05 质点系动力学
质点动力学

a2 b2
可见,质点的运动轨迹是以
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数,得加速度
13
aaxy
x a 2 cost y b 2 sint
2x 2 y
即
a axi ay j 2r
将上式代入公式中,得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m 2x m 2 y
dv dt
积分。
如力是位置的函数,需进行变量置换
d v v d v , 再分离变量积分。 dt ds
16
[例3] 质量为m的质点沿水平x轴运动,加于质点上的水平为
F F0 cos t ,其中 F0, 均是常数,初始时 x0 0,v0 0 。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
再积分一次
19
代入初始条件得 :
c1 v0 cos0 , c2 v0 sin 0 , c3 c4 0
则运动方程为:
则轨迹方程为:
xv0tcos0,yv0tsin0
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2
0
1 2
gt
2
代入最高点A处值,得: d y dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin0
即 F Fxi Fy j m 2r
可见,F和点M的位置矢径r方向相反,F始终指向中心,其
大小与r的大小成正比,称之为向心力。
14
第二类问题:已知作用在质点上的力,求质点的运动(积 分问题)。
已知的作用力可能是常力,也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下: ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析,画出受力图。判断力是什么性质的力
质点系动力学能量方法

(a )
动能定理的微分形式: 在质点系运动过程中的任意时刻或任意位形, 质点系动能)
dT = P (a ) + P (c ) dt
分别为主动力和约束力的功率。
动能定理的积分形式
T2 − T1 = W (a ) + W (c ) ,
10-6 一复摆绕 O 点转动如图示。复摆的质量为 m,对其质心 C 的回转半径为 ρ C 。设 OC = x ,问当 x 为何值时,摆从水平位 置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大?并求此最大角速 度。 解:复摆对 O 点的转动惯量为 J O = mρ C + mx ,动能为
2 2
题 10-6 图
10-2 匀质杆 OA 长 l,质量为 m,绕 O 点转动的角速度为 ω ;匀 质圆盘半径为 r,质量也为 m。求下列三种情况下系统的动能: (1)圆盘固结于杆; (2)圆盘绕 A 点转动,相对杆的角速度为 − ω ; (3)圆盘绕 A 点转动,相对杆的角速度为 ω 。 解: (1)圆盘固结于杆。对 O 点转动惯量为
T=
1 1 2 J Oω 2 = m ρC + x2 ω 2 , 2 2
(
)
仅重力做功, W = mgx ,由动能定理得:
1 2 m ρC + x 2 ω 2 = mgx ,解出 2
(
)
ω2 =
2 gx 。 ρ + x2
2 C
令 dω dx = 0 ,解得 x =
ρC ,从而有 ω max = g ρ C 。
其中 L = T − V 为拉格朗日函数。 拉格朗日方程的普遍形式
d ∂L ∂L = Q′j − & j ∂q j d t ∂q
工程力学(下册)05质点动力学的基本方程

5-7 若知道一质点的质量和所受到的力,能否知道它的运 动规律?
精选2021版课件
14
习题
5-1 质点M的质量为m,运动方程为xbcost,ydsint
其中b、d、 为常量。求作用在此质点上的力。
5-2 如图5.7所示,在均匀静止的液体 中,质量为m的物体M从液面处无初速度下 沉其,中如 为图阻所尼示系。数假。设试液分体析阻该力物F体R 的运v动, 规律
精选2021版课件
12
5-3 如图5.5所示,绳子通过两个定滑 轮,在绳的两端分别挂着两个质量完 全相同的物体,开始时处于静止状态。 若给右边的物体一水平速度,则左边 物体应该______。
5-4 质点的运动方向是否一定与质点受合力的方向相同?某 瞬时,质点的加速度大,是否说明该质点所受的作用力也 一定大?
牛顿第二定律(力与加速度之间的关系定律)
物体受到外力作用时,所产生的加速度的大小与作用力的
大小成正比,而与物体的质量成反比,加速度的方向与力的方 向相同。用方程表示为
a F 为质点的质量;a为质点在力
F作用下产生的加速度。
该表达式又称质点动力学基本方程。
动角速度的最大值 m a x 。
5-5 如图5.10所示,料车的料斗连
同车所轮载的物质料量的m2质1量03mkg1。1如04料kg斗,弹车簧架按与
x2sin10t的规律作铅垂运动,试求
料车对水平直线轨道的最大压力与最小 压力。
精选2021版课件
16
5-6 如图5.11所示,质量m 6kg的
小球,放在倾角 3的0 光滑面上,并
1
● 5.1 动力学的基本定律与惯性参考系
动力学是研究作用在物体上的力与物体运动状态变化之 间关系的学科。动力学的研究对象是运动速度远小于光速的 宏观物体,属经典力学。动力学是物理学和天文学的基础, 也是许多工程学科的基础。
质点和质点系动力学

