众数是8，则由3685x +=，解得4x =，故中位数是8；设众数是10，则由36105x+=，解得14x =．故中位数是10． 11. 答案：1,x n y m =+⎧⎨=-⎩解：经观察，将1,x n y m =+=-代入111222,a x y a c a x y a c -=+⎧⎨-=+⎩ 得1122,.a n m c a n m c +=⎧⎨+=⎩ 恰满足已知条件，故所求方程组的解是1,.x n y m =+⎧⎨=-⎩12. 答案：25618解：由条件，得上底面的边长分别为523cm 、553cm 和533cm ， ∵ 222525355()()()333+=， ∴ 底面是直角三角形．故所求的上底面面积为1525325623318⨯⨯=(cm 2)． 13. 答案：abc +14π2ab解：该几何体是一个直四棱柱和一个圆柱组合而成，棱柱的体积是abc ，圆柱的体积是π2()2ba ，所以这个几何体的体积是abc +14π2ab ． 14. 答案：22号或29号解：设小李的出生日期是x 号，则小王的出生日期是(x -7k )号，其中k =1，2，3，4，且x 和x -7k(第8题)l 1 l 2l 3ACBEDF B C D A A B CD图① 图②都是不大于31的正整数．据题意，得(x -7k )+x =30，7152x k =+．∵x 是整数，∴k 只能取2或4．当k =2时，x =22，x -7k =8；当k =4时，x =29，x -7k =1．∴小李的出生日期是22号或29号．三、解答题(共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分) 15．(12分)解：(1) 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为22(53)480++=(cm)；……2分若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为22(43)574++=(cm)，或22(45)390++=(cm) ……4分所以蚂蚁经过的最短路程是74cm ．……3分(2) 蚂蚁爬过的棱长依次为5cm ，4cm ，5cm ，4cm ，3cm ，4cm ，5cm 时，其路程为最长，最长路程是30cm ． ……3分 16．(12分)解：EF +EG =AD ． ……2分连结EC ，则 1122ABC EBC ECA S S S BC EF AC EG ∆∆∆=+=⋅+⋅．……2分又BC =AC ， ∴ 1()2ABC S BC EF EG ∆=+．……2分另一方面，12ABC S BC AD ∆=⋅． ……2分∴ EF +EG =AD ． ……4分17．(12分)解：22222,233,a a b b a b ab b ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩①② ①×3-②，得 222233a b a b ab -=-． ……3分得 (a -b )(a +b )=3ab (a -b )． ……3分由条件，知 a -b ≠0， ∴ a +b =3ab ．……3分由题意，得 ab ≠0，∴ 在a +b =3ab 的两边都除以ab ，得 113a b+=．……3分评分注：若取a =1，b =12，则113a b+=．则可得6分． 18．(14分)解：设5路公交车的速度是x 米／分，小王行走的速度是y 米／分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．由每隔6分钟从背后开过一辆5路公交车，得 66x s y =+．……4分ABCD E G(第16题)F由每隔3分钟从迎面驶来一辆5路公交车，得 33x y s +=． ……4分由以上两式，得 4s x =．……3分所以4sx=，即5路公交车总站发车的间隔时间是4分钟．……3分评分注：(1)知道“发车的间隔时间=同向行驶的相邻两车的间距÷5路公交车的速度”，可得2分；(2)只有答案“4分钟”，但没有过程(或过程太简略)，也可得3分．2009年11月。

余杭区2009年“假日杯”初中数学竞赛试卷(含答案)

