《对数函数及其性质》教材梳理
2.2.2对数函数及其性质
2.2.2对数函数及其性质（第一课时）一、教材分析：1、对数函数及其性质为必修内容，而且对数函数及其相关知识历来是高考的重点，既有中档题，又能和其它知识相结合、综合性较强、考查也比较深刻。
2、对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过指数函数、对数与对数运算基础上引入的，是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。
3、对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础。
4、对数函数及其性质的学习使学生的知识体系更加完整、系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸。
5、学生容易忽视函数的定义域，在进行对数函数定义教学时要结合指数式来强调对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为（0， ）的理解。
在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图像和性质是本节课的教学重点，而理解底数a的值对函数值变化的影响是教学的一个难点，教学时要充分利用图像，数形结合，帮助学生理解。
二、教学设计：三、教学目标：1、知识与技能目标：（1）理解对数函数定义；掌握对数函数的图像和性质及其简单的应用。
（2）通过具体实例，直观感受对数函数模型所刻画的数量关系;通过具体的函数图像结合认识对数函数的图像特征，模拟指数函数的研究得出对数函数的性质。
2、过程与方法：采用师生共同讨论法来充分调动学生积极性。
通过对对数函数内容的学习,渗透数形结合的数学思想和经历从特殊到一般的过程;3、情感态度与价值观：在教学过程中,通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力四、教学重、难点重点：理解掌握对数函数的概念与性质；难点：对数函数的图像和性质与底数的关系；五、教学用具：三角板、黑板六、教学方法：启发式讲解法七、教学过程2log y x =4log y x = log y =。
对数函数及其性质知识点总结与例题讲解
对数函数及其性质知识点总结与例题讲解本节知识点（1）对数函数的概念; （2）对数函数的图象及其性质; （3）与对数函数有关的函数的定义域; （4）与对数函数有关的函数的值域;（5）与对数函数有关的函数的单调性及其应用; （6）与对数函数有关的函数的奇偶性; （7）反函数.知识点一 对数函数的概念一般地,函数x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是()+∞,0. 对数函数概念的理解 （1）形如x y a log =;（2）底数a 满足0>a 且1≠a ; （3）真数是x ,而不是含x 的表达式; （4）函数的定义域为()+∞,0. 两种特殊的对数函数特别地,以10为底的对数函数x y lg =叫做常用对数函数;以无理数e 为底的对数函数x y ln =叫做自然对数函数.例1. 给出下列函数:①232log x y =; ②()1log 3-=x y ; ③()x y x 1log +=; ④x y πlog =.其中是对数函数的有【 】（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个解:对于①②,因为对数函数的真数只能是自变量x ,不能是含自变量x 的表达式,所以它们都不是对数函数,而是对数函数型函数;对于③,因为对数函数的底数是一个大于0且不等于1的常数,包含自变量,所以它不是对数函数.对于④,符合对数函数的定义. 故对数函数只有一个,选择【 A 】.例2. 下列函数中,是对数函数的是【 】（A ）()x y -=21log （B ）()x y -=1log 24（C ）x y ln = （D ）()x y a a +=2log解:选择【 C 】.知识点二 对数函数的图象及其性质一般地,对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象和性质如下表所示:对数函数图象的三个关键点对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象经过三个关键点:()0,1,()1,a 和⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a .利用对数函数图象的三个关键点,可以快速地作出对数函数图象的简图.特别提醒指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫⎝⎛-a 1,1.根据这三个关键点,可以快速地作出指数函数图象的简图.不难得出:在同一平面直角坐标系中,对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）图象的三个关键点与指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）图象的三个关键点关于直线x y =对称. 底数对对数函数图象的影响 （1）对数函数的对称性结论 函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象与函数x y a1log =（0>a 且1≠a ）的图象关于x 轴对称.事实上,x x x y a a alog log log 111-===-,因为函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于x 轴对称,所以函数x y a log =与函数x y a1log =的图象关于x 轴对称.观察在同一平面直角坐标系在,分别画出函数x y 2log =,x y 3log =,x y 21log =和x y 31log =的图象,如图所示,体会对数函数图象的对称性.