dV V = g cosθ dθ l
∫ VdV = ∫
0
V
θ
0
gl cosθdθ
1 2 V = gl sin θ 2
V = 2gl sin θ
V2 (2): T = mg sin θ + m = 3mg sin θ l
例:质量为 M 的质点沿 x轴正向运动 求: F , x0 → x1 , t ? 解:F = Ma = M
ω
θR
m
A, θ = π / 2 ω2 R C, = arctg( ) θ
g
2
g θ B, = arccos( 2 ) ω R
ω
θ R
mg
N
D,由小球质量决定 (1) (2)
解1: N sin θ = mω Rsin θ
N cosθ = mg
N sin θ mω2 Rsin θ = N cosθ mg g cosθ = 2 ω R
1 2 2 a t = (LT 2 )2T 2 = L2T 2 [x] = L , [V0t] = LT T = L , 2
1
1 2 2 x = V0t + a t 2
第3 节
一、惯性系和非惯性系 例1 甲 乙
惯性系和非惯性系
例2 乙
m
O
r
Fm
ω
F
a0
甲
地:甲, F , a0
F = ma0
质点和质点系动力学
第1 节
第一定律: 第一定律: 第二定律: 第二定律:
牛顿运动定律
性 性 律 惯 惯 定 速 力加 度
F = km a
质点动力学方程 F = ma F 是合外力 性 m大 a小惯 大 F 相同时
质点动力学知识点总结

质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支,它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中,我们通常假设质点的大小可以忽略不计,只考虑它的位置和速度,这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中,我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点,包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述,它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma,质点的运动方程可以写成:m*a = F,其中 m 是质点的质量,a 是质点的加速度,F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律,我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础,它包括三条定律:1. 第一定律:物体静止或匀速直线运动时,外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律,也是质点动力学的基础。
2. 第二定律:力的大小与加速度成正比,方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系,是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律:作用力与反作用力大小相等,方向相反,且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用,也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量,它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v,即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt,我们可以推导出动量的变化率与外力的关系,从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律,它描述了在没有外力作用下,质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律,我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量,它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量,它和质点的质量和速度有关;势能是质点由于位置而具有的能量,它和质点的位置和作用力有关。
质点的动力学

动力学分类
动力学模型
动力学研究方法
56% Option 2
23% Option 1
30% Option 3
2018
第9章 质点的动力学
01
2019
9–1 动力学基本定律
02
2020
第三篇 动 力 学
03
2021
9–3 质点动力学的两类基本问题
04
2022
9–2 质点运动微分方程
05
研究物体的机械运动与作用力之间的关系
第三篇 动 力 学
01
度,则需要多大的初速度和
02
03
离甲板时的速度
04
05
舰载飞机从航母甲板上起飞
06
第三篇 动 力 学
研究物体的机械运动与作用力之间的关系
航空航天器
第三篇 动 力 学
研究物体的机械运动与作用力之间的关系
棒球在被球棒击后,其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力
mg
v
结论
为什么?
工程应用:
跳伞、风力输送、分离颗粒混合物
an
x
FN
y
求:外轨超高
为了使列车对轨道的压力垂直于路面,在曲线上要设外轨超高。ρ=300 m,v=60 km/h,轨距b=1.435 m。
解: 将列车视为质点。其法向加 速度为 an=v2/ρ
在自然轴上投影的运动微分方程
[例9]
粉碎机滚筒半径为R,绕通过中心的水平轴匀速转动,筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量,铁球应在θ=θ0 时(如图)才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。
θ0
n
FN
F
质点系动力学:刚体运动规律及转动动能定理

