第5讲_洛仑兹力方程、坡印廷定理及几个电磁场基本定理
《洛伦兹力》 讲义
《洛伦兹力》讲义一、引入在物理学的广阔天地中，有一个神秘而重要的力量——洛伦兹力。
当电荷在磁场中运动时，就会受到这种力的作用。
它不仅是我们理解电磁现象的关键，还在许多现代科技中有着广泛的应用。
想象一下，一个带电粒子在磁场中自由穿梭，看似随意，实则遵循着特定的规律，而这个规律的核心就是洛伦兹力。
那么，洛伦兹力到底是怎么回事呢？二、洛伦兹力的定义洛伦兹力是指运动电荷在磁场中所受到的力。
其大小由公式 F ＝qvBsinθ 决定，其中 F 表示洛伦兹力，q 表示电荷的电荷量，v 表示电荷的运动速度，B 表示磁感应强度，θ 是电荷运动速度方向与磁感应强度方向的夹角。
这个公式告诉我们，洛伦兹力的大小取决于电荷量、速度、磁感应强度以及它们之间的夹角。
当速度方向与磁感应强度方向垂直时（θ ＝90°），洛伦兹力最大；当速度方向与磁感应强度方向平行时（θ ＝ 0°或 180°），洛伦兹力为零。
三、洛伦兹力的方向洛伦兹力的方向遵循左手定则。
伸出左手，让磁感线穿过掌心，四指指向正电荷运动的方向（或负电荷运动的反方向），那么大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。
需要注意的是，洛伦兹力始终与电荷的运动方向垂直，所以洛伦兹力永远不做功。
这是洛伦兹力的一个重要特点。
四、洛伦兹力与电场力的比较为了更深入地理解洛伦兹力，我们不妨将它与电场力做一个比较。
电场力是电荷在电场中受到的力，其大小为 F ＝ qE，方向与电场强度的方向相同（正电荷）或相反（负电荷）。
洛伦兹力与电场力有以下几个主要区别：1、产生条件不同：电场力只要电荷处于电场中就会受到；而洛伦兹力只有电荷在运动并且存在磁场时才会受到。
2、力的方向不同：电场力的方向与电场方向有关；洛伦兹力的方向与磁场方向和电荷运动方向有关。
3、做功情况不同：电场力可以对电荷做功；洛伦兹力始终不做功。
五、洛伦兹力的应用洛伦兹力在现代科技中有着广泛的应用，下面我们来介绍几个常见的例子。
5.4 坡印亭定理和坡印亭矢量,5.5 正弦电磁场
∫l
& & & H⋅ d l = ( J+ jωD )⋅ d S
& jωB⋅ dS
∫S
& & & ∇ × H = J c + jω D
& & ∇ × E = − jω B
& ∫ E⋅ dl = −∫
l
S
& ∫ B ⋅ dS = 0
S
& ∇⋅B=0
& ∇⋅D = ρ
& & ∫ D ⋅ dS = q
S
& & D =ε E
∫ (E× H) ⋅ d S = ∫
S
V
Ee ⋅ JcdV − ∫
Jc
V
∂W dV − γ ∂t
2
坡印亭定理
物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率， 物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去 电磁能量的增加率，等于穿出闭合面S的电磁功率。 电磁能量的增加率，等于穿出闭合面S的电磁功率。 特殊情况
H
ρ
图5.5.1 两圆电极的平板电容器
& U & E = (- ez ) d
根据全电流定律， 根据全电流定律，由位移电流产生的磁场为 全电流定律
∫
∂D & H⋅d l = ⋅ d S → 2 πρH = l S ∂t
∫
∫S
& & ⋅ d S = jωε U πρ 2 jωε E d
整理得
& & = j ωε U ρ ( − e ) H φ 2d
E
H
S
U E= eρ ρ ln( R2 / R1 )
洛伦兹力知识点
洛伦兹力知识点洛伦兹力是描述带电粒子在电磁场中受力的一种力。
它是由荷质比和磁感应强度决定的，具体表达为洛伦兹力的大小与带电粒子的电荷量、速度以及磁感应强度之间的乘积有关。
洛伦兹力是电磁力的一种，它使带电粒子在磁场中发生偏转，从而产生一种力的效应。
洛伦兹力的产生是由于带电粒子在磁场中运动时受到了一种力的作用。
这种力的大小与带电粒子的电荷量、速度以及磁感应强度有关。
当带电粒子在磁场中沿着磁感应线方向运动时，洛伦兹力的方向垂直于带电粒子运动的速度方向和磁感应线方向，且方向遵循右手定则。
在电磁场中，洛伦兹力的大小可以通过洛伦兹力公式进行计算。
洛伦兹力公式为：F = q(v × B)，其中F表示洛伦兹力的大小，q表示带电粒子的电荷量，v表示带电粒子的速度，B表示磁感应强度。
根据洛伦兹力公式，可以看出洛伦兹力与带电粒子的电荷量成正比，与带电粒子的速度和磁感应强度的乘积成正比。
洛伦兹力的作用可以在许多物理现象中观察到。
例如，在粒子加速器中，带电粒子在强磁场中偏转，从而使其沿着特定轨道运动。
此外，在电磁铁中，电流通过线圈时，电流中的带电粒子会受到洛伦兹力的作用，从而产生磁场。
洛伦兹力还可以解释一些自然现象。
例如，地球的磁场对太阳风中的带电粒子起到了屏蔽作用，使它们在进入地球大气层之前发生偏转。
这种偏转现象被称为极光。
此外，洛伦兹力还可以解释一些电磁感应现象，如电动机和发电机的原理。
洛伦兹力的研究对于理解电磁现象和开发电磁技术具有重要意义。
在现代科学和技术中，洛伦兹力被广泛应用于物理学、工程学和医学等领域。
例如，在核磁共振成像（MRI）中，利用洛伦兹力原理可以对人体内部的结构和组织进行成像。
此外，在电子学中，洛伦兹力被用于设计和制造各种电子器件，如电子管和半导体器件。
洛伦兹力是描述带电粒子在电磁场中受力的一种力。
