1984年高考数学全国卷(理科)最难高考题

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近十年高考数学试题难度分析——基于全国理科卷（2010—2019）

［摘要］难度分析对于保证试题的信效度及区分度具有重要的理论意义。

纵向分析比较高考试题的难度，可以总结经验教训，提升测评技术。

运用武小鹏的综合难度系数模型对2010年到2019年10年间的全国高考数学理科卷试题难度进行编码和统计分析，发现：十年来试卷的综合难度上下波动且起伏较大；运算水平、推理能力、知识含量的难度相对稳定；而背景因素、是否含参、思维方向、认知水平各年的难度变化相对较大；各年试卷难度分布基本服从正态分布。

基于已有数据对2020年的试卷进行预测，为试题命制和复习备考提供参考。

［关键词］高考；数学试题；难度；综合难度系数模型［中图分类号］G633.6［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2020）10-0029-03近十年高考数学试题难度分析①———基于全国理科卷（2010—2019）姚月卓，谢圣英（湖南师范大学数学与统计学院计算与随机数学教育部重点实验室，湖南长沙410081）一、问题提出高考，即普通高等学校招生全国统一考试。

近年来，参加高考的人数逐年增加。

2019年，考生人数更是达到1035万。

高考作为中国最高规格的教育选拔机制，其分析和评价也是教育领域研究的重中之重。

相关学者数不胜数，各类研究浩如烟海。

综观已有研究，时间跨度大的纵向比较研究相对缺乏。

我们迫切需要纵观近些年来的难度变化，从全局来比较高考数学试题的情况，以总结命题经验教训和预测未来难度走向，为一线教师的教学侧重点提供参考意见。

本文对2010年到2019年全国高考理科卷的难度进行纵向分析研究，以期帮助一线教师把握高考的考查规律和变化趋势，同时，为研究者提高命题质量，优化试卷结构提供参考。

二、研究内容（一）研究对象2010年新课标卷I 卷、II 卷，2011—2015年全国高考数学理科I 卷、II 卷，2016—2019年全国高考数学理科I 卷、II 卷和Ⅲ卷（2015年之后Ⅲ卷开始命制）。

（二）研究方法考虑到传统的难度模型主要是针对教材习题，与以选拔性为目的的高考有些不匹配，基于试题编码的可操作性、考查题型的全面性等因素的综合考量，本文采用武小鹏的综合难度系数模型对近十年高考题目进行分析[1]，该模型是在鲍建生的难度模型的基础上针对高考试题改编的难度模型。