质点系动力学在物理学中,质点系动力学是研究物体间相互作用的力以及物体运动轨迹的学科。
本文将讨论质点系动力学中的一个重要概念:刚体运动规律及转动动能定理。
刚体运动规律刚体是一个比较理想化的物理模型,假设物体的形状和大小在运动过程中保持不变。
根据刚体运动规律,刚体在外力作用下会发生运动,根据牛顿第二定律,刚体的运动状态取决于作用在刚体上的合力。
刚体的运动可分为平动和旋转两种类型。
在平动运动中,刚体整体沿直线或曲线运动;而在旋转运动中,刚体绕固定轴线旋转。
根据刚体运动规律,刚体的运动轨迹可以用运动学方程描述,运动方程中包含了速度、加速度等因素。
转动动能定理转动动能定理是描述刚体绕固定轴线旋转动能变化的重要定理。
根据转动动能定理,刚体旋转过程中的动能变化等于作用在刚体上的转动力做功的总和。
假设有一个质量为m、半径为r的刚体,绕垂直轴线(转动惯量为I)旋转。
根据转动动能定理,刚体的转动动能变化ΔK等于转动力做的功W。
转动动能的变化由以下公式给出:ΔK = W = τθ其中,τ为转动力矩,θ为转动角度。
转动角度与角速度的关系为θ = ωt,因此转动动能变化ΔK还可以表示为ΔK = τωt。
结论通过以上讨论,我们了解了质点系动力学中的刚体运动规律以及转动动能定理。
刚体运动规律可以帮助我们理解物体在运动过程中的轨迹和状态变化,而转动动能定理则为解释物体旋转运动提供了重要定量关系。
深入研究质点系动力学中的这些概念,有助于我们更好地理解物体的运动规律和相互作用过程。
在质点系动力学的研究中,刚体运动规律及转动动能定理是重要的基础知识,对于进一步探索物体间相互作用和运动规律具有重要意义。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解质点系动力学中的这一部分内容,激发对物理学的兴趣和探索。
第五章质点系动力学

1 2
m1
z˙ 12
1 2
m2[
˙ 2
˙
2
]m1
g
z1=
E0
−z1=l 0 ⇒ z1=−l 0 ⇒ z˙ 1=˙
1 2
m1
m2
˙ 2
2
L02 m2 2
m1
g
−l
0=
E
0
与平方反比中心力场不同的是,上述方程一般情况下不可解。
但可通过图像分析解的特征。可等价为质量 m=m +m 的质点 12
F ln⋅d r l
n=1 l =1
r l
r n
NN
∑ ∑ 根据牛顿第三定律 : F =-F ⇒ 2W i=
nl
ln
F nl⋅d r n−rl
n=1 l=1
r n−rl ∥F nl ⇒ F nl= f nl r n−rl
NN
∑ ∑ ⇒ 4 W i=
f nl d [r n−rl 2]
● 动能定理和机械能守恒定律
[
定义
]
质点系动能: T
=∑n
T
∑ n= n
1 2
mn
v
2 n
∑ ∑ 质点系动能定理:
dT=
n
F
e n
⋅d
rn
n
F
i n
⋅d
rn
证明:这是质点动能定理的自然推论 . (证毕)
[ 定义 ] 一对保守内力的势能:它满足
F nl⋅d
rnF ln⋅d
r l =−dV
i nl
∑ ∑ 证明:由质心定义可知 n mn r n=mt rC ⇒ n mn r˙ n=mt r˙ C
质点动力学知识点总结

质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中的一个重要分支,研究的是质点在外力作用下的运动规律。
在学习质点动力学的过程中,我们需要掌握一些基本的知识点,这些知识点对于理解质点的运动规律和解决相关问题非常重要。
本文将对质点动力学的一些重要知识点进行总结,希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 质点的运动方程。
质点的运动方程是描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
根据牛顿第二定律,质点所受的合外力等于质点的质量乘以加速度,即。
\[ F = ma \]其中,F表示合外力,m表示质点的质量,a表示质点的加速度。
根据质点的运动状态不同,可以得到质点的运动方程,包括匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等。
2. 动量和动量定理。
质点的动量是描述质点运动状态的重要物理量,动量的大小等于质点的质量乘以速度,即。
\[ p = mv \]动量定理则描述了质点所受外力作用下动量的变化规律,即。
\[ F\Delta t = \Delta p \]其中,F表示外力,Δt表示时间间隔,Δp表示动量的变化量。
动量定理对于分析质点的碰撞、反冲等问题非常有用。
3. 动能和动能定理。
质点的动能是描述质点运动状态的另一个重要物理量,动能的大小等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2,即。
\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]动能定理描述了质点所受外力作用下动能的变化规律,即。
\[ W = \Delta K \]其中,W表示外力所做的功,ΔK表示动能的变化量。
动能定理对于分析质点的机械能守恒等问题非常重要。
4. 势能和势能曲线。
质点的势能是描述质点在外力场中的势能状态的物理量,势能的大小与质点所处位置有关。
势能曲线描述了质点在外力场中势能随位置的变化规律,通过势能曲线可以分析质点的稳定平衡、振动、受力情况等问题。
5. 角动量和角动量定理。
质点的角动量是描述质点绕某一轴旋转运动状态的物理量,角动量的大小等于质点到轴的距离与质点的动量的乘积,即。
质点动力学