它的大小与带电粒子的电荷量、速度以及磁感应强度有关。
洛伦兹力的研究对于理解电磁现象和应用电磁技术具有重要意义。
第5讲_洛仑兹力方程、坡印廷定理及几个电磁场基本定理
通过复数坡印廷功率流S(r)求瞬态坡印廷功率流S(t)的时间平均值<S(t)>极 为方便
S t
1 T E x, y, z , t H x, y, z , t dt T 0 1 2 E ( x, y, z, t ) H ( x, y, z, t )d(t ) 0 2π 1 Re[E (r ) H * (r )] 2
显然，S(r, t) 是矢量，它具有功率流的量纲。
这个S(r, t) 是否就是我们要找的电磁功率流呢？为此我们考察它的散度
S (r , t ) ，即通量体密度, 所包含的物理意义。
S (r, t ) E (r, t ) H (r, t ) H E (r，t ) E (r, t ) H (r, t )
S
S r n0dS ( pr j2 ( wm we ))dV PR j2 (Wm We )
V
1 1 2 2 2 P ( "| H | "| E | )d V | E | dV 式中 R V V 2 2
Wm wm dV
极矩P两部分构成，即
2 P Ne2 D 0 E P 0E E 0 1 2 E 2 m
Ne2 式中 P 称为等离子体频率。 m 0
所以等离子体可用一有效介电常数为
2 P e 0 1 2
H H E E J E t 2 t 2
对上式两边在域V内作体积分并利用散度定理得到
S t dS S t dV
高考物理洛伦兹力知识点
高考物理洛伦兹力知识点洛仑兹力，也称为洛伦兹力，是物理学中一个重要的概念，用来描述带电粒子在磁场中受到的力。
在高考中，同学们需要了解和掌握洛仑兹力的相关知识点，以便顺利应对物理考试。
一、带电粒子与磁场的相互作用洛仑兹力是由带电粒子与磁场的相互作用而产生的力。
当带电粒子在磁场中运动时，由于磁场的存在，会受到力的作用。
这个力的方向与带电粒子的速度和磁场的方向有关。
二、洛仑兹力的公式根据洛仑兹力的定义，可以得到洛仑兹力的公式为：F = qvBsinθ其中，F表示洛仑兹力的大小，q为带电粒子的电荷量，v为带电粒子的速度，B为磁场的磁感应强度，θ为带电粒子的速度与磁场方向之间的夹角。
三、洛仑兹力的方向根据洛仑兹力的公式，可以得知洛仑兹力的方向与带电粒子的速度、磁场方向以及电荷的正负有关。
当带电粒子是正电荷时，洛仑兹力与速度方向垂直；当带电粒子是负电荷时，洛仑兹力与速度方向相反。
磁场方向则决定了洛仑兹力的方向是向外还是向内。
四、洛仑兹力的应用洛仑兹力在物理学中有着广泛的应用。
最常见的应用就是电子在磁场中运动的情况。
在电子加速器中，通过产生磁场使电子受到洛仑兹力的作用，从而使电子在磁场中绕着一定的轨道运动。
此外，洛仑兹力还广泛应用于磁力传感器、涡流测量、质谱仪等领域。
它的应用不仅仅局限于理论研究，还涉及到实际的工程应用。
五、洛仑兹力的实验验证为了验证洛仑兹力的存在和性质，科学家们进行了一系列的实验。
其中最著名的实验之一就是荷兰物理学家洛伦兹的实验。
他利用一个圆柱形空心发电机，通过改变磁场的磁感应强度和方向，观察带电粒子在磁场中的运动情况，并测量洛仑兹力的大小。
通过实验的结果，洛伦兹验证了洛仑兹力与带电粒子速度、磁场强度和方向之间的关系，为洛仑兹力的理论奠定了坚实的实验基础。
六、洛伦兹力与电场力的比较在高考物理中，同学们也需要了解洛伦兹力与电场力的区别。
洛伦兹力是由带电粒子在磁场中受到的力，而电场力则是由带电粒子在电场中受到的力。
推导电磁场中的洛伦兹力公式及解题
推导电磁场中的洛伦兹力公式及解题一、引言电磁场是物理学中一个重要的概念，它指的是由电荷和电流产生的相互作用力。
在电磁场中，洛伦兹力是描述电荷在电磁场中受到的力的一种常见表达式。
本文将从基本原理出发，推导洛伦兹力公式，并通过实际例子进行解题，以加深对洛伦兹力的理解。
二、洛伦兹力的推导洛伦兹力公式可以通过麦克斯韦方程组推导得到。
在真空中，根据安培环路定理和法拉第电磁感应定律，我们可以得到以下两个方程：1. 安培环路定理：∮B·dl = μ_0I，其中B表示磁场矢量，dl表示环路微元线段，I表示通过此环路的电流。
2. 法拉第电磁感应定律：ε = -dΦ/dt，其中ε表示感应电动势，Φ表示磁通量，t 表示时间。
假设电荷q在电磁场中运动，其速度v可以记作v = dx/dt，其中x表示电荷的位置矢量。
根据电磁感应定律，感应电动势ε可以表示为ε = v·B，即感应电动势等于速度与磁场的点乘。
由于电荷q带有电量，根据库仑定律，电荷在电磁场中受到的电场力F_e = qE，其中E表示电场矢量。
因此，电荷在电磁场中所受到的总力F可以表达为F = F_e+ F_m，其中F_e表示电场力，F_m表示磁场力。
由于F_m = qv×B，即磁场力等于速度与磁场的矢量积。
因此，总力F可以表示为F = qE + qv×B。
根据洛伦兹力公式的定义，我们可以得到洛伦兹力公式为F = q(E + v×B)。
三、利用洛伦兹力公式解题下面，我们将通过一个实际例子来利用洛伦兹力公式进行解题。
假设存在一个电荷q = 1.6×10^-19 C，在电场E = (2i + 3j + 4k) N/C 和磁场B = (5i + 6j + 7k) T 的作用下，电荷沿着速度v = (2i + 5j + 3k) m/s 运动。
首先，我们可以将电场力Fe和磁场力Fm分别计算出来。