余杭区2009年“假日杯”初中数学竞赛试卷(2009年11月21日上午9∶00—10∶30)题次一二三总分 1～8 9～14 15 16 17 18 得分说明：试卷满分120分，不能使用计算器．一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分)1. 若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a +b +c 就是一个完全对称式.已知三个代数式：①a (b +c )+b (a +c )+c (a +b )； ②a 2bc +b 2ac +c 2ab ；③a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac ．其中是完全对称式的( ) A ．只有①②B ．只有①③C ．只有②③D ．有①②③2. 小王、小李、小张3个家庭6月份的水电费支出依次为a 元、b 元、c 元．这3家7月份的水电费支出依次比6月份增长了10%、30%、20%．这3家7月份的总支出比6月份增长的百分数是( ) A ．10%30%20%3++B ．10%30%20%3a b c⨯+⨯+⨯C ．10%30%20%a b ca b c⨯+⨯+⨯++D ．10%30%20%10%30%20%a b c⨯+⨯+⨯++3. 已知一列有规律的数：2，3，5，9，17，33，…，其中第10个数是( )A ．512B ．513C ．1024D ．10254. 已知abc ≠0，且a +b +c =0，则代数式222a b c bc ac ab++的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．35. 如图，已知长方形纸片ABCD ，AB =1．以点A 所在直线为折痕折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于点E ；再以点E 所在直线为折痕折叠纸片，使点A 落在射线BC 上，若折痕恰好经过点D ，则长方形纸片ABCD 的面积约为( ) A ．1.4B ．1.5C ．1.6D ．1.76. 如图，D ，E ，F 分别是等边三角形ABC 的边AB ，BC ，AC 上的点，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．2∶5D ．3∶57. 从甲地到乙地有a ，b ，c 三条道路可走，小王、小李、小张都任选一条道路从甲地到乙地．则ABCD(第5题) (第6题)E CFDAB恰有两人走同一条a 道路的概率是( )A ．23 B ．13C ．29D ．198. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，285AC =，三个顶点C ，A ，B 依次在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 2，l 3之间的距离为7 ，那么 l 1，l 2之间的距离为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分)9. 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，以AB 为边作等腰直角三角形ABD ，使∠BAD =90°，连结DC ．则∠BDC 的度数为．10. 已知5个数据：8，8，x ，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是． 11. 已知方程组1122,a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩的解是,,x n y m =⎧⎨=⎩则关于x ，y 的方程组111222,a x y a c a x y a c -=+⎧⎨-=+⎩的解是 (解中不含a 1，c 1，a 2，c 2)．12. 侧棱长为15cm 的直三棱柱的三个侧面面积分别为252cm 2、255cm 2和253cm 2，则该棱柱上底面的面积为 cm 2．13. 一个几何体的三视图如图所示(图中的a ，b ，c 为相应的线段长度)，则这个几何体的体积是．14. 小王和小李都生于某年的1月份，他们的出生日不是同一天，但都出生于星期日，且小王比小李早出生．两人出生日期之和是30，那么小李的出生日期是1月份的．三、解答题(共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分)15. 如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求：(1) 蚂蚁经过的最短路程；(2) 蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程．(第13题) 主视图左视图俯视图a b c(第8题)l 1l 2 l 3ACBAB16. 如图，AD是等边三角形ABC的高，点E在AB上，EF⊥BC于F，EG⊥AC于G．请判断EF+EG与AD的大小，并说明理由．17. 已知22a ab b=+，222233a b ab b+=+，其中abc(a-b)≠0，求11a b+的值．AB CDEGF得分评卷人18. 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆5路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆5路公交车．假设每辆5路公交车行驶速度相同，而且公交车终点站每隔固定时间发一辆5路公交车．试求5路公交车发车的间隔时间．余杭区2009年“假日杯”初中数学竞赛试卷参考答案和评分标准一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分) 1. 答案：D解：分别在这三个代数式中，交换任意两个字母，其代数式都不变，故选D ． 2. 答案：C解：由加权平均数的算法可知，所求的百分数应选C ．或通过“7月份的总支出－6月份的总支出)÷6月份的总支出”来计算． 3. 答案：B解：这一列数的规律是121n -+，当n =10即第10个数是10121-+=513．