材料失效准则详解

Chapter 2 材料失效理論(Material Failure Theories ）

資料來源

1. 吳嘉祥等譯，機械元件設計，第八版，高立圖書有限公司，台北縣，2006，

2. Robert L. Norton, Machine Design An Integrated Approach, 3rd Edition, Pearson Prentice Hall, Person Education Inc 。, Upper Saddle River, New Jersey, 2006。

1. 材料分類 ［1]

延性材料 （Ductile Materials ）

● 材料受力延長量(應變)可達5％ （或以上）

● 材料對滑動(Slip ）之阻抗＜對斷裂(Fracture ）之阻抗

●

Material Failure (材料失效）因降伏(Yielding ）而發生,此時應力到達Yielding Stress (降伏強度或Yielding Strength ） ●

多數延展性材料：yield 拉伸 yield 壓縮

脆性材料 (Brittle Materials)

● 材料受力伸長量無法達到5%，（材料在應變到達5％前即已失效) ● 材料的斷裂阻抗＜滑動阻抗

●

Material Failure 因斷裂而發生，此時應力到達Ultimate Stress (極限強度或Ultimate Strength ）

●

多數脆性材料：u 拉伸 u 壓縮

2。 延展性材料的材料失效理論(Failure Theories of Ductile Materials ） ［1］ (a ）最大法向應力失效理論(Max. Normal Stress Failure Theory) =〉若不符合以下三個不等式關係中任何一個，即為Failure

fs ypt 1fs ypc N S N S ≤≤σ （1a) fs ypt 2fs ypc N S N S ≤≤σ (1b) fs

ypt 3fs

ypc N S N S ≤

≤σ (1c ）

上式中,1

, 2， 3

為主應力(Principle Stress ），下標t 代表tension （拉伸）、

下標c 代表compression (壓縮），其他符號: ．上式應用於延性材料

S ypt ：拉伸降伏強度、S ypc ：壓縮降伏強度、N fs ：安全係數 ．應用於脆性材料

S ypt 改為S ut （拉伸極限強度）、S yp c 改為S uc （壓縮極限強度)、N fs ：安全係數

(b ）最大應變能失效理論(Max. Strain Energy Failure Theory ） 應變能（Strain Energy)常用U 代表之。

U = 應力所做之功 = 內力所做之功

()

xdydz dV dV,2

1

U zx zx yz xy y y x x =γτ+γτ+εσ+εσ⎰=

dx, dy ， dz 為物體內一個小立方體之尺寸,dv 為此小立方的體積,

故dv=dxdydz

若以主應力來計算：

()dxdydz 2-2E

1U 3132212

32221σσσσσσνσσσ++++⎰=

定義：單位體積的應變能為u ， 故 dv U

u =

故()[]

1332212

322212-2E

1u σσσσσσνσσσ++++=

若物體在(1, 2, 3三個主應力方向中的)單一軸向受力試驗中，則在發生Failure 時的單位體積應變能為

()2

yp yp S 2E

1U =

S

yp

：在單軸向測試中發生Failure 時之應力強度

加上安全係數N fs 因素後： * 若2

fs

yp 1yp )N S (2E 1U U =≤,則不發生Failure,

亦即，

* 若滿足

（2)

則不會因應變能過高而Failure ，(未達因應變過高而Failure 之條件)

(c)最大畸變能Failure Theory (Von Mises-Hencky 理論)

畸變能(Distortion Energy), u d ，又稱剪應變能(Shear —Strain Energy ） 單位體積應變能（u ) =單位體積應變能(u v ) +單位剪應變能（u d ）

定義()321v

3

1

σ+σ+σ=σ，而與σv 對應的應變為εv ，σv 造成之應變能(u v )為：

()()()()2321v v v v

v v v v v 321v E

62123u E

2-12331

23.21u σ+σ+σν

-=

εσ=∴σν=εεσεσσσ=ε⋅σ+σ+σ= ＝．

＋＋．３２１ 附註:上式中代表浦松比，下標v 代表體積。

但 ()[]

133221232221221σσσσσσνσσσ++-++=

E

u ∴()

1332212

32221v d

E

31u u u σσ-σσ-σσ-σ+σ+σν+=-= （3a ）

在材料測試中，僅(1， 2， 3三個主應力方向中的）單一軸向受力，若軸向應力強度達S yp 時，發生Failure,此時的畸變能為

()2

yp yp

d S 3E

1u ν+=

（3b ）

由3a 與3b 兩式可做以下結論：

若要求不因剪應變能（畸變能)過高，而造成Failure ,需有以下條件

2yp 1332212

32221S ---≤++σσσσσσσσσ

若再加入安全係數之考量，則不發生Failure 之條件為:

2

fs

yp 133221232221N

S ---⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≤++σσσσσσσσσ （3）

⎪⎩⎪

⎨⎧σ+

σ=σσ+σ=σσ+

σ=σ'3

v 3

'2

v 2'1

v 1主應力 造成體積應變之應力

剪應力