= log 13x12x3x2x（2）底数a 决定对数函数的单调性 当1>a 时,对数函数的图象从左到右是上升的,函数在()∞+0上为增函数;当10<<a 时,对数函数的图象从左到右是下降的,函数在()∞+0上为减函数.（3）底数a 的大小决定对数函数图象相对位置的高低不论是1>a ,还是10<<a ,在第一象限内,取相同的函数值时,图象所对应的对数函数的底数从左到右逐渐变大.（1）上下比较 在直线1=x 的右侧,a 越大,图象越靠近x 轴;当10<<a 时,a 越小,图象越靠近x 轴.（2）左右比较 比较图象与直线1=y 的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越大. 注意 若比较图象与直线1-=y 的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越小. 说明 在平面直角坐标系中,对数函数x y a log =的图象与直线1=y 的交点为()1,a ,即交点的横坐标等于对数函数的底数,故在第一象限内,交点的横坐标越大,对数函数的底数就越大;对数函数x y a log =与直线1-=y 的交点为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ,故在第四象限内,交点的横坐标越大（即a1越大）,对数函数的底数反而越小. 关于对数函数函数值正负的判断根据对数函数的图象,当1>a ,1>x ,或10<<a ,10<<x 时,函数值0>y ,简记为同区间为正;当1>a ,10<<x ,或10<<a ,1>x 时,函数值0<y ,简记为异区间为负.即同区间为正,异区间为负.特别地,当1=x 时,0=y ,即对数函数的图象恒过点()0,1. 例3. 函数x y 2log =的定义域是[)64,1,则函数的值域是【 】（A ）R （B ）[)+∞,0 （C ）[)6,0 （D ）[)64,0解:∵12>=a ,∴函数x y 2log =在[)64,1上为增函数∴1log 2≤64log log 22<x ,∴0≤6log 2<x ,即0≤6<y . ∴函数的值域是[)6,0.选择【 C 】.例4. 已知()()1log -=x x f a （0>a 且1≠a ）,则函数()x f 的图象必过定点______. 解:∵对数函数的图象恒过定点()0,1∴令11=-x ,即2=x ,则()01log ==a x f∴函数()x f 的图象必过定点()0,2.例5. 函数()()11log +-=x x f a （0>a 且1≠a ）的图象恒过点【 】（A ）()1,1 （B ）()2,1 （C ）()1,2 （D ）()2,2解:令11=-x ,则2=x ,111log =+=a y∴函数()x f 的图象恒过点()1,2. 选择【 C 】.例6. （1）函数()()432log --=x x f a （0>a 且1≠a ）的图象恒过定点【 】（A ）()0,1 （B ）()4,1- （C ）()0,2 （D ）()4,2- （2）已知函数()21log ++=x y a （0>a 且1≠a ）的图象恒过定点A ,若点A 也在函数()b x f x +=2的图象上,则=b 【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解:（1）令132=-x ,则2=x ,4-=y∴函数()x f 的图象恒过定点()4,2-. 选择【 D 】.（2）令11=+x ,则0=x ,2=y ,∴()2,0A .把()2,0A 代入()b x f x +=2得:220=+b ,解之得:1=b . 选择【 B 】.例7. 函数()22log 1+++=+x a ax y （0>a 且1≠a ）的图象必经过的点是【 】（A ）()3,0 （B ）()2,2 （C ）()2,1- （D ）()3,1-解:令12=+x ,则1-=x ,321021log 0=++=++=a y a .∴该函数的图象必经过点()3,1-. 选择【 D 】.例8. 已知0>a 且1≠a ,0>b 且1≠b ,如果无论b a ,在给定的范围内取任何值时,函数()2log -+=x x y a 与函数2+=-c x b y 的图象总经过同一个定点,则实数c 的值为__________.解:令12=-x ,则3=x ,31log 3=+=a y∴定点的坐标为()3,3∴函数2+=-c x b y 的图象恒过点()3,3令03=-=-c c x ,则32,30=+==b y c ,符合题意. ∴实数c 的值是3.例9. 已知函数()()xx f -+=21log 2,则函数的值域是【 】（A ）[)2,0 （B ）()+∞,0 （C ）()2,0 （D ）[)+∞,0解:设()xx g -+=21,∵02>-x,∴()1>x g ,即()()+∞∈,1x g .∴()01log 21log 22=>+-x ,即()0>x f . ∴该函数的值域是()+∞,0. 选择【 B 】.例10. 不等式()()x x ->+3log 12log 2121的解集是__________.分析:对数函数在其定义域内为单调函数,其单调性与底数a 有关.本题中121<=a ,函数在()+∞,0内为减函数,据此可列出关于两个真数的不等式. 解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧-<+>->+xx x x 31203012,解之得:3221<<-x .∴该不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-32,21.例11. 若函数()()a x ax x f +-=2lg 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21 （B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2121,分析:本题考查二次函数的函数值恒大于0的问题,注意分类讨论.