05 质点系动力学
质点系动力学能量方法
(a )
动能定理的微分形式： 在质点系运动过程中的任意时刻或任意位形， 质点系动能)
dT = P (a ) + P (c ) dt
分别为主动力和约束力的功率。
动能定理的积分形式
T2 − T1 = W (a ) + W (c ) ，
10-6 一复摆绕 O 点转动如图示。复摆的质量为 m，对其质心 C 的回转半径为 ρ C 。设 OC = x ，问当 x 为何值时，摆从水平位 置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速 度。 解：复摆对 O 点的转动惯量为 J O = mρ C + mx ，动能为
2 2
题 10-6 图
10-2 匀质杆 OA 长 l，质量为 m，绕 O 点转动的角速度为 ω ；匀 质圆盘半径为 r，质量也为 m。求下列三种情况下系统的动能： （1）圆盘固结于杆； （2）圆盘绕 A 点转动，相对杆的角速度为 − ω ； （3）圆盘绕 A 点转动，相对杆的角速度为 ω 。 解： （1）圆盘固结于杆。对 O 点转动惯量为
T=
1 1 2 J Oω 2 = m ρC + x2 ω 2 ， 2 2
(
)
仅重力做功， W = mgx ，由动能定理得：
1 2 m ρC + x 2 ω 2 = mgx ，解出 2
(
)
ω2 =
2 gx 。 ρ + x2
2 C
令 dω dx = 0 ，解得 x =
ρC ，从而有 ω max = g ρ C 。
其中 L = T − V 为拉格朗日函数。 拉格朗日方程的普遍形式
d ∂L ∂L = Q′j − & j ∂q j d t ∂q
质点动力学教案
量子质点动力学中，波函数是描述粒子状态的基本工具， 通过薛定谔方程描述粒子随时间的演化。
量子质点动力学对于理解量子计算、量子通信和量子传 感等领域具有重要意义。
质点动力学的其他重要理论
哈密顿力学
哈密顿力学是经典质点动力学的 一个重要分支，它通过引入广义 坐标和广义动量，将动力学问题 转化为哈密顿方程的求解问题。
质点动力学教案
• 质点动力学的定义与基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 质点动力学的应用实例 • 质点动力学的扩展与深化
01
质点动力学的定义与基本概念
质点的定义与特性
总结词
质点是一个理想化的物理模型，用于描述具有质量的点状物体在空间中的运动。质点不具有大小和形状，只具有 质量、位置和运动状态等属性。
VS
详细描述
自由落体运动是质点动力学中最简单的一 种运动形式，其基本特点是初速度为零， 仅受重力作用。在自由落体运动中，物体 的加速度等于地球的重力加速度，方向竖 直向下。自由落体运动的公式包括位移公 式、速度公式和时间公式等，这些公式在 解决实际问题中具有广泛的应用。
抛体运动
总结词
抛体运动是质点在重力作用下沿抛物线轨迹 的运动，其加速度与质量有关，方向时刻改 变。
描述质点相对于参照物作加速运动的 状态，其加速度保持不变。
相对匀速运动
描述质点相对于参照物作匀速运动的 状态，其速度和方向均保持不变。
03
质点的动力学方程
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态变化与作用力之间关系的定律。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体运动的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的 质量成反比。公式表示为F=ma，其中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示 物体的加速度。
大学物理课件第二章 质点动力学
ar
m1m2(ga) m1m2
T 2m1m2 (ga) m1m2
d(yv) ydvvdy
dt
dt dt
vdy gdv
dt
dt
d(yv) ygv2 dt
vdydydvgdy dt dv dt dv
vdydydvgdy dt dv dt dv
分离变量： vdvgdy
v
y
两边积分： vdv gdy
0
l
v2 2g(l y)
d(yv)ygv2yg2g(ly) dt
-----牛顿
牛顿简介
少年时代的牛顿，天资平常，但很喜 欢制作各种机械模型，他有一种把自然现 象、语言等进行分类、整理、归纳的强烈 嗜好，对自然现象极感兴趣。
青年牛顿
1661年考入剑桥大学三一学院 1665年获学士学位 1666年6月22日至1667年3月25日， 两度回到乡间的老家
牛顿简介
全面丰收的时期
解：以地面为参考系，物体A和B为研究对象，分
别进行受力分析。
物体在竖直方向运动，建立坐标系oy
y
T
T
ar m2
m2
m1
o
m1g
m2 g
(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对
地面的加速度。根据牛顿第二定律，对A和B分别得
到：
T m 1 g m 1 a r y
T
T
T m 2gm 2 a r
1667年牛顿返回剑桥大学当研究生， 次年获得硕士学位
1669年由于巴洛的推荐，接受了“卢 卡斯数学讲座”的职务
1669年发明了二项式定理
1672年，由于制造反射望远镜的成就被接 纳为伦敦皇家学会会员 1672年进行了光谱色分析试验
