材料失效准则详解

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Chapter 2 材料失效理論(Material Failure Theories )

資料來源

1. 吳嘉祥等譯,機械元件設計,第八版,高立圖書有限公司,台北縣,2006,

2. Robert L. Norton, Machine Design An Integrated Approach, 3rd Edition, Pearson Prentice Hall, Person Education Inc 。, Upper Saddle River, New Jersey, 2006。

1. 材料分類 [1]

延性材料 (Ductile Materials )

● 材料受力延長量(應變)可達5% (或以上)

● 材料對滑動(Slip )之阻抗<對斷裂(Fracture )之阻抗

Material Failure (材料失效)因降伏(Yielding )而發生,此時應力到達Yielding Stress (降伏強度或Yielding Strength ) ●

多數延展性材料:yield 拉伸 yield 壓縮

脆性材料 (Brittle Materials)

● 材料受力伸長量無法達到5%,(材料在應變到達5%前即已失效) ● 材料的斷裂阻抗<滑動阻抗

Material Failure 因斷裂而發生,此時應力到達Ultimate Stress (極限強度或Ultimate Strength )

多數脆性材料:u 拉伸 u 壓縮

2。 延展性材料的材料失效理論(Failure Theories of Ductile Materials ) [1] (a )最大法向應力失效理論(Max. Normal Stress Failure Theory) =〉若不符合以下三個不等式關係中任何一個,即為Failure

fs ypt 1fs ypc N S N S ≤≤σ (1a) fs ypt 2fs ypc N S N S ≤≤σ (1b) fs

ypt 3fs

ypc N S N S ≤

≤σ (1c )

上式中,1

, 2, 3

為主應力(Principle Stress ),下標t 代表tension (拉伸)、

下標c 代表compression (壓縮),其他符號: .上式應用於延性材料

S ypt :拉伸降伏強度、S ypc :壓縮降伏強度、N fs :安全係數 .應用於脆性材料

S ypt 改為S ut (拉伸極限強度)、S yp c 改為S uc (壓縮極限強度)、N fs :安全係數

(b )最大應變能失效理論(Max. Strain Energy Failure Theory ) 應變能(Strain Energy)常用U 代表之。

U = 應力所做之功 = 內力所做之功

()

xdydz dV dV,2

1

U zx zx yz xy y y x x =γτ+γτ+εσ+εσ⎰=

dx, dy , dz 為物體內一個小立方體之尺寸,dv 為此小立方的體積,

故dv=dxdydz

若以主應力來計算:

()dxdydz 2-2E

1U 3132212

32221σσσσσσνσσσ++++⎰=

定義:單位體積的應變能為u , 故 dv U

u =

故()[]

1332212

322212-2E

1u σσσσσσνσσσ++++=

若物體在(1, 2, 3三個主應力方向中的)單一軸向受力試驗中,則在發生Failure 時的單位體積應變能為

()2

yp yp S 2E

1U =

S

yp

:在單軸向測試中發生Failure 時之應力強度

加上安全係數N fs 因素後: * 若2

fs

yp 1yp )N S (2E 1U U =≤,則不發生Failure,

亦即,

* 若滿足

(2)

則不會因應變能過高而Failure ,(未達因應變過高而Failure 之條件)

(c)最大畸變能Failure Theory (Von Mises-Hencky 理論)

畸變能(Distortion Energy), u d ,又稱剪應變能(Shear —Strain Energy ) 單位體積應變能(u ) =單位體積應變能(u v ) +單位剪應變能(u d )

定義()321v

3

1

σ+σ+σ=σ,而與σv 對應的應變為εv ,σv 造成之應變能(u v )為:

()()()()2321v v v v

v v v v v 321v E

62123u E

2-12331

23.21u σ+σ+σν

-=

εσ=∴σν=εεσεσσσ=ε⋅σ+σ+σ= =.

++.321 附註:上式中代表浦松比,下標v 代表體積。

但 ()[]

133221232221221σσσσσσνσσσ++-++=

E

u ∴()

1332212

32221v d

E

31u u u σσ-σσ-σσ-σ+σ+σν+=-= (3a )

在材料測試中,僅(1, 2, 3三個主應力方向中的)單一軸向受力,若軸向應力強度達S yp 時,發生Failure,此時的畸變能為

()2

yp yp

d S 3E

1u ν+=

(3b )

由3a 與3b 兩式可做以下結論:

若要求不因剪應變能(畸變能)過高,而造成Failure ,需有以下條件

2yp 1332212

32221S ---≤++σσσσσσσσσ

若再加入安全係數之考量,則不發生Failure 之條件為:

2

fs

yp 133221232221N

S ---⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≤++σσσσσσσσσ (3)

⎪⎩⎪

⎨⎧σ+

σ=σσ+σ=σσ+

σ=σ'3

v 3

'2

v 2'1

v 1主應力 造成體積應變之應力

剪應力

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