1983年高考数学全国卷(理科)及其参考答案

1981年高考数学全国卷（理科）及其参考答案（这份试题共九道大题，满分120分）一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是（ D ）（A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是（ A ）（A ）两条相交直线（B ）两条平行直线（C ）两条重合直线（D ）一个点3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是（ D ）（A ）a ,b ,c 都不是零（B ）a ,b ,c 中最多有一个是零（C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cos α的值是（ C ）（A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3π5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是（ C ）（A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<二．（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -=y x -=的图形，并写出它们交点的坐标2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形解：1.图形如左图所示交点坐标是：O （0，0），P （1，-1） 2．曲线名称是：圆图形如右所示三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法解：1.dx x e x e dx x e dy x x x ]2sin )()2(sin [)2sin ('+'='=---.)2sin 2cos 2()2sin 2cos 2(dx x x e dx x e x e x x x -=-=---2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C四．（本题满分12分）计算行列式（要求结果最简）：PXβϕ-ββαϕ+ααsin )sin(cos cos )cos(sin解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得0cos 0sin sin 0cos cos 0sin cos 2cos 2cos sin sin )sin()sin(cos cos )cos()cos(sin =ϕϕββαα=ϕϕ-ϕϕβϕ-β-ϕ-ββαϕ+α-ϕ+αα=原式五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？ 1．证：复数i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数）的模||z r =为.|sin ||cos |)|sin |()|cos |(22t t t t r +=+=要证对任意实数t ，有42≤r ，只要证对任意实数t ，2|sin ||cos |≤+t t 成立对任意实数t ，因为1|sin ||cos |22=+t t ，所以可令|,sin |sin |,cos |cos t t =ϕ=ϕ且)2,0(π∈ϕ，于是.2)4sin(2sin cos |sin ||cos |≤π+ϕ=ϕ+ϕ=+t t2．因为复数i t t z |sin ||cos |+=的实部与虚部都是非负数，所以z 的幅角主值θ一定适合20≤θ≤从而.1040≤θ≤⇔π≤θ≤tg 显然||≠=z r 因为.111||010,|||cos ||sin |≤≤-⇔≤θ≤⇔≤θ≤==θtgt tg tg tgt t t tg 所以由于).(4411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是内是增函数在k k t k tgt t tgt y π+π≤≤π-π≤≤-ππ<<π-=这就是所求的实数t 的取值范围六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB证：因为SN 是底面的垂线，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ，所以AB ⊥SC （三垂线定理）连结DM 因为AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面又因DM 在这个平面内，所以AB ⊥DM∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC=∠NSC ，∠DCS 是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900从而DM ⊥SC 从AB ⊥SC ，DM ⊥SC ，可知SC ⊥截面MAB七．（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|=6，焦距|F 1F 2|=24，过椭圆焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M ，N 设∠F 2F 1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？SM P C A N D B解一：以椭圆焦点F 1为极点，以F 1为起点并过F 2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=322，中心到准线距离=429, 焦点到准线距离p=42.椭圆的极坐标方程为 θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep.2cos 896||,cos 2231||.cos 2231||2212211=α-=ρ+ρ=α+=ρ=α-=ρ=∴MN N F M F解得.656.22cos π=απ=α∴±=α或以上解方程过程中的每一步都是可逆的，所以当6π=α或65π=α时，|MN|等于短轴的长解二：以椭圆的中心为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为.1922=+y xMN 所在直线方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(1922x k y y x消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .Xα+α+=++=++++=-+-=22222222222122191669166)91()1(36)1(36)()(||tg tg k k k k k k y y x x MN下同解法一解三：建立坐标系得椭圆如解二， MN 所在直线的参数方程为)(sin cos 22是参数t t y t x ⎩⎨⎧α=α+-=代入椭圆方程得 .01)cos 24()sin 9(cos 222=-α-α+αt t设t 1,t 2是方程两根，则由韦达定理，.sin 9cos 64)(||||.sin 9cos 1,sin 9cos cos 2422212212122212221α+α=-+=-=α+α-=α+αα=+t t t t t t MN t t t t下同解一解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x |F 1F 2|=24，∠F 2F 1M=α在△MF 1F 2中由余弦定理得13cos 22,cos 28)24()6(222=+-αα-+=-x x x x xα-=cos 2231x同理，设|F 1N|=y ，则|F 2N|=6-y 在△F 1F 2N 中，由余弦定理得.cos 896cos 2231cos 2231||,cos 2231,1cos 223).cos(28)24()6(2222α-=α++α-=α+==α+α-π-+=-MN y y y y y y下同解一已知数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0），它的前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),并且S 1，S 2，S n ，…是一个等比数列，其公比为p （p ≠0且|p|＜1）1．证明：a 2,a 3,a 3,…a n ,…(即{a n }从第二项起）是一个等比数列2．设W n =a 1S 1+a 2S 2+a 3S 3+…+a n S n (n ≥1),求n n W ∞→lim（用b,p 表示）1．证：由已知条件得S 1=a 1=b.S n =S 1p n-1=bp n-1(n ≥1）因为当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n-1+a n =S n-1+a n ,所以 a n =S n -S n-1=bp n-2(p-1)(n ≥2)从而),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n 因此a 2,a 3,a 3,…a n ,…是一个公比为p 的等比数列2．解：当n ≥2时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知p 2<1，因此数列a 1S 1，a 2S 2，a 3S 3，…a n S n …是公比为p 2<1的无穷等比数列于是.11)1(1)(lim 2222223322p p b pp p b p S a S a S a S a n n n +-=--=-=+++∞→ 从而)(lim lim )(lim lim 332211332211n n n n n n n n n S a S a S a S a S a S a S a S a W ++++=++++=∞→∞→∞→∞→.11222pb p p b b +=+-=1．已知a,b 为实数，并且e<ab a . 2.如果正实数a,b 满足a b =b a .且a<1，证明a=b1．证：当e<ab a ，只要证blna>alnb,即只要证b ba a ln ln > 考虑函数0(ln +∞<<=x xxy 因为但e x >时， ,0ln 12<-='x x y 所以函数),(ln +∞=e x x y 在内是减函数因为e<a，即得ab >b a 2．证一：由a b =b a ，得blna=alnb ，从而bba a ln ln = 考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy ，它的导数是 .ln 12x x y -='因为在（0，1）内0)(>'x f ，所以f(x)在（0，1）内是增函数由于0<a<1,b>0,所以a b <1,从而b a =a b <1.由b a <1及a>0,可推出b<1.由0<a<1,0<b<1,假如b a ≠，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得)()(b f a f ≠，即bba a ln ln ≠，从而ab b a ≠这与a b =b a 矛盾所以a=b证二：因为0<a<1，a b =b a ，所以,log log b a a b a a =即aba log =假如aab，但因a<1，根据对数函数的性质，得b abb a b a b a a a a log ,log ,1log log =>=<这与从而矛盾所以a 不能小于b假如a>b ，则1<a b ，而1log >b a ，这也与b ab a log =矛盾所以a 不能大于b 因此a=b证三：假如a0由于0<a<1,ε>0,根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa 和1)1(>ε+a a，所以 ,)(,)1(,)1(a a a a a a a a aa a a a a ε+<ε+<ε+<ε+εε 即ab 0,同上可证得a b <b a .这于a b =b a 矛盾a 不能大于b因此a=b。

史上最难的1984全国高考理科数学试卷

/ 10 编者说明 1984年的第二大题，含6个小题，比1983年的2个小题多出了4个，从而使整个试卷的题量比1983年多出了3道。题目很活，题量又大，多数考生在规定的时间不能完成解答，这也是1984年数学得分很低的原因之一。答：.84或 2.函数)44(log25.0xx在什么区间上是增函数？答：x＜-2. 3．求方程21)cos(sin2xx的解集答：},12|{},127|{ZnnxxZnnxx 4．求3)2||1|(|xx的展开式中的常数项答：-20 5．求1321limnnn的值答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设,0,1,0,0)(xxxH当当画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(的曲线解（1）（2）
/ 10 编者说明 1984年的第六题，考查解析几何。第1小题将椭圆参数藏在复数方程的根中；第2小题求椭圆的轨迹方程，给出的“衍生轨迹”而不是“直接轨迹”。使得广大考生无模式可套。本题解：1.因为p，q为实数，0p，z1，z2为虚数，所以 0,04)2(22pqqp 由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，焦距离=2c=|z1-z2|=2212212|4)(|pqzzzz，长轴长=2a=.2222qcb 2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的21，从而左焦点F的坐标为),23(yx 设d为点M到y轴的距离，则d=1 根据21||dMF及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222yxyx即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10， 34coscosabBA，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值

2024年高考数学(理科)真题试卷(全国甲卷)