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结1. 引言质点动力学是物理学中研究质点运动规律的分支，它是经典力学的基础。
本文档旨在总结质点动力学的核心知识点，包括牛顿运动定律、动量、动能、势能、功以及守恒定律等。
2. 牛顿运动定律2.1 牛顿第一定律（惯性定律）一个质点若未受外力，将保持静止状态或匀速直线运动。
2.2 牛顿第二定律（动力定律）质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）两个相互作用的质点之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量3.1 定义动量是质点的质量与其速度的乘积，是矢量量，表示为\( \vec{p} = m\vec{v} \)。
3.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力作用，系统内所有质点的动量之和保持不变。
4. 动能4.1 定义动能是质点由于运动而具有的能量，计算公式为\( K =\frac{1}{2}mv^2 \)。
4.2 动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量。
5. 势能5.1 定义势能是质点由于位置或状态而具有的能量，与参考点的选择有关。
5.2 重力势能在重力场中，质点的重力势能计算公式为\( U = mgh \)，其中\( h \)是质点相对于参考点的高度。
6. 功6.1 定义功是力在物体上作用时，由于物体的位移而对物体所做的工作，计算公式为\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)，其中\( \vec{F} \)是力，\( \vec{d} \)是在力的方向上的位移。
6.2 功的守恒在一个封闭系统中，若没有非保守力做功，系统内所有质点的机械能（动能与势能之和）保持不变。
7. 守恒定律7.1 机械能守恒定律在没有非保守力作用的封闭系统中，机械能守恒。
7.2 角动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力矩作用，系统内所有质点的角动量之和保持不变。
8. 结论质点动力学是理解和描述宏观物体运动的基础。
理论力学---质点动力学的基本方程
dvx dx c m 0 x c1t c3 1 dt dt 1 dv dy y gt2 c2 t c4 m y m g gt c2 2 dt dt 微分方程 积分一次 再积分一次
代入初始条件得: c1 v0 cos0 ,c2 v0 sin0 ,c3 c4 0
18
dvx mgR2 2 即： mvx dx x
d 2 x dvx dvx dx v x dvx ( 2 ) dt dt dx dt dx
v x mgR2 mvx dvx 2 dx v0 R x
(t 0时x R,v x v0 )
则在任意位置时的速度
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
6
质点动力学两类问题
第一类: 已知运动求力—微分 第二类: 已知力求运动—积分
1.绕线轮与滑块，已知ω，r，m，f＝0，求rω
x x(t ) ( 式中 y y (t ) 为质点直角坐标形式的 运动方程 ) z z (t )
5
3.自然形式
d 2s m 2 F dt v2 m Fn
(式中s s (t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F , Fn , 分别为力F 在 自然轴系 轴, n轴上的投影)
质点系是力学中最普遍的抽象化模型；
包括刚体,弹性体,流体。
3
三、动力学分类:
质点系动力学
质点动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
四、.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力；
质点和质点系动力学
dV V = g cosθ dθ l
∫ VdV = ∫
0
V
θ
0
gl cosθdθ
1 2 V = gl sin θ 2
V = 2gl sin θ
V2 （2）： T = mg sin θ + m = 3mg sin θ l
例：质量为 M 的质点沿 x轴正向运动 求： F ， x0 → x1 ， t ？ 解：F = Ma = M
ω
θR
m
A， θ = π / 2 ω2 R C， = arctg( ) θ
g
2
g θ B， = arccos( 2 ) ω R
ω
θ R
mg
N
D，由小球质量决定 （1） （2）
解1： N sin θ = mω Rsin θ
N cosθ = mg
N sin θ mω2 Rsin θ = N cosθ mg g cosθ = 2 ω R
1 2 2 a t = (LT 2 )2T 2 = L2T 2 [x] = L ， [V0t] = LT T = L ， 2
1
1 2 2 x = V0t + a t 2
第3 节
一、惯性系和非惯性系 例1 甲 乙
惯性系和非惯性系
例2 乙
m
O
r
Fm
ω
F
a0
甲
地：甲， F ， a0
F = ma0
质点和质点系动力学
第1 节
