八大排序算法
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八大排序算法
排序有内部排序和外部排序,内部排序是数据记录在内存中进行排序,而外部排序是因排序的数据很大,一次不能容纳全部的排序记录,在排序过程中需要访问外存。
我们这里说说八大排序就是内部排序。
当n较大,则应采用时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法:快速排序、堆排序或归并排序序。
快速排序:是目前基于比较的内部排序中被认为是最好的方法,当待排序的关键字是随机分布时,快速排序的平均时间最短;
基本思想:
将一个记录插入到已排序好的有序表中,从而得到一个新,记录数增1的有序表。即:先将序列的第1个记录看成是一个有序的子序列,然后从第2个记录逐个进行插入,直至整个序列有序为止。
要点:设立哨兵,作为临时存储和判断数组边界之用。
直接插入排序示例:
如果碰见一个和插入元素相等的,那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。所以,相等元素的前后顺序没有改变,从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序,所以插入排序是稳定的。
算法的实现:
[cpp]view plaincopyprint?
1.void print(int a[], int n ,int i){
2. cout<
3.for(int j= 0; j<8; j++){
4. cout< 5. } 6. cout< 7.} 8. 9. 10.void InsertSort(int a[], int n) 11.{ 12.for(int i= 1; i 13.if(a[i] < a[i-1]){ //若第i个元素大于i-1元素,直接插入。小于的话, 移动有序表后插入 14.int j= i-1; 15.int x = a[i]; //复制为哨兵,即存储待排序元素 16. a[i] = a[i-1]; //先后移一个元素 17.while(x < a[j]){ //查找在有序表的插入位置 18. a[j+1] = a[j]; 19. j--; //元素后移 20. } 21. a[j+1] = x; //插入到正确位置 22. } 23. print(a,n,i); //打印每趟排序的结果 24. } 25. 26.} 27. 28.int main(){ 29.int a[8] = {3,1,5,7,2,4,9,6}; 30. InsertSort(a,8); 31. print(a,8,8); 32.} 效率: 时间复杂度:O(n^2). 其他的插入排序有二分插入排序,2-路插入排序。 希尔排序是1959 年由D.L.Shell 提出来的,相对直接排序有较大的改进。希尔排序又叫缩小增量排序 基本思想: 先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序,待整个序列中的记录“基本有序” 时,再对全体记录进行依次直接插入排序。 操作方法: 1. 选择一个增量序列t1,t2,…,tk,其中ti>tj,tk=1; 2. 按增量序列个数k,对序列进行k 趟排序; 3. 每趟排序,根据对应的增量ti,将待排序列分割成若干长度为m 的子序列,分别对 各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时,整个序列作为一个表来处理,表长 度即为整个序列的长度。 希尔排序的示例: 算法实现: 我们简单处理增量序列:增量序列d = {n/2 ,n/4, n/8 .....1} n为要排序数的个数 即:先将要排序的一组记录按某个增量d(n/2,n为要排序数的个数)分成若干组子序列,每组中记录的下标相差d.对每组中全部元素进行直接插入排序,然后再用一个较小的增量(d/2)对它进行分组,在每组中再进行直接插入排序。继续不断缩小增量直至为1,最后使用直接插入排 序完成排序。 [cpp]view plaincopyprint? 1.void print(int a[], int n ,int i){ 2. cout< 3.for(int j= 0; j<8; j++){ 4. cout< 5. } 6. cout< 7.} 8./** 9. * 直接插入排序的一般形式 10. * 11. * @param int dk 缩小增量,如果是直接插入排序,dk=1 12. * 13. */ 14. 15.void ShellInsertSort(int a[], int n, int dk) 16.{ 17.for(int i= dk; i 18.if(a[i] < a[i-dk]){ //若第i个元素大于i-1元素,直接插入。小于的话,移动 有序表后插入 19.int j = i-dk; 20.int x = a[i]; //复制为哨兵,即存储待排序元素 21. a[i] = a[i-dk]; //首先后移一个元素 22.while(x < a[j]){ //查找在有序表的插入位置 23. a[j+dk] = a[j]; 24. j -= dk; //元素后移 25. } 26. a[j+dk] = x; //插入到正确位置 27. } 28. print(a, n,i ); 29. } 30. 31.} 32. 33./** 34. * 先按增量d(n/2,n为要排序数的个数进行希尔排序 35. * 36. */ 37.void shellSort(int a[], int n){ 38. 39.int dk = n/2; 40.while( dk >= 1 ){ 41. ShellInsertSort(a, n, dk); 42. dk = dk/2; 43. } 44.} 45.int main(){ 46.int a[8] = {3,1,5,7,2,4,9,6}; 47.//ShellInsertSort(a,8,1); //直接插入排序 48. shellSort(a,8); //希尔插入排序 49. print(a,8,8); 50.} 希尔排序时效分析很难,关键码的比较次数与记录移动次数依赖于增量因子序列d的选取,特定情况下可以准确估算出关键码的比较次数和记录的移动次数。目前还没有人给出选取最好的增量因子序列的方法。增量因子序列可以有各种取法,有取奇数的,也有取质数的,但需要注意:增量因子中除1 外没有公因子,且最后一个增量因子必须为1。希尔排序方法是一个不稳定的排序方法。 基本思想: 在要排序的一组数中,选出最小(或者最大)的一个数与第1个位置的数交换;然后在剩下的数当中再找最小(或者最大)的与第2个位置的数交换,依次类推,直到第n-1个元素(倒数第二个数)和第n个元素(最后一个数)比较为止。 简单选择排序的示例: 操作方法: 第一趟,从n 个记录中找出关键码最小的记录与第一个记录交换; 第二趟,从第二个记录开始的n-1 个记录中再选出关键码最小的记录与第二个记录交换; 以此类推..... 第i 趟,则从第i 个记录开始的n-i+1 个记录中选出关键码最小的记录与第i 个记录交换,直到整个序列按关键码有序。 