函数()()a x ax x f +-=2lg 的定义域为R 的意思是不论x 为任何实数,总有()02>+-=a x ax x g 成立,属于R 上的恒成立问题.解:设()a x ax x g +-=2,由题意可知,()0>x g 在R 上恒成立.当0=a 时,()x x g -=,不符合题意,舍去;当0≠a 时,则有()⎩⎨⎧<--=∆>041022a a ,解之得:21>a . ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21.选择【 C 】.例12. 若函数()1log 2+-=ax x y a （0>a 且1≠a ）有最小值,则实数a 的取值范围是__________.解:设()12+-=ax x x g ,当1>a 时,()min min log x g y a =,则()0min >x g∴042<-=∆a ,解之得:22<<-a . ∴21<<a ;当10<<a 时,()max min log x g y a =,由于()max x g 不存在,所以此种情况不符合题意. 综上所述,实数a 的取值范围是()2,1.例13. 设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=x a x f a 1log ,其中10<<a . （1）证明:()x f 是()+∞,a 上的减函数; （2）若()1>x f ,求x 的取值范围.证明:（1）任取()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,则有()()()()a x x a x x x a x a x a x a x f x f a a a a --=--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2112212121log 11log 1log 1log ∵()()()()()()()a x x x x a a x x a x x a x x a x x a x x --=----=---212121*********,()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,且10<<a∴,021<-x x ()021>-a x x∴()()02121<--a x x x x a ,即()()12112<--a x x a x x ∴()()01log log 2112=>--a aa x x a x x ,∴()()()()2121,0x f x f x f x f >>-.∴()x f 是()+∞,a 上的减函数; 证法二:设()xax g -=1,任取()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,则有 ()()()21211221211111xx x x a x x a x a x a x g x g -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-. ∵()+∞∈,,21a x x ,且21x x <,且10<<a ∴()0,02121<->x x a x x ∴()()()()2121,0x g x g x g x g >>- ∴()x g 在()+∞,a 上是增函数 ∵10<<a∴()()x g x a x f a a log 1log =⎪⎭⎫⎝⎛-=是()+∞,a 上的减函数;解:（2）∵()1>x f ,∴a x a a a log 1log >⎪⎭⎫⎝⎛-∵10<<a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-axa x a 101,解之得:a a x a -<<1.∴x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a 1,.指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的性质的比较如下表所示:知识点三 与对数函数有关的函数的定义域 （1）对数函数x y a log =的定义域为()+∞,0.（2）形如()()x f y x g log =的函数,其定义域由()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠>>100x g x g x f 确定.（3）形如()x f y a log =的函数的定义域,必须保证每一部分都有意义. 例14. 函数()()1lg 1++-=x x x f 的定义域是__________.解:由题意可知:⎩⎨⎧>+≥-0101x x ,解之得:x <-1≤1.∴该函数的定义域为(]1,1-.例15. 函数()1log 232+--=x xy 的定义域是【 】（A ）()3,1- （B ）(]3,1- （C ）()3,∞- （D ）()+∞-,1解:由题意可知:()⎪⎩⎪⎨⎧≠+->+≥-01log 201032x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≠->≤313x x x ,∴31<<-x .∴该函数的定义域为()3,1-. 选择【 A 】.例15. 函数()()x x x f -+-=2lg 11的定义域是【 】（A ）()3,1 （B ）()1,0 （C ）[)2,1 （D ）()2,1解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-120201x x x ,解之得:21<<x .∴该函数的定义域为()2,1. 选择【 D 】.例16. 若函数()1log 2+-=ax x y a 的定义域为R ,则a 的取值范围是【 】（A ）10<<a （B ）20<<a 且1≠a （C ）21<<a （D ）a ≥2解:由题意可知:0>a ,且1≠a .∵函数()1log 2+-=ax x y a 的定义域为R ∴012>+-ax x 在R 上恒成立 ∴042<-=∆a ,解之得:22<<-a . ∴20<<a ,且1≠a . 