材料失效准则详解

Chapter 2 材料失效理論(Material Failure Theories ）
資料來源
1. 吳嘉祥等譯，機械元件設計，第八版，高立圖書有限公司，台北縣，2006，
2. Robert L. Norton, Machine Design An Integrated Approach, 3rd Edition, Pearson Prentice Hall, Person Education Inc 。

, Upper Saddle River, New Jersey, 2006。

1. 材料分類 ［1]
延性材料 （Ductile Materials ）
● 材料受力延長量(應變)可達5％ （或以上）
● 材料對滑動(Slip ）之阻抗＜對斷裂(Fracture ）之阻抗
●
Material Failure (材料失效）因降伏(Yielding ）而發生,此時應力到達Yielding Stress (降伏強度或Yielding Strength ） ●
多數延展性材料：yield 拉伸 yield 壓縮
脆性材料 (Brittle Materials)
● 材料受力伸長量無法達到5%，（材料在應變到達5％前即已失效) ● 材料的斷裂阻抗＜滑動阻抗
●
Material Failure 因斷裂而發生，此時應力到達Ultimate Stress (極限強度或Ultimate Strength ）
●
多數脆性材料：u 拉伸 u 壓縮
2。

延展性材料的材料失效理論(Failure Theories of Ductile Materials ） ［1］ (a ）最大法向應力失效理論(Max. Normal Stress Failure Theory) =〉若不符合以下三個不等式關係中任何一個，即為Failure
fs ypt 1fs ypc N S N S ≤≤σ （1a) fs ypt 2fs ypc N S N S ≤≤σ (1b) fs
ypt 3fs
ypc N S N S ≤
≤σ (1c ）
上式中,1
, 2， 3
為主應力(Principle Stress ），下標t 代表tension （拉伸）、
下標c 代表compression (壓縮），其他符號: ．上式應用於延性材料
S ypt ：拉伸降伏強度、S ypc ：壓縮降伏強度、N fs ：安全係數 ．應用於脆性材料
S ypt 改為S ut （拉伸極限強度）、S yp c 改為S uc （壓縮極限強度)、N fs ：安全係數
(b ）最大應變能失效理論(Max. Strain Energy Failure Theory ） 應變能（Strain Energy)常用U 代表之。

U = 應力所做之功 = 內力所做之功
()
xdydz dV dV,2
1
U zx zx yz xy y y x x =γτ+γτ+εσ+εσ⎰=
dx, dy ， dz 為物體內一個小立方體之尺寸,dv 為此小立方的體積,
故dv=dxdydz
若以主應力來計算：
()dxdydz 2-2E
1U 3132212
32221σσσσσσνσσσ++++⎰=
定義：單位體積的應變能為u ， 故 dv U
u =
故()[]
1332212
322212-2E
1u σσσσσσνσσσ++++=
若物體在(1, 2, 3三個主應力方向中的)單一軸向受力試驗中，則在發生Failure 時的單位體積應變能為
()2
yp yp S 2E
1U =
S
yp
：在單軸向測試中發生Failure 時之應力強度
加上安全係數N fs 因素後： * 若2
fs
yp 1yp )N S (2E 1U U =≤,則不發生Failure,
亦即，
* 若滿足
（2)
則不會因應變能過高而Failure ，(未達因應變過高而Failure 之條件)
(c)最大畸變能Failure Theory (Von Mises-Hencky 理論)
畸變能(Distortion Energy), u d ，又稱剪應變能(Shear —Strain Energy ） 單位體積應變能（u ) =單位體積應變能(u v ) +單位剪應變能（u d ）
定義()321v
3
1
σ+σ+σ=σ，而與σv 對應的應變為εv ，σv 造成之應變能(u v )為：
()()()()2321v v v v
v v v v v 321v E
62123u E
2-12331
23.21u σ+σ+σν
-=
εσ=∴σν=εεσεσσσ=ε⋅σ+σ+σ= ＝．
＋＋．３２１ 附註:上式中代表浦松比，下標v 代表體積。