算法实现: [cpp]view plaincopyprint? 1.void print(int a[], int n ,int i){ 2. cout<<"第"< 3.for(int j= 0; j<8; j++){ 4. cout< 5. } 6. cout< 7.} 8./** 9. * 数组的最小值 10. * 11. * @return int 数组的键值 12. */ 13.int SelectMinKey(int a[], int n, int i) 14.{ 15.int k = i; 16.for(int j=i+1 ;j< n; ++j) { 17.if(a[k] > a[j]) k = j; 18. } 19.return k; 20.} 21. 22./** 23. * 选择排序 24. * 25. */ 26.void selectSort(int a[], int n){ 27.int key, tmp; 28.for(int i = 0; i< n; ++i) { 29. key = SelectMinKey(a, n,i); //选择最小的元素 30.if(key != i){ 31. tmp = a[i]; a[i] = a[key]; a[key] = tmp; //最小元素与第i位置元素互换 32. } 33. print(a, n , i); 34. } 35.} 36.int main(){ 37.int a[8] = {3,1,5,7,2,4,9,6}; 38. cout<<"初始值:"; 39.for(int j= 0; j<8; j++){ 40. cout< 41. } 42. cout< 43. selectSort(a, 8); 44. print(a,8,8); 45.} 简单选择排序的改进——二元选择排序 简单选择排序,每趟循环只能确定一个元素排序后的定位。我们可以考虑改进为每趟循环确定两个元素(当前趟最大和最小记录)的位置,从而减少排序所需的循环次数。改进后对n 个数据进行排序,最多只需进行[n/2]趟循环即可。具体实现如下: [cpp]view plaincopyprint? 1.void SelectSort(int r[],int n) { 2.int i ,j , min ,max, tmp; 3.for (i=1 ;i <= n/2;i++) { 4.// 做不超过n/2趟选择排序 5. min = i; max = i ; //分别记录最大和最小关键字记录位置 6.for (j= i+1; j<= n-i; j++) { 7.if (r[j] > r[max]) { 8. max = j ; continue ; 9. } 10.if (r[j]< r[min]) { 11. min = j ; 12. } 13. } 14.//该交换操作还可分情况讨论以提高效率 15. tmp = r[i-1]; r[i-1] = r[min]; r[min] = tmp; 16. tmp = r[n-i]; r[n-i] = r[max]; r[max] = tmp; 17. 18. } 19.} 堆排序是一种树形选择排序,是对直接选择排序的有效改进。 基本思想: 堆的定义如下:具有n个元素的序列(k1,k2,...,kn),当且仅当满足 时称之为堆。由堆的定义可以看出,堆顶元素(即第一个元素)必为最小项(小顶堆)。 若以一维数组存储一个堆,则堆对应一棵完全二叉树,且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值,根结点(堆顶元素)的值是最小(或最大)的。如: (a)大顶堆序列:(96, 83,27,38,11,09) (b) 小顶堆序列:(12,36,24,85,47,30,53,91) 初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树(一维数组存储二叉树),调整它们的存储序,使之成为一个堆,将堆顶元素输出,得到n 个元素中最小(或最大)的元 素,这时堆的根节点的数最小(或者最大)。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆,输出堆顶元素,得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推,直到只有两个节点的堆,并对它们作交换,最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。 因此,实现堆排序需解决两个问题: 1. 如何将n 个待排序的数建成堆; 2. 输出堆顶元素后,怎样调整剩余n-1 个元素,使其成为一个新堆。 首先讨论第二个问题:输出堆顶元素后,对剩余n-1元素重新建成堆的调整过程。 调整小顶堆的方法: 1)设有m 个元素的堆,输出堆顶元素后,剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶((最后一个元素与堆顶进行交换),堆被破坏,其原因仅是根结点不满足堆的性质。 2)将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。 3)若与左子树交换:如果左子树堆被破坏,即左子树的根结点不满足堆的性质,则重复方法(2). 4)若与右子树交换,如果右子树堆被破坏,即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法(2). 5)继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作,直到叶子结点,堆被建成。 称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。如图: 再讨论对n 个元素初始建堆的过程。 建堆方法:对初始序列建堆的过程,就是一个反复进行筛选的过程。 1)n 个结点的完全二叉树,则最后一个结点是第个结点的子树。 2)筛选从第个结点为根的子树开始,该子树成为堆。 3)之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选,使之成为堆,直到根结点。 如图建堆初始过程:无序序列:(49,38,65,97,76,13,27,49) 算法的实现: 从算法描述来看,堆排序需要两个过程,一是建立堆,二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数,二是反复调用渗透函数实现排序的函数。 [cpp]view plaincopyprint? 1.void print(int a[], int n){ 2.for(int j= 0; j 3. cout< 4. } 5. cout< 6.} 7. 8. 9. 10./** 11. * 已知H[s…m]除了H[s] 外均满足堆的定义 12. * 调整H[s],使其成为大顶堆.