2024年高考数学（理科）真题试卷（全国甲卷）1.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

若，则（）A.B.C.10D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.若满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.4.记为等差数列的前项和，已知，，则（）A. B. C. D.5.已知双曲线的两个焦点分别为，点B.3（）A.4C.在该双曲线上，则该双曲线的离心率为2 D.6.设函数，则曲线在点积为（处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面） A. B. C. D.7.函数在区间的图象大致为（）A.B.C. D.8.已知，则（）A. B. C. D.9.设向量 A.，则（）“”是“”的必要条件B.“”是“ C.”的必要条件“”是“”的充分条件D.“”是“ 10.”的充分条件设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或②若，则或③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 11. B.②④D.其中所有真命题的编号是（）A.①③C.①②③①③④在中,内角所对的边分别为，若，，则）（A. B. C.D.12.已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则B.2的最小值为（）A.1C.4D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.14.的展开式中，各项系数中的最大值为_______________．已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,15.，则圆台甲与乙的体积之比为_______________．已知且，则16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球._______________．记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150的概率为_______________．件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计9652215017.1.17.2.已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设.为升级改造后抽取的n件产品的优级品率如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.记为数列的前项和，已知18.1.．求18.2.的通项公式；设，求数列的前项和19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF ．均为等腰梯形，，，，为的中点．19.1.证明：平面19.2.；求二面角20.的正弦值．已知椭圆的右焦点为，点在上，且20.1.轴．求20.2.的方程；过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：21.轴．已知函数21.1.．当时，求21.2.的极值；当时，，求22.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为22.1..写出22.2.设直线l 的直角坐标方程；：（为参数），若与l相交于两点，若，求23..[选修4-5：不等式选讲]已知实数满足23.1.．证明：；23.2.证明：参考答案1.A 解析：结合共轭复数与复数的基本运算直接求解．.由，则故选：A2.D . 解析：由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.因为，所以，则，故选：D3.D 解析：画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.实数满足，作出可行域如图：由可得，即的几何意义为的截距的，则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点，联立，解得，即，则故选：.D.4.B 解析：由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.由，则，则等差数列的公差，故故选：B.5.C 解析：.由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得由题意，，即可得离心率.设、、，则，，，则，则故选：C.6.A 解析：.借助导数的几何意义计算可得其在点其面积处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得.，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积故选：A.7.B 解析：利用函数的奇偶性可排除A、C .，代入可得，可排除D.，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又故可排除D.故选：B.8.B 解析：，先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.因为，所以，，所以对A 故选：B.9.C 解析：根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可，.，当时，则，所以，解得或对C ，即必要性不成立，故A错误；，当时，，故，所以对B ，即充分性成立，故C正确；，当时，则，解得对D ，即必要性不成立，故B错误；，当时，不满足，所以故选：C.10.A 解析：根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③不成立，即充分性不立，故D错误..对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，故②错误；对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，，则，又因为，则，故③正确；对④，若与和所成的角相等，如果，则综上只有①③正确，故选：A.11.C 解析：，故④错误；利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.因为，则由正弦定理得由余弦定理可得.:即，:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则故选：C.12.C 解析：.结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，，此时.故选：C13.5 解析：先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出可求解.即由题展开式通项公式为，且，设展开式中第项系数最大，则，，即，又，故，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为故答案为：5..14.先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解析：解.由题可得两个圆台的高分别为，，所以.故答案为：15.64 解析：.将利用换底公式转化成来表示即可求解.由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.16. 解析：根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就值分类讨论后可求随机事件的概率.从6个不同的球中不放回地抽取3的不同取次，共有种，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，故，故，故，若，则，则为：，故有2种，若，则，则为：，，故有10种，当，则，则为：，故有16，种，当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为.故答案为：17.1.答案见详解解析：略17.2.答案见详解解析：由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，用频率估计概率可得，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了，.18.1. 解析：当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.18.2. 解析：,所以故所以，.19.1.证明见详解；解析：因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；19.2. 解析：如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，，所以结合（1，）为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点，所以，又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，因为，所以，所以互相垂直，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，令，得，即，则，即，令，得，即，，则，故二面角的正弦值为.20.1. 解析：设，由题设有且，故，故，故，故椭圆方程为20.2.证明见解析. 解析：直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又，而，故直线，故，所以，故，即21.1.轴.极小值为，无极大值. 解析：当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值. 21.2. 解析：，设，则，当时，，故在上为增函数，故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.22.1. 解析：由，将代入，故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.22.2. 解析：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为法1.：直线的斜率为，故倾斜角为，故直线的参数方程可设为，.将其代入中得设两点对应的参数分别为，则，且，故，，解得法2.：联立，得，，解得，设,，则，解得23.1.证明见解析解析：因为，当时等号成立，则，因为，所以23.2.证明见解析;解析：。

历年全国卷高考数学真题大全解析版

全国卷历年高考真题汇编三角1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．【解析】πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，【解析】即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来【解析】2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π122 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =【解析】∴21sin 3sin 2a bc A A = 【解析】∴223sin 2a bc A =【解析】∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为3+3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin 8)sin(2BC A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B ，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ．（Ⅰ）【基本解法1】由题设及2sin8sin ,2BB C B A ==++π，故上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0解得 15cosB=cosB 171（舍去），= 【基本解法2】由题设及2sin8sin ,2B BC B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02sin ≠B ，所以412tan =B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆==又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎． 4 （2017全国卷3理）17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=，1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△5 （2017全国卷文1）14 已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。

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的曲线新疆王新敞
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奎屯
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X
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四．（本题满分 12 分）已知三个平面两两相交，有
2.若 c∥b,则由
b ,有c // .又由c ,且 a

1 在什么情
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x 0,
(cccxxxdxdxd
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2023年高考全国卷1理科数学难不难

2023年高考数学刚刚落幕，就有人反应，今年的全国1卷高考数学真的是太难了，第21道题改成了统计题，很多考生表示根本无从下手。

2023高考数学全国1卷试题分析高考数学终于结束了，走出考场的考生：#全国一卷数学#很难，#全国二卷数学#很难……总之，高考数学就是很难……你当年高考时数学是什么水平？理科Ⅰ卷第（15）题、理科Ⅱ卷第（18）题分别引入了非常普及的乒乓球和篮球运动，以其中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，要求考生应用数学方法分析、解决体育问题。

文科Ⅰ卷第（6）题设置了学校对学生体质状况进行调查的情境，考查学生的抽样调查知识。

这些试题在考查学生数学知识的同时，引导学生加强体育锻炼，体现了对学生的.体育教育。

结合学科知识，展示数学之美。

文、理科Ⅱ卷第（16）题融入了中国悠久的金石文化，赋以几何体真实背景，文、理科Ⅰ卷第（4）题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。

2023年的数学试题贯彻落实高考评价体系学科化的具体要求，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和逻辑推理能力。