选择【 B 】.例17. 函数()()1log 14212++--=x x x x f 的定义域是____________.解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥-0101042x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧->≠≤≤-1122x x x ,∴x <-1≤2,且1≠x .∴该函数的定义域是{}1,21≠≤<-x x x 且.例18. 求下列函数的定义域:（1）()()312lg -+-=x x x f ; （2）()()x x 416log 1-+.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-0302x x ,解之得:2>x 且3≠x .∴该函数的定义域为()()+∞,33,2 ;（2）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ,解之得:41<<-x ,且0≠x .∴该函数的定义域为()()4,00,1 -.例19. 函数()()46lg -+-=x x x f 的定义域为【 】（A ）()6,∞- （B ）[)6,4 （C ）[)+∞,4 （D ）()6,4解:由题意可知:⎩⎨⎧≥->-0406x x ,解之得:4≤6<x .∴该函数的定义域为[)6,4. 选择【 B 】.例20. （1）已知函数()()1lg +=x f y 的定义域为(]99,0,则函数()()2log 2+=x f y 的定义域为__________.（2）已知函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=a x a ax x f 411log 22的定义域为R ,求a 的取值范围.解:（1）∵(]99,0∈x ,∴(]100,11∈+x ,∴(]2,0lg ∈x .∴函数()x f 的定义域为(]2,0.∴()2log 02+<x ≤2,∴21+<x ≤4,解之得:x <-1≤2. ∴函数()()2log 2+=x f y 的定义域为(]2,1-.（2）∵函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=a x a ax x f 411log 22的定义域为R .∴()04112>+-+a x a ax 在R 上恒成立. 当0=a 时,0>-x 不恒成立;当0≠a 时,则有()⎩⎨⎧<--=∆>01022a a a ,解之得:21>a . 综上所述,a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21.例21. 已知函数()x x f 2log =的值域是[]4,0,则函数()()()22xf x f x +=ϕ的定义域为【 】（A ）[]4,1 （B ）[]8,1 （C ）[]16,1 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,21解:∵函数()x x f 2log =的值域是[]4,0∴0≤x 2log ≤4,∴1≤x ≤16. ∴函数()x f 的定义域为[]16,1. ∵函数()()()22x f x f x +=ϕ∴⎩⎨⎧≤≤≤≤16116212x x ,解之得:1≤x ≤4. ∴函数()x ϕ的定义域为[]4,1. 选择【 A 】.例22. 求函数()31lg 1-+=x y 的定义域.解:由题意可知:⎩⎨⎧≠+>+310101x x ,解之得:1->x 且999≠x . ∴该函数的定义域为()()+∞-,999999,1 .例23. 已知函数()x f 的定义域为[]1,0,求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21的定义域.解:∵函数()x f 的定义域为[]1,0∴0≤()x -3log 21≤1,∴1log 21≤()x -3log 21≤21log 21. ∴1≥x -3≥21,解之得:2≤x ≤25. ∴函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2.例24. 函数()365lg 42-+-+-=x x x x x f 的定义域为【 】（A ）()3,2 （B ）(]4,2 （C ）()(]4,33,2 （D ）()(]6,33,1 -解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≥-0365042x x x x ,即⎩⎨⎧≠>≤≤-3,244x x x 且,∴x <2≤4,且3≠x .∴该函数的定义域为()(]4,33,2 .选择【 C 】.例25. 求下列函数的定义域:（1）()1log 12-=x y ; （2）()3lg -=x y ;（3）()x y 416log 2-=; （4）()()x y x -=-3log 1.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-1101x x ,解之得:1>x 且2≠x .∴该函数的定义域为()()+∞,22,1 ;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≥->-1303x x ,解之得:x ≥4.∴该函数的定义域为[)+∞,4;（3）由题意可知:0416>-x ,解之得:2<x . ∴该函数的定义域为()2,∞-;（4）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠->->-110103x x x ,解之得:31<<x ,且2≠x .∴该函数的定义域为()()3,22,1 .例26. 设函数24x y -=的定义域为A ,函数()x y -=1ln 的定义域为B ,则=B A 【 】（A ）()2,1 （B ）(]2,1 （C ）()1,2- （D ）[)1,2-解:由题意可知:{}{}22042≤≤-=≥-=x x x x A ,{}{}101<=>-=x x x x B ∴{}[)1,212-=<≤-=x x B A . 