根据洛伦兹力公式，电场力可以表示为Fe = qE = (1.6×10^-19 C)·(2i + 3j + 4k) N/C = (3.2×10^-19 i +4.8×10^-19 j + 6.4×10^-19 k) N。
坡印廷定理
f v wr, t Sr, t t
D D B D f v E H E H H E E H H E E t t t t
D f v E v B v E v E v E J E H t
B D E H f v H E t t
代表能量对时间的变化率
B D ( E H ) ds H E E J dv S V t t
E E y E x D E E z E E E E x y z t t t t t 2 2 2 1 E x E y 1 1 E 1 2 z E 2 t 2 t 2 t t 2
wm
1 1 D E E 2 2 2
—电场能量密度, 单位: (F/m) (V2/m2)=J/m3;
1 1 B H H 2 2 2
—磁场能量密度, 单位: (H/m) (A2/m2)=J/m3;
—传导电流引起的热损耗功率密度, 单位: (S/m)
pσ=E·J=σE2
(V2/m2)=W/m3。
??trf表示场对荷电系统作用力密度v为荷电系统运动速度表示通过界面在单位时间内进入v内电磁场的能量表示单位时间内空间区域电磁场能量的增量区域内场对荷电系统所作的功率?r??r?ttwtsvf??????????????????v??????v????s?????????????????????????vvdddvffdtebthshe?????e???????????????????????teeeeedhjvvvbvvf?????????htd?ebhheteete???????????????????????????????????????????tdhdhvf??????????????????????tdetbhhevf代表能量对时间的变化率??????trtthrers??表示闭合空间区域v内电磁场能量守恒和转化的关系式称为poynting定理其中称为poynting矢量描述电磁场能量流动的物理量
5.4 坡印亭定理和坡印亭矢量,5.5 正弦电磁场
在静态场中，场量是动态平衡下的恒定量，坡印亭定理为
S ( E H ) d S V Ee J c dV V
在静态场中，场域内无源即: Ee =0
Jc2 dV
坡印亭定理为
S ( E H ) d S V
Jc2 dV
在静态场中，场域内无源且为非导体即： =0
l S
B dS 0
S
B 0
D
D dS q
S
D E
BH
Jc E
5.5.2
坡印亭定理的相量形式
在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为
S (r, t ) 2 E (r )sin( t E ) 2 H (r )sin( t H )
R1 I + U -
设单位长度有 n 匝线圈,应用安培环路定律，有
l H d l Hi l1 H0 l1 nl1 I
H i ( i ) H 0 ( 0 ) n I
此项可用于求解电磁场问题的等效电路参数
P 1 R 2 2 Re I I
1 ( E H * ) d S 2 I S
Jc
2
V
dV
X
Q 1 2 Im I2 I
1 ( E H ) d S 2 I S
H ( J c j D ) J c j D
E H j B H E ( J c jω D )
取体积分，利用高斯散度定理，有
J ( E H ) d S c dV j ( H 2 E 2 ) dV S V V
洛仑磁力知识点总结
洛仑磁力知识点总结在日常生活中，我们能够感受洛尔兹力的作用。
例如，当我们使用磁铁吸引铁屑时，就能够感受到铁屑受到磁场的作用。
当电流通过一个导线时，附近的铁屑会被吸引到导线附近，这是由于洛伦茨力的作用。
洛伦兹力也是太阳耀斑和行星磁层加热的重要机制。
此外，洛伦兹力还在研究原子、核物理、半导体器件等方面有重要的应用。
洛伦茨力的具体公式为：F = q(E + v × B)其中， F 为洛伦茨力， q 为电荷量， E 为电场， v 为电荷运动的速度， B 为磁场。
根据这个公式，我们可以得出以下几点关于洛伦兹力的知识点：1. 电荷在电场中的受力电荷在电场中会受到电场力的作用，其大小与电荷量和电场强度有关。
根据洛伦茨力的公式，电荷在电场中受到力的大小为 F = qE。
这个力会使电荷发生加速度，从而产生运动。
2. 电荷在磁场中的受力当电荷运动时，它会在磁场中受到力的作用。
洛伦茨力的公式告诉我们，电荷在磁场中受到的力的大小与电荷量、运动速度和磁场强度有关。
这个力会使电荷在磁场中发生转向，或者产生受力运动。
3. 洛伦茨力对导体的影响当电流通过导体时，导体中的自由电子会受到洛伦茨力的影响。
这个力会使电子受到一个向导体的一侧偏移的力，从而导致导体内部的电子产生偏移，形成感应电场和感应电流。
洛伦兹力不仅在电磁学中有着重要应用，在物理学、工程学、生物学等领域也有着广泛的应用。
了解洛伦兹力的原理和公式，对于探索自然界规律、发展新型电子器件、解决重大技术问题等都具有重要意义。
因此，深入学习和了解洛伦兹力是非常有必要的。
补充一些洛伦兹力的其他重要知识点：1. 洛伦茨力对磁场的影响当电荷运动时，会在其周围产生磁场，并且会受到磁场的力的作用。
这个力会使电荷在磁场中发生转向，或者产生受力运动。
这个现象被称为洛伦茨力。
2. 洛伦茨力对电子运动的影响当自由电子在导体中运动时，会受到洛伦茨力的作用。