但 ()[]
133221232221221σσσσσσνσσσ++-++=
E
u ∴()
1332212
32221v d
E
31u u u σσ-σσ-σσ-σ+σ+σν+=-= （3a ）
在材料測試中，僅(1， 2， 3三個主應力方向中的）單一軸向受力，若軸向應力強度達S yp 時，發生Failure,此時的畸變能為
()2
yp yp
d S 3E
1u ν+=
（3b ）
由3a 與3b 兩式可做以下結論：
若要求不因剪應變能（畸變能)過高，而造成Failure ,需有以下條件
2yp 1332212
32221S ---≤++σσσσσσσσσ
若再加入安全係數之考量，則不發生Failure 之條件為:
2
fs
yp 133221232221N
S ---⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤++σσσσσσσσσ （3）
⎪⎩⎪
⎨⎧σ+
σ=σσ+σ=σσ+
σ=σ'3
v 3
'2
v 2'1
v 1主應力 造成體積應變之應力
剪應力
(d)最大剪應力Failure 理論(Max 。

Shear Stress Failure Theory 又稱Tresca —Guest Theory)
物體內部最大剪應力超過單軸向試驗發生Failure 時的主剪應力,即稱發生Failure ．
．參見筆記第1—7頁
根據σij (亦即σxx , σyy ， σzz ， xy ， yz ， zx )可求出該應力狀態下的主應力σ1，σ2，σ3，及最大剪應力τmax
若σ1，σ2，σ3三個主應力維持σ3≦σ2≦σ1之關係，則
2
-3
1max σστ=
（4a)
Tresca-Guest Failure 理論，同時預測，單軸向應力與剪應力關係如下:
對延展性材料 S ys = 0。

5 S yp
(4b)
若物體在單軸向試驗發生Failure 時的主剪應力為S ys ,且設計安全係數設定為Nfs ，但因有4a 與4b 二關係式,
故當滿足以下關係式時，不發生Failure
fs
yp 31fs
yp N S -N S -≤
≤σσ
(4)
反之，若不滿足
fs
yp 31fs
yp N S -N S -≤
≤σσ關係式，則發生Failure
附註:
Von Mises —Hencky Failure Theory 預測,單軸向應力與剪應力關係如下： 在pure shear 狀況，（亦即 1 =τ=—3,2=0時） 由c 式,（設N fs =1）可得到以下關係式
S 3yp 21=σ 但 max 1τ=σ
tensile yield strength(伸張降伏強度) shear yield strength(剪應力降伏強度)
∴yp ys max 10.577S S 3
Sy =⇒τ==
σ
．四個Failure 預測理論(a)、（b ）、（c ）、（d)之比較 [1］ 相同點:
四者均假設材料是完全均勻(homogeneous ）、無方向性差異（isotropic)、無任何缺陷（defects ），包括細微裂紋、氣泡、雜質等（均會造成區域性的應力集中）。

相異點：
1. 最大法向應力Failure 理論,較適合用於脆性材料
2. 其餘三者，適合用於延展性材料
3. 三者中,畸變能Failure 理論與最大剪應力Failure 理論較準確,後二者中又以最大剪應力Failure 理論較保守。

．有關“脆性材料之Failure 理論”，請參閱文獻[2]有關Modified —Mohr Theory 之敘述，pp. 254—261。

Example 2—1 （[1］ P 。

114）
已知某物體中應力狀態(Stress State ）為x =2000 psi, y =2000 psi,, xy
=2000
psi ， 該物體的材質為#40灰鑄鐵，安全係數定為2。

0。

問該物體此時承受之應力是否安全或是否為Failure 狀態？
自p.747, 表14—16 ⇒ #40灰鑄鐵 ut σ=， uc σ= 由Mohr's Circle （莫爾園):
psi 000,1010)(6)2
4-20( )2
-(
22xy
2
2
y
X ==κ+=τ+σσ=γκκκ
psi 000,22221012)2(
y
x 1==+=++=κκκγσσσ psi y
x 000,221012)2
(
2==-=++=κκκγσσσ
因為只有x 與y 方向之應力，故為二維應力問題，故σ3 = 0
==fs
ut
fs
uc
N N σσ
?N N fs
ut
1fs
uc
滿足否σσσ≤
≤
Example 2—2 的簡化題
假設(a) 12—1例題之應力狀態為某物體之應力狀態，(b)該物體於單一軸向負荷測試中，發生Failure 時的軸向強度S yp 為386Mpa,(c) N fs 為3.0.試問 (1)若用畸變能Failure 理論來預測,此時是否已達Failure 狀態？
（2)若用最大剪應力Failure 理論來預測，此時是否已達Failure 狀態？
例題12-1應力狀態可寫成：
kpsi 0000400620zz ZY
zx
yz yy yx
xz xy
xx
ij ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡σσσσσσσσσ=σ
（1） 畸變能Failure 理論之推測：
據此可推算出三個主應力，　，　＝， ２0kpsi 2kpsi 2231=σσ=σ，參見Example 12—1. 由第3式：
psi in
cm cm m N m N Mpa Note kg kg 8.144154.210000112.28.911012
2
2221626
8=⨯⨯⨯⨯=：
=>已達畸變能Failure 條件,預測Failure 會發生#
（2）最大剪應力Failure 理論之推測:
由於　，　＝， ２0kpsi 2kpsi 2231=σσ=σ，S yp = 386 Mpa = 386x144。

