第一章 质点力学

v vx i vy j vz k
dx 2 dy 2 dz 2 v v ( ) ( ) ( ) dt dt dt
4. 加速度 反映速度变化快慢和速度方向变化的物理量. 平均加速度 某段时间内, 单位时间的速 度增量即平均加速度.
y
A
O
vA
B
vB
v a t
r ( xB xA )i ( yB yA ) j ( zB z A )k
讨论
1. 位移的物理意义 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只 决定于质点的始末位置，是描述状态变化的物理量. 2. 位移与路程 P1P2 两点间的路程是不 唯一的 , 可以是 s或 s ' , 而 位移r 是唯一的.
y
r (t1 )
P 1
s s r P2
'
一般情况位移大小不等于 路程，即 r s ；只有当 O 质点做单方向的直线运动时， z 路程和位移的大小才相等.
r (t2 )
x
取极限
当
t 0
t 0
时
lim r lim s
t 0
dr ds
3. 速度 描写物体运动快慢和位置变化方向的物理量. 平均速度 y 物体的位移与发生这段位移 所用的时间之比. 在 t 时间内, 质点从点A 运
r (t t)
*
B
s
*A
r
r (t)
动到点 B, 其位移为
r r (t t ) r (t )
t 时间内,
质点的平均速度
O
z
x
r (t Δt ) r (t ) r v 平均速度 v 与 r 同方向. Δt t
2 2 a a x i a y j ( R cos ti R sin tj ) R 2 v 2 2 2 a ax a y Rω R
例 2 ：设质点沿 x 轴作匀变速直线运动，加速度 a 不随时
间变化，初位置为x ，初速度为 v0 . 试用积分法求出质
瞬时加速度
a
与 v 同方向.
vA
v
vB
x
Δt 0 时平均加速度的极限. 2 v dv dv d r a lim a ， 2 t 0 t dt dt dt
在直角坐标系中
a axi ay j az k
第一章
质点力学
教学基本要求
一、掌握位矢、位移、速度和加速度等概念.
二、能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和
加速度. 三、掌握质点作圆周运动时的切向加速度、法向加速度、角 速度、角加速度等概念和角量与线量的关系，并能做相关计 算.
1-1 质点运动的描述
预习要点
1. 领会位置矢量、位移、速度、加速度的定义及相
质点运动学两类基本问题
由质点的运动方程求得质点在任一时刻的速度和加
速度（通过求导计算）；
已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 求质
点速度及其运动方程（通过积分计算）.
r (t )
求导
积分
v(t )
求导
积分
a (t )
(1) 已知加速度 a a(t ) ，初始速度为 v(0) 通过积分可以计算质点在任意时刻t的速度。
互关系；认识它们在描述质点运动中所起的作用.
2. 运动方程的含义和表达式是什么？根据运动方程 如何求速度和加速度？
牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动 是整个物理学的基础 广泛应用于工程技术 运动学(kinematics) 只描述物体的运动，不涉及引起运动和改 变运动的原因。 动力学(dynamics) 研究运动与相互作用之间的关系。 静力学(statics) 研究物体在相互作用下的平衡问题。
x y R
2 2
2
（2）将 x R cos t ,
y R sin t 对时间求导
dx vx Rω sin ωt dt 2 2 v vx vy Rω dy vy Rω cosωt dt dv x 2 ax Rω cos ωt dt 2 2 a ax ay Rω2 dv y ay Rω 2 sin ωt dt
瞬时速度 当 t 0 时平均速度的极限叫做瞬时速度，简 称速度，即在某时刻或某位置处质点位矢对时间的变 化率. B y
r dr v lim t 0 t dt 当 t 0 时, dr ds
ds v et dt
r (t t)
s
A
二、 描述质点运动的物理量
1. 位置矢量 确定质点 P 某一时刻在坐 标系里的位置的物理量称位置 矢量, 简称位矢，用 r 表示.
y
z 式中 i、 j、 k 分别为x、y、z 方向的单位矢量. 2 2 2 y 位矢 r 的值为 r r x y z
r xi yj zk
v(t ) v(0) a(t )dt
0
t
vx (t ) vx (0) ax (t )dt
0
t
vy (t ) vy (0) ay (t )dt
0
t
vz (t ) vz (0) az (t )dt
0
t
(2) 已知速度 v (t ) ，初始位矢为 r (0) 通过积分可以计算质点在任意时刻t的位矢。
r (t ) r (0) v(t )dt
0
t
x(t ) x(0) vx (t )dt
0
t
y(t ) y(0) vy (t )dt
0
t
z(t ) z(0) vz (t )dt
0
t
例1：已知质点的运动方程是 r R cos ti R sin tj ，
f ( x, y, z ) 0
2. 位移 描写质点位置变化的物理量. 经过时间间隔 t 后, 质 点位置矢量发生变化, 由始点 A指向终点B的有向线段AB称 为点A到B的位移.
y
rA
A
r
B
rB
x
o
z
AB r rB rA
在直角坐标系 Oxyz 中, 其位移的表达式为
矢量（vector）及其运算：
矢量：有大小、方向，并有下述运算规则
1、加法：平行四边形法则 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C 2、数乘：矢量乘标量结果仍为矢量 结合律 ( A) ( ) A 分配律 ( A B ) A B ( ) A A A
*P y r o i zk x
j
x
位矢 r的方向余弦为
cos x r cos y r cos z r

r

P
o
z

x
随时间变化的位置矢量
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
— 轨道方程
从运动方程中消去参数t得到质点位置坐标之间的 关系式称为轨道方程.
z
地面系 太阳系
y x 地心系
2. 运动的相对性 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同， 这就是运动描述的相对性. 3. 坐标系 在选定的参考物上建立固定的坐标系，可精确描 述物体的运动. 常用坐标系： 直角坐标系（ x , y , z ）, 球坐标系（ r,θ, ）, 柱坐标系（ , , z ） , 自然坐标系 ( s ).
z
O
r (t)
x
当质点作曲线运动时, 质点在某一点的速度方向 就是沿该点轨道曲线的切线方向.
瞬时速率
速度 v 的大小称为速率.
ds v et dt
瞬时速率
ds v dt
ds v dt
在直角坐标系中
dx dy dz v i j k dt dt dt
2 3、标量积： A B AB cos , A A A
交换律 A B B A 分配律 A (B C ) A B A C
ˆ x A B Ax Bx ˆ y Ay By ˆ z Az Bz
dr dr ' :绝对速度, :相对速度, d R :牵连速度. dt dt dt
v v ' u
dr dr ' dR dt dt dt
r r R
z
R
z'
o'
x'
v u
v'
*加速度关系
dv dv du dt d t dt
0
点的速度公式和运动方程.
dv 解：因为质点做直线运动, a dt 所以 dv adt
对上式两边做积分运算,
d v ad t
得 v at C1
将初始条件带入上式, 确定积分常数 C1 v0 所以速度公式为 v v0 at
dx 由速度定义, 有 v dt
所以 dx vdt (v0 at)dt
dv a 6ti 2 j dt
试求质点的 v (t ) 和
a (t ).
例4、已知a=8-6t, v0=0, x0=0,求运动方程.
dv a 8 6t dt
dx 2 v 8t 3t dt
dv 8 - 6t dt
0Байду номын сангаас0
v
t
dx ( 8 t 3 t ) dt