这个力会使电子在导体内部产生偏移，从而导致导体内部的电子产生感应电场和感应电流。
磁场中的洛伦兹力计算方法
磁场中的洛伦兹力计算方法在物理学中，磁场中的洛伦兹力是一种基本的力，它描述了电荷在磁场中所受到的作用力。
在这篇文章中，我们将介绍磁场中洛伦兹力的计算方法，并探讨其在物理学和工程学中的应用。
一、洛伦兹力的定义洛伦兹力是描述电荷在磁场中受力的一种力，其大小和方向与电荷、磁场和电荷的速度有关。
根据洛伦兹力的定义，我们可以得到如下的洛伦兹力公式：F = q * (v × B)其中，F表示洛伦兹力的大小，q为电荷的大小，v为电荷的速度，B为磁场的磁感应强度。
而符号“×”表示的是向量的叉乘，它决定了洛伦兹力的方向。
二、洛伦兹力的计算方法洛伦兹力的计算方法主要分为两个步骤：首先确定磁场在给定位置的磁感应强度B，然后将电荷的大小q、速度v和磁感应强度B代入洛伦兹力公式进行运算。
1. 确定磁感应强度B在实际计算中，磁感应强度B可以通过使用磁感应仪器进行测量或者通过已知的磁场分布进行计算获得。
如果有多个磁场源，则需要将各个磁场的贡献进行叠加，得到总的磁感应强度。
2. 计算洛伦兹力一旦确定了磁感应强度B，我们可以将电荷的大小q、速度v和磁感应强度B代入洛伦兹力公式进行计算。
需要注意的是，这里的速度向量v必须是电荷运动的瞬时速度，而不是平均速度。
计算得到的洛伦兹力是一个矢量，其方向垂直于速度向量和磁感应强度的叉乘，符合右手法则。
三、洛伦兹力的应用洛伦兹力在物理学和工程学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 电动机和发电机电动机和发电机是利用洛伦兹力工作的重要设备。
通过在磁场中通电导体中产生的洛伦兹力，可以实现电能与机械能的转换。
这种原理被广泛应用于各种电动设备和发电设备中。
2. 磁控管和磁控阀磁控管和磁控阀是一种功能特殊的电子元器件，它们利用洛伦兹力来实现对粒子流的控制。
通过调节磁场的磁感应强度，可以精确地控制粒子在空间中的移动轨迹，从而实现各种功能，如流量调节和粒子分选。
3. 磁共振成像磁共振成像（MRI）是一种利用洛伦兹力原理的影像技术，常用于医学诊断和科学研究中。
磁学中的洛伦兹力和洛伦兹力定律
磁学中的洛伦兹力和洛伦兹力定律磁学是物理学中的一个重要分支，研究磁场的性质和相互作用。
在磁学中，洛伦兹力和洛伦兹力定律是两个基本概念。
本文将探讨这两个概念的含义、应用以及对物理学的重要性。
首先，我们来了解一下洛伦兹力的概念。
洛伦兹力是指当一个带电粒子在磁场中运动时，所受到的力。
这个力的方向垂直于带电粒子的运动方向和磁场的方向，并且大小与带电粒子的电荷量、速度以及磁场的强度有关。
洛伦兹力的公式可以表示为F = q(v × B)，其中F表示洛伦兹力，q表示带电粒子的电荷量，v表示带电粒子的速度，B表示磁场的强度。
洛伦兹力定律是描述洛伦兹力的物理定律。
根据洛伦兹力定律，当一个带电粒子在磁场中运动时，它所受到的洛伦兹力将导致它的运动轨迹发生弯曲。
这个定律是磁学中的基本定律之一，也是描述带电粒子在磁场中运动的重要原理。
洛伦兹力和洛伦兹力定律在物理学中有着广泛的应用。
首先，它们在电磁学中起着重要的作用。
根据洛伦兹力定律，当一个带电粒子在磁场中运动时，它所受到的洛伦兹力将导致它的轨迹发生弯曲。
这个现象在电磁铁和电子束流的加速器中得到了广泛应用，用于控制和操纵粒子的运动。
此外，洛伦兹力还解释了电流在导线中的运动规律，为电磁感应现象提供了理论依据。
其次，洛伦兹力和洛伦兹力定律也在磁共振成像中发挥着重要作用。
磁共振成像是一种医学影像技术，通过利用洛伦兹力定律，可以对人体内部进行高清晰度的成像。
在磁共振成像中，通过对人体施加强磁场，使体内的核磁共振发生，然后利用洛伦兹力作用在核磁共振上的带电粒子上，产生信号并进行成像。
这种非侵入性的成像技术在医学诊断中得到了广泛应用。
洛伦兹力和洛伦兹力定律的研究对于物理学的发展具有重要意义。
它们不仅揭示了带电粒子在磁场中的运动规律，还为电磁学和磁共振成像等领域的应用提供了理论基础。
此外，在磁学的研究中，洛伦兹力和洛伦兹力定律也与其他物理学原理相互关联，共同构建了磁学的理论体系。
坡印亭定理
坡印亭定理
在电磁学中，坡印亭定理（或称）是用偏微分方程陈述的关于电磁场的能量守恒的定理，由英国物理学家约翰·亨利·坡印廷发现。
坡印亭定理类似于经典力学中的动能定理，在数学形式上与连续性方程相似。
它把能量密度u的时间导数，与能量的流动，以及与电磁场做功的速率联系起来。
一个空间区域（单位体积内）中，能量传递速率等于在一电荷分布上做功的速率加上离开该区域的能量通量。
单位时间内，一定体积中电磁场能量减少的速率，等于场力所做的功与单位时间向外的净通量的和。
说明坡印亭定理
说明坡印亭定理
1 坡印亭定理
坡印亭定理，又叫坡印-维尔定理，是一种古老的数学定理。
它是
由墨西哥数学家坡印-维尔（José Antonio de la Peña y Estrada）
于1819年提出的。
该定理解释了关于圆周率π的一个著名数学谜题：奥米伽罗斯台谜语。
坡印亭定理描述了一种微分方程数学模型，可以用一个定义好的
函数和其他函数来表示一定的几何关系，可以用来研究舒尔茨格的分
形和有趣的重要圆周率π问题。
它被认为是现代分析几何学的开端，
例如复变函数理论和拓扑余维理论。
定理的公式如下：
$$z^2=2\pi(z-a)(z-b)(z-c)...$$
