信号与系统上机实验7

实验七 拉普拉斯变换（LT ）

班级 电子三 姓名 王延涛 学号 200900800369

一、实验目的

1、学会运用MATLAB 求拉普拉斯变换（LT ）

2、学会运用MATLAB 求拉普拉斯反变换（ILT ）

二、实验原理及实例分析

LT 是分析连续信号与系统的重要方法。运用LT 可以将连续LTI 系统的时域模型简便地进行变换，经求解在还原为时域解。从数学角度看，LT 是求解常系数线性微分方程的工具。由LT 导出的系统函数对系统特性分析也具有重要意义。

（一）拉普拉斯变换（LT ）

对于一些不满足绝对可积条件的时域信号，是不存在傅里叶变换的。为了使更多的函数存在变换，并简化某些变换形式或运算过程，引入衰减因子t e σ-，

其中，σ为任意实数，使得t e t f σ-)(满足绝对可积条件，从而求t e t f σ-)(的傅里叶

变换，即把频域扩展为复频域。

连续时间信号)(t f 的LT 定义为：⎰+∞

∞--=dt e t f s F st )()( ……………………（*）

ILT 定义为：⎰∞+∞-=j j st ds e s F j t f σσπ)(21)( ……………………

（**）

式（*）和（**）构成了拉普拉斯变换对，)(s F 称为)(t f 的像函数，而)(t f 称为)(s F 的原函数。可以将拉普拉斯变换理解为广义的傅里叶变换。

考虑到实际问题，人们用物理手段和实验方法所能记录和处理的一切信号都是有起始时刻的，对于这类单边信号或因果信号，我们引入单边LT ，定义为：

⎰+∞

--=0)()(dt e t f s F st

如果连续信号)(t f 可用符号表达式表示，则可用MATLAB 的符号数学工具

箱中的laplace 函数来实现其单边LT ，其语句格式为：)(f laplace

L =。

式中L 返回的是默认符号为自变量s 的符号表达式，f 则为时域符号表达式，可通过sym 函数来定义。

例1：用MATLAB 的laplace 函数求

)()sin()(t u at e t f t -=的FT 。 解：MATLAB 的源程序为：

>>f=sym(‘exp(-t)*sin(a*t)’);

>>L=laplace(f)

或

>>syms a t

>>L=laplace(exp(-t)*sin(a*t));

laplace 函数另一种语句格式为：),(v f laplace

L =。它返回的函数L 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的s 。对上例中如果要求FT 后的表达式自变量为v ，则MATLAB 源程序为：

>>syms a t v

>>f=exp(-t)*sin(a*t);

>>L=laplace(f,v)

[注：请自行验证结果正确与否]

（二）拉普拉斯反变换（ILT ）

1、基于MATLAB 符号数学工具箱实现ILT

如果连续信号)(t f 可用符号表达式表示，则可用MATLAB 的符号数学工具

箱中的ilaplace 函数来实现其ILT ，其语句格式为：)(L ilaplace

f =。 式中f 返回的是默认符号为自变量t 的符号表达式，L 则为s 域符号表达式，也可通过sym 函数来定义。

例2：试用MATLAB 的ilaplace 函数求

1)(22

+=s s s F 的ILT 。

解：MATLAB 源程序为：

>>F=sym(‘s^2/(s^2+1)’);

>>ft=ilaplace(F)

或

>>syms s

>>ft=ilaplace(s^2/(s^2+1))

[注：请自行验证结果正确与否]

2、基于MATLAB 部分分式展开法实现ILT

用MATLAB 函数residue 可得到复杂有理式F(s)的部分分式展开式，其语句格式为：),(],,[A B residue k p r =

其中B 、A 分别表示F(s)的分子和分母多项式的系数向量；r 为部分分式的系数；p 为极点；k 为F(s)中整式部分的系数。若F(s)为有理真分式，则k 为0。

例3：利用MATLAB 部分分式展开法求

s s s s s F 342

)(23+++=的ILT 。 解：MATLAB 源程序为：

>>format rat;

>>B=[1,2];

>>A=[1,4,3,0];

>>[r,p]=residue(B,A)

程序中的format rat 是将结果数据以分数的形式表示，其运行结果为： r=

-1/6

-1/2

2/3

p=

-3

-1

从上述结果可知，F(s)有3个单实极点，即0,1,3321=-=-=p p p ，其对应部分分式展开系数为：-1/6、-1/2、2/3。因此，F(s)可展开为：36/112/13/2)(+-++-+=s s s s F 。所以，F(s)的反变换为：

)0(,612132)(3---≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=t e e t f t t

例4：利用MATLAB 部分分式展开法求

3)1(2

)(+-=s s s s F 的ILT 。 解：F(s)的分母不是标准的多项式形式，可利用MATLAB 的conv 函数将因子相乘的形式转换为多项式的形式，其MATLAB 源程序为：

>>B=[1,-2];

>>A=conv(conv([1,0],[1,1]),conv([1,1,[1,1]]));

>>[r,p]=residue(B,A)

程序运行结果（略）

根据程序运行结果，F(s )可展开为：

s s s s s F 2)1(3)1(212)(32-++++++= 所以，F(s)的ILT 为：)()25.122()(2t u e t te e t f t t t -++=---

（三）拉普拉斯变换法求解微分方程

拉普拉斯变换法是分析连续LTI 系统的重要手段。LT 将时域中的常系数线性微分方程，变换为复频域中的线性代数方程，而且系统的起始条件同时体现在该代数方程中，因而大大简化了微分方程的求解。借助MATLAB 符号数学工具箱实现拉普拉斯正反变换的方法可以求解微分方程，即求得系统的完全响应。