故选B ． 4. 答案：D解：222a b c bc ac ab ++3331[()]a b a b abc=+-+221[33]a b ab abc =--3()a b c =-+3()3c c=-⨯-=．故选D ．(也可用赋值法解答)5. 答案：A解：如图，虚线为折痕，由折法知，AE =2．∠AED =∠DEC ，又∠DEC =∠ADE ，∴∠AED =∠ADE ．∴AD =AE =2．∴矩形纸片ABCD 的面积＝12⨯≈1.4．故选A ． 6. 答案：A解：易知△DEF 是等边三角形，且Rt △ADF ≌Rt △BED ≌Rt △CFE ．设点G 是Rt △ADF 斜边AF 的中点，连结DG ，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以Rt △ADG 是等边三角形．设AD =a ，则等边三角形ABC 的边长是3a ，面积是2934a ；可求得等边三角形DEF 的边长是3a ，面积是2334a ．所以△DEF 的面积与△ABC 的面积之比是1∶3，故选A ． 7. 答案：C解：从甲地到乙地3人共有27种不同的走法，其中恰有两人走同一条a 道路的走法共有6种情况，故所求的概率是62279=，故选C ． ABCD(第5题)E8. 答案：B解：作辅助线如图所示，则Rt △ADB ≌Rt △BEC ，BE =AD =7，∵2BC 2=AC 2，∴21(285)1702BC ==，又2222(170)711EC BC BE =-=-=．则CF =CE -EF =11-7=4，即l 1，l 2之间的距离为4，故选B ．二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分) 9. 答案：20°解：根据题意，画出示意图如图①、图②所示．在图①中，∠BDC =45°-∠ADC =45°-[180°-(40°+90°)]÷2=20°；在图②中，∠BDC =∠ADC -45° =[180°-(90°-40°)]÷2-45°=20°．故答案为20°．10. 答案：8或10解：设众数是8，则由3685x +=，解得4x =，故中位数是8；设众数是10，则由36105x+=，解得14x =．故中位数是10． 11. 答案：1,x n y m =+⎧⎨=-⎩解：经观察，将1,x n y m =+=-代入111222,a x y a c a x y a c -=+⎧⎨-=+⎩ 得1122,.a n m c a n m c +=⎧⎨+=⎩ 恰满足已知条件，故所求方程组的解是1,.x n y m =+⎧⎨=-⎩12. 答案：25618解：由条件，得上底面的边长分别为523cm 、553cm 和533cm ， ∵ 222525355()()()333+=， ∴ 底面是直角三角形．故所求的上底面面积为1525325623318⨯⨯=(cm 2)．13. 答案：abc +14π2ab解：该几何体是一个直四棱柱和一个圆柱组合而成，棱柱的体积是abc ，圆柱的体积是π2()2ba ，所以这个几何体的体积是abc +14π2ab ． 14. 答案：22号或29号解：设小李的出生日期是x 号，则小王的出生日期是(x -7k )号，其中k =1，2，3，4，且x 和x -7k(第8题)l 1 l 2l 3ACBEDF B C D A A B CD图① 图②都是不大于31的正整数．据题意，得(x -7k )+x =30，7152x k =+．∵x 是整数，∴k 只能取2或4．当k =2时，x =22，x -7k =8；当k =4时，x =29，x -7k =1．∴小李的出生日期是22号或29号．三、解答题(共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分) 15．(12分)解：(1) 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为22(53)480++=(cm)；……2分若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为22(43)574++=(cm)，或22(45)390++=(cm) ……4分所以蚂蚁经过的最短路程是74cm ．……3分(2) 蚂蚁爬过的棱长依次为5cm ，4cm ，5cm ，4cm ，3cm ，4cm ，5cm 时，其路程为最长，最长路程是30cm ． ……3分 16．(12分)解：EF +EG =AD ． ……2分连结EC ，则1122ABC EBC ECA S S S BC EF AC EG ∆∆∆=+=⋅+⋅．……2分又BC =AC ， ∴ 1()2ABC S BC EF EG ∆=+．……2分另一方面，12ABC S BC AD ∆=⋅． ……2分∴ EF +EG =AD ．……4分17．(12分)解：22222,233,a a b b a b ab b ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩①② ①×3-②，得 222233a b a b ab -=-． ……3分得 (a -b )(a +b )=3ab (a -b )． ……3分由条件，知 a -b ≠0， ∴ a +b =3ab ．……3分由题意，得 ab ≠0，∴ 在a +b =3ab 的两边都除以ab ，得 113a b+=．……3分评分注：若取a =1，b =12，则113a b+=．则可得6分． 18．(14分)解：设5路公交车的速度是x 米／分，小王行走的速度是y 米／分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．由每隔6分钟从背后开过一辆5路公交车，得 66x s y =+．……4分ABCD E G(第16题)F由每隔3分钟从迎面驶来一辆5路公交车，得 33x y s +=． ……4分由以上两式，得 4s x =．……3分所以4sx=，即5路公交车总站发车的间隔时间是4分钟．……3分评分注：(1)知道“发车的间隔时间=同向行驶的相邻两车的间距÷5路公交车的速度”，可得2分；(2)只有答案“4分钟”，但没有过程(或过程太简略)，也可得3分．2009年11月。