即将对第s个结点为根的子树筛选, 13. * 14. * @param H是待调整的堆数组 15. * @param s是待调整的数组元素的位置 16. * @param length是数组的长度 17. * 18. */ 19.void HeapAdjust(int H[],int s, int length) 20.{ 21.int tmp = H[s]; 22.int child = 2*s+1; //左孩子结点的位置。(i+1 为当前调整结点的右孩子结点的位置) 23.while (child < length) { 24.if(child+1 前待调整结点大的孩子结点) 25. ++child ; 26. } 27.if(H[s] 28. H[s] = H[child]; // 那么把较大的子结点往上移动,替换它的父结点 29. s = child; // 重新设置s ,即待调整的下一个结点的位置 30. child = 2*s+1; 31. } else { // 如果当前待调整结点大于它的左右孩子,则不需要调整,直接退 出 32.break; 33. } 34. H[s] = tmp; // 当前待调整的结点放到比其大的孩子结点位置上 35. } 36. print(H,length); 37.} 38. 39. 40./** 41. * 初始堆进行调整 42. * 将H[0..length-1]建成堆 43. * 调整完之后第一个元素是序列的最小的元素 44. */ 45.void BuildingHeap(int H[], int length) 46.{ 47.//最后一个有孩子的节点的位置 i= (length -1) / 2 48.for (int i = (length -1) / 2 ; i >= 0; --i) 49. HeapAdjust(H,i,length); 50.} 51./** 52. * 堆排序算法 53. */ 54.void HeapSort(int H[],int length) 55.{ 56.//初始堆 57. BuildingHeap(H, length); 58.//从最后一个元素开始对序列进行调整 59.for (int i = length - 1; i > 0; --i) 60. { 61.//交换堆顶元素H[0]和堆中最后一个元素 62.int temp = H[i]; H[i] = H[0]; H[0] = temp; 63.//每次交换堆顶元素和堆中最后一个元素之后,都要对堆进行调整 64. HeapAdjust(H,0,i); 65. } 66.} 67. 68.int main(){ 69.int H[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8}; 70. cout<<"初始值:"; 71. print(H,10); 72. HeapSort(H,10); 73.//selectSort(a, 8); 74. cout<<"结果:"; 75. print(H,10); 76. 77.} 分析: 设树深度为k,。从根到叶的筛选,元素比较次数至多2(k-1)次,交换记录至多k 次。所以,在建好堆后,排序过程中的筛选次数不超过下式: 而建堆时的比较次数不超过4n 次,因此堆排序最坏情况下,时间复杂度也为:O(nlogn )。 基本思想: 在要排序的一组数中,对当前还未排好序的范围内的全部数,自上而下对相邻的两个数依次进行比较和调整,让较大的数往下沉,较小的往上冒。即:每当两相邻的数比较后发现它们的排序与排序要求相反时,就将它们互换。 冒泡排序的示例: 算法的实现: [cpp]view plaincopyprint? 1.void bubbleSort(int a[], int n){ 2.for(int i =0 ; i< n-1; ++i) { 3.for(int j = 0; j < n-i-1; ++j) { 4.if(a[j] > a[j+1]) 5. { 6.int tmp = a[j] ; a[j] = a[j+1] ; a[j+1] = tmp; 7. } 8. } 9. } 10.} 冒泡排序算法的改进 对冒泡排序常见的改进方法是加入一标志性变量exchange,用于标志某一趟排序过程中是否有数据交换,如果进行某一趟排序时并没有进行数据交换,则说明数据已经按要求排列好,可立即结束排序,避免不必要的比较过程。本文再提供以下两种改进算法: 1.设置一标志性变量pos,用于记录每趟排序中最后一次进行交换的位置。由于pos位置之后的记录均已交换到位,故在进行下一趟排序时只要扫描到pos位置即可。 改进后算法如下: [cpp]view plaincopyprint? 1.void Bubble_1 ( int r[], int n) { 2.int i= n -1; //初始时,最后位置保持不变 3.while ( i> 0) { 4.int pos= 0; //每趟开始时,无记录交换 5.for (int j= 0; j< i; j++) 6.if (r[j]> r[j+1]) { 7. pos= j; //记录交换的位置 8.int tmp = r[j]; r[j]=r[j+1];r[j+1]=tmp; 9. } 10. i= pos; //为下一趟排序作准备 11. } 12.} 2.传统冒泡排序中每一趟排序操作只能找到一个最大值或最小值,我们考虑利用在每趟排序中进行正向和反向两遍冒泡的方法一次可以得到两个最终值(最大者和最小者) , 从而使排序趟数几乎减少了一半。 改进后的算法实现为: [cpp]view plaincopyprint? 1.void Bubble_2 ( int r[], int n){ 2.int low = 0; 3.int high= n -1; //设置变量的初始值 4.int tmp,j; 5.while (low < high) { 6.for (j= low; j< high; ++j) //正向冒泡,找到最大者 7.if (r[j]> r[j+1]) { 8. tmp = r[j]; r[j]=r[j+1];r[j+1]=tmp; 9. } 10. --high; //修改high值, 前移一位 11.for ( j=high; j>low; --j) //反向冒泡,找到最小者 12.if (r[j] 13. tmp = r[j]; r[j]=r[j-1];r[j-1]=tmp; 14. } 15. ++low; //修改low值,后移一位 16. } 17.} 基本思想: 1)选择一个基准元素,通常选择第一个元素或者最后一个元素, 2)通过一趟排序讲待排序的记录分割成独立的两部分,其中一部分记录的元素值均比基准元素值小。另一部分记录的元素值比基准值大。 3)此时基准元素在其排好序后的正确位置 4)然后分别对这两部分记录用同样的方法继续进行排序,直到整个序列有序。 快速排序的示例: (a)一趟排序的过程: (b)排序的全过程 算法的实现: 递归实现: [cpp]view plaincopyprint? 1.void print(int a[], int n){ 2.for(int j= 0; j 3. cout< 4. } 5. cout< 6.} 7. 8.void swap(int *a, int *b) 9.