第一定律： 第一定律： 第二定律： 第二定律：
牛顿运动定律
性 性 律 惯 惯 定 速 力加 度
F = km a
质点动力学方程 F = ma F 是合外力 性 m大 a小惯 大 F 相同时
质点系动力学：刚体运动规律及转动动能定理
质点系动力学在物理学中，质点系动力学是研究物体间相互作用的力以及物体运动轨迹的学科。
本文将讨论质点系动力学中的一个重要概念：刚体运动规律及转动动能定理。
刚体运动规律刚体是一个比较理想化的物理模型，假设物体的形状和大小在运动过程中保持不变。
根据刚体运动规律，刚体在外力作用下会发生运动，根据牛顿第二定律，刚体的运动状态取决于作用在刚体上的合力。
刚体的运动可分为平动和旋转两种类型。
在平动运动中，刚体整体沿直线或曲线运动；而在旋转运动中，刚体绕固定轴线旋转。
根据刚体运动规律，刚体的运动轨迹可以用运动学方程描述，运动方程中包含了速度、加速度等因素。
转动动能定理转动动能定理是描述刚体绕固定轴线旋转动能变化的重要定理。
根据转动动能定理，刚体旋转过程中的动能变化等于作用在刚体上的转动力做功的总和。
假设有一个质量为m、半径为r的刚体，绕垂直轴线（转动惯量为I）旋转。
根据转动动能定理，刚体的转动动能变化ΔK等于转动力做的功W。
转动动能的变化由以下公式给出：ΔK = W = τθ其中，τ为转动力矩，θ为转动角度。
转动角度与角速度的关系为θ = ωt，因此转动动能变化ΔK还可以表示为ΔK = τωt。
结论通过以上讨论，我们了解了质点系动力学中的刚体运动规律以及转动动能定理。
刚体运动规律可以帮助我们理解物体在运动过程中的轨迹和状态变化，而转动动能定理则为解释物体旋转运动提供了重要定量关系。
深入研究质点系动力学中的这些概念，有助于我们更好地理解物体的运动规律和相互作用过程。
在质点系动力学的研究中，刚体运动规律及转动动能定理是重要的基础知识，对于进一步探索物体间相互作用和运动规律具有重要意义。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解质点系动力学中的这一部分内容，激发对物理学的兴趣和探索。
质点系的功能原理
质点系的功能原理质点系是指由多个质点组成的系统，它们之间通过各种力相互作用，从而展现出不同的功能和特性。
在物理学中，质点系的功能原理是一个重要的研究课题，它涉及到力学、动力学、能量转化等多个方面的知识。
本文将从质点系的基本概念和功能原理入手，对其进行深入探讨。
首先，我们来了解一下质点系的基本概念。
质点系是由多个质点组成的系统，每个质点都具有一定的质量和位置。
在质点系中，质点之间通过各种力相互作用，从而产生运动和变形。
质点系的功能原理主要包括以下几个方面，力的作用、动力学特性、能量转化和守恒等。
在质点系中，力的作用是至关重要的。
各个质点之间通过重力、弹力、摩擦力等不同的力相互作用，从而产生加速度和运动。
力的作用不仅影响着质点系的运动状态，还决定着系统的稳定性和平衡性。
通过对力的作用进行分析，可以揭示质点系的运动规律和特性。
此外，质点系的动力学特性也是其功能原理的重要组成部分。
动力学研究了质点系的运动规律和动力学特性，包括速度、加速度、力学能量等方面的内容。
通过对动力学特性的研究，可以揭示质点系的运动规律和动力学特性，为系统的设计和优化提供理论依据。
能量转化和守恒是质点系功能原理的另一个重要方面。
在质点系中，能量可以通过各种形式进行转化，包括动能、势能、热能等。
通过对能量转化和守恒的研究，可以揭示质点系在运动和变形过程中能量的转化规律和守恒原理，为系统的能量管理和效率提供理论支持。
总的来说，质点系的功能原理涉及到力学、动力学、能量转化等多个方面的知识。
通过对质点系的功能原理进行深入研究，可以揭示系统的运动规律和特性，为系统的设计和优化提供理论依据。
同时，质点系的功能原理也为我们理解自然界中的各种现象和现象提供了重要的参考和指导。
希望本文能够为读者对质点系的功能原理有一个清晰的认识和理解。
工程力学—质点动力学基本方程
注意以下几点： 1、当质点同时受几个力的作用时上式中的力应理解为这些
力的合力。 2、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时对质点运
动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表现的。作用力并不 直接决定质点的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方 向。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与 坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适 用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯 性坐标系。
5.2 质点的运动微分方程
1. 矢量形式的质点运动微分方程
mamdd2tr2
n i1
Fi
2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
m d d 2 t2 xi n 1F xi,m d d 2 t2 yi n 1F yi m d d 2 t2 zi n 1F zi
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