固本强基，夯实发展基础。

试卷注重对高中基础内容的全面考查，集合、复数、常用逻辑用语、线性规划、平面向量、算法、二项式定理、排列组合等内容在选择题、填空题中得到了有效的考查。

在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了全面性、基础性和综合性的考查要求。

在解答题中重点考查了函数、导数、三角函数、概率统计、数列、立体几何、直线与圆锥曲线等主干内容。

2023年的数学试题还注重考查数学应用素养，体现综合性和应用性的考查要求。

理科Ⅰ卷第（6）题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合试题，体现了中国古代的哲学思想。

(完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．62．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )． A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B．2 CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为2 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________. 14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝22a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac . (1)求B ； (2)若sin A sin C＝14，求C .19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x ya b(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2．答案：A解析：323=13=8-.故选A.3．答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4．答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5．答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A. 6．答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D. 8．答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---.故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9．答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10．答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ，∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则=2AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 12CH ， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k (+)，x 1x 2＝4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12．答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =；当t =.∴g (t )max ，即f (x )的最大值为9.故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． ∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE ＝2R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE ·sin 60°＝22R ⋅∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝11+2242⨯=，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD .所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB .又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝，EG ＝12PB ＝1，故AG 3.在△AFG 中，FG ＝12CD =，AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A (，0,0)，D (0，，0)，C (，0)，P (0,0)．PC ＝(，)，PD ＝(0，，)．AP ＝，0)，AD ＝，，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC ＝(x ，y ，z )·(，)＝0，n 1·PD ＝(x ，y ，z )·(0，，)＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP ＝(m ，p ，q ，0)＝0，n 2·AD ＝(m ，p ，q ，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝1212||||3=-·n nn n.由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π-20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝14.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝18，P(X＝2)＝P(1B·B3)＝P(1B)P(B3)＝14，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1151848--=，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98.21．(1)解：由题设知ca＝3，即222a ba+＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x=由题设知，=a2＝1.所以a＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2268kk-，x1·x2＝22988kk+-.于是|AF1|＝－(3x1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1·x2＝199-.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ ＝2121211ln 21n n k n k n k k k k k --==++>(+)∑∑ ＝ln 2n －ln n ＝ln 2.所以21ln 24n n a a n-+>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4 D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x ) 即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－2，－2)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－2)2＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=. 故PA＝2. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA＝4. 18． (1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝，1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k＝4±. 当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当k =时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，l β，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

历年高考数学难度排名

历年高考数学难度排名恢复高考以来，一共有3次高考数学特别难，被称为数学难度巅峰。

其余数学的难度中规中矩。

以下是最难的三次：（一）1984年高考数学。

1984年的高考数学被很多人认为是历史上最难的一次数学高考，每道题看起来都像是奥数题。

很多高材生出了考场后面如死灰，内心十分绝望。

据几位当年参加过高考的人回忆，其中一位考生，那年高考他数学考了13分，但还是上了一所985大学。

另一位同学高考理科数学考了41分，但这个成绩已经不低了，他印象中大题没有一个做完整的。

最后，这位同学总分考了453分，还高出本科线13分。

（二）1999年高考数学。

1999年的全国数学卷平均分只有60分。

该年高考主打创新思维，并且把数学与生活紧密联系，并且了传统出题的局限性，如果思维不够活跃的话，很难得到高分。

这一年，教育部颁发了《关于进一步深化普通高等学校招生考试改革的意见》，明确指出“高考内容的改革是高考改革的重点”，要求“更加注重对考生能力和素质的考查”，“在试题设计上增加应用型和能力性的题目”。

在这样的时代和政策背景下，1999年是一个关键的年份，正面临着新旧教材的更替之年，需要体现新高考对数学教学的要求，也对人才的选拔提出新的标准。

所以这一年的“难”，更多的体现在对数学考试的创新上，要求学生进一步打破死记硬背的学习方式，综合培养自己各方面的数学能力。

（三）2003年高考数学。

2003年爆发了著名的“非典”，事实上，原本每年高考都在7月份举行，由于各地天气炎热，导致很多学生发挥失常甚至中暑。

为了避免这种情况，在非典爆发之前，教育部就已经下发政策，将高考时间提前到6月份考试。

突如其来的非典导致了绝大多数学生复习期间中途断课，但是出于政策的平稳考虑，高考依然在6月份举行。

1982年高考数学全国卷(理科)及其参考答案-推荐下载

H2 2
2
当 H h h,时上式取等号,因此当h H 时,V (h)最大.
2
（注：原“解一”对 h 求导由驻点解得）新疆王新敞奎屯
五．（本题满分 15 分）
新疆
王新敞
奎屯
奎屯
A
Dc
h BE
O
H 2 27 27
3
设0 x 1, a 0, a 1,比较 | loga (1 x) | 与 | loga (1 x) | 的大小（要写出比较过程）
原式

| 1,即
|
六．（本题满分 16 分）
log a log a
如图：已知锐角 ∠AOB=2α 内有动点 P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形 PMON 的面积等于常数 c2 今
新疆王新敞
奎屯
以 O 为极点，∠AOB 的角平分
(1 (1

log1 x
x) x)
| |

| log1x (1 x) |
1982 年高考数学全国卷（理科）及其参考答案
一．（本题满分 6 分）
填表：
1
2
3
4
5
6
解：见上表新疆王新敞奎屯
二．（本题满分 9 分）
函
y x2
y (x)2
y arcsin(sin x)
y sin(arcsin x)
y 10lg x
y lg10 x
1．求（-1+i)20 展开式中第 15 项的数值;
2．求 y cos2 x
解：1.第
15
3
项
新疆
的导数王新敞
T15=

史上最难高考题大全

史上最难高考题大全高考是众多学生人生中的一个重要节点，也是决定他们未来道路的一个关键考试。

而历年高考试题也因其难度屡屡引起各方的关注和热议。

下面就为大家盘点史上最难高考题大全，并提供相关参考内容。

1. 1999年北京市高考数学试题这道数学试题被评为高考历史上最难的试题之一。

试题要求考生在一个平行四边形中找出最大的圆和最小的正方形，同时还要求算出正方形的面积。

这道题难度极大，不仅考察了考生的数学知识，还要求考生有一定的几何思维能力。

参考内容：平行四边形中最大圆和最小正方形的面积可分别为(a+\sqrt{3} )^2 , \frac{(a+b)^2}{8}，正方形的面积可用底边边长为a的三角形的高h来计算，S=\frac{a^2}{2}h。