关于这个定理的演算，可以用科赫轴、切线等数学工具来显示。
坡印亭定律可用于定义圆周率π，如果圆上一个点被取为圆心，则圆
周率π为被定义的一个函数值，它可以用来描述圆的图形特征，如直径、圆弧等等。
坡印亭定理也可以用于解释各种圆论问题。
例如圆逼近问题，一
个圆的外接正多边形的顶点到圆心的距离会随着多边形的边的增多而
缩小，并最终逼近圆周率π。
坡印亭定理的概念甚至可以应用到物理学中，它为物理学提供了一个切实的数学基础，可以用来分析物体的加速度，重力场等相关概念，从而理解自然运动的规律。
总之，坡印亭定理是一个重要的数学定理，在数学、物理学和圆论学等研究领域有着重要的意义。
它的发现和成就意义重大，为后来的研究提供了理论支撑，促进了未来科学的发展。
坡印廷定理
坡印廷定理《坡印廷定理》是数学领域里重要的定理，又称为坡印廷函数定理或坡印廷-德尔摩尔定理。
它是由印度数学家坡印廷提出的，是当今几何学的基础定理之一。
定理的全称为：“双曲线的曲线系数等于曲线上的任意两点构成的直角三角形的边长之积的平方的平均数。
”它是一个关于双曲线的定理，其论证过程涉及微分几何、复变函数以及椭圆函数。
定理有如下几种形式：（1）给定一条双曲线，假设A和B是其上的任意两点，则有： $$a^2b^2=(e^2-f^2)^2+(2ab)^2$$（2）给定一条双曲线，假设A和B是其上的任意两点，则有： $$a^2b^2=(e^2-f^2)(2ab)^2$$（3）假设A和B是双曲线上的任意两点，则可以给出它们构成的直角三角形的余弦定理下的边长公式：$$c^2=a^2+b^2-2ab cos C$$坡印廷定理的论证步骤可以分为如下几步：首先，我们建立直角三角形ABC，这里A和B是双曲线上的任意两点，余弦定理可以写成：$$c^2=a^2+b^2-2ab cos C$$其次，我们要证明双曲线到轴的距离e，f等于边长c的一半： $$e^2+f^2=frac{c^2}{2}$$要做到这一点，我们需要建立一个有关c和a，b的方程组，将它们代入余弦定理可得：$$frac{c^2}{2}=a^2+b^2-2ab cos C$$结合定理的第二式，将上式化简可得：$$frac{e^2+f^2}{2}=(e^2-f^2)^2+2ab^2$$将双曲线的曲线系数写入上式，再将左右两边同乘以2，化简得： $$a^2b^2=(e^2-f^2)(2ab)^2$$最后，将上式简化形式再代入第三式，可得定理。
因此，坡印廷定理认为，双曲线的曲线系数等于曲线上的任意两点构成的直角三角形的边长之积的平方的平均数。
这个定理是研究双曲线的非常重要的工具，也是数学领域里重要的定理之一。
坡印亭定理和坡印亭矢量要点
坡印亭定理和坡印亭矢量要点坡印亭定理（Pappus's theorem）是指一个平面图形在绕过一个直线轴旋转一周后的体积等于该平面图形的重心（质心）所在的轴线在绕过另一条平行轴旋转一周所得旋转体的曲辂的面积乘以该重心（质心）与两平行轴之间的距离。
坡印亭矢量（Pappus's centroid theorem）则是坡印亭定理的矢量形式，它描述的是一个平面图形在绕过一个直线轴旋转一周后，该平面图形每一点的轨迹的质心所形成的轨迹的面积等于该平面图形的重心（质心）所在的轴线在绕过另一条平行轴旋转一周所得轨迹的曲辂的面积。
其中，V代表旋转体的体积，S代表曲辂的面积，d代表重心（质心）与两平行轴之间的距离。
坡印亭矢量公式：A'=A+P其中，A'代表旋转体轨迹的面积，A代表平面图形的面积，P代表平面图形的重心（质心）的轨迹所形成的面积。
在应用坡印亭定理和坡印亭矢量时，需要注意以下几个要点：1.考虑平面图形与轴的交接点：在进行计算时，应当注意平面图形与绕线轴线的交接点。
这些交接点会直接影响到旋转曲辂的面积。
2.找出平面图形的重心（质心）和轨迹的重心（质心）：在进行计算时，需要找出平面图形的重心（质心）和该重心所在的轴线。
同时，还需要计算出平面图形的每一点的轨迹的质心以及该质心所在的轴线。
3.研究平行轴的距离和旋转角度：在坡印亭定理中，旋转角度和平行轴之间的距离是至关重要的。
只有找准了这两个数值，才能正确计算出旋转体的体积和曲辂的面积。
4.采用矢量形式进行计算：在进行坡印亭定理的计算时，可以使用矢量形式进行计算。
这种计算方法相对来说更加简便，能够更好地满足实际问题的需求。
总之，坡印亭定理和坡印亭矢量是在几何学和数学中常用的计算方法，它们能够帮助我们准确计算平面图形在绕过一条轴线旋转后所形成的旋转体的体积和曲辂的面积。
在应用时，需要注意以上要点，以确保计算结果的准确性。
磁场中的力讲解磁场中的洛伦兹力和磁力定律
磁场中的力讲解磁场中的洛伦兹力和磁力定律磁场中的力：洛伦兹力和磁力定律磁场是物理学中重要的一个概念，它是由电流或者磁体产生的。
磁场不仅对物质有吸引或排斥的作用，还能够产生力，其中最常见的力是洛伦兹力和磁力。
本文将对磁场中的洛伦兹力和磁力定律进行讲解。
一、洛伦兹力的定义和公式洛伦兹力是指磁场中带电粒子所受到的力。
当带电粒子在磁场中运动时，它会受到磁场的作用，产生一个垂直于粒子运动方向和磁场方向的力，这就是洛伦兹力。
洛伦兹力的公式如下：F = q(v × B)其中，F表示洛伦兹力的大小，q是带电粒子的电荷量，v是粒子的速度矢量，B是磁场的磁感应强度矢量。
二、磁力定律的介绍和公式磁力定律是磁场中力的基本定律，它表明磁力的大小与所受力物体、磁感应强度和两者之间的夹角有关。