F
θ
a
dr
合力对质点所做的功等于质点动能的增量。
质点动力学 注意:
Ek
b
a
F dr
1)动能定理的实质,说明了力的空间积累 效应是改变了物体的动能。
2) 功是过程量,动能是状态量,动能定理 建立起过程量功与状态量动能之间的关系。 在计算复杂的外力作功时只须求始末两态的 动能变化,即可求出该过程的功。
1)牛顿运动定律只适用于惯性系 1)牛顿运动定律仅适用于速度比光速低得 多的物体; 2)牛顿运动定律一般仅适用于宏观物体。 3)牛顿第二定律只适用于质点或可看作质 点的物体;
质点动力学 m 的小球,在水中的浮力为常力B , 例1.质量为 当它从静止开始沉降时,受到水的粘滞阻力为 f = - kv ( k 为常数)。求:小球在水中竖直 沉降的速率 v 与时间 t 的关系。 解:
元功——质点发生微小的位 移过程中,力所作的功
ΔS r
质点动力学 F cosθ 2.变力所作的功 解决方法:由微积分的方法 1)把路径无限分割成许多小 段,任取一小段位移 dr(元位 o r 移); 2)在这段位移上质点受的力可以看成 是恒力,在该过程中的元功为:
a
r
dr
rb
b
dA F dr F cos θ | dr |
2 3 4 0 0
3
3
质点动力学 计算功的基本步骤∶ • 建立坐标系; • 在过程区间任选一元位移; • 写出元功分析变量关系; • 积分计算功;
质点动力学
力对物体作功,其效果是使质点的运动状 态发生变化。 作功和物体状态变化有什么关系? 二、动能定理 1.质点的动能定理
质点动力学
A m
第六章质点系动力学 (恢复)

解:在Δt时间内,火药的爆发力使子弹 v2 a2
和枪身做匀加速直线运动,设加速度 F
a1
m1
v1
分别为a1,a2,枪身末速度为v2
m2 x
忽略手或肩的抵抗力F,枪、弹系统动
量守恒,有 m1v1 m2v2 0
v2
m1v1 m2
7.9 103 735 3.87
1.5m /
s
由匀加速直线运动位移公式,枪身后坐距离:
的分量守恒: p=i 恒矢量 ,称i 此种情况是:动量沿某一坐标
轴的投影守恒。i
注: 1)系统的动量守恒是指系统的总动量不变,系统内任一物 体的动量是可变的, 各物体的动量必相 对于同一惯性参考系 .
2)守恒条件 合外力为零
F e
Fie 0
i
当 Fe Fi 时,可 略去外力的作用, 近似地认为系统
解:一对内力功之和与参照系选取无 关,本题选取两个参照系计算,证明这
三、质心运动定理
由质点系动量定理 :
d
(e)
F
i
mivi
dt
d dt
(m1 v1
m2
v2
(e)
mn vn ) F
可写成:
d2 dt 2
(m1 r1 m2 r 2
(e)
mn rn ) F
(m1
m2
mn )
d2 dt 2
( m1r1 m2 r 2 m1 m2
pe
p n mi vi 恒矢量
即 pei1 pν pN 0
pν
pN
质点系统动力学知识点总结

质点系统动力学知识点总结质点系统动力学是力学的重要分支,研究多个质点组成的系统在力的作用下的运动规律。
以下是对质点系统动力学相关知识点的总结。
一、质点系统的基本概念质点是指具有一定质量但尺寸可以忽略不计的物体。
质点系统则是由若干个相互联系的质点组成。
在研究质点系统时,需要明确系统的自由度,即确定系统位置所需的独立坐标的数目。
二、质点系统的受力分析1、外力外力是指来自系统外部对质点系统施加的力。
常见的外力有重力、摩擦力、拉力等。
外力的合力决定了质点系统的整体运动状态。
2、内力内力是质点系统内部质点之间相互作用的力。
内力总是成对出现,大小相等、方向相反,并且作用在同一条直线上。
内力不会改变质点系统的总动量,但会影响系统内部质点的相对运动。
三、动量定理1、质点的动量定理质点的动量定理指出,质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。
即:$F \Delta t = m \Delta v$ ,其中$F$ 是合外力,$\Deltat$ 是作用时间,$m$ 是质点质量,$\Delta v$ 是速度的增量。
2、质点系的动量定理对于质点系统,其动量定理可以表述为:系统所受合外力的冲量等于系统动量的增量。
即:$\sum F \Delta t =\Delta P$ ,其中$\sum F$ 是合外力的矢量和,$\Delta P$ 是系统动量的增量。
四、动量守恒定律如果一个质点系统所受的合外力为零,则系统的动量守恒。
这意味着系统的总动量在整个运动过程中保持不变。
例如,在一个完全弹性碰撞的过程中,如果没有外力作用,碰撞前后系统的动量守恒。
五、动能定理1、质点的动能定理质点所受合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
即:$W =\frac{1}{2} m v^2 \frac{1}{2} m u^2$ ,其中$W$ 是合外力做的功,$v$ 是末速度,$u$ 是初速度。
2、质点系的动能定理对于质点系统,合外力和内力做功的总和等于系统动能的增量。
第3章 质点系动力学