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导集训试卷(四)

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛集训试卷（四）(时间90分钟，满分120分)一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）A ．21B ．22C ．23D ．24 2．若11,11=+=+zy y x ，则xyz 的值等于（） A ．1 B ．－1 C ．1± D ．2 3．若四边形ABCD 的对角∠BAD 与∠BCD 的角平分线互相平行，则∠B 与∠D 的关系为（）．A ．∠B=∠DB ．∠B ＞∠DC ．∠B 与∠D 互补 D ．∠B ＜∠D4．△ABC 的三个内角A 、B 、C 的外角依次记为α、β、γ，若β=2B ，α－γ=400，则三个内角A 、B 、C 的度数依次为（）A ．60°，60°，60°B ．30°，60°，90°C ．40°，60°，80°D ．50°，60°，70°5．若a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，且满足222244a cbc a b -=-.那么这个三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等边三角形6．某种出租车的收费标准是：起步价是５元（即行驶距离不超过３千米都需付５元车费），超过３千米以后，每增加0.5千米，加0.9收0.元，（不足0.5千米按０.5千米计），某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.4元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是（）千米．A ．12B ．11C ．10D ．9 7．已知20092008x a =+，20092009y a =+，20092010z a =+，则xz yz xy z y x ---++222的值为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，在斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN =45°．设MN=x ，BN=n ，AM=m ，则以x 、m 、n 为边的三角形的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的值而定ABCD EF （第3题）ABC MN（第8题）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，且c b =，化简：=+--++-c b c a b a b 2__________.10．若∠A 和∠B 的两边分别平行，且∠A 比∠B 的2倍还多30º，则∠B 的度数为．11．如图，在等边三角形ABC 的AC ，BC 边上各取一点P 、Q ，使AP=CQ ，AQ ，BP 相交于点O ，那么∠BOQ 的度数为．12．设a 、b 分别是等腰三角形的两条边的长，m 是这个三角形的周长，当a 、b 、m 满足方程组2724a b m ma b -=-⎧⎪⎨+=+⎪⎩时，m 的值是或． 13．盒子里有10个球，每个球上写有1～10中的1个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数的和可能是3，4，…，19．现从盒中随意取两个球，这两个球上的数的和，最有可能出现的是___ ____．14．如图，是一个工件的三视图，则此工件的表面积是．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、 12分和14分，满分50分）15．如图，在△ABC 中，已知BD ，CE 分别是△ABC的AC ，AB 边上的高，F 是DE 的中点，G 是BC 的中点.请说明GF ⊥DE 的理由．ABC O PQ（第11题）Ob（第9题）主视图左视图俯视图 EGFDCBA16．在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．（1）用含x的代数式表示y；（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？17．面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的．．．．．13%．．．给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？（2）列出方程（组）并解答．18．如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． ⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．B C图1 图2 B C A D E部分题答案：17. （1）每个空格填对得1分，满分5分．（2）解:依题意得2x -65x= 解得10x = 经检验10x =是原分式方程的解 220x ∴=．答:冰箱、电视机分别购买20台、10台 10分 16.18．⑴证明：在正方形ABCD 中， ∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ， ∴△CBE ≌△CDF ． ∴CE ＝CF ． ⑵解：GE ＝BE ＋GD 成立． ∵△CBE ≌△CDF ， ∴∠BCE ＝∠DCF ．∴∠ECD ＋∠ECB ＝∠ECD ＋∠FCD 即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，又∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°． ∵CE ＝CF ，∠GCF ＝∠GCE ，GC ＝GC ， ∴△ECG ≌△FCG ． ∴EG ＝GF ．∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ．⑶解：过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ．在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∠A ＝∠B ＝90°，又∠CGA ＝90°，AB＝BC ， ∴四边形ABCD 为正方形． ∴AG ＝BC ＝12．已知∠DCE ＝45°，根据⑴⑵可知，ED ＝BE ＋DG ．设DE ＝x ，则DG ＝x －4， ∴AD ＝16－x ．在Rt △AED 中，∵222AE AD DE +=，即()222816+-=x x ．解得：x ＝10．∴DE ＝10．B CA D EG。

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷(六)

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷（六）（时间90分钟，满分120分）姓名原班级得分一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．20042003(2)3(2)-+⨯-的值为( ) （A ）20032- （B ）20032（C ）20042- （D ）200422．在代数式a 2□4a □4的空格□中,任意填上“＋”或“－”,在所有得到的代数式中,能构成完全平方式的概率是（）（A ）1 （B ）12 （C ）13 （D ）143．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（）（A ）55种（B ）45种（C ）40种（D ）30种4．若长方形的周长为6，面积为1，以此长方形的长与宽为边分别作两个正方形，则此两个正方形的面积之和是（）（A ）7 （B ）9 （C ）5 （D ）11 5．已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于（）（A ）6 （B ）－6 （C ）215 （D ）27-6．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是 ( ) （A ）SSS （B ）ASA （C ）AAS （D ）SAS7．a 、b 是两个给定的整数，某同学分别计算当1x =-，1，2，4时，代数式ax b +的值，依次得到下列四个结果，已知其中只有三个是正确的，那么错误的一个是( )（A ）1a b +=- （B ）5a b += （C ）27a b += （D ）414a b += 8．在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=20°。