磁力定律的公式如下：F = qvBsinθ其中，F表示磁力的大小，q是带电粒子的电荷量，v是粒子的速度大小，B是磁场的磁感应强度大小，θ是速度和磁感应强度之间的夹角。
三、洛伦兹力和磁力的区别与联系洛伦兹力是磁场中带电粒子所受到的力，而磁力是任何物体在磁场中受到的力。
洛伦兹力和磁力都与带电粒子的电荷量和运动状态有关，但磁力还受到物体质量的影响。
洛伦兹力和磁力的共同点是它们的方向都垂直于磁场方向和粒子运动方向，并且都能对物体产生做功。
四、磁场中的力的应用磁场中的力有着广泛的应用。
其中最典型的应用是在电动机和发电机中，通过磁场中的力实现电能与机械能的转换。
此外，在粒子加速器中，磁场中的洛伦兹力被用来加速带电粒子，使其获得高速。
在医学中，磁场中的力被应用于磁共振成像（MRI），通过对带有磁性荧光剂的物质进行影像检测，来观察人体结构和病变情况。
磁场中的力还被应用于磁悬浮列车、磁浮飞行器等现代交通工具中，提供了更高效、更环保的交通方式。
总结：磁场中的力包括洛伦兹力和磁力。
洛伦兹力是指带电粒子在磁场中所受到的力，而磁力是物体在磁场中受到的力。
《洛伦兹力及其应用》 讲义
《洛伦兹力及其应用》讲义一、洛伦兹力的定义当带电粒子在磁场中运动时，会受到一种特殊的力，这个力被称为洛伦兹力。
洛伦兹力的大小可以用公式 F ＝qvBsinθ 来计算，其中 q 是带电粒子的电荷量，v 是带电粒子的速度，B 是磁场的磁感应强度，θ 是速度方向与磁场方向的夹角。
需要注意的是，洛伦兹力的方向始终与带电粒子的运动方向垂直，且遵循左手定则。
左手定则的判断方法是：将左手伸展，让磁感线穿过掌心，四指指向正电荷运动的方向（或者负电荷运动的反方向），那么大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。
二、洛伦兹力的特点1、洛伦兹力始终与运动电荷的速度方向垂直，因此洛伦兹力对运动电荷不做功。
这意味着洛伦兹力不会改变带电粒子的动能，但会改变其运动方向。
2、洛伦兹力的大小与电荷量、速度、磁感应强度以及速度与磁场方向的夹角有关。
当速度与磁场方向平行时（θ ＝ 0°或 180°），洛伦兹力为零；当速度与磁场方向垂直时（θ ＝ 90°），洛伦兹力最大。
3、洛伦兹力的方向由电荷的正负、速度方向和磁场方向共同决定。
三、洛伦兹力与电场力的比较洛伦兹力和电场力都是带电粒子在电磁场中受到的力，但它们有一些明显的区别。
电场力的大小可以用 F ＝ qE 来计算，其中 E 是电场强度。
电场力的方向与电场方向相同（正电荷）或相反（负电荷）。
与洛伦兹力不同的是，电场力可以对带电粒子做功，从而改变粒子的动能。
此外，电场力的存在与否与带电粒子的运动状态无关，只要处在电场中就会受到电场力；而洛伦兹力只在带电粒子运动时才会产生。
四、洛伦兹力的应用1、质谱仪质谱仪是一种用于测量带电粒子质量和电荷量比值（m/q）的仪器。
其工作原理是：带电粒子在加速电场中被加速，获得一定的速度。
然后进入磁场，在洛伦兹力的作用下做圆周运动。
通过测量粒子做圆周运动的半径和已知的磁场强度、加速电压等参数，可以计算出粒子的 m/q 值。
2、回旋加速器回旋加速器是一种利用磁场和电场加速带电粒子的装置。
《洛伦兹力的应用》 讲义
《洛伦兹力的应用》讲义一、洛伦兹力的基本概念在物理学中，洛伦兹力是指运动电荷在磁场中所受到的力。
这个力是以荷兰物理学家亨德里克·安东·洛伦兹的名字命名的。
当一个电荷量为 q 、速度为 v 的带电粒子在磁感应强度为 B 的磁场中运动时，它所受到的洛伦兹力 F 的大小可以用公式 F ＝qvBsinθ 来计算，其中θ 是速度 v 与磁感应强度 B 之间的夹角。
洛伦兹力的方向始终与电荷运动的方向垂直，并且遵循左手定则：让磁感线穿过左手掌心，四指指向正电荷运动的方向（或负电荷运动的反方向），那么大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。
需要注意的是，洛伦兹力永远不做功，因为它始终与电荷的运动方向垂直，只会改变电荷的运动方向，而不会改变其速度大小。
二、洛伦兹力在现代科技中的应用1、质谱仪质谱仪是一种用于测量离子质荷比的仪器，它在化学、物理学、生物学等领域都有着广泛的应用。
质谱仪的工作原理就基于洛伦兹力。
在质谱仪中，离子源产生的离子经过加速电场加速后，以一定的速度进入磁场。
由于不同质荷比的离子在磁场中受到的洛伦兹力不同，它们会发生不同程度的偏转，从而在磁场中运动出不同的轨迹，最终打在不同的位置上。
通过检测这些离子的位置，就可以计算出它们的质荷比。
2、回旋加速器回旋加速器是一种用于加速带电粒子的装置。
在回旋加速器中，带电粒子在两个半圆形的空心金属盒之间不断地被电场加速，同时在磁场中受到洛伦兹力而做圆周运动。
由于磁场的作用，带电粒子的运动轨迹始终是一个圆周，而电场则不断地对粒子进行加速，使其速度不断增加。
通过多次的加速，带电粒子可以获得很高的能量。
3、磁流体发电机磁流体发电机是一种新型的发电装置。
在磁流体发电机中，高温、高速的等离子体（一种由自由电子和带电离子组成的物质状态）以一定的速度喷射进入磁场。
等离子体中的带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用，从而在两极板之间产生电势差，实现发电。
4、霍尔效应霍尔效应是指当电流垂直于外磁场通过导体时，在导体的垂直于磁场和电流方向的两个端面之间会出现电势差的现象。
坡印亭定理_工程电磁场_[共2页]