第三章 质点系动力学由两个或两个以上的质点组成的系统称为质点系。
由于力是物体与物体之间的相互作用,所以动力学问题必定是质点系的问题。
从研究方法的角度讲,质点动力学是把单个质点作为研究对象,逐个研究系统中的各个质点,从而研究系统中各质点的运动规律。
质点系动力学是把整个系统作为研究对象,从而得到系统整体的运动规律,进一步得到个别质点的运动规律。
根据具体问题的性质和要求,可以选择不同的系统,所以,质点系动力学更能清楚地反映自然规律。
§3-1 质心 质心运动定理一、内力 外力在一般情况下质点系中的每个质点既受外力作用, 也受内力作用。
设由N 个质点组成的质点系,各质点的质量分别为12i N m m m m 、、、、、,位置矢量分别为12i N r r r r 、、、、、。
如图3-1所示,系统内第i 个质点受到第j 个质点的作用力为ij f ,由牛顿第三定律知,第j 个质点必定受到第i 个质点的作用力为ji ij f f =-,即0ji ij f f +=这种系统内各质点之间的相互作用力称为内力。
由于内力总是这样成对出现的,且每一对内力的矢量和为零,所以质点系内各质点之间相互作用力的矢量和为零。
即0iji jf≠=∑ (3-1)系统内各质点受到系统外质点或物体的作用力称为外力。
质点系内各质点所受的外力i F 的矢量和称为质点系所受的合外力,即 1Ni i F F ==∑ (3-2) 二、质心一人向空中抛一匀质薄三角板(3-1-1质心运动1),实际观测表明,板上有一点C 的运动轨迹为抛物线,而其它各点既随点C作抛物线运动,又绕通过点C 的轴线作圆周运动。
这时板的运动可看成是板的平动与整个板绕点C 转动这两种运动的合成。
因此,我们可用点C 的运动来代表整个板的平动。
Nif f点C 就是三角板的质心。
就平动而言,板的全部质量似乎集中在质心这一点上。
跳水运动员在空中的质心的运动轨迹也是抛物线(图3-2),3-1-1质心运动2)。
第二章 质点和质点系动力学

v 0
0
2 1 g v0 H ln ( ) 2 g
mg
fr
23
例 质量分别为 m1 和 m2 的两物体用轻细绳相连接后,悬挂在 一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳的质量以及 所有摩擦均不计。当电梯以 a0=g/2 的加速度下降时。 求 m1 和 m2 的加速度和绳中的张力。 解 对m1和m2运用牛顿第二定律 对 m1 有 对 m2 有
如图所示一质点m旁边放一长度为l质量为mlxmm万有引力定律只直接适用于两质点间的相互作用杆与质点间的万有引力大小为质点与质量元间的万有引力大小为cos0035重力是地球对其表面附近物体万有引力的分力为物体所处的地理纬度角设地球半经为r质量为m物体质量为m考虑地球自转后物体重力为弹性力当两宏观物体有接触且发生微小形变时形变的物体对与它接触的物体会产生力的作用这种力叫弹性力
•
当两宏观物体有接触且发生微小形变 时,形变的物体对与它接触的物体会 产生力的作用,这种力叫弹性力 。 在形变不超过一定限度内,弹簧的弹 性力 遵从胡克定律
N
•
•
f kx i
P
N'
绳子在受到拉伸时,其内部也同样出现弹性张力。
9
设绳子MN 两端分别受到的拉力为 f1 和 f 2 。
趋势的力,称为静摩擦力。
说明 静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大
静摩擦力为 fmax=µ 0N (µ 0 为最大静摩擦系数,N 为正压力)
2. 滑动摩擦力 两物体相互接触,并有相对滑动时,在两物体接触处出现 的相互作用的摩擦力,称为滑动摩擦力。
f μ N ( µ 为滑动摩擦系数)
想象把绳子从任意点P 切开,使绳子分成MP 和NP 两段, 其间的作用力大小T 叫做绳子 在该点P 的张力。如图所示。
《大学物理》第二章《质点动力学》课件