8 psi ，N fs = 3: 檢算
fs
yp 31fs
yp N S -N -S ≤
σσ≤滿足否 =>
3。

延展性材料與脆性材料之表較（Comparisons on Ductile and Brittle Materials) ［2]
項目與說明延展性材料（Ductile
Material）脆性材料（Brittle Material）
1
應力應變關係Stress-Strain Relationship
2
拉伸試驗Tension to Failure
3
壓縮試驗Compression to Failure
4
扭轉試驗Torsion to Failure
5
彎曲試驗Bending to Failure
4. 破壞力學理論 ［2］
●
一般材料或多或少都有著小到無法以肉眼看到的細微裂紋(microcrack)之類的缺陷(defects)。

這些裂紋末端非常尖銳(sharp ），會造成應力集中（非常高的應力值）,應力集中因數（Stress Concentration Factor), K t ,之推算如下：
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=c a 21K t
(5)
●
應力在裂紋尖端區域有時會達到降伏(yielding ）程度,稱為局部降伏（延展性材料)或局部破壞（脆性材料）。

二次世界大戰期間一艘新造油輪尚未服勤即斷裂成兩段
●
若局部降伏區域相較於零件尺寸是非常小,則線性破壞力學(Linear —Elastic Fracture Mechanics ）可以適用。

簡介如下。

● 材料破壞的三種模式
●
●
在crack 尖端的Yielding ，會造成尖端周圍很小的區域（右圖半徑為r y 的區域)的材料，自彈性（elastic ） 行為變為塑性(plastic)行為,而在此區域內的應力值與應力強度因素(Stress Intensity Factor ），K,成正比. ●
模式 I 應力強度因素,K I ，參見下圖及參數定義，
- 當b 〉>a 時,a K al min no I πσ=
(6a ）
其中A
P
al
min no =σ稱為“標稱應力". - 如果a/b 0.4，上式的誤差在10％以內。

- 若b>>a 不成立，亦即crack 寬度a 相較於零件尺寸b 不是非常小，則
a K al min no I πσ⋅β= (6b)
此處
⎪⎭
⎫
⎝⎛π=βb 2a sec
模式 I 模式II 模式III
●
當crack 逐漸增長,crack 尖端的K I 值則一直增高(應力也增高)，K I 增高達材料的一個臨界值，叫做Fracture Toughness (K c )後，crack 長度會迅速增加，直到Failure 發生（斷裂發生).
● 上述三種破壞模式,各有其K c 值，故理論上一個材料有K Ic 、K IIc 、K IIIc 。

●
若安全係數為N fs ，針對第一種破壞模式，破壞力學失效理論(Fracture Mechanics Failure Theory)稱:
當滿足以下關係式時,材料不會因第一種模式的破壞(Fracture)而失效(Failure ）
fs Ic
I N K K
）
（7)
●
Crack 因受張力而增加長度，但壓縮力對crack 長度則無增長作用。

這也是脆性材料壓縮強度高於拉伸強度的原因。

●
下二圖中，左圖為破壞斷裂現象（斷裂面平整、邊緣尖銳)，右圖為造成此破壞斷裂的初始龜裂的放大圖。

●
多種鋼及鋁的K Ic 值如下表所示。

5。

幾何外形突變導致的應力集中［1]
●
零件幾何形狀發生突變,會造成應力分佈的重新分配,也會造成應力集中，分靜力狀態與動力狀態.
●
應力集中將發生在內圓角、開孔、缺口、鍵槽、插銷槽、工具壓痕、表面刮傷、表面雜質等處.
●
理論的幾何（或靜力)應力集中因素（Static Stress Concentration Factor) K t ［2]，有些書［1]用K 代表之，參見第5式,K (或K t ）之定義如下[1]:
al min no max
t K σσ=
（8a)
max
為在幾何形狀突變處（上圖B 點附近）的實際最大應力，nominal 是在斷面積較小的面上的平均應力。