m d dv ti n1F i,
m v2nF ni,0nF bi
i 1
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
工程实际中的动力学问题 高速列车的振动问题
5 质点动力学基本方程
动力学基本定律 质点运动微分方程 质点动力学的两类基本问题
5.1 动力学的基本定律
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他 出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠 他的外祖母养大。
g P m
g 9 .7 8 0 4 9 (1 0 .0 0 5 2 8 8 4 sin 2 0 .0 0 0 0 0 5 9 sin 22 为 纬 度
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中的一个重要分支，研究的是质点在外力作用下的运动规律。
在学习质点动力学的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，这些知识点对于理解质点的运动规律和解决相关问题非常重要。
本文将对质点动力学的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 质点的运动方程。
质点的运动方程是描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
根据牛顿第二定律，质点所受的合外力等于质点的质量乘以加速度，即。
\[ F = ma \]其中，F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
根据质点的运动状态不同，可以得到质点的运动方程，包括匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等。
2. 动量和动量定理。
质点的动量是描述质点运动状态的重要物理量，动量的大小等于质点的质量乘以速度，即。
\[ p = mv \]动量定理则描述了质点所受外力作用下动量的变化规律，即。
\[ F\Delta t = \Delta p \]其中，F表示外力，Δt表示时间间隔，Δp表示动量的变化量。
动量定理对于分析质点的碰撞、反冲等问题非常有用。
3. 动能和动能定理。
质点的动能是描述质点运动状态的另一个重要物理量，动能的大小等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2，即。
\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]动能定理描述了质点所受外力作用下动能的变化规律，即。
\[ W = \Delta K \]其中，W表示外力所做的功，ΔK表示动能的变化量。
动能定理对于分析质点的机械能守恒等问题非常重要。
4. 势能和势能曲线。
质点的势能是描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
势能曲线描述了质点在外力场中势能随位置的变化规律，通过势能曲线可以分析质点的稳定平衡、振动、受力情况等问题。
5. 角动量和角动量定理。
质点的角动量是描述质点绕某一轴旋转运动状态的物理量，角动量的大小等于质点到轴的距离与质点的动量的乘积，即。
质点动力学
F
θ
a
dr
合力对质点所做的功等于质点动能的增量。
质点动力学 注意：
Ek
b
a
F dr
1）动能定理的实质，说明了力的空间积累 效应是改变了物体的动能。
2） 功是过程量，动能是状态量，动能定理 建立起过程量功与状态量动能之间的关系。 在计算复杂的外力作功时只须求始末两态的 动能变化，即可求出该过程的功。
1)牛顿运动定律只适用于惯性系 1）牛顿运动定律仅适用于速度比光速低得 多的物体； 2）牛顿运动定律一般仅适用于宏观物体。 3）牛顿第二定律只适用于质点或可看作质 点的物体；
质点动力学 m 的小球，在水中的浮力为常力B ， 例1.质量为 当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f = - kv ( k 为常数）。求：小球在水中竖直 沉降的速率 v 与时间 t 的关系。 解：
元功——质点发生微小的位 移过程中，力所作的功
ΔS r
质点动力学 F cosθ 2.变力所作的功 解决方法：由微积分的方法 1）把路径无限分割成许多小 段，任取一小段位移 dr（元位 o r 移）； 2）在这段位移上质点受的力可以看成 是恒力，在该过程中的元功为：
a
r
dr
rb
b
dA F dr F cos θ | dr |
2 3 4 0 0
3
3
质点动力学 计算功的基本步骤∶ • 建立坐标系； • 在过程区间任选一元位移； • 写出元功分析变量关系； • 积分计算功；
质点动力学
力对物体作功，其效果是使质点的运动状 态发生变化。 作功和物体状态变化有什么关系？ 二、动能定理 1.质点的动能定理
质点动力学
A m
质点运动学和动力学的基本概念
质点运动学和动力学的基本概念近代物理学的开拓者们通过对物体运动规律的研究，发现了许多有趣的现象和规律。
在运动学和动力学这两个分支中，质点受到的研究尤为深入。