如右图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到△A ′B ′C 的位置，其中A ′，B ′分别是A ，B 的对应点，B 在A ′B ′上， CA ′交AB 于D ，则∠BDC 的度数为( ) （A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）60° 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．若│a │=3，2=b ，且ab 0<，则a b -=__________． 10．如图，锐角△ABC 中，AD 和CE 分别是BC 和AB 边上的高，CDBB ′A ′A第8题图ACB ′C ′D ′O ′A ′ODC BA第6题图若AD 与CE 所夹的锐角是58°，则∠BAC ＋∠BCA 的大小是． 11．已知2+x a 与2-x b 和等于442-x x ，则a = ，b = ． 12．在数学兴趣小组活动中，小明为了求12＋122＋123＋124＋…＋12n 的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则12＋122＋123＋124＋…＋12n 的值为____ ______（结果用n 的代数式表示）． 13．两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车；而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的舒适程度比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下面的问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有___ ____种不同的可能.（2）你认为甲、乙两人所采用的方案中，不巧坐到下．等车．．的可能性大小比较为： __ __(填“甲大”、 “乙大”、 “相同”)。

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷(九)

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导检测试卷（九）（时间90分钟，满分120分）姓名原班级得分一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．在海面上，灯塔位于一艘船的北偏东38 º，那么这艘船位于这个灯塔的（）（A ）南偏西38 º （B ）南偏西52 º （C ）北偏东38 º （D ）北偏东52 º 2．已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是（）（A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）14或16 3．在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，那么下列说法中不正确的是（）（A ）BC 边上的高线和中线互相重合（B ）AB 和AC 边上的中线相等（C ）三角形ABC 中∠B 和∠C 的角平分线相等（D ）等腰三角形最多有一条对称轴4．如图所示，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E 和F ，EG 平分∠BEF ，若∠1= 50 º，则∠2等于（）（A ）50º （B ）60º （C ）65º （D ）70º 5．如图所示，直线//a b ，则∠A 等于（）（A ）20º （B ）21º （C ）22º （D ）23º6．如图，已知点D ，E ，F 和点A ，B ，C 分别在同一直线上，1256∠=∠=︒，57D ∠=︒，则A ∠ 的度数（）（A ）是56° （B ）是57° （C ）是67° （D ）无法确定其大小7．如图，已知两条互相垂直的直线a 和b 相交于点O ，试在直线a ，b 上找一点Q ，使得△OPQ 为等腰三角形，这样的点Q 一共有（）（A ）8个（B ）7个（C ）6个（D ）5个 8．如图所示，直线AB 、CD 分别和EF 相交，已知AB ∥CD ，BA 平分∠CBE ，∠CBG=∠DFE ，那么与∠D 相等的角有（）（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个AB C D E F G （第8题）（第4题） E F D A C B G 1 2 b a AB C 44º21º (第5题) A BC D E F (第6题) 2 1 a b O P(第7题)二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠．若∠1＝64º，则∠2的度数是． 10．如图，AB ∥DE ， FC ⊥CD 于点C ，∠ABC =107°，∠CDE =130°，点G 在BC 的延长线上，则∠FCG 的度数是．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 在AB 上，AC=AD ，BE=BC ，则∠DCE 的大小是． 12．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=BC ，BD 是∠ABC 的平分线，则∠A= ． 13．如果两个角的两边分别平行，且有一个角是另一个角的3倍少30°，则这两个角的度数分别为．14．已知等腰三角形一腰长的中线将它的周长分成15cm 和12cm 两部分，那么这个等腰三角形的底边长为．二、解答题（共4小题，分值依次为12分，12分，12分和14分，满分50分） 15．如图所示，△ABC 中，∠ABC=100°，AM=AN ，CN=CP ，求∠MNP 的度数．ACMPN21 (第9题) (第10题) A B CE F G A B C D （第12题） B A C D （第11题）E16．如图所示：∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB •的相邻外角的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，则：①图中有几个等腰三角形？为什么？②BD ，CE ，DE 之间存在着什么关系？请证明．B A DCFE17．如图所示，已知AB ∥CD ，分别探讨下面四个图形中，∠ APC ，∠PAB 与∠PCD 的关系．17题图 B C D P A B C D P A B C D PA B CD PA （4）（3）（2）（1）18．如图所示，已知点E 、F 在直角三角形ABC 的边AB 所在的直线上，且AE=BF ，FH ∥EG ∥AC ，FH 、EG 分别交边BC 所在的直线于点H 、G ．（1）如图（1），如果点E 、F 在边AB 上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系为．（2）如图（2），如果点E 在边AB 上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系为．（3）如图（3），如果点E 在边AB 的反向延长线上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系为．对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予说明．C （1） EFG H AB C （2） E F G H A B C E F HA B （3） G。