2. 2004年陕西高考语文试题这道试题被评为语文高考历史上最难的试题之一。

试题要求考生阅读一篇古文文章，并回答两个问题，其中一个问题要求考生对文章做出推测和猜测。

这种对阅读理解和推理能力的考察难度较高，因此被认为是有史以来最难的语文高考试题之一。

参考内容：这种试题需要考生花更多时间在文章的结构、情感、语言等方面进行深入剖析和理解。

在回答问题时，要准确理解问题的意义，注意对文章的分析和推理。

3. 2015年江苏高考数学试题这道数学试题被认为是近年来的数学高考难题之一。

试题要求考生在一个三角形中找出一个点，使其到三个角的余角的正弦值之和最小。

这种题目需要考生掌握求极值和函数极值的知识，同时也要求考生有一定的思维能力和数学逻辑推理能力。

参考内容：这种数学题目需要考生掌握极值的概念，使用导数或者就地求解的方法来解题。

同时也要注意数学逻辑推理，分类讨论等方法。

4. 2017年山东高考英语试题这道英语试题也被认为是近年来高考难题之一，试题要求考生在一个英语文章中识别并纠正文章中的语法错误。

这种题目需要考生在语法、词汇、逻辑思维等方面具有一定的能力和认知水平。

参考内容：这种英语试题需要考生在平时的学习过程中多进行语法练习，并对英语文章的结构、语言和逻辑进行深入理解和掌握。

2023年高考全国乙卷数学(理科数学)真题_解析版

2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设252i1i i z +=++，则z =（）A.12i -B.12i+ C.2i- D.2i+【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故选：B.2.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（）A.()U M N ðB.U N M ðC.()U M N ðD.U M N⋃ð【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【详解】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确；{}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.故选：D.4.已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为()e e 1xaxx f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x xx x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.5.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16C.14D.12【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.故选：C.6.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分步乘法公式则共有1265C A 120⋅=种，故选：C.8.已知圆锥PO 的底面半径为，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB 的面积等于4，则该圆锥的体积为（）A.πB.C.3πD.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在AOB 中，120AOB ∠=o ，而OA OB ==AC 中点C ，连接,OC PC ，有,OC AB PC AB ⊥⊥，如图，30ABO = ∠，3,232OC AB BC ===，由PAB 的面积为得193324PC ⨯⨯=，解得332PC =，于是PO ==，所以圆锥的体积2211ππ33V OA PO =⨯⨯=⨯=.故选：B9.已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D --为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.15B.5C.5D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE AB ⊥，又ABD △是等边三角形，则DE AB ⊥，从而CED ∠为二面角C AB D --的平面角，即150CED ∠= ，显然,,CE DE E CE DE ⋂=⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ⋂平面ABC CE =，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2AB =，则1,CE DE ==，在CDE 中，由余弦定理得：CD =由正弦定理得sin sin DE CD DCE CED =∠∠，即sin DCE ∠==显然DCE ∠是锐角，cosDCE ∠=所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A.－1B.12-C.0D.12【答案】B 【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{}n a 中，112π2π2π(1)(333n a a n n a =+-⋅=+-，显然函数12π2πcos[(33y n a =+-的周期为3，而N n *∈，即cos n a 最多3个不同取值，又{cos |N }{,}n a n a b *∈=，则在123cos ,cos ,cos a a a 中，123cos cos cos a a a =≠或123cos cos cos a a a ≠=，于是有2πcos cos()3θθ=+，即有2π()2π,Z 3k k θθ++=∈，解得ππ,Z 3k k θ=-∈，所以Z k ∈，2ππ4πππ1cos(π)cos[(πcos(π)cos πcos πcos 333332ab k k k k k =--+=--=-=-.故选：B11.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.12.已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC的中点，若PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A.122 B.1222+C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA PD ⋅1sin 2224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，或PA PD ⋅12224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭然后结合三角函数的性质即可确定PA PD ⋅的最大值.【详解】如图所示，1,OA OP ==，则由题意可知:45APO ∠= ，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时，设=,04OPC παα∠≤≤，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222cos sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-12sin 2224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤≤，则2444πππα-≤-≤∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设=,04OPC παα∠≤≤，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭1cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭2222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+1sin 2224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭04πα≤≤，则2442πππα≤+≤∴当242ππα+=时，PA PD ⋅ 有最大值122+.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.14.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.15.已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =______.【答案】2-【解析】【分析】根据等比数列公式对24536a a a a a =化简得11a q =，联立9108a a =-求出32q =-，最后得55712a a q q q =⋅==-.【详解】设{}n a 的公比为()0q q ≠，则3252456a q a a q a a a a ==⋅，显然0n a ≠，则24a q =，即321a q q =，则11a q =，因为9108a a =-，则89118a q a q ⋅=-，则()()3315582q q ==-=-，则32q =-，则55712a a q q q =⋅==-，故答案为：2-.16.设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是______.【答案】51,12⎫-⎪⎪⎣⎭【解析】【分析】原问题等价于()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()1ln 1ln xx a a a a ++≥-，即()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，故()01ln 1ln 1a a a a +⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，而()11,2a +∈，故()ln 10a +>，故()ln 1ln 01a a a ⎧+≥-⎨<<⎩即()1101a a a ⎧+≥⎨<<⎩，故5112a -≤<，结合题意可得实数a 的取值范围是51,12⎫-⎪⎪⎣⎭.故答案为：51,12⎫-⎪⎪⎣⎭.