{ 10.int tmp = *a; 11. *a = *b; 12. *b = tmp; 13.} 14. 15.int partition(int a[], int low, int high) 16.{ 17.int privotKey = a[low]; //基准元素 18.while(low < high){ //从表的两端交替地向中间扫 描 19.while(low < high && a[high] >= privotKey) --high; //从high 所指位置向前搜索, 至多到low+1 位置。将比基准元素小的交换到低端 20. swap(&a[low], &a[high]); 21.while(low < high && a[low] <= privotKey ) ++low; 22. swap(&a[low], &a[high]); 23. } 24. print(a,10); 25.return low; 26.} 27. 28. 29.void quickSort(int a[], int low, int high){ 30.if(low < high){ 31.int privotLoc = partition(a, low, high); //将表一分为二 32. quickSort(a, low, privotLoc -1); //递归对低子表递归排序 33. quickSort(a, privotLoc + 1, high); //递归对高子表递归排序 34. } 35.} 36. 37.int main(){ 38.int a[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8}; 39. cout<<"初始值:"; 40. print(a,10); 41. quickSort(a,0,9); 42. cout<<"结果:"; 43. print(a,10); 44. 45.} 分析: 快速排序是通常被认为在同数量级(O(nlog2n))的排序方法中平均性能最好的。但若初始序列按关键码有序或基本有序时,快排序反而蜕化为冒泡排序。为改进之,通常以“三者取中法”来选取基准记录,即将排序区间的两个端点与中点三个记录关键码居中的调整为支点记录。快速排序是一个不稳定的排序方法。 快速排序的改进 在本改进算法中,只对长度大于k的子序列递归调用快速排序,让原序列基本有序,然后再对整个基本有序序列用插入排序算法排序。实践证明,改进后的算法时间复杂度有所降低,且当k取值为 8 左右时,改进算法的性能最佳。算法思想如下: [cpp]view plaincopyprint? 1.void print(int a[], int n){ 2.for(int j= 0; j 3. cout< 4. } 5. cout< 6.} 7. 8.void swap(int *a, int *b) 9.{ 10.int tmp = *a; 11. *a = *b; 12. *b = tmp; 13.} 14. 15.int partition(int a[], int low, int high) 16.{ 17.int privotKey = a[low]; //基准元素 18.while(low < high){ //从表的两端交替地向中间扫描 19.while(low < high && a[high] >= privotKey) --high; //从high 所指位置向前搜索, 至多到low+1 位置。将比基准元素小的交换到低端 20. swap(&a[low], &a[high]); 21.while(low < high && a[low] <= privotKey ) ++low; 22. swap(&a[low], &a[high]); 23. } 24. print(a,10); 25.return low; 26.} 27. 28. 29.void qsort_improve(int r[ ],int low,int high, int k){ 30.if( high -low > k ) { //长度大于k时递归, k为指定的数 31.int pivot = partition(r, low, high); // 调用的Partition算法保持不变 32. qsort_improve(r, low, pivot - 1,k); 33. qsort_improve(r, pivot + 1, high,k); 34. } 35.} 36.void quickSort(int r[], int n, int k){ 37. qsort_improve(r,0,n,k);//先调用改进算法Qsort使之基本有序 38. 39.//再用插入排序对基本有序序列排序 40.for(int i=1; i<=n;i ++){ 41.int tmp = r[i]; 42.int j=i-1; 43.while(tmp < r[j]){ 44. r[j+1]=r[j]; j=j-1; 45. } 46. r[j+1] = tmp; 47. } 48. 49.} 50. 51. 52. 53.int main(){ 54.int a[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8}; 55. cout<<"初始值:"; 56. print(a,10); 57. quickSort(a,9,4); 58. cout<<"结果:"; 59. print(a,10); 60. 61.} 各种排序算法的总结和比较 1 快速排序(QuickSort) 快速排序是一个就地排序,分而治之,大规模递归的算法。从本质上来说,它是归并排序的就地版本。快速排序可以由下面四步组成。 (1)如果不多于1个数据,直接返回。 (2)一般选择序列最左边的值作为支点数据。(3)将序列分成2部分,一部分都大于支点数据,另外一部分都小于支点数据。 (4)对两边利用递归排序数列。 快速排序比大部分排序算法都要快。尽管我们可以在某些特殊的情况下写出比快速排序快的算法,但是就通常情况而言,没有比它更快的了。快速排序是递归的,对于内存非常有限的机器来说,它不是一个好的选择。 2 归并排序(MergeSort) 归并排序先分解要排序的序列,从1分成2,2分成4,依次分解,当分解到只有1个一组的时候,就可以排序这些分组,然后依次合并回原来的序列中,这样就可以排序所有数据。合并排序比堆排序稍微快一点,但是需要比堆排序多一倍的内存空间,因为它需要一个额外的数组。 3 堆排序(HeapSort) 堆排序适合于数据量非常大的场合(百万数据)。 堆排序不需要大量的递归或者多维的暂存数组。这对于数据量非常巨大的序列是合适的。比如超过数百万条记录,因为快速排序,归并排序都使用递归来设计算法,在数据量非常大的时候,可能会发生堆栈溢出错误。 堆排序会将所有的数据建成一个堆,最大的数据在堆顶,然后将堆顶数据和序列的最后一个数据交换。接下来再次重建堆,交换数据,依次下去,就可以排序所有的数据。 Shell排序通过将数据分成不同的组,先对每一组进行排序,然后再对所有的元素进行一次插入排序,以减少数据交换和移动的次数。