第5章 线性代数方程组的直接解法

第5章 线性代数方程组的直接解法
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题3分，共计15分) 1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（ ）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。

2、设矩阵A 的LU 分解如下：2231002234772100124511006A b a ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠
则该分解式中,a b 的值分别为 （ ）
（1）2,6a b ==；（2）6,2a b ==；（3）2,3a b ==；（4）1,2a b =−=。

3、设矩阵n n
A R ×∈，n n
Q R
×∈，且T
Q Q E =，则下列关系式不成立的是（ ）
(1) 2
2A AQ =；(2) F
F QA
A =；(3) 22Qx x =，其中n x R ∈；
(4)
()()cond A cond AQ ∞∞=。

4、设矩阵314122232A −⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥
⎢⎥−−⎣⎦，111x ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则Ax
∞和
A ∞的值分别为（
）
(1) 88,； (2) 87,； (3) 86,； (4) 77,。

5、若解线性代数方程组的Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
()2632542T
−，则第三步主行是（ ）
(1) 第2行； (2) 第3行； (3) 第5行； (4) 第6行。

二、填空题（每小题3分，共计15 分）
1、设2101202A a a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，为使A 可分解为T
A LL =，其中L 是对角元素为正的下三角矩阵，
则a 的取值范围是___________________。

2、设210121012A −⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦
，则2()Cond A =_________________。

3、设()214T
x =，如果()2
00T
Lx =，则初等下三角矩阵L = 。

1
4、设n n
A R
×∈为上半带宽为p ，下半带宽为q 的带状矩阵，且A 的各阶顺序主子式均不为
零，A LU =为Doolitte 分解，则上三角矩阵U 的上半带宽为 。

5、设对称正定矩阵11(),0n n
ij A a R
a ×=∈≠，经过一次Gauss 消元得到形如11
10a A A ∗⎛⎞=⎜
⎟⎝⎠
的矩阵，则1A 是 矩阵。

三、（12分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
123413243267102115914350156x x x x ⎡⎤−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 四、（12分）利用矩阵A 的三角分解A LU =求解下列方程组 123121022331302x x x ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ 五、（12分）用平方根法求解下列方程组
1234241021710341097x x x −−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ 六、（10分）设线性代数方程组Ax b =中系数矩阵A 非奇异，x 为精确解，0b ≠，若向量
x
%是Ax b =的一个近似解，残向量r b Ax =−%，证明估计式：()x x r
cond A x b
−≤%（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。

七、（12分）设实对称矩阵()ij n n A a ×=的特征值为12,,,n λλλL
试证：F
A
=。

八、（12分）已知方程组Ax b =，其中310110233110A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，14514b ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，
（1）构造求解该方程组的一种收敛的迭代格式，并说明理由；
（2）写出（1）中迭代方法的迭代矩阵。