相对论中的质点动力学
相对论简介
01
相对论是由爱因斯坦提出的理论,包括特殊相对论和广义相对
论,对经典力学和电动力学进行了修正和发展。
质点动力学
02
在相对论中,质点的运动遵循质点动力学规律,需要考虑相对
论效应。
实际应用
03
相对论中的质点动力学在粒子物理、宇宙学和天文学等领域具
有重要意义,如解释宇宙射线、黑洞和宇宙膨胀等现象。
牛顿运动定律的应用
通过牛顿第二定律分析质点在各种力作用下的运动规律。
弹性碰撞和非弹性碰撞
碰撞的定义
两个物体在极短时间内相互作用的过 程。
弹性碰撞
两个物体碰撞后,动能没有损失,只 发生形状和速度方向的改变。
非弹性碰撞
两个物体碰撞后,动能有一定损失, 不仅发生形状和速度方向的改变,还 可能有物质交换。
01
运动分析
火箭发射过程中,需要分析火箭的加速 度、速度和位移等运动参数,以确定最 佳发射时间和条件。
02
03
实际应用
火箭发射的运动分析对于航天工程、 军事和商业发射等领域具有重要意义。Fra bibliotek球自转的角动量守恒
1 2
地球自转
地球绕自身轴线旋转,具有角动量。
角动量守恒
在没有外力矩作用的情况下,地球自转的角动量 保持不变。
相对论和量子力学
随着科学技术的不断发展,相对论和量子力学逐 渐兴起,对质点动力学产生了深远的影响。相对 论提出了新的时空观念和质能关系,而量子力学 则揭示了微观世界的奇特性质。
牛顿时代
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了三大运 动定律和万有引力定律,奠定了经典力学的基础 。
现代
现代物理学在继承经典理论的基础上,不断探索 新的理论框架和实验手段,推动质点动力学的发 展和完善。
力学进阶质点系的运动学与动力学

