高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念

第八章 多元函数微分法及其应用

第一讲 多元函数的基本概念

授课题目：

§8.1多元函数的基本概念

教学目的与要求：

1、理解多元函数的概念．

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质．

教学重点与难点：

重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容：

一、平面点集 n 维空间

1、平面点集

平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即

R 2=R ⨯R={(x , y )：x , y ∈R }

坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作

E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }.

例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是

C ={(x , y )：x 2+y 2

如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成

C ={P ：|OP |

回顾数轴上点的邻域。

邻域：设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体，称为点P 0的δ邻域，记为

U (P 0, δ)，即

}||{),(00δδ<=PP P P U ：

或 })()(),{(),(2

0200 y y x x y x P U δδ<-+-=：

. 点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U ，即 }||0{),(00δδ<<=P P P P U ：

.

如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U

．.

点与点集之间的关系：

任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种：

（1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点．

（2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点．

（3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点．

E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E ．

E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ．

（4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点．

由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ．

例如, 设平面点集E ={(x , y )|1

开集：如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集．

闭集：如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集．

例如，E ={(x , y )|1

连通性：如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集．

区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域．

例如，E ={(x , y )|1

闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域． 例如，E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}．

有界集：对于平面点集E , 如果存在某一正数r ，使得

E ⊂U (O , r ),

其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集．

无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集．

例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域；集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域；集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.．

2．n 维空间

设n 为取定的一个自然数，我们用表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合记为R n ，即

R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )：x i ∈R ，i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.

这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间．

R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与点y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )之间的距离，记作ρ(x , y ), 规定

2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ．

R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中，通常将||x ||记作|x |), 即

22221 ||||n

x x x ⋅⋅⋅++=x ． 采用这一记号，结合向量的线性运算, 便得

),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x ．

二、多元函数概念

回顾一元函数的概念。

例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系

V =πr 2h .

这里, 当r 、h 在集合{(r , h )：r >0，h >0}内取定一对值(r ，h )时，V 对应的值就随之确定.．

例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 V

RT p =, 其中R 为常数．这里，当V 、T 在集合{(V ,T )：V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时，p 的对应值就随之确定.．

例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系

2

121R R R R R +=. 这里，当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2)：R 1>0, R 2>0}内取定一对值(R 1，R 2)时, R 的对应值就随之确定.．