质点的运动规律十分重要，对于我们研究物理学中很多问题都有着重要的意义。
下面，我们将从质点运动学和动力学的基本概念入手，对于它们的相关知识进行学习和探讨。
一、质点的概念在物理学中，我们将所有的物体都当做由一个无限小的物体组成的，我们把这个无限小的物体叫做质点。
质点是物理学研究中的一个重要的概念，它代表了一个具有质量但没有大小的点，并且我们认为它在空间中是不占据任何空间体积的。
二、质点的运动状态我们所说的质点的运动状态是指在空间的任意位置，物体随着时间的推移发生的运动状态。
一般来说，我们可以将质点的运动状态分为以下两种类型：1.匀速直线运动：指质点在直线上的运动状态，运动速度保持不变的情况下进行。
2.匀加速直线运动：指质点在一条直线上加速运动的状态，质点的加速度保持不变的情况下进行。
三、质点的运动学和动力学在运动学和动力学这两个分支中，质点是非常重要的研究对象。
它们的主要差异在于对于质点运动规律的不同研究方面：1.运动学：指在质点运动的过程中，对于实现这一过程的物理规律进行的描述和研究，重点关注的是运动过程中的物理量变化等方面。
2.动力学：主要涉及质点运动过程中的一系列力学规律，包括力学系统的作用现象、动态因素以及系统的常态。
四、对于质点运动的规律从质点运动规律出发，我们可以将质点的运动分为三个方面，分别是：1.平抛运动：即以一定的角度将质点投出并在空中开始进行摆动的物理运动。
2.简谐运动：属于具有经典意义的物理运动，如来回摆动或振动等。
3.圆周运动：即质点绕着某个固定中心开始进行旋转的运动状态。
五、质点的动力学在动力学中，我们对于质点的运动主要通过牛顿第二定律进行分析。
将质点视为系统中的一个组成部分，我们通过对于系统的外力进行剖析，来推导质点运动状态的变化规律。
质点系的动量定理
t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得：v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理，建立了动量旳变化 与力旳冲量之间旳关系，并研究质点系动量定理旳另一主要形 式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心 内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义 质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内，质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z
质点系统动力学知识点总结
质点系统动力学知识点总结质点系统动力学是理论力学的重要组成部分，主要研究多个质点组成的系统在力的作用下的运动规律。
以下是对质点系统动力学知识点的详细总结。
一、质点系统的基本概念质点系统是由若干相互联系的质点组成的系统。
在质点系统中，每个质点都具有一定的质量和位置。
常见的质点系统包括刚体系统、柔体系统等。
刚体系统中，质点之间的距离保持不变；柔体系统中，质点之间的距离可以发生变化。
二、质点系统的受力分析1、外力外力是指来自系统外部的力，如重力、摩擦力、拉力等。
外力的大小和方向会影响质点系统的运动状态。
2、内力内力是指质点系统内部质点之间的相互作用力。
根据牛顿第三定律，内力总是成对出现，大小相等、方向相反，并且在系统的运动分析中，内力的矢量和为零。
三、动量定理1、动量质点的动量等于其质量与速度的乘积，即＄p ＝ mv$ 。
对于质点系统，总动量等于各个质点动量的矢量和。
2、动量定理合外力的冲量等于质点系统动量的增量。
表达式为：＄＼int_{t_1}＾｛t_2} F dt ＝ p_2 p_1$ 。
四、动量守恒定律如果质点系统所受合外力为零，则系统的动量守恒。
即系统的总动量保持不变。
在实际应用中，如碰撞、爆炸等过程，往往可以利用动量守恒定律来分析问题。
五、动能定理1、动能质点的动能等于＄＼frac{1}｛2}mv^2$ ，质点系统的总动能等于各个质点动能的总和。
2、动能定理合外力对质点系统做功等于系统动能的增量。
表达式为：＄W ＝＼Delta E_k$ 。
六、机械能守恒定律如果质点系统只有保守力做功，非保守力不做功，则系统的机械能守恒。
机械能包括动能和势能。
势能常见的有重力势能、弹性势能等。
七、角动量定理1、角动量对于质点，角动量等于位置矢量与动量的叉乘，即＄L ＝ r ＼times p$ 。
2、角动量定理合外力矩的冲量等于质点系统角动量的增量。
八、角动量守恒定律如果质点系统所受合外力矩为零，则系统的角动量守恒。
第3章 质点系动力学
第三章 质点系动力学由两个或两个以上的质点组成的系统称为质点系。
由于力是物体与物体之间的相互作用，所以动力学问题必定是质点系的问题。
从研究方法的角度讲，质点动力学是把单个质点作为研究对象，逐个研究系统中的各个质点，从而研究系统中各质点的运动规律。
质点系动力学是把整个系统作为研究对象，从而得到系统整体的运动规律，进一步得到个别质点的运动规律。
根据具体问题的性质和要求，可以选择不同的系统，所以，质点系动力学更能清楚地反映自然规律。
§3-1 质心 质心运动定理一、内力 外力在一般情况下质点系中的每个质点既受外力作用, 也受内力作用。