力学进阶质点系的运动学与动力学力学是物理学的一个重要分支,研究物体的运动、力的作用以及相互之间的关系。
在力学中,我们经常会涉及到质点系的运动学与动力学,本文将为大家详细介绍质点系的运动学与动力学的进阶知识。
一、质点系的运动学运动学是研究物体运动的学科,关注物体的位置、速度和加速度等运动状态。
质点系是由多个质点组成的系统,研究质点系的运动学需要考虑质点之间的相互作用以及整体的运动规律。
1. 位置矢量和速度矢量位置矢量是用来描述质点所处位置的物理量,通常用 r 表示,其大小为质点到某个参考点的距离,方向为从参考点指向质点的方向。
速度矢量则是用来描述质点运动状态的物理量,通常用 v 表示,其大小为质点在单位时间内所经过的位移,方向为质点运动的方向。
2. 加速度矢量和轨迹方程加速度矢量是描述质点运动加速度状态的物理量,通常用 a 表示,其大小为质点在单位时间内速度的变化率,方向为加速度的方向。
轨迹方程是用来描述质点运动轨迹的函数关系式,一般可以通过对质点的运动方程进行求解得到。
3. 相对运动与质心运动相对运动是指在一个参考系下,质点系中各个质点相对于质点系的运动状态。
质心运动则是指质点系质心的运动状态,质点系的整体运动可以用质心的运动来描述。
二、质点系的动力学动力学是研究物体运动产生的原因以及力与运动的关系的学科,关注物体受力的作用和物体所受到的加速度等运动状态变化。
1. 牛顿第二定律质点受到的合力等于其质量乘以加速度,这就是牛顿第二定律的内容。
在质点系中,如果质点受到多个力的作用,合力等于各力矢量之和。
质点系的运动状态可以通过牛顿第二定律求解。
2. 动量守恒定律和角动量守恒定律动量守恒定律指的是在一个成系统的质点系中,无论系统内发生了什么相互作用,其动量的总和始终保持不变。
角动量守恒定律则是指在一个不受外力的闭合系统中,其角动量的总和始终保持不变。
3. 质点系的能量变化质点系的能量包括动能和势能两部分。
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质点系动力学
§5.1 质点系动力学方程
设质点系包含 N 个质点,质量分别为 mn , n = 1, ⋯ N 质点 n 受力
F n= F n F n
e i
体系外的物 体施加的力
体系内其他的 质点施加的力
因此,质点系动力学方程为
mn r ¨ n = F n F n , n = 1, ⋯ , N
Ff2
解:它们之间的内力可分解成图示成对的摩擦力和正压力 . 一对摩擦力做功为 :
F f1⋅d r 1 F f2⋅d r 2 = F f1⋅d r 1 − r 2 = F f1⋅v dt 0
一对正压力做功为 :
F N1⋅d r 1 F N2⋅d r 2 = F N1⋅d r 1 − r 2 = F N1⋅v dt = 0
r 1 − r 2 ∥F 12 ⇒ F 12 = f 12 r 1 − r 2 ⇒ F 12⋅[× r 1− r 2]=0 ⇒ F 12⋅v = F 12⋅v '
故这对力做功与参考系无关 . (证毕) 注:如果一对力始终做负功,通常把这对力称为耗散力 . 例如滑动摩擦力
§5.3 动力学基本定理和守恒定律
2
gx
(请在极限情况下检查上式有错误没有) 利用动量定理 F N m1 g m2 g = m1 a1 m2 a 2 可求得
⋯, F N = m2 m1 m2 m1 sin m 2
2
g y , F N m1 m 2 g
z 例题 3 光滑水平面上 O 点有一小孔,不可伸长的轻质 光滑细线穿过该孔,两端分别系上质量 m1 和 m2 的小球 m2 始终限制在水平面内运动, 初始时 m1 静止 , 而 m2 运动 , 试求两个球的运动规律 . 解:建立图示柱坐标系 (ρ, φ, z). m2 ρ O φ x m1 m1g
交换求和顺序: W =∑ ∑ F ln⋅d r l
i n= 1 l =1
N
根据牛顿第三定律 : Fnl=-Fln ⇒ 2 W =∑ ∑ F nl⋅d r n − r l
i n =1 l =1
N
N
r n − r l ∥F nl ⇒ F nl = f nl r n − r l
[ 推论 ] 一对作用力与反作用力做功和与参考系无关 .
证明:一对力与反作用力与坐标系无关,而相对速度
d r 1−r 2 d ' r 1−r 2 v= = × r 1− r 2 dt dt
' ' , , d r − r d r − r , , 1 2 1 2 r 1− r 2= r1− r 2 ⇒ = =v ' dt dt
=
,
∑n m n r n
mt
−OO '
∑n mn ∑n mn r n−OO '
mt = mt
=
∑n mn r ,n
mt
(证毕)
˙ C , aC = v ˙ C =r ¨C [ 定义 ] 质心速度和加速度: vC = r
[ 引理 ] 质点系动量可表示为 : p = mt vC
证明:由质心定义可知
质点 m1 所受内、外力均沿 z 方向,初始静止,根据质点动量定理, 其后运动只能在 z 方向上 . 两质点组成的体系受如下外力作用:重力 m1g, m2g, 水平面对 m2 支撑力 F2. 这些力均平行于 z 轴,所以 M ze= 0 ⇒ L z= const.⇒ 2 = ˙ const. 外力 m2g 和 F2 不做功,内力为绳张力,对二质点做功刚好抵消 (请自己证明这一点), m1g 为保守力,所以体系机械能守恒 1 1 2 2 2 m1 z ˙ ] m1 g z1 = const. ˙ 1 m2 [ ˙ 2 2
[ 定义 ] 质点系对 O 点角动量