2009年全国初中数学联赛(含答案)

12009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．设71a =，则32312612a a a +--=（）A ．24B ．25C ．4710D ．4712【解析】 A ．由()217a +=，有2226,62a a a a +==-．于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---()2261212621224a a a a =+-=+-=2．在ABC △中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7AB =，8AC =，则BC =（）A ．2B ．10C 105D ．73【解析】 C ．做A ∠的角平分线交BC 边于D ．于是78AB BD AC DC ==．不妨设7,8BD x DC x ==，由BAD BAC △∽△，有BD AB AB BC =，即77715x x =，于是715x ，15105BC x =3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数为（）2A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 C ．原问题等价于函数23y x =-与函数[]2y x =的图像的交点个数问题．观察出交点个数为3个．方程的解分别为2,3x x =-=，另一个位于2，3之间．4．设正方形ABCD 的中点为点O ，在以五个数A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A ．314B ．37C ．12D ．47【解析】 B ．不妨设三角形边长为1，则三角形的面积有两种，一种是14，形如ABO △，有4个；一种是12，形如ABD △，有4个．于是对于这8个三角形，先选出任意一个，再选出其余7个三角形中面积和它相等的三角形（共3个）中的一个，概率为37．5．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin CBE ∠=（）A 6B ．23C ．13D 103ECBDA【解析】 D ．取BC 中点F ，连接AF ，则CBE BAF ∠=∠，于是2210sin sin 13CBE BAF ∠=∠==+6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 B ．由1909100120092009n n n -=-+--，而1002009n-可能取整数2,5,4,10,25,50,100．若10012009n --为完全平方数，则有1002,5,10,502009n=-．于是这样的n 有4个．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是．【解析】3-．2,1a b ab t +==-，又由0∆≥知2t 1≤≤．于是()()()222222111a b a b a b --=+-+424t =-．于是当1t =时代数式有最小值3-．2．设D 是ABC △ 的边AB 上的一点，作DE BC ∥交AC 于点E ，作DF AC ∥交BC 于点F ，已知ADE △、DBF △的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为．【解析】 2mn ADE BDF △∽△，相似比为ADDB．观察到DEF △的面积等于m 和n 的等比中项，所以所求答案为2mn3．如果实数a ，b 满足条件221a b +=，221221a b a b a -+++=-，则a b += ．【解析】 1-．分情况讨论，可得221221a b a b a -+++=-或22(12)21a b a b a --+++=-．如果是第一种，则222b b a +=-，消去a 可得2230b b --=，可得1b =-或32．经检验，1,0b a =-=符合，所求结果为1-；如果是第二种，则224a b b a -=-．因为去绝对值符号的时候有120a b -+≤，即21a b +≥，而10b +≥，则设法凑出含有1b +的形式．因为2240a a b b +--=，所以2222114()22a ab b a b +--++=，即22238(1)4a a b a +=+≤，所以8a ≥或0a ≤，因此只能有0a =，和第一种情况是同一个解．4．已知a ，b 是正整数，且满足15152a b 是整数，则这样的有序数对()a b ，共有对．5【解析】 7．显然两个根式的值都是有理数（否则把它平方即可发现）．穷举，可能是1+1，112+， 1122+，1144+，1136+，考虑顺序，共7种．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，旗开得胜6所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．二、（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是ADC △、BDC △的内心，3AC =，4BC =，求12I I ．I 2I 1CABBACE DFI 1I 2【解析】作1I E AB ⊥于E ，2I F AB ⊥于F ．旗开得胜7在直角三角形ABC 中，3AC =，4BC =，225AB AC BC +=．又CD AB ⊥，由射影定理可得295AC AD AB ==，故165BD AB AD =-=，22125CD AC AD -．因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以()11325I E AD CD AC =+-=．连接1DI 、2DI ，则1DI 、2DI 分别是ADC ∠和BDC ∠的平分线，所以112245I DC I DA I DC I DB ∠=∠=∠=∠=o，故1290I DI ∠=o，所以12I D I D ⊥，1113325sin sin 45I E DI ADI ===∠o ．同量，可求得245I F =，242DI ．所以2212122I I DI DI +三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②旗开得胜8a b c【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bcca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c9证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c第二试（B ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．10⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．旗开得胜11二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBCA【解析】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠o o ，因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠o ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．旗开得胜12因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②a b c【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，13即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c第二试（C）一、（本题满分20分）△的已知二次函数()20y x bx c c=++<的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C．设ABC 外接圆的圆心为点P．⊙与y轴的另一个交点为定点．⑴ 证明：P1415⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．16二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBCA【解析】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠o o ，因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠o ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．17三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②a b c【解析】解法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，18即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c 90o ．解法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c 90o ．19。