设由N 个质点组成的质点系，各质点的质量分别为12i N m m m m 、、、、、，位置矢量分别为12i N r r r r 、、、、、。
如图3-1所示，系统内第i 个质点受到第j 个质点的作用力为ij f ，由牛顿第三定律知，第j 个质点必定受到第i 个质点的作用力为ji ij f f =-，即0ji ij f f +=这种系统内各质点之间的相互作用力称为内力。
由于内力总是这样成对出现的，且每一对内力的矢量和为零，所以质点系内各质点之间相互作用力的矢量和为零。
即0iji jf≠=∑ （3-1）系统内各质点受到系统外质点或物体的作用力称为外力。
质点系内各质点所受的外力i F 的矢量和称为质点系所受的合外力，即 1Ni i F F ==∑ （3-2） 二、质心一人向空中抛一匀质薄三角板（3-1-1质心运动1），实际观测表明，板上有一点C 的运动轨迹为抛物线，而其它各点既随点C作抛物线运动，又绕通过点C 的轴线作圆周运动。
这时板的运动可看成是板的平动与整个板绕点C 转动这两种运动的合成。
因此，我们可用点C 的运动来代表整个板的平动。
Nif f点C 就是三角板的质心。
就平动而言，板的全部质量似乎集中在质心这一点上。
跳水运动员在空中的质心的运动轨迹也是抛物线（图3-2)，3-1-1质心运动2）。
工程力学(下册)05质点动力学的基本方程
5-7 若知道一质点的质量和所受到的力，能否知道它的运 动规律？
精选2021版课件
14
习题
5-1 质点M的质量为m，运动方程为xbcost，ydsint
其中b、d、 为常量。求作用在此质点上的力。
5-2 如图5.7所示，在均匀静止的液体 中，质量为m的物体M从液面处无初速度下 沉其，中如 为图阻所尼示系。数假。设试液分体析阻该力物F体R 的运v动， 规律
精选2021版课件
12
5-3 如图5.5所示，绳子通过两个定滑 轮，在绳的两端分别挂着两个质量完 全相同的物体，开始时处于静止状态。 若给右边的物体一水平速度，则左边 物体应该______。
5-4 质点的运动方向是否一定与质点受合力的方向相同？某 瞬时，质点的加速度大，是否说明该质点所受的作用力也 一定大？
牛顿第二定律(力与加速度之间的关系定律)
物体受到外力作用时，所产生的加速度的大小与作用力的
大小成正比，而与物体的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。用方程表示为
a F 为质点的质量；a为质点在力
F作用下产生的加速度。
该表达式又称质点动力学基本方程。
动角速度的最大值 m a x 。
5-5 如图5.10所示，料车的料斗连
同车所轮载的物质料量的m2质1量03mkg1。1如04料kg斗，弹车簧架按与
x2sin10t的规律作铅垂运动，试求
料车对水平直线轨道的最大压力与最小 压力。
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16
5-6 如图5.11所示，质量m 6kg的
小球，放在倾角 3的0 光滑面上，并
1
● 5.1 动力学的基本定律与惯性参考系
动力学是研究作用在物体上的力与物体运动状态变化之 间关系的学科。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的 宏观物体，属经典力学。动力学是物理学和天文学的基础， 也是许多工程学科的基础。
第五章质点系动力学
1 2
m1
z˙ 12
1 2
m2[
˙ 2
˙
2
]m1
g
z1=
E0
−z1=l 0 ⇒ z1=−l 0 ⇒ z˙ 1=˙
1 2
m1
m2
˙ 2
2
L02 m2 2
m1
g
−l
0=
E
0
与平方反比中心力场不同的是，上述方程一般情况下不可解。
但可通过图像分析解的特征。可等价为质量 m=m +m 的质点 12
F ln⋅d r l
n=1 l =1
r l
r n
NN
∑ ∑ 根据牛顿第三定律 : F =-F ⇒ 2W i=
nl
ln
F nl⋅d r n−rl
n=1 l=1
r n−rl ∥F nl ⇒ F nl= f nl r n−rl
NN
∑ ∑ ⇒ 4 W i=
f nl d [r n−rl 2]
● 动能定理和机械能守恒定律
[
定义
]
质点系动能： T
=∑n
T
∑ n= n
1 2
mn
v
2 n
∑ ∑ 质点系动能定理：
dT=
n
F
e n
⋅d
rn
n
F
i n
⋅d
rn
证明：这是质点动能定理的自然推论 . （证毕）
[ 定义 ] 一对保守内力的势能：它满足
F nl⋅d
rnF ln⋅d
r l =−dV
i nl
∑ ∑ 证明：由质心定义可知 n mn r n=mt rC ⇒ n mn r˙ n=mt r˙ C
第六章质点系动力学 (恢复)
解：在Δt时间内，火药的爆发力使子弹 v2 a2
和枪身做匀加速直线运动，设加速度 F
a1
m1
v1
分别为a1,a2，枪身末速度为v2
m2 x
忽略手或肩的抵抗力F，枪、弹系统动
量守恒，有 m1v1 m2v2 0
v2
m1v1 m2
7.9 103 735 3.87
1.5m /
s
由匀加速直线运动位移公式，枪身后坐距离：
的分量守恒： p＝i 恒矢量 ，称i 此种情况是：动量沿某一坐标
轴的投影守恒。i
注： 1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物 体的动量是可变的, 各物体的动量必相 对于同一惯性参考系 .