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，i y （1,2,10i =⋅⋅⋅），试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记(1,2,,10)i i i z x y i =-= ，记1z ，2z ，…，10z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出,x y ，再得到所有的i z 值，最后计算出方差即可；（2）根据公式计算出的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =-=-=，i i i z x y =-的值分别为:9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==【小问2详解】由（1）知:11z =，==，故有z ≥所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【答案】（1）2114；（2）10.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC 的值为BC =，然后由余弦定理可得57cos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得21sin 14B =；(2)由题意可得4ABD ACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =，222cos 214a c b B ac +-===，21sin 14B ==.【小问2详解】由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABDACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ △△.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O，AD =，点F 在AC 上，BFAO ⊥.（1）证明：//EF 平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角D AO C --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+ ，12AO BA BC =-+，BF AO ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= ，解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，, //EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .【小问2详解】由（1）可知//EF OD ，则2AO DO ==，得2AD ==，因此222152OD AO AD +==，则OD AO ⊥，有EF AO ⊥，又,AO BF BF EF F ⊥= ，,BF EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面B EF .【小问3详解】过点O 作//OH BF 交AC 于点H ，设AD BE G = ，由AO BF ⊥，得HO AO ⊥，且1 3FH AH =，又由（2）知，OD AO ⊥，则DOH ∠为二面角D AO C --的平面角，因为,D E 分别为,PB PA 的中点，因此G 为PAB 的重心，即有11,33DG AD GE BE ==，又1 3FH AH =，即有32DH GF =，2315422cos ABD +-∠==PA =，同理得62BE =，于是2223BE EF BF +==，即有BE EF ⊥，则22216653223GF ⎛⎛=⨯+= ⎝⎭⎝⎭，从而153GF =，31515232DH =⨯=，在DOH △中，1,2222OH BF OD DH ====，于是6315444cos 26322DOH +-∠=-，2sin 2DOH ∠==，所以二面角D AO C --的正弦值为2.20.已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的离心率为53，点()2,0A -在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，进而可得结果；（2）设直线PQ 的方程，进而可求点,M N 的坐标，结合韦达定理验证2M Ny y +为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．21.已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围.【答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）存在11,22a b ==-满足题意，理由见解析.（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a 的方程，解方程可得实数a 的值，最后检验所得的,a b 是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论0a ≤，12a ≥和102a <<三中情况即可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =-时，()()11ln 1f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()2111ln 111x f x x x x ⎛'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭，据此可得()()10,1ln 2f f '==-，函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--，即()ln 2ln 20x y +-=.【小问2详解】由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数的定义域满足1110x x x ++=>，即函数的定义域为()(),10,-∞-⋃+∞，定义域关于直线12x =-对称，由题意可得12b =-，由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取32m =可得()()12f f =-，即()()11ln 22ln 2a a +=-，则12a a +=-，解得12a =，经检验11,22ab ==-满足题意，故11,22a b ==-.即存在11,22a b ==-满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点;令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax-++++=，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，()()()12ln 1,1g x ax x g x x '=''=-+-+当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意;当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()''0,g x g x >'在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意；当102a <<时，由()''1201g x a x =-=+可得1=12x a -，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减，当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭'，令()()1ln 01m x x x x =-+<<，则()10x m x x -+'=>，函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=，据此可得1ln 0x x -+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫-=-+< ⎪'⎝⎭，令()()2ln 0h x x x x x =-+>，则()221x x h x x-++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤-(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=-+>-+-+=-+⎣⎦'，()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤->---+-=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '()0,∞+上存在唯一零点0x .当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()000g x g <=.令()11ln 2n x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()22211111022x n x x x x--⎛⎫=-+=≤ ⎪⎝⎭'，则()n x 单调递减，注意到()10n =，故当()1,x ∈+∞时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，从而有11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++()()211>1121ax x x x x ⎡⎤+-+⨯+-⎢⎥+⎣⎦21122a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令211022a x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得2x =，所以0g >，所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；（2）根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.【小问2详解】因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞.【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-.（1）求不等式()6f x x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积.【答案】（1）[2,2]-；（2）6.【解析】【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-【小问2详解】作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= .。