余杭区2009学年职高数学联赛试卷

余杭区2009学年职高数学联赛试卷（时间：2010年1月14日下午2:30——4:30 满分120分）一、选择题（本题满分50分，每小题5分）1．已知A={x ∣x ＞3}，B={}72<<x x ，则A ∩B 是（） A ．{}73<<x x B ．}32<<x x C ．{x ∣x ＞2} D ．{x ∣x ＞3} 2．当b a >时，不等式22)(a b x a b -<-的解为（） A ．b a x +> B ．b a x +< C ．b a x -< D ．b a x ->3．若1>a ，则函数y=log a (x ＋5)到的图象不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知c b a ,,的倒数成等差数列，且c b a ,,互不相等，则cb ba --为（） A ．a c B ．b a C ．c a D ．cb 5．若函数c bx x x f ++=2)(，满足)5()1(f f =-，则)1(f ，)2(f ，)4(f 的大小关系是（） A ．)4()2()1(f f f << B ．)2()4()1(f f f <<C ．)4()1()2(f f f <<D ．)1()4()2(f f f <<6．如图，向量a AB =，b AC =，c CD=，则向量BD 可以表示为（）A ．c b a -+B ．c b a+-C ．c a b +-D ．c a b -+7．展开233])2()2[(b a b a -+并化简后，其项数为A ．6B ．7C ．8D ．9 （） 8．已知55cos -=α，且0sin <α，则αtan 为（） A ．2 B ．－2 C ．21D ．21-9． 1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的焦点，P 为椭圆上任一点，则21F PF ∆的周长 A ．16 B ．18 C ．20 D ．不能确定（） 10．过)8,1(-P ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条学校班级姓试场编 .二、填空题（本题满分30分，每小题5分）11．已知直线l 和平面α，α⊥l ，l A ∈，l B ∈，直线α⊂CD则⋅=_ _ .12．在ABC ∆中，已知3=a ，︒=45A ，︒=60B ，则b =__ ____． 13．27log log 2log 3log 3232=⋅⋅m ，则m 的值为____ ___ ． 14．将直线12=+y x与坐标轴所围成的平面图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积等于___ __．15．在等差数列}{n a 中，若32-=n a n ，则此数列自第10项到第20项之和S 的值为_ _ ．16．︒-︒⋅︒25cos 70sin 20sin 2的值为___ _____．三、解答题（本题满分40分，每小题8分） 17．设函数2||3)(2+-=x x x f ，]4,4[-∈x ．（1）按定义讨论)(x f 的奇偶性；（2）画出)(x f 的图象，并写出单调区间；18. 已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．19．在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值．20．已知圆6)2()1(:22=-++y x C ，直线01:=-+-m y mx l . （1）求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.21．已知椭圆两焦点坐标为)0,1(),0,1(21F F -，点P 在椭圆上，|||,||,|2211PF F F PF 成等差数列，求椭圆的标准方程．。

余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛辅导集训试卷(五)

C D AB余杭镇一中教育集团2009年数学竞赛集训试卷（五）(时间90分钟，满分120分)一、选择题 (本题有8小题，每小题5分，共40分) 1. 如图，共有对同位角．A ．5B ．6C ．7D ．8 2. 如果等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半, 那么它的底角等于（）A ．750B ．150C ．300D ．750或153．设23-=a ，32-=b ，25-=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a =2n 2+2n +1，b =2n 2+2n ，c =2n +1，其中n ＞0，那么这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形 5．已知023=-+-y x x ，那么x +y 的值为（）A ．6B ． 7C ．8D ．9 6. 已知xBx A x x x +-=--1322，其中A ，B 为常数，那么A+B 的值为（） A ．－2 B ．2 C ．4 D ．－47. 小李同学设计了一个图案，图案是以斜边长为12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作半圆（如图所示），则图中阴影部分的面积为（）A ．36πcm 2B ．72πcm 2C ．36cm 2D ．72cm 28. 直角三角形中，两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则（）A ．222111h b a =+ B ．222111h c a =+ C ．222111h c b =+ D ．22221111h c b a =++二、填空题 (本题有6小题，每小题5分，共30分) 9. 当00521=x 时，21122-+-xx x 的值为 _______．10．观察右面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律，第6个图形共有________个正方形．11. 如图在四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，AB=AD ，若这个四边形的面积是10，则BC+CD 等于．A B DCEFGHM N第1题图12. 小明用31个等距离的结把一根绳子分成等长的30段，他一只手同时握住第1个结和第31个结，小红拉住第6个结，这时小东应该拉住第个结，拉紧绳子后才会得到一个直角三角形.13．如下图所示，在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．14．已知a －b =b －c =53，a 2＋b 2＋c 2=1，则ab ＋bc ＋ca 的值等于．三、解答题 (本大题有5个小题，每小题10分，共50分)15．一根70cm 长的木棒能放进长、宽、高分别是50cm 、40cm 、30cm 的木箱中吗？为什么？16. 如图，直线AC ∥m ∥OB ，AP ，OP 分别是∠CAO 与∠AOB 的平分线，直线m 经过点P ，AC与直线m 的距离和OB 与直线m 的距离相等吗？请说明理由．PO A C B m17．若等腰三角形被一条直线分割成两个较小的三角形也是等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数是多少？18.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，BC＝4，CD＝2，DA＝3．计算梯形ABCD的面积S．19.△ACD中，∠ACD＝120º：(1) 根据题意画图：把△ACD绕顶点C逆时针旋转60º得到△BCE，AD交于EC于N，BE交AC于M，连接MN；(2) MN与BD具有怎样的位置关系？请说明理由．。

