1.6 圆的基本概念和性质 课件 (冀教版九年级上册)
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E 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合， 点A与点B重合，AE与BE重合， AC ， A D
·
B
O
AD
分别与
BC、 BD重合．
C
AE＝BE， AD BD
，
AC BC
AB 及
·
E
A D
O
即直径CD平分弦AB，并且平分
ACB
Bห้องสมุดไป่ตู้
我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧．
∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A E
·
D B
O
赵洲桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你 能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点 E ， AE=BE． 1.你认为与垂直吗？为什么？
AC与 BC 分别具有什么样的关系？ 2.你认为 AD 与 BD ， 和同学说说你的结论和理由.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
这个定理也叫垂径定理，利用这 个定理，你能平分一条弧吗？
在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙O1，⊙ O2及 相等的两条弦AB,CD.把两张纸叠放在一起，使⊙O1与⊙ O2 重合，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当的角度，使 弦AB和弦CD重合.
A O1
B O2
C
D
你能发现哪两条弧重合，他们是等弧吗？
1.在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？
2.在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等.
如图，在⊙O中，CD是直径， AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E． 将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？由此你能 得出什么结论？
C
线段： AE=BE 弧： AC BC, AD BD
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ABOE是正方形．
证明： OE
AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
又
1 1 ∴四边形ADOE为矩形， AE AC，AD AB 2 2 C
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm， 求⊙O的半径．
解：
OE AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt AOE中
AO 2 OE 2 AE 2
O
·
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
解决求赵州桥拱半径的问题？
AB
如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，根据前面 的结论，D是 AB的中点，C是 AB 的中点，CD就是拱高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
1 1 AB 37 .4 18 .7, 2 2
AD
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2
C
D A R O
即
R2=18.72+（R－7.2）2
B
解得：R≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
·
B
O
AD
分别与
BC、 BD重合．
C
AE＝BE， AD BD
，
AC BC
AB 及
·
E
A D
O
即直径CD平分弦AB，并且平分
ACB
Bห้องสมุดไป่ตู้
我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧．
∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A E
·
D B
O
赵洲桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你 能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点 E ， AE=BE． 1.你认为与垂直吗？为什么？
AC与 BC 分别具有什么样的关系？ 2.你认为 AD 与 BD ， 和同学说说你的结论和理由.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
这个定理也叫垂径定理，利用这 个定理，你能平分一条弧吗？
在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙O1，⊙ O2及 相等的两条弦AB,CD.把两张纸叠放在一起，使⊙O1与⊙ O2 重合，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当的角度，使 弦AB和弦CD重合.
A O1
B O2
C
D
你能发现哪两条弧重合，他们是等弧吗？
1.在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？
2.在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等.
如图，在⊙O中，CD是直径， AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E． 将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？由此你能 得出什么结论？
C
线段： AE=BE 弧： AC BC, AD BD
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ABOE是正方形．
证明： OE
AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
又
1 1 ∴四边形ADOE为矩形， AE AC，AD AB 2 2 C
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm， 求⊙O的半径．
解：
OE AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt AOE中
AO 2 OE 2 AE 2
O
·
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
解决求赵州桥拱半径的问题？
AB
如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，根据前面 的结论，D是 AB的中点，C是 AB 的中点，CD就是拱高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
1 1 AB 37 .4 18 .7, 2 2
AD
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2
C
D A R O
即
R2=18.72+（R－7.2）2
B
解得：R≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.