2022年全国高考数学(理科)真题及答案解析

2022年高考（乙卷）数学（理科）真题及答案解析一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则( )A. 2∈MB. 3∈MC. 4∉MD. 5∉M2.已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则( )A. a=1，b=−2B. a=−1，b=2C. a=1，b=2D. a=−1，b=−23.已知向量a，b满足|a⃗|=1，|b⃗ |=√3，|a⃗−2b⃗ |=3，则a⃗·b⃗ =( )A. −2B. −1C. 1D. 24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n}:b1=1+1a1，b2=1+1α1+1a2，31231111bααα=+++，⋯，依此类推，其中a k∈N∗(k=1,2,⋯).则( )A. b1<b5B. b3<b sC. b6<b2D. b4<b75.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=( )A. 2B. 2√2C. 3D. 3√26.执行右边的程序框图，输出的n=( )A. 3B. 4C. 5三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)．(1)证明：2a 2=b 2+c 2;(2)若a =5，cosA =2531，求ΔABC 的周长．18. 如图，四面体ABCD 中AD ⊥CD ，AD =CD ，∠ADB =∠BDC ，E 为AC 中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD;(2)设AB =BD =2，∠ACB =600，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成角的正弦值．19. 某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积(心位：m 2)和材积量(m 3)，得到如下数据：样本数号i 12345678910 总和根部横截面积x i 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量y i0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.403.9并计算得∑x i 210i=1=0.038，∑y i 210i=1=1.6158，∑x i 10i=1y 1=0.2474．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量： (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r =∑(x i −x )n i=1(y i −y )√∑(x i −x )2ni=1∑(y i −y )2n i=1，√1.896≈1.377．20. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过A(0,−2)，B(32,−1)两点(1)求E 的方程;(2)设过点P(1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，证明：直线HN 过定点． 21. 已知函数f(x)=ln(1+x)+axe −x ．(1)当a =1时，求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程：解：由题设，|a⃗−2b⃗ |=3，得|a⃗|−4a⃗⋅b⃗ +4|b⃗ |2=9，代入|a⃗|=1，|b⃗ |=√3，有4a⃗⋅b⃗ =4，故a⃗·b⃗ =14.【答案】D【解析】【分析】本题考查社会生活中的数列的比较大小，考查运算推导能力，属于基础题．利用递推关系进行大小的比较．【解答】解：由已知b1=1+1a1，b2=1+1a1+1a2，1a1>1a1+1a2，故b1>b2;同理可得b2<b3，b1>b3,又因为1a2>1a2+1a3+1a4，故b2<b4，于是得b1>b2>b3>b4>b5>b6>b7>...，排除A．1 a2>1a2+1a3+...1a6，故b2<b6，排除C，而b1>b7>b8，排除B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题．【解答】解：易知抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0)，于是有|BF|=2，故|AF|=2，注意到抛物线通径2p=4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥x轴，于是有|AB|=√22+22=2√2．6.【答案】B【解析】8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列前 n 项和中的基本量计算，属于基础题．根据题干列出等式求得 a 1 与 q ，进而求出 a 6 ．【解答】解：设等比数列 {a n } 首项 a 1 ，公比 q ．由题意， {a 1+a 2+a 3=168a 2−a 5=42 ，即 {a 1(1+q +q 2)=168a 1q(1−q 3)=42 ，即 {a 1(1+q +q 2)=168a 1q(1−q)(1+q +q 2)=42解得， q =12 ， a 1=96 ，所以 a 6=a 1q 5=3 ．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥体积，最值计算．【解答】解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是边长为 a 的正方形，底面所在圆面的半径为 r ，则 r =√22a ，所以该四棱锥的高 ℎ=√1−a 22，所以体积V =13a 2√1−a 22，设 a 2=t (0<t <2) ，V =13√t 2−t32 ， (t 2−t 32)′=2t −3t 22，当 0<t <43 ， (t 2−t 32)′>0 ，单调递增，当 43<t <2 ， (t 2−t 32)′<0 ，单调递减，所以当 t =43 时， V 取最大，此时 ℎ=√1−a22=√33，10.【答案】D【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式的计算，属于中档题．根据题意计算出P甲，P乙，P丙，然后作差比较大小．【解答】解：设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙由题意P甲=p1[p2(1−p3)+p3(1−p2)]=p1p2+p1p3−2p1p2p3，P乙=p2[p1(1−p3)+p3(1−p1)]=p1p2+p2p3−2p1p2p3，P丙=p3[p1(1−p2)+p2(1−p1)]=p1p3+p2p3−2p1p2p3，所以P丙−P甲=p2(p3−p1)>0，P丙−P乙=p1(p3−p2)>0，所以P丙最大．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及直线与圆相切的性质，属于中档题．【解答】解：由题意，点N在双曲线右支.记切点为点A，连接AD，则AD⊥MN，|AD|= a，又|DF1||=c，则|AF1|=√c2−a2=b.过点F2作F2B⊥MN交直线MN于点B，连接F2N，则F2B//DA，又点D为F1F2中点，则|F2B|=2|DA|=2a，|F1B|=2|AF1|= 2b．由cos∠F1NF2=35，得sin∠F1NF2=45，tan∠F1NF2=43所以|F2N|=|F2B|sin∠F1NF2=5a2，|BN|=|F2B|tan∠F1NF2=3a2．故|F1N|=|F1B|+|BN|=2b+3a2，由双曲线定义，|F1N|−|F2N|=2a，则2b−a=2a，即ba =32，所以e=√1+b2a2=√1+94=√132.(此题是否有另外一解，待官方公布)12.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的对称性，周期性，属于拔高题．【解答】解：若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，则g(2−x)=g(2+x)，因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(−x)+g(2+x)=5，故f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数.由g(2)=4，f(0)+g(2)=5，得f(0)=1.由g(x)−f(x−4)=7，得g(2−x)= f(−x−2)+7，代入f(x)+g(2−x)=5，得f(x)+f(−x−2)=−2，f(x)关于点(−1,−1)中心对称，所以由于E 为AC 中点∴EF ⊥AC 当ΔAFC 的面积最小时∴EF ⊥BD在RtΔDEB 中，∵BE =√3，DE =1∴EF =√32，BF =32如图，以点E 为坐标原点，直线AC 、EB 、ED 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． C(−1,0,0)、A(1,0,0)、B(0,√3,0)、D(0,0,1)、F(0,√34,34)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,1)、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,0) ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√34,34)设平面ABD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z) 可得{BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0设y =1∴m ⃗⃗⃗ =(√3,1,√3)设m⃗⃗⃗ 与CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为α，CF 与平面ABD 所成角的为θ ∴sinθ=|cosα|=|m ⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |·|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=4√37所以CF 与平面ABD 所成角的正弦值为4√37．【解析】本题考查面面垂直的判定，及线面角的求解，属于中档题．19.【答案】解：(1)设这种树木平均一课的根部横截面积为x ，平均一个的材积量为y ，则x =0.610=0.06，y =3.910=0.39．(2)r =∑x i n i=1y i −nx y√(∑x i 2n i=1−nx 2)(∑y i 2n i=1−ny 2)=0.2474−10×0.06×0.39√0.038−10×0.062√1.6158−10×039)2=0.0134√0.002×0.0948=0.01340.01×√1.896=0.01340.01377=0.97； (3)设从根部面积总和为X ，总材积量为Y ，则XY =xy ，故Y =3.90.6×186=1209(m 3). 【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题．20.【答案】解：(1)设E 的方程为x 2a 2+y2b 2=1，将A(0,−2)，B(32,−1)两点代入得。

2024 年高考全国甲卷数学(理科)真题卷含答案

2024年高考全国甲卷数学（理）一、单选题1．设5i z =+，则()i z z +=（）2．集合{}1,2,3,4,5,9,A BA ==，则∁AA (AA ∩BB )=（）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,53．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥−−≤ +−≤ ，则5z x y =−的最小值为（）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（） A ．2− B ．73C ．1D ．25．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）6．设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（） A ．16B ．13C ．12D ．237．函数()()2e e sin x x f x x x −=−+−在区间[2.8,2.8]−的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．8．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α+=（）A ．1B ．1−CD ．19．已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =−”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =−”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =−”是“//a b”的充分条件是两个平面，是两条直线，且①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误； ③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ∩=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确，故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32BC D12．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++−=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（） A ．2B ．3C ．4D ．【答案】C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =−，代入直线方程0ax by c ++=得 20ax by b a ++−=，即()()120a x b y −++=，令1020x y −= += 得12x y = =− ，故直线恒过()1,2−，设()1,2P −，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，故选C二、填空题13．1013x +的展开式中，各项系数的最大值是．14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r −和()213r r −，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙．15．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ．为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是．三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间26 24 0 50乙车间70 28 2 100总计96 52 2 150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d−=++++()2P K k≥0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.82818．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na −−，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =−+−．(1)当2a =−时，求()f x 的极值； 0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为cos 1ρρθ+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a = =+（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.满足．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.。