LO=∑n LnO= ∑n r n × p n
z rn O x
mn y
[ 定义 ] 质点系对过 O 点固定轴 el 的角动量 Ll = e l⋅LO
e e ˙ O = M O 质点系对 O 点角动量定理:L =∑n r n × F n
˙ O=∑ L ˙ nO 证明: LO=∑n LnO ⇒ L n
e 证明: F = 0 ⇒ a C = 0 ⇒ vC = const.
如果对于固定方向 el, 有 el⋅F = 0 ⇒ el⋅a C = 0 即 el⋅v ˙ C =0 ⇒
d e l⋅vC = 0 ⇒ el⋅v C = const. (证毕) dt
e
●
角动量定理和角动量守恒定律
∑n mn r n
mt
处的几何点 .
注:质心只是几何点,质心处可能并无任何质点存在
[ 推论 ] 质心的定义不依赖于参考系 .
证明:假定 S 为静止系, S' 为运动参考系, 在 S 系中质心位于 ∑ mn r n
rC=
n
z' z x O r'C rC y O' x' y'
mt
在 S' 中, rC 表示为 r C = rC −OO '
e
(证毕)
F i = ∑n F ni = 0
[ 推论 ] 质点系动量守恒定律:若某一过程中质点系所受 合外力为零,则该过程质点系动量守恒;若合外力沿 某固定方向分量为零,则在该方向上动量守恒 .
(请自证)
[ 定义 ] 质点系质量:
mt =∑n mn
[ 定义 ] 质点系质心:位于 r C =
由于 nl 在求和式中是哑标,所以用什么字母都可以,于是
N i N N N
F = ∑ ∑ F ln
l =1 n = 1
F i = ∑ ∑ F ln
n =1 l =1 N i N
求和可交换顺序
n =1 l = 1
根据牛顿第三定律 : Fnl=-Fln ⇒ 2 F =∑ ∑ F nl F ln = 0
证明:如果非保守内外力均不做功,则动能定理
d T =∑n F n ⋅d r n ∑n F n ⋅d r n
e i
右端项只与保守内外力有关, -dV(e)
e i e
-dV(i)
i
⇒ d [ T V V ]= 0 ⇒ E =T V V = const.(证毕)
⇒ F =0
i
(证毕)
[ 推论 ] 对任意参考点 , 质点系所有质点所受全部 内力矩的矢量和为零 0.
证明:
M = ∑ M =∑ ∑ r n × F nl
i n=1 i n n =1 l =1 N N
N
N
N
Fnl
Fln rl rn
交换哑标: M i = ∑ ∑ r l × F ln
注:这是一个含 3N 个标量的方程组 .
e
i
§5.2 质点系的内力
[ 推论 ] 质点系所有质点所受内力矢量和为 0.
证明:记质点 n 受到来自质点 l 的作用力为 Fnl 并令 Fnn=0 ,则
N i i n =1 N N
F = ∑ F n =∑ ∑ F nl
n= 1 l = 1
例题 2 质量 m1 的滑块 1 ,放在质量 m2 、倾角 α 的光滑尖劈 2 上, 尖劈放在光滑水平面上;初始时滑块与尖劈均静止,在重力作用 下滑块沿斜面下滑,求尖劈的加速度和桌面对尖劈的支撑力 . 解:系统受图示外力 m1g, m2g 和 FN 作用 . 建立图示坐标系 Oxyz. 所有内力和外力均在 Oxy 面内,且初始 根据两物体均静止,根据动量定理可知 两个物体始终无 z 方向运动。 设 2 以速度 v2 向 x 正向运动, 1 相对 2 以速度 v' 沿斜面方向下滑 . 则 1 的速度可表示为 FN v2 m1g m2g
质点系动能定理:
d T =∑n F n ⋅d r n ∑n F n ⋅d r n
e i
证明:这是质点动能定理的自然推论 . (证毕)
[ 定义 ] 一对保守内力的势能:它满足
F nl⋅d r n F ln⋅d r l =−dV
i i nl i
Fnl
Fln rl rn
˙ nO = r n ×[ F ne F ni ] 质点角动量定理 L
M = ∑n r n × F n = 0
i i
e e ˙ O= M O ⇒L =∑n r n × F n
(证毕)
e ˙ 质点系对固定轴 el 的角动量定理: Ll = M l = e l⋅M O
●
动量定理和动量守恒定律
[ 定义 ] 质点系动量 质点系动量定理:
p = ∑n p n
e
注:本节只考虑惯性参考系
p ˙ = F =∑n F
e n
˙ =∑n p ˙n 证明: p = ∑n p n ⇒ p p ˙ n= F n F n
e i
p ˙ = F =∑n F n
e
2
v'
注意到关系式
y ˙ 1= v1 y=−v ' sin
m2 sin cos m1 sin m 2
2
可求得 ⋯ , a 1 =v ˙ 1 =−
− gx
m1 m 2 sin m 1 sin m2
2
˙ 2= g y , a 2= v
m 1 sin cos m 1 sin m 2
⇒ 4 W i =∑ ∑ f nl d [ r n − r l 2 ]
n =1 l =1
2 i 刚体上任意两点距离不变,故 d [ r n − r l ]= 0 ⇒ W = 0
N
N
注: F nl∥ r n − r l ,但是 F nl 可以∥ d r n − r l 由上述证明可见:质点系所有质点所受全部内力做功之和一般不为零 当两质点间距离不变或者相对速度与它们之间内力正交时做功和为零 例题 1 可在水平面上滑动的尖劈 2 上, 有一可沿斜面以相对尖劈的速度 v 滑动 的重物 1. 以重物和尖劈为质点系, 试分析两者间内力做功情况 . FN1 v Ff1 FN2