2）守恒条件 合外力为零
F e
Fie 0
i
当 Fe Fi 时，可 略去外力的作用, 近似地认为系统
解：一对内力功之和与参照系选取无 关，本题选取两个参照系计算，证明这
三、质心运动定理
由质点系动量定理 ：
d
(e)
F
i
mivi
dt
d dt
(m1 v1
m2
v2
(e)
mn vn ) F
可写成：
d2 dt 2
(m1 r1 m2 r 2
(e)
mn rn ) F
(m1
m2
mn )
d2 dt 2
( m1r1 m2 r 2 m1 m2
pe
p n mi vi 恒矢量
即 pei1 pν pN 0
pν
pN
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f nl d [r n−rl 2]
n=1 l=1
刚体上任意两点距离不变，故 d [ rn−rl2]=0⇒ W i=0
注： F nl∥ rn−rl，但是 F nl 可以∥ d rn−rl
由上述证明可见：质点系所有质点所受全部内力做功之和一般不为零 当两质点间距离不变或者相对速度与它们之间内力正交时做功和为零
F e
nn
证明： ∑ ∑ p= n pn ⇒ p˙ = n p˙ n
p˙
n=
F
ne
F
i n
∑ p˙ =Fe=
F e
nn
（证毕）
∑ F i = n F ni=0
[ 推论 ] 质点系动量守恒定律：若某一过程中质点系所受
合外力为零，则该过程质点系动量守恒；若合外力沿
某固定方向分量为零，则在该方向上动量守恒 .
n=1 l=1
r n−rl ∥F nl ⇒ r n−rl ×F nl=0
⇒ M i=0 （证毕）
[ 推论 ] 刚体内所有质点所受全部内力做功和为零 0.
N
NN
∑ ∑ ∑ 证明： W i=
W
i n
=
F nl⋅d rn
n=1
n=1 l =1
F nl
F ln
NN
∑ ∑ 交换哑标： W i=
F ln⋅d rl
例题 1 可在水平面上滑动的尖劈 2 上， 有一可沿斜面以相对尖劈的速度 v 滑动 的重物 1. 以重物和尖劈为质点系， 试分析两者间内力做功情况 .
F N1
F
f1
vF F
f2
N2
解：它们之间的内力可分解成图示成对的摩擦力和正压力 . 一对摩擦力做功为 : F f1⋅d r1F f2⋅d r2=F f1⋅d r1−r 2 =F f1⋅v dt 0 一对正压力做功为 : F N1⋅d r1F N2⋅d r 2=F N1⋅d r1−r2 =F N1⋅v dt =0
第五章
质点系动力学
§5.1 质点系动力学方程
设质点系包含 N 个质点，质量分别为 mn ,n=1,⋯N
质点 n 受力
F
n=
F
ne
F
i n
体系外的物 体系内其他的 体施加的力 质点施加的力
因此，质点系动力学方程为
mn
r¨
n=
F
e n
F
i n
,
n=1,⋯, N
注：这是一个含 3N 个标量的方程组 .
[ 推论 ] 一对作用力与反作用力做功和与参考系无关 .