09全国高中那个数学联赛二试试题答案

2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）1．如图，M ，N 分别为锐角三角形A B C ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 B C 、 A C 的中点．过点C 作P C M N ∥交圆Γ于P 点，I 为A B C ∆的内心，连接P I 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：M P M T N P N T ⋅=⋅；⑵在弧 A B （不含点C ）上任取一点Q （Q A≠，T ，B ），记A Q C ∆，Q C B △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连N I ，M I ．由于P C M N ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故P C M N 是等腰梯形．因此N P M C =，P M N C =．ABCMNPTI连A M ，C I ，则A M 与C I 交于I ，因为M IC M A C A C I M C B B C I M C I∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以M CM I=．同理N C N I=．于是N P M I=，P M N I =．故四边形M P N I 为平行四边形．因此P M TP N TS S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180T N PP M T ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2P M T S P M M T P M T=⋅∠△1s i n 2P N TS P N N T P NT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是P M M T P N N T⋅=⋅．⑵因为1111N C I N C A A C I N Q C Q C I C I N∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1N CN I =，同理2M C M I =．由M P M T N P N T⋅=⋅得N T M T M PN P=．由⑴所证M PN C=，N PM C=，故12N T M T N I M I =．又因12I N T Q N T Q M T I M T∠=∠=∠=∠，有12I N T I M T∆∆∽．故12N T I M T I ∠=∠，从而1212I Q I N Q M N T M I T I ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 2．求证不等式：2111ln 12nk k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…【解析】证明：首先证明一个不等式：⑴ln (1)1x x xx<+<+，0x>．事实上，令()ln (1)h x x x =-+，()ln (1)1x g x x x =+-+．则对0x>，1()101h x x'=->+，2211()1(1)(1)x g x xx x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1xn=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nnk k x nk==-+∑，则112x =，121ln 111n n nx x nn -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln (1))(ln (1)ln (2))(ln 2ln 1)ln 1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+⎪⎝⎭∑ ．从而12111ln 11nn n k k k x kk -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n kk n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k kk-==-+∑111(1)n k k k-=-+∑≥111n=-+>-．3．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)mk t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k ml =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡．及|!p k α，且1!pk α+Œ，知|!C kmpk α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)mk t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k ml =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C kmp Œ．若|!pk ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)pk α+．故由11!C ()k km i k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C kmp k α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．4．在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x xx x x x xxx P xx x x xxxx x x xxxx x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x xx S xx x x xx ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k kkx x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得 ⑶{}123m in ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k=，则存在某个{}123i ∈，，使得02iix u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112m in x x ，，{}2122m in x x ，，{}3132m in x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222m in x x x =，，{}313232m in x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ，，，，令集合{}{}12|m in 13ik i i I k Mx x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22m a x |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:m in m in i i i i i ik u x x xxx '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211m in k xx x u >，≥，{}*313233m in kx x x u >，≥．又由S满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k xu ≤，于是{}**2212222m in k k u x x x x'==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i iku x '≥．假若不然，则{}12m in ik i i x x x >，，1i =，3且*22kk x x>．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k kkx x x S x x x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，，⑷{}221222322m in u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x x x ==，，3231x x<．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111m in k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m in k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()m in k kb u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则{}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸ {}22122222m in k u x x x x ==，，，{}3313233m i n kku x x xx==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111k x x u >=， *3323kx x u >=．于是只能有*222kk xu x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222kk x u x '=≤．从而*k k=．。