![坡印亭定理_工程电磁场_[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/27a8ed154028915f814dc26f.png)
第7章 电磁场的能量与能量守恒定律 211利用安培环路定理得到电容器中任一点的磁场强度为 2π2π22J r Er Ur r dαααγγ===H e e e 则电容器任一点的坡印亭矢量即为 2222P z r U r U r U dd d αγγ=×=×=−S E He e e 7.4.3 坡印亭定理将式（7-4-16）改写为（7-4-24） 上式左边为单位时间内从体积V 的表面流进体积V 中的电磁场能量，右边第一项表示体积V 中电磁能量随时间的增加率，第二项表示体积V 中的热损耗功率（单位时间内以热能形式在体积V 中的损耗能量）。
由此可见，当电磁场与外界有能量交换时，单位时间内通过闭合曲面S 流进体积V 中的电磁场能量，等于体积V 中电磁场能量随时间的增加率与体积V 中的热损耗功率之和，这是电磁场能量转换与守恒定理的另一种表示方式。
在许多参考书中，将式（7-4-24）称为坡印亭定理。
将式（7-4-24）改写为（7-4-25）若体积V 内含有电源，存在局外场，则()γ=+e J E E ，/γ=−e E J E ，代入式（7-4-25），得到 2d d d d d d V V V S J VV +w V t γ⋅=+⋅∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ e P E J S S （7-4-26）式（7-4-26）也称为坡印亭定理。
等式左边d VV ⋅∫∫∫e E J 为体积V 内电源局外力提供的功率；等式右边第一项2d V J V γ∫∫∫等于V 内传导电流引起的功率损耗，第二项d d d V w V t ∫∫∫表示单位时间内电磁场能量的增加，第三项表示穿出闭合面S 的电磁功率。
由此可见，在有外源存在的情况下，外源提供的能量，一部分由于电流流过导体发热损失掉，一部分用于增加电磁场能量，剩余的能量从区域表面传播出去。
坡印亭定理反映了电磁场中能量守恒与转换的规律，电磁场的变化总是伴随着能量的传播。
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S (r , t ) 具体表达式可从麦克斯韦方程得到
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电磁场与电磁波 · 第五讲 洛仑兹力方程、坡印廷定理及几个电磁场基本定理 · 章献民
坡印廷功率流S(r,t) 表示的物理意义
S (r , t ) E (r , t ) H (r , t ) H E (r，t ) E (r, t ) H (r, t )
H j E E E j H
重复类似于导出复数坡印廷定理的步骤，可得到关系
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坡印廷功率流S(r,t) 表示的物理意义
S
S dS
S dV H H dV E E dV J E dV V V t V 2 t V 2
极矩P两部分构成，即
2 P Ne2 D 0 E P 0E E 0 1 2 E 2 m
Ne2 式中 P 称为等离子体频率。 m 0
所以等离子体可用一有效介电常数为
2 P e 0 1 2
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11120010 电磁场与电磁波
洛仑兹力方程 坡印廷定理及几个电磁场基本定理
章献民
zhangxm@ 2012年2月28日星期二
1
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H H E E J E t 2 t 2
对上式两边在域V内作体积分并利用散度定理得到
S t dS S t dV
S V
H t H t d V E t E t dV V J t E t dV V2 t V 2 t
等离子体分析模型：
– 如果时谐电场作用于等离子体，等离子体中的电子和离子将受电场力作用而 运动。因为电子质量比离子质量小得多，离子的运动可忽略，电子将在平衡 位置附近作简谐振动。电子离开平衡位置振荡，电子和离子的重心不重合， 形成电偶极子。 – 时谐电场扰动下的等离子体可看成无限多振荡电偶极子的集合
H r j E r J
所以
' j " ' j "
J c (r ) E ( r )
( E r H * r ) j[ | H r |2 * | E r |2 ] | E r |2 j [ | H r |2 * | E r |2 ] | E r |2 或者 S r 2 2 1 1 ( "| H r |2 "| E r |2 ) | E r |2 j 2 ' | H r |2 ' | E r |2 2 2 4 4 pr j 2 (wm we ) 1 1 2 2 2 式中 pr Re[ S r ] ( "| H r | "| E r | ) | E r | 2 2 1 1 we ' | E r |2 wm ' | H r |2 4 4
P Nex
由式(1)与式(2)求得x，再将此x代入式(3) 得到
4
Ne2 P E 2 m
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等离子体的等效介电常数
任何介质中 D 由自由空间部分与介质极化产生的电偶极矩 P 两部分构 成。