证明：一对力与反作用力与坐标系无关，而相对速度
v
=
d
r1−r dt
2
=
d
'
r1−r dt
2
×
r
1−
r
2
r
1−r
2=
r1, −
r
, 2
⇒
d
'
r1− dt
r
2
=
d
'
r1, − dt
r
2,
=v
'
r1−r2∥F 12 ⇒ F 12= f 12 r1−r2⇒ F 12⋅[ × r1−r 2]=0
l =1 n=1
求和可交换顺序
NN
∑
∑ ∑ 根据牛顿第三定律 : F =-F ⇒ 2 F i=
nl
ln
F nl F ln=0
n=1 l=1
⇒ Fi=0 （证毕）
[ 推论 ] 对任意参考点 , 质点系所有质点所受全部 内力矩的矢量和为零 0.
∑ ∑ ∑ 证明： M i= N
（请自证）
[ 定义 ] 质点系质量： ∑ mt= n mn
[ 定义
]
质点系质心：位于
r
C=
∑n mn
mt
r
n
处的几何点
.
注：质心只是几何点，质心处可能并无任何质点存在
[ 推论 ] 质心的定义不依赖于参考系 .
z'
证明：假定 S 为静止系， S' 为运动参考系，
在 S 系中质心位于
∑ r C =
n mn r n mt
N
M ni=
N
rn× F nl
n=1
n=1 l =1
NN
∑ ∑ 交换哑标： M i=
rl× F ln
l =1 n=1
F nl r n
F ln r l
NN
∑ ∑ 交换求和顺序： M i=
rl×F ln
n=1 l =1
NN
∑ ∑ 根据牛顿第三定律 : F =-F ⇒ 2 M i=
nl
ln
rn−rl ×F nl
⇒ F12⋅v =F 12⋅v '
故这对力做功与参考系无关 . （证毕）
注：如果一对力始终做负功，通常把这对力称为耗散力 . 例如滑动摩擦力
§5.3 动力学基本定理和守恒定律
● 动量定理和动量守恒定律 注：本节只考虑惯性参考系
[ 定义 ] 质点系动量 ∑ p= n pn
∑ 质点系动量定理：
p˙ =Fe=
l =1 n=1
NN
∑ ∑ 交换求和顺序： W i=
F ln⋅d r l
n=1 l =1
r l
r n
NN
∑ ∑ 根据牛顿第三定律 : F =-F ⇒ 2W i=
nl
ln
F nl⋅d r n−rl
n=1 l=1
r n−rl ∥F nl ⇒ F nl= f nl r n−rl
NN
∑ ∑ ⇒ 4 W i=
§5.2 质点系的内力
[ 推论 ] 质点系所有质点所受内力矢量和为 0.
证明：记质点 n 受到来自质点 l 的作用力为 F nl
并令 F =0 ，则 nn
N
NN
∑ ∑ ∑ Fi= F ni=
F nl
n=1
n=1 l=1
由于 nl 在求和式中是哑标，所以用什么字母都可以，于是
NN
∑ ∑ Fi=
F ln
z
r' C
O'
y'
r C
x'
xO y
在
S'
中，
r C
表示为
r
, C
=
rC
−OO
'
∑ ∑ ∑ =
n mn mt
r
n
−OO
'
n mn mt
=
n mn rn−OO ' mt
∑ =
n
mn
r
, n
mt
（证毕）
[ 定义 ] 质心速度和加速度：vC =r˙ C , aC =v˙ C =r¨ C
[ 引理 ] 质点系动量可表示为 : p=mt vC
证明： Fe=0 ⇒ aC=0 ⇒ vC =const.
如果对于固定方向 e , l
有
el⋅F e=0 ⇒ el⋅aC=0
即
el⋅v˙ C=0
⇒
d dt
e l⋅vC
=0
⇒
el⋅vC=const.
（证毕）
● 角动量定理和角动量守恒定律
[ 定义 ] 质点系对 O 点角动量
∑ ∑ LO= n LnO= n rn× pn
∑ ∑ 证明：由质心定义可知 n mn r n=mt rC ⇒ n mn r˙ n=mt r˙ C
∑ ⇒ p= n mn r˙ n=mt vC （证毕）
质心运动定理： mt aC =F e （请自证）
[ 推论 ] 若质点系所受合外力为零，则质心速度为常量；
若质点系所受合外力在某固定方向分量为零，则质 心速度在该方向上的分量不变 .
z
m
n
r n
O
y
x
[
定义
]
质点系对过
O
点固定轴
e 的角动量 l
Ll =el⋅LO
∑ 质点系对 O 点角动量定理：L˙ O= M Oe=