（亦即上圖右半部斷面上的平均應力）
●
安全的設計是要求
fs yp al min no t N S K ≤
σ⋅ （延展性材料承受靜力負荷） （8b) fs
u
al min no t N S K ≤
σ⋅ （脆性材料承受靜力負荷）
（8c ）
max
為在幾何形狀突變處的實際最大應力
有幾何形狀突變的零件，當其承受週期性變動負荷而發展成材料疲勞Failure (參見第6節）或破壞Failure(參見第4節)的同時，另一項應力集中現象——Dynamic Stress Concentration ［2]--也可能(在幾何形狀突變附近)同時發生。

圖a 幾何突變零件承受靜態張力負荷時的
圖b 幾何突變零件承受靜態彎矩負荷時的
圖c 幾何突變零件承受靜態轉矩負荷時的K t
- 不同材料對應力集中有著不同的敏感度（Sensitivity),譬如，延展性材料（低
強度或較軟），其對應力集中的敏感度，較脆性材料為低，亦即前者較不容易產生嚴重的應力集中現象.
- 但是特殊的是，當材料內notch 的半徑趨近於零時(亦即接近crack 的狀態時），應力集中敏感度q 反而降低。

- 材料的缺口敏感度(Notch Sensitivity)， q, 實際上是缺口應力集中敏感度,被定義為：
1K 1K q t f --=
(9a ）
式中K f 為Fatigue （Dynamic ） Stress Concentration Factor ，稱為疲勞應力集中因數。

其計算式可寫成 )1K (q 1K t f -+=
(9b ） 而有 1q 0≤≤ 及 t f K K 1≤≤ 之關係式
（9c ）
- 對有幾何形狀突變情形的零件，若承受週期性動態負荷，則先根據幾何尺寸
確定其K t 值；然後根據材料，確定其q 值；再根據第9b 式,推算法向應力的K f 值(及剪應力的K fs ）；然後即可依據下式推算該零件承受之動態標稱應力（Dynamic Nominal Stress ）， dyn_nom ，或動態標稱剪應力dyn_nom 。

al min no f nom _dyn K σ=σ （10a) al min no fs nom _dyn K τ=τ
（10b ）
- 鋼材的缺口應力集中敏感度(q)如下圖所示
- 若無法查到q 值，保守的作法是：將K f 以K t 值替代之。

7. 防制機械元件失效（Failure ）的設計理論與依據
預設狀況
負荷狀態
應用理論 比較之依據
內部材料
無任何 缺陷
延展性材料 靜態
最大畸變能失效理論（u d )
最大剪應力失效理論（max ）
S ypt 或S ypc
脆性材料
靜態 修訂之Mohr 失效理論 未討論 有氣泡、龜裂、缺口等
靜態 破壞力學（K I )
K Ic
有晶體異位-->滑移—-〉細微裂紋
動態、 週期性 疲勞力學（S —N 曲線） S yp 或S u 之％ 外型 有幾何形狀突變
靜態
應力集中因數（K t ）
S yp 或S u
詞彙對照Brittle ：
脆性的
Compression ： 壓縮 Concentration: 集中 Crack: 裂紋 Defect ：
缺陷
Dislocation ： 異位 Distortion ： 扭曲 Ductile: 延展性的 Dynamic ： 運動的、動態的 Elastic:
彈性的
圖d 鋼材的缺口應力集中敏感度
Energy：能量Factor: 因數Failure: 失效、損壞Fatigue: 疲勞Fracture: 破壞、斷裂Homogeneous：均勻的Intensity：強度Isotropic: 均向性的Linear: 線性的Material: 材料Microcrack: 細微裂紋Nominal: 標稱、公稱Notch: 缺口Plastic：塑性的Principle：主要的Sensitivity：敏感度Shear：剪力
Slip：滑移、滑動Strain：應變Strength：強度Stress: 應力Tensile：伸張Tension: 拉力Theory：理論Torsion：扭轉Ultimate：極限Yielding：降伏。