等离子体也是一种介质，所以等离子体中 D 也由自由空间部分与电偶
S
S r n0dS ( pr j2 ( wm we ))dV PR j2 (Wm We )
V
1 1 2 2 2 P ( "| H | "| E | )d V | E | dV 式中 R V V 2 2
Wm wm dV
电磁场的几个基本原理和定理——叠加定理
满足叠加定理的基本条件： 如果在我们所研究的区域内及边界上，媒质的、、都与场强无关，即 我们处理的是线性媒质。 那么麦克斯韦方程所描述的系统就是线性系统，滿足线性系统的叠加定理。
电磁场的叠加定理是指：
若Ei、D i、B i、H i，i从1到n，是给定边界条件下麦克斯韦方程的多个解， 则
对运动电荷也仅当其速度 v 有与 B 垂直的分量时， v B
荷起作用。
0 ，磁场才对运动电
磁场对运动电荷的作用力总是与运动电荷的速度 v 垂直，所以磁场力总是使荷电质
点运动轨迹弯转。
洛伦兹方程描述了电磁场对构成物质的基本单元——电子和核的作用，而物质对电 磁场的作用则由麦克斯韦方程和物质的本构关系反映出来。
的介质等效。
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电离层中等离子体对电磁波传播的影响
电离层中电子浓度随电离层离开地面的 高度以及昼夜时间而变化。
白天的典型值为1012电子/m3，相应的
P=5.64107rad/s，或 fP =9MHz。
因此，如果电磁场的频率 f >> fP，电离 层与自由空间无多大差别。
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等离子体单位体积中的电偶极矩
时谐场作用于等离子体，电子受到的力，按洛伦兹力方程为
F eE
假设x为电子离开正离子的位移，在电子作简谐振荡假定下，有
d2 x F m 2 m 2 x dt
根据偶极子定义，偶极矩密度 P 为
E
i 1
n
i
D
i 1
n
i
B
i 1
n
i
H
i 1
n
i
必是麦克斯韦方程在同一边界条件下的解。
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电磁场与电磁波 · 第五讲 洛仑兹力方程、坡印廷定理及几个电磁场基本定理 · 章献民
电磁场的唯一性定理
唯一性定理要回答在什么条件下麦克斯韦方程组的解才是唯一的。
E a Eb 假设V内的一组源对场量产生两个不同的解 , , 且均满足麦 H a Hb 氏方程。 E Ea Eb 这两组解之差 也满足麦氏方程 H H a Hb
洛伦兹力
带电荷量 q、速度为 v 的质点在电磁场中受到的力为洛伦兹力方程所描述
F q( E v B)
力F的单位是牛顿（N），电荷量q的单位是库仑（C）
F qE
是电场力，它是带电体相互作用规律的实验总结。
Fm qv B 是磁场力，也是实验规律的总结。
Fm 正比于 v 与 B 的叉积。静止电荷 v = 0，所以磁场对静止电荷不起作用。
2
电磁场与电磁波 · 第五讲 洛仑兹力方程、坡印廷定理及几个电磁场基本定理 · 章献民
等离子体
什么是等离子体？
– 等离子体是电离了的气体，含有大量带正电的离子和带负电的电子，与束缚 在原子中的带负电的电子和带正电的核不同，等离子体中的电子和离子可以 自由运动。 – 离开地面 80~120 km 高空的电离层就是一个等离子体，电离层是由太阳辐射 来的紫外光电离高空大气而形成的。
ห้องสมุดไป่ตู้
2
H t H t 表示单位体积中瞬时储存的磁场能
2
E t E t 表示单位体积中瞬时储存的电场能
表示源提供的功率
J (t ) E (t )
所以上式的右边表示体积V内源提供的功率以及V内储存能量随时间的减 少率。根据能量守恒定律，它应当等于从体积V流出的功率。
显然，S(r, t) 是矢量，它具有功率流的量纲。
这个S(r, t) 是否就是我们要找的电磁功率流呢？为此我们考察它的散度
S (r , t ) ，即通量体密度, 所包含的物理意义。
S (r, t ) E (r, t ) H (r, t ) H E (r，t ) E (r, t ) H (r, t )
we、wm分别表示时间平均电场能密度与磁场能密度，pr代表单位体积内电阻损耗与 介质损耗。
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电磁场与电磁波 · 第五讲 洛仑兹力方程、坡印廷定理及几个电磁场基本定理 · 章献民
复数坡印廷功率流的物理意义
利用散度定理 S
j [ | H |2 * | E |2 ] | E |2 pr j 2 (wm we ) 2 2
而从麦克斯韦方程可得 H t E t H t H t t
E t H t E t J t E t E t t
所以
S E H
V
We we dV
V
表示流入闭曲面S包围的体积V内的复数坡印廷功率的实部等于体积V内平 均损耗的功率。
当体积V内储存的磁场能与电场能的时间平均值不相等时，对于时间呈现
电性的或磁性的这部分平均净储能，需要用复数坡印廷功率流的虚部来平 衡。
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电磁场与电磁波 · 第五讲 洛仑兹力方程、坡印廷定理及几个电磁场基本定理 · 章献民
但是对于较低频率的电磁场， 可以为 负，对电磁波全反射，可作为电磁波的 反射体。