平均效率是O(nlogn)。其中分组的合理性会对算法产生重要的影响。现在多用D.E.Knuth的分组方法。 Shell排序比冒泡排序快5倍,比插入排序大致快2倍。Shell排序比起QuickSort,MergeSort,HeapSort慢很多。但是它相对比较简单,它适合于数据量在5000以下并且速度并不是特别重要的场合。它对于数据量较小的数列重复排序是非常好的。 5 插入排序(InsertSort) 插入排序通过把序列中的值插入一个已经排序好的序列中,直到该序列的结束。插入排序是对冒泡排序的改进。它比冒泡排序快2倍。一般不用在数据大于1000的场合下使用插入排序,或者重复排序超过200数据项的序列。 排序算法 一、插入排序(Insertion Sort) 1. 基本思想: 每次将一个待排序的数据元素,插入到前面已经排好序的数列中的适当位置,使数列依然有序;直到待排序数据元素全部插入完为止。 2. 排序过程: 【示例】: [初始关键字] [49] 38 65 97 76 13 27 49 J=2(38) [38 49] 65 97 76 13 27 49 J=3(65) [38 49 65] 97 76 13 27 49 J=4(97) [38 49 65 97] 76 13 27 49 J=5(76) [38 49 65 76 97] 13 27 49 J=6(13) [13 38 49 65 76 97] 27 49 J=7(27) [13 27 38 49 65 76 97] 49 J=8(49) [13 27 38 49 49 65 76 97] Procedure InsertSort(Var R : FileType); //对R[1..N]按递增序进行插入排序, R[0]是监视哨// Begin for I := 2 To N Do //依次插入R[2],...,R[n]// begin R[0] := R[I]; J := I - 1; While R[0] < R[J] Do //查找R[I]的插入位置// begin R[J+1] := R[J]; //将大于R[I]的元素后移// J := J - 1 end R[J + 1] := R[0] ; //插入R[I] // end End; //InsertSort // 二、选择排序 1. 基本思想: 每一趟从待排序的数据元素中选出最小(或最大)的一个元素,顺序放在已排好序的数列的最后,直到全部待排序的数据元素排完。 2. 排序过程: 【示例】: 初始关键字[49 38 65 97 76 13 27 49] 第一趟排序后13 [38 65 97 76 49 27 49] 第二趟排序后13 27 [65 97 76 49 38 49] 第三趟排序后13 27 38 [97 76 49 65 49] 第四趟排序后13 27 38 49 [49 97 65 76] 第五趟排序后13 27 38 49 49 [97 97 76] 排序算法 排序算法大致分为两大类,即排序对象全部位于内存的内排序以及排序对象不完全位于内存的外排序。其中又以内排序为排序算法的主要部分,绝大多数的排序算法均适用于内排序。 除了以排序对象是否全部位于内存来划分的两种类型外,排序算法又分为: 1)对待排序对象进行两两比较以确定两对象次序,进而确定整个序列的交换排序 2)将待排序对象中的未排序对象依次插入到已排序好的序列中,此为插入排序 3)将未排序子序列中的最小对象移动到该子序列的最前端并于未排序子序列中 删除此最小对象,这是选择排序 4)利用堆结构实现的堆排序,相当的优秀,对于一般数据有着nlog2(n)的算法复 杂度,并且不需要额外的内存空间 5)十分适合于外排序的归并排序,原理是将待排序序列分割为两两一对的小序 列,对这些小序列进行排序并不断将这些小序列合并,最终获得完整有序序列, 和堆排序一样的算法复杂度,不过需要额外的储存空间。相对于堆排序的优点 是可以处理外排序 以上的5个算法均基于对象关键字大小的比较,以下的两种算法是基于对象关键字 大小的统计比较。 6)比较统计排序,基本思想是对给定的待排序序列中的每一个对象,确定该序列 中键值小于对象键值的对象个数,一旦知道了这个统计信息,那么就可以直接 将对象放到输出序列的正确的位置上了。 7)分布统计排序,是比较统计排序的升级版本,可以获得O(n)的算法复杂度,可 以说是所有算法里面最优的,但是缺点也是很明显,就是对于输入数据结构有 明显的要求和需要额外的内存空间。 下面对上面所述的相关算法进行描述。 一、交换排序 交换排序中最基本简单的就是冒泡排序了,基于冒泡排序的优化算法又有双向冒泡排序。而除了冒泡排序之外,快速排序也是常见的交换排序算法。鉴于冒泡排序太简单了,这里就不打算进行介绍了。 快速排序,是一种效率很好的排序方法,适用于排序问题的规模很大但对于稳定性不做要求的情况。这里的稳定性指的是,对于原序列中拥有相同大小关键字的项,如果在排序后这些项的前后顺序没有变化,那么我们就称该算法为稳定的。 快速排序的设计方法是分冶法,基本思想是:在待排序序列中选择一个对象(比如说第一个对象)作为基准点(pivot),通过将将序列分割为两个子序列(一个子序列的对象都大于基准点,另一个则是小于)来确定基准点的位置。确定了基准点的位置之后对分割开来的两个子序列重复上面的操作(此即为分冶),直到所有的对象都被确定了位置。 举一个例子以较形象的表达这一过程,以数据10、25、25、11、2、5来做例子,其中因为有两个25,所以第2个25以25*表示。 一、插入排序 介绍 插入排序的基本操作就是将一个数据插入到已经排好序的有序数据中,从而得到一个新的、个数加一的有序数据。 算法适用于少量数据的排序,时间复杂度为O(n^2)。 插入排算法是稳定的排序方法。 步骤 ①从第一个元素开始,该元素可以认为已经被排序 ②取出下一个元素,在已经排序的元素序列中从后向前扫描 ③如果该元素(已排序)大于新元素,将该元素移到下一位置 ④重复步骤3,直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置 ⑤将新元素插入到该位置中 ⑥重复步骤2 排序演示 算法实现 二、冒泡排序 介绍 冒泡排序(Bubble Sort)是一种简单的排序算法,时间复杂度为O(n^2)。它重复地走访过要排序的数列,一次比较两个元素,如果他们的顺序错误就把他们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换,也就是说该数列已经排序完成。 这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。原理 循环遍历列表,每次循环找出循环最大的元素排在后面; 需要使用嵌套循环实现:外层循环控制总循环次数,内层循环负责每轮的循环比较。 步骤 ①比较相邻的元素。如果第一个比第二个大,就交换他们两个。 ②对每一对相邻元素作同样的工作,从开始第一对到结尾的最后一对。在这一点,最后的元素应该会是最大的数。 ③针对所有的元素重复以上的步骤,除了最后一个。 ④持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤,直到没有任何一对数字需要比较。 算法实现: 三、快速排序 介绍 快速排序(Quicksort)是对冒泡排序的一种改进,借用了分治的思想,由C. A. R. Hoare在1962年提出。 基本思想 快速排序的基本思想是:挖坑填数+ 分治法。 首先选出一个轴值(pivot,也有叫基准的),通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分,其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小,则可分别对这两部分记录继续进行排序,以达到整个序列有序。 实现步骤 这个星期做数据结构课设,涉及到两个基于链表的排序算法,分别是基于链表的选择排序算法和归并排序算法。写出来跟大家一起分享一下,希望对数据结构初学朋友有所帮助,高手就直接忽视它吧。话不多说,下面就看代码吧。 [c-sharp]view plaincopy 1.node *sorted(node *sub_root) 2.{ 3.if (sub_root->next) 4. { 5. node * second_half = NULL; 6. node * first_half = sub_root; 7. node * temp = sub_root->next->next; 8.while (temp) 9. { 10. first_half = first_half->next; 11. temp = temp->next; 12.if(temp) 13. temp = temp->next; 14. } 15. second_half = first_half->next; 16. first_half->next = NULL; 17. node * lChild = sorted(sub_root); 18. node * rChild = sorted(second_half); 19.if (lChild->data < rChild->data) 20. { 21. sub_root = temp = lChild; 22. lChild = lChild->next; 23. } 24.else 25. { 26. sub_root = temp = rChild; 27. rChild = rChild->next; 28. } 29.while (lChild&&rChild) 30. { 31.if (lChild->data < rChild->data ) 32. { 33. temp->next = lChild; 34. temp = temp->next; 35. lChild = lChild->next; 36. } 37.else 38. { 常见经典排序算法(C语言) 1.希尔排序 2.二分插入法 3.直接插入法 4.带哨兵的直接排序法 5.冒泡排序 6.选择排序 7.快速排序 8.堆排序 一.希尔(Shell)排序法(又称宿小增量排序,是1959年由D.L.Shell提出来的) /* Shell 排序法*/ #include } } 二.二分插入法 /* 二分插入法*/ void HalfInsertSort(int a[], int len) { int i, j,temp; int low, high, mid; for (i=1; i 数据结构各种排序算法总结 2009-08-19 11:09 计算机排序与人进行排序的不同:计算机程序不能象人一样通览所有的数据,只能根据计算机的"比较"原理,在同一时间内对两个队员进行比较,这是算法的一种"短视"。 1. 冒泡排序 BubbleSort 最简单的一个 public void bubbleSort() { int out, in; for(out=nElems-1; out>0; out--) // outer loop (backward) for(in=0; in swap(out, min); // swap them } // end for(out) } // end selectionSort() 效率:O(N2) 3. 插入排序 insertSort 在插入排序中,一组数据在某个时刻实局部有序的,为在冒泡和选择排序中实完全有序的。 public void insertionSort() { int in, out; for(out=1; out 课题:选择排序的算法实现 授课教师:钱晓峰 单位:浙江金华第一中学 一、教学目标 1.知识目标: (1)进一步理解和掌握选择排序算法思想。 (2)初步掌握选择排序算法的程序实现。 2.能力目标:能使用选择排序算法设计程序解决简单的问题。 3.情感目标:培养学生的竞争意识。 二、教学重点、难点 1. 教学难点:选择排序算法的VB程序实现。 2. 教学重点:对于选择排序算法的理解、程序的实现。 三、教学方法与教学手段 本节课使用教学辅助网站开展游戏竞技和其他教学活动,引导学生通过探究和分析游戏中的玩法,得出“选择排序”的基本思路,进而使用VB来实现该算法。让学生在玩游戏的过程中学到知识,然后再以这些知识为基础,组织学生进行又一个新的游戏。“从生活中来、到生活中去、寓教于乐”便是这堂课的主导思想。 四、教学过程 五、教学设计说明 在各种游戏活动、娱乐活动中,人们都会不知不觉地使用各种基础算法的思想来解决问题。通过这类课堂活动,可以帮助学生更加容易地理解和接受这些算法。“从生活中来、到生活中去、寓教于乐”便是这堂课的主导思想。 本节课以教学辅助网站为依托,以游戏活动“牛人争霸赛”为主线,将教学内容融入到游戏活动中,让学生从中领悟知识、学到知识,然后又把学到的知识应用到新的游戏活动中。 本节课所使用的教学辅助站点记录了每一个学生的学习任务的完成情况,通过这个站点,我们可以实时地了解每一个学生学习任务的完成情况,也解决了《算法与程序设计》课程如何进行课堂评价的问题。 本节课的重点和难点是对选择排序算法思想的理解和选择排序算法的程序实现。如何解决这两个难点是一开始就需要考虑的问题,本节课通过玩游戏的方式,让学生不知不觉地进入一种排序思维状态,然后引导学生分析玩游戏的步骤,这样就可以很顺畅地让学生体验到选择排序的算法思想。然后,进一步分析这种方法第I步的操作,让学生根据理解完成第二关的“流程图游戏”,这又很自然地引导学生朝算法实现的方向前进了一步,接着让学生分析游戏中完成的流程图,得出选择排序的程序。为了巩固学生的学习效果,最后以游戏的方式让学生巩固知识、强化理解。 六、个人简介 钱晓峰,男,中共党员,出生于1981年12月,浙江湖州人。2004年6月毕业于浙江师范大学计算机科学与技术专业,同年应聘到浙江金华第一中学任教信息技术课。在开展日常教学工作的同时,开设的校本课程《网站设计与网页制作》、《常用信息加密与解密》,深受学生好评;与此同时,还根据学校实际情况开发了《金华一中网络选课系统》、《金华信息学奥赛专题网》等网络应用程序;教学教研方面,也多次在省、市、学校的各项比赛中获奖。 数据结构-各类排序算法总结 原文转自: https://www.360docs.net/doc/2f17262603.html,/zjf280441589/article/details/38387103各类排序算法总结 一. 