1984年高考数学全国卷文科及其参考答案

3
（C）
奎屯
分;不选，选错
（B）
（A）
2
1
（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角
（D）是第二象限角
二．（本题满分 24 分）本题共 6 小题，每一个小题满分 4 分只要求新疆王新敞奎屯
直接写出结果）
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2 与 4 的矩形，求圆柱的体积新疆王新敞奎屯
答： 4 或 8 .
三．（本题满分 12 分）本题只要求画出图形新疆王新敞奎屯
1．设
H
(x)

0,当x 1,当x

0, 0,
画出函数
奎屯
y=H(x-1)的图象新疆王新敞奎屯
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，过力根管保据线护生0高不产中仅工资可艺料以高试解中卷决资配吊料置顶试技层卷术配要是置求指不，机规对组范电在高气进中设行资备继料进电试行保卷空护问载高题与中2带2资，负料而荷试且下卷可高总保中体障资配2料3置2试3时各卷，类调需管控要路试在习验最2；3大2对3限2设题度备到内进位来行。确调在保整管机使路组其敷高在设中正过资常程料工1试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且2作5尽5下2可2都2能护可地1以关缩正于小常管故工路障作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保连破护接坏进管范行口围整处，核理或对高者定中对值资某，料些审试异核卷常与弯高校扁中对度资图固料纸定试，盒卷编位工写置况复.进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

1989 1994年高考数学试题全国卷

1989 1994年高考数学试题全国卷1989-1994年高考数学试题全国卷多年来，高考数学试题整理（自考）试卷版本1989年试题高考数学试题全国卷（科学、工业、农业和医药）一、选择题:每一个小题都给出代号为a、b、c、d的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.【】【】（2）与函数y=x具有相同图像的函数【】【】河北迁安一中(a)8(b)16(c)32(d)48【】【】【】（8）假设球的两个平行部分的面积分别为5π和8π，它们位于球中心的同一侧，距离为1，那么球的半径为（a）4（b）3（c）2（d）5[]历年高考数学试题整理（自我）试卷版【】【】（11）假设f（x）=8+2x-x2，如果G（x）=f（2-x2），那么G（x）（a）是区间（-1,0）上的递减函数，（b）是区间（0,1）上的递减函数，（c）是区间（-2,0）上的递增函数，（d）是区间（0,2）上的递增函数。

[](12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有（a） 60（b）48（c）36（d）24[]二、填空题:只要求直接填写结果.（14）不等式的解集│ x2-3x│ > 4是河北迁安一中（16）已知（1-2x）7=A0+a1x+a2x2++A7x7，所以a1+A2++a7=。

(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,a、b两点分别在两底面的圆周上,并且ab=5,那么直线ab与轴oo＇之间的距离等于.三、解决问题历年高考数学试题整理（自我）试卷版（一）验证：顶点A1在底部ABCD上的投影o位于∠ 令人不快的（二）求平行六面体的体积(21)自点a(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.（22）给定a>0和a≠ 1.试着找出使方程loga（x-ak）=loga2（x2-a2）可解的K值范围河北迁安一中（23）是否存在常数a、B、C，使得方程对一切自然数n都成立？并证明你的结论.（24）设f（x）是区间（-上定义的函数∞, + ∞) 以2为周期。

2005年最难高考数学

2005年最难高考数学号称“全国高考史上最难高考数学”的“84年数学卷”，据统计，得分不足50的人数达到80%以上，而全国的平均分只有27分……结合当时的教学背景，我们不难想象为何84年高考数学题是“地狱级别”的。

首先，在上世纪80年代，高考制度刚刚得以恢复，而各种有关于教学的书籍资料尚未拟定完善，考生的解题水平往往只停留在“举一反三”，大部分试题是根据教科书上的题目“变形”而成的，因此，只要掌握了解题思路和基本理论，就可以解答大部分考题。

可想而知，84年的数学高考题之所以难度大，是在于其“反其道而行之”。

观察考题我们可以发现，大部分题目是“活题”，需要灵活变通才能解答，甚至部分题涉及没有学过的知识，需要加以证明得出。

考生面对诸如此类的考题，自然不能一时半会得到思路，而考场上气氛紧张，碰到无法解答的考题将严重影响部分考生的心态，从而导致他们发挥失常。

除此之外，恐怕就是84年的数学考题确实难度较大，这体现在其计算量大、证明过程复杂等方面。

即便时至今日，当部分84年的数学考题重新摆上教学白板，多数学生也不能完美地解答出来……此后，数学教授对“84年数学高考题难度过大”一事提出了质疑：这些考题不适合用来高考，适合参加数学竞赛。

利用难度大的试题“打垮”近乎全部考生，意义何在呢？的确，意义并不大。

84年考题虽然让考生们重新“认知了自我”，却也造成了一系列的影响，如各大高校的录取分数线暴跌、老师、学生和家长怨声一片等。

此后，高考数学的难度逐年下降，相比当年，如今的数学不论从难度系数和要求掌握知识量来看，都远不如过去难度大。

当然，“活题”仍然是命题人所喜爱的出题方式，如2019年的“断臂维纳斯”，2020年的“胡夫金字塔”，都给全国各地的考生来了一个“下马威”。

然而，笔者认为，出题人的目的并不是为了难倒众考生，而是为了向大家证明，数学并不是一门没有温度的学科，它被融于现实生活，体现在诸多方面，无处不在，富有乐趣！结语近年来，关于数学的实用性的质疑声不断，“难道我们会用函数来买菜吗”？的确，对于绝大多数考生而言，数学只是一门为了得分的学科，许多人并没有兴趣去深入了解它的魅力。