1984年全国统一高考数学试卷(理科)

1984年全国统一高考数学试卷（理科)

一、选择题（共5小题，每小题3分,满分15分)

1．（3分）数集X={（2n+1）π，n是整数｝与数集Y={（4k±1）π,k是整数｝之间的关系是（）A．X⊂Y B．X⊃Y C．X=Y D．X≠Y

2．（3分）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么(）

A．F=0，G≠0，E≠0 B．E=0，F=0，

G≠0 C．G=0，F=0，

E≠0

D．G=0,E=0,F≠0

3．（3分)如果n是正整数，那么的值（）

A．一定是零B．一定是偶数

C．是整数但不一

定是偶数

D．不一定是整数

4．（3分）arccos（﹣x)大于arccosx的充分条件是(）

A．x∈（0，1]B．x∈（﹣1,0）C．x∈[0，1］D．

5．(3分）如果θ是第二象限角,且满足,那么()

A．是第一象限角

B．是第三象限角

C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D．是第二象限角

二、解答题（共15小题，满90分）

6．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

7．（4分）函数log0。5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？

8．（4分）求方程的解集．

9．(4分）求式子(|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．

10．（4分)求的值．

11．（4分）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．

13．（6分）画出极坐标方程的曲线．

14．（12分)已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

15．（12分）设c，d,x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．

16．（12分）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．

17．（9分）求经过定点M(1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．

18．（12分）在△ABC中,∠A，∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC 的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B,C的距离的平方和的最大值与最小值．

19．(12分）设a＞2，给定数列｛x n},其中x1=a，求证：

（1）x n＞2，且；

（2)如果a≤3，那么．

20．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

1984年全国统一高考数学试卷(理科）

参考答案与试题解析

一、选择题(共5小题，每小题3分,满分15分）

1．（3分）数集X=｛（2n+1）π，n是整数}与数集Y=｛（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（）A．X⊂Y B．X⊃Y C．X=Y D．X≠Y

解答：解：∵数集X={(2n+1）π，n是整数｝

∴其中的元素是π的奇数倍．

∵数集Y=｛（4k±1）π，k是整数}

∴其中的元素也是π的奇数倍．

∴它们之间的关系是X=Y．

故选C．

点评: 本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,认清集合的特征．

2．（3分）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）

A．F=0，G≠0,E≠0 B．E=0，F=0，

G≠0 C．G=0,F=0,E≠0 D．G=0，E=0，

F≠0

考点：圆的一般方程．

分析: 圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径,F=0，E≠0

解答: 解:圆与x轴相切于原点,则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径,F=0，E≠0．故选C．

点评: 本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．

3．（3分)如果n是正整数，那么的值(）

A．一定是零B．一定是偶数

C．是整数但不一

定是偶数

D．不一定是整数

考点: 进行简单的合情推理．

专题：分类讨论．

分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以对n的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．

解答：解：∵n是正整数

①当为为奇数时，n2﹣1必为8的整数倍，不妨令n2﹣1=8Z，Z∈N＊

则=2Z，Z∈N＊

即此时的值为偶数．

②当为为偶数时，1﹣（﹣1）n=0

则=0

故的值一定是偶数

故选B

点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新"而不“难”，处理的方法一般为:根据新运算的定义,将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．

4．（3分）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是(）

A．x∈（0，1]B．x∈（﹣1，0）C．x∈［0，1］D．

专题: 计算题；压轴题；分类讨论;转化思想．

分析：充分考虑arccosx的范围，推出arccos（﹣x)的范围，然后确定arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件

解答: 解:∵arccosx∈［0，π]，

（1）arccosx∈[0,）时，x∈∈（0，1］，arccos（﹣x）∈（，π]＞arccosx，

（2)arccosx∈（，π］时，x∈[﹣1，0），arccos（﹣x）∈[0，）＜arccosx，

（3）arccosx=时x=0，arccosx==arccos（﹣x）,

故选A．

点评：本题考查反三角函数的运用,考查分类讨论的思想,是基础题．

5．（3分）如果θ是第二象限角，且满足，那么（)

A．是第一象限角

B．是第三象限角

C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D．是第二象限角

考点：半角的三角函数．

专题: 计算题；压轴题．

分析：先根据θ的范围确定的范围，再由可确定的大小关系，进而确定的象限．

解答：解：∵θ是第二象限角∴∴（k∈Z）∴当k为偶数时,在第一象限；当k为奇数时,在第三象限;

∵==

∴

∴是第三象限角

故选B．

点评：本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系．属基础题．

二、解答题(共15小题，满90分）

6．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：计算题；分类讨论．

分析：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．

解答: 解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，