排序的基本概念 排序(Sorting)是计算机程序设计中的一种重要操作,其功能是对一个数据元素集合或序列重新排列成一个按数据元素 某个项值有序的序列。 有n 个记录的序列{R1,R2,…,Rn},其相应关键字的序列是{K1,K2,…,Kn},相应的下标序列为1,2,…,n。通过排序,要求找出当前下标序列1,2,…,n 的一种排列p1,p2,…,pn,使得相应关键字满足如下的非递减(或非递增)关系,即:Kp1≤Kp2≤…≤Kpn,这样就得到一个按关键字有序的记录序列{Rp1,Rp2,…,Rpn}。 作为排序依据的数据项称为“排序码”,也即数据元素的关键码。若关键码是主关键码,则对于任意待排序序列,经排序后得到的结果是唯一的;若关键码是次关键码,排序结果可 能不唯一。实现排序的基本操作有两个: (1)“比较”序列中两个关键字的大小; (2)“移动”记录。 若对任意的数据元素序列,使用某个排序方法,对它按关键码进行排序:若相同关键码元素间的位置关系,排序前与排序后保持一致,称此排序方法是稳定的;而不能保持一致的排序方法则称为不稳定的。 二.插入类排序 1.直接插入排序直接插入排序是最简单的插入类排序。仅有一个记录的表总是有序的,因此,对n 个记录的表,可从第二个记录开始直到第n 个记录,逐个向有序表中进行插入操作,从而得到n个记录按关键码有序的表。它是利用顺序查找实现“在R[1..i-1]中查找R[i]的插入位置”的插入排序。 常见内部排序算法比较 排序算法是数据结构学科经典的内容,其中内部排序现有的算法有很多种,究竟各有什么特点呢?本文力图设计实现常用内部排序算法并进行比较。分别为起泡排序,直接插入排序,简单选择排序,快速排序,堆排序,针对关键字的比较次数和移动次数进行测试比较。 问题分析和总体设计 ADT OrderableList { 数据对象:D={ai| ai∈IntegerSet,i=1,2,…,n,n≥0} 数据关系:R1={〈ai-1,ai〉|ai-1, ai∈D, i=1,2,…,n} 基本操作: InitList(n) 操作结果:构造一个长度为n,元素值依次为1,2,…,n的有序表。Randomizel(d,isInverseOrser) 操作结果:随机打乱 BubbleSort( ) 操作结果:进行起泡排序 InserSort( ) 操作结果:进行插入排序 SelectSort( ) 操作结果:进行选择排序 QuickSort( ) 操作结果:进行快速排序 HeapSort( ) 操作结果:进行堆排序 ListTraverse(visit( )) 操作结果:依次对L种的每个元素调用函数visit( ) }ADT OrderableList 待排序表的元素的关键字为整数.用正序,逆序和不同乱序程度的不同数据做测试比较,对关键字的比较次数和移动次数(关键字交换计为3次移动)进行测试比较.要求显示提示信息,用户由键盘输入待排序表的表长(100-1000)和不同测试数据的组数(8-18).每次测试完毕,要求列表现是比较结果. 要求对结果进行分析. 详细设计 1、起泡排序 算法:核心思想是扫描数据清单,寻找出现乱序的两个相邻的项目。当找到这两个项目后,交换项目的位置然后继续扫描。重复上面的操作直到所有的项目都按顺序排好。 bubblesort(struct rec r[],int n) { int i,j; struct rec w; unsigned long int compare=0,move=0; for(i=1;i<=n-1;i++) for(j=n;j>=i+1;j--) { if(r[j].key VB 程序设计之十大算法-------“选择排序”教学设计 姓名:XXX 邮箱:XXX 本节课取自《Visual Basic 语言程序设计基础》,因本书中涉及到排序类的题型不多,而且知识点比较单一,例题没有很好的与控件结合起来,因此在课堂中将引入形式各样的题型,让学生通过读题、分步解题来掌握知识点,得出一类题型的解题规律,提高课堂教学的有效性。 【学情分析】 本课教学对象是中职二年级计算机应用技术专业班级,班级由33名同学组成。他们大部分突显出拿到编程题无从下手的窘况,缺乏分析问题的能力,由于英语底子薄,在编写代码方面有时即使知道该如何书写,但也总因为单词写错而影响整题得分。 【考纲分析】 对于这一算法,在考纲中只有这样一句话:“掌握选择排序法的编程方法”。但是对于这个知识点是高职高考中操作设计大分题,因此必须让学生引起高度的重视。例如在2016年的高职高考中,最后一题设计题16分就是关于排序题。【教学目标】 知识与技能 1.通过简单排序题,得出读题的方法和解题“三步走”模块化的概念。 2.能够将长代码进行分块化编写,从而解决复杂题型。 过程与方法 1.读题时学会抓住其中的关键字,知道解题思路 2.边讲边练的教学法,帮助学生自主学习 情感与态度 1.以简单易懂题入手,激发学生学习的热情,树立信心 2.培养学生处理复杂问题的耐心 【教学重点】 1.清楚选择排序的固定代码 2.对编程类题型形成“输入、处理、输出”三步走的概念 3.养成高职高考解题的规范性。 【教学难点】 1.能够学会捕捉题中的关键字 2.能够书写选择排序与控件相结合的代码 【教学方法】 分析法、举例法 课程设计(论文)任务书 学院计算机科学与技术专业2005-1 班 一、课程设计(论文)题目各种排序算法演示 二、课程设计(论文)工作自 2007年 6月 25 日起至 2007年 7月 8日止。 三、课程设计(论文) 地点: 多媒体实验室(5-302,303) 四、课程设计(论文)内容要求: 1.本课程设计的目的 (1)熟练掌握C语言的基本知识和技能; (2)掌握各种排序(直接插入,希尔,冒泡,快速排序,简单选择,堆排序)方法及适用场合,并能在解决实际问题时灵活应用; (3)从空间和时间的角度分析各种排序; (5)培养分析、解决问题的能力;提高学生的科技论文写作能力。 2.课程设计的任务及要求 1)基本要求: (1)设计一个的菜单将在实现的功能显示出来,并有选择提示; (2)分别实现直接插入,希尔,冒泡,快速排序,简单选择,堆排序算法; (3)通过多种测试数据,对各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度进行比较并说明在实际场合的运用。 2)创新要求: 提高算法效率,降低时间复杂度和空间复杂度 3)课程设计论文编写要求 (1)要按照课程设计模板的规格书写课程设计论文 (2)论文包括目录、正文、心得体会、参考文献等 (3)课程设计论文用B5纸统一打印,装订按学校的统一要求完成 4)答辩与评分标准: (1)完成原理分析:20分; (2)完成设计过程:40分; (3)完成调试:20分; (4)回答问题:20分。 5)参考文献: (1)严蔚敏,吴伟民.数据结构. 北京:清华大学出版社,2006. (2)严蔚敏、吴伟民、米宁.数据结构题集。北京:清华大学出版社,2006. (3) 谭浩强. C程序设计(第二版)作者:清华大学出版社,2006. 6)课程设计进度安排 内容天数地点 构思及收集资料2图书馆 编程设计与调试5实验室 撰写论文3图书馆、实验室 学生签名: 年月日 课程设计(论文)评审意见 (1)完成原理分析(20分):优()、良()、中()、一般()、差();(2)设计分析(20分):优()、良()、中()、一般()、差();(3)完成调试(20分):优()、良()、中()、一般()、差();(4)翻译能力(20分):优()、良()、中()、一般()、差();(5)回答问题(20分):优()、良()、中()、一般()、差();(6)格式规范性及考勤是否降等级:是()、否() 评阅人:职称: 年月日 数据挖掘十大经典算法,你都知道哪些? 当前时代大数据炙手可热,数据挖掘也是人人有所耳闻,但是关于数据挖掘更具体的算法,外行人了解的就少之甚少了。 数据挖掘主要分为分类算法,聚类算法和关联规则三大类,这三类基本上涵盖了目前商业市场对算法的所有需求。而这三类里又包含许多经典算法。而今天,小编就给大家介绍下数据挖掘中最经典的十大算法,希望它对你有所帮助。 一、分类决策树算法C4.5 C4.5,是机器学习算法中的一种分类决策树算法,它是决策树(决策树,就是做决策的节点间的组织方式像一棵倒栽树)核心算法ID3的改进算法,C4.5相比于ID3改进的地方有: 1、用信息增益率选择属性 ID3选择属性用的是子树的信息增益,这里可以用很多方法来定义信息,ID3使用的是熵(shang),一种不纯度度量准则,也就是熵的变化值,而 C4.5用的是信息增益率。区别就在于一个是信息增益,一个是信息增益率。 2、在树构造过程中进行剪枝,在构造决策树的时候,那些挂着几个元素的节点,不考虑最好,不然容易导致过拟。 3、能对非离散数据和不完整数据进行处理。 该算法适用于临床决策、生产制造、文档分析、生物信息学、空间数据建模等领域。 二、K平均算法 K平均算法(k-means algorithm)是一个聚类算法,把n个分类对象根据它们的属性分为k类(kn)。它与处理混合正态分布的最大期望算法相似,因为他们都试图找到数据中的自然聚类中心。它假设对象属性来自于空间向量,并且目标是使各个群组内部的均方误差总和最小。 从算法的表现上来说,它并不保证一定得到全局最优解,最终解的质量很大程度上取决于初始化的分组。由于该算法的速度很快,因此常用的一种方法是多次运行k平均算法,选择最优解。 k-Means 算法常用于图片分割、归类商品和分析客户。 三、支持向量机算法 支持向量机(Support Vector Machine)算法,简记为SVM,是一种监督式学习的方法,广泛用于统计分类以及回归分析中。 SVM的主要思想可以概括为两点: (1)它是针对线性可分情况进行分析,对于线性不可分的情况,通过使用非线性映射算法将低维输入空间线性不可分的样本转化为高维特征空间使其线性可分; (2)它基于结构风险最小化理论之上,在特征空间中建构最优分割超平面,使得学习器得到全局最优化,并且在整个样本空间的期望风险以某个概率满足一定上界。 四、The Apriori algorithm Apriori算法是一种最有影响的挖掘布尔关联规则频繁项集的算法,其核心是基于两阶段“频繁项集”思想的递推算法。其涉及到的关联规则在分类上属于单维、单层、布尔关联规则。在这里,所有支持度大于最小支 五种排序算法的分析与比较 广东医学院医学信息专业郭慧玲 摘要:排序算法是计算机程序设计广泛使用的解决问题的方法,研究排序算法具有重要的理论意义和广泛的应用价值。文章通过描述冒泡、选择、插入、归并和快速5种排序算法,总结了它们的时间复杂度、空间复杂度和稳定性。通过实验验证了5种排序算法在随机、正序和逆序3种情况下的性能,指出排序算法的适用原则,以供在不同条件下选择适合的排序算法借鉴。 关键词:冒泡排序;选择排序;插入排序;归并排序;快速排序。 排序是计算机科学中基本的研究课题之一,其目的是方便记录的查找、插入和删除。随着计算机的发展与应用领域的越来越广,基于计算机硬件的速度和存储空间的有限性,如何提高计算机速度并节省存储空间一直成为软件设计人员的努力方向。其中,排序算法已成为程序设计人员考虑的因素之一[1],排序算法选择得当与否直接影响程序的执行效率和内外存储空间的占用量,甚至影响整个软件的综合性能。排序操作[2,3],就是将一组数据记录的任意序列,重新排列成一个按关键字有序的序列。而所谓排序的稳定性[4]是指如果在排序的序列中,存在前后相同的两个元素,排序前和排序后他们的相对位臵不发生变化。 1 算法与特性 1.1冒泡排序 1.1.1冒泡排序的基本思想 冒泡排序的基本思想是[5,6]:首先将第1个记录的关键字和第2个记录的关键字进行比较,若为逆序,则将2个记录交换,然后比较第2个和第3个记录的关键字,依次类推,直至n-1个记录和第n个记录的关键字进行过比较为止。然后再按照上述过程进行下一次排序,直至整个序列有序为止。 1.1.2冒泡排序的特性 容易判断冒泡排序是稳定的。可以分析出它的效率,在最好情况下,只需通过n-1次比较,不需要移动关键字,即时间复杂度为O(n)(即正序);在最坏情况下是初始序列为逆序,则需要进行n-1次排序,需进行n(n-1)/2次比较,因此在最坏情况下时间复杂度为O(n2),附加存储空间为O(1)。 1.2选择排序 1.2.1选择排序的基本思想 选择排序的基本思想是[5,6]:每一次从待排序的记录中选出关键字最小的记录,顺序放在已排好序的文件的最后,直到全部记录排序完毕.常用的选择排序方法有直接选择排序和堆排序,考虑到简单和易理解,这里讨论直接选择排序。直接选择排序的基本思想是n个记录的文件的直接排序可经过n-1次直接选择排序得到有序结果。 1.2.2选择排序的特性 容易得出选择排序是不稳定的。在直接选择排序过程中所需进行记录移动的操作次数最少为0,最大值为3(n-1)。然而,无论记录的初始排序如何,所需进行的关键字间的比较次数相同,均为n(n-1)/2,时间 选择排序法教案 教学目标: 掌握选择排序的算法,并会用选择排序法解决实际问题 教学重点: 选择排序算法的实现过程 教学难点: 选择排序算法的实际应用 教学过程: 一、引入 我们在实际生活中经常会产生一系列的数字,比如考试的成绩,运动会跑步的成绩,并对这些数据按一定的顺序排列得到我们所需要的数据,那么怎么样来实现这些排序呢?引入今天的课题。 二、新课 1.给出10个数,怎么实现排序呢? 78,86,92,58,78,91,72,68,35,74 学生回答:依次找出其中的最大数,找9次后能完成排序。 ●排第一个数时,用它和其后的所有数逐个进行比较,如果比其它数要大,则 进行交换,否则保持不变。经过一轮比较后,我们得到最大数,并置于第一位置。 相应的程序代码为: For i=2 to 10 if a(1)各种排序算法的总结和比较
各种排序算法比较
排序算法简介
Python学习笔记:八大排序算法!
链表排序算法总结
常见经典排序算法(C语言)1希尔排序 二分插入法 直接插入法 带哨兵的直接排序法 冒泡排序 选择排序 快速排
数据结构 各种排序算法
选择排序的算法实现
数据结构-各类排序算法总结
几种常见内部排序算法比较
选择法排序的教学设计
各种排序算法演示--综合排序
十 大 经 典 排 序 算 法 总 结 超 详 细
五种排序算法的分析与比较
选择排序法教案