选择【 D 】.例27. 求下列函数的定义域:（1）()()x x x x x f --+=22lg ; （2）()()x x f 21ln 1-=;（3）()()x x f lg 2ln -=; （4）()()12log 121+=x x f .解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧>-+≠-0202x x x x ,即⎩⎨⎧<<-<210x x ,∴01<<-x . ∴该函数的定义域为()0,1-;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-121021x x ,解之得:21<x 且0≠x .∴该函数的定义域为()⎪⎭⎫⎝⎛∞-21,00, ;（3）由题意可知:⎩⎨⎧>->0lg 20x x ,解之得:1000<<x .∴该函数的定义域为()100,0;（4）由题意可知:⎩⎨⎧≠+>+112012x x ,解之得:21->x ,且0≠x .∴该函数的定义域为()+∞⎪⎭⎫⎝⎛-,00,21 .例28. 求下列函数的定义域:（1）()()x x x f -=2ln ; （2）()()1log 122-=x x f ;（3）()()x x x f 35lg lg -+=; （4）()()125ln 1-+-=x e x x f .解:（1）由题意可知:02>-x x ,()01>-x x ,解之得:0<x 或1>x .∴该函数的定义域为()()+∞∞-,10, ;（2）由题意可知:()()⎩⎨⎧>-+>01log 1log 022x x x ,解之得:210<<x 或2>x .∴该函数的定义域为()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,221,0 ;（3）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≥>03510x x x ,解之得:1≤35<x .∴该函数的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,1;（4）由题意可知:⎩⎨⎧≥->-01125x e x ,解之得:0≤<x 2.∴该函数的定义域为[)2,0.例29. 函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=41log 2ax x x f a 的定义域为R ,则()xx a x g -=22的单调递增区间是【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, （B ）()1,∞-（C ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 （D ）()+∞,1解:∵函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=41log 2ax x x f a 的定义域为R ∴0412>++ax x 在R 上恒成立,且0>a ,1≠a . ∴012<-=∆a ,解之得:11<<-a . ∴10<<a .∴()x x a x g -=22的单调递增区间即函数81412222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x y 的单调递减区间,为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,,或⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,.选择【 A 】.例30. 已知函数()()1log -=xa a x f （0>a 且1≠a ）.（1）求()x f 的定义域;（2）若10<<a ,判断()x f 的单调性,并证明你的结论.解:（1）由题意可知:1,01>>-xxa a ,∴0a a x >.当1>a 时,解之得:0>x ;当10<<a 时,解之得:0<x .∴当1>a 时,()x f 的定义域为()+∞,0,当10<<a 时,()x f 的定义域为()0,∞-; （2）()x f 在()0,∞-上为增函数,理由如下: 设()1-=x a x g ,任取()0,,21∞-∈x x ,且21x x <,则有()()()()21211121x x x x a a a a x g x g -=---=-∵10<<a ,21x x <∴021>-x x a a ,∴()()()()2121,0x g x g x g x g >>-. ∴()x g 在()0,∞-上为减函数 ∵10<<a∴()x f 在()0,∞-上为增函数.例31. 求下列函数的定义域:（1）()x y -=2lg ; （2）()x y -=2log 21; （3）()3lg 42+-=x x y .解:（1）由题意可知:()⎩⎨⎧≥-≥-02lg 02x x ,即⎩⎨⎧≥-≤122x x ,∴x ≤1.∴该函数的定义域为(]1,∞-;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≤->-1202x x ,解之得:1≤2<x .∴该函数的定义域为[)2,1;（3）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥-1303042x x x ,解之得:23-<<-x 或x ≥2.∴该函数的定义域为()[)+∞--,22,3 .知识点四 对数型函数的值域（1）对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的值域利用函数的单调性求解;（2）求形如()x f y a log =的复合函数的值域,先求出()x f 的值域,然后结合对数函数的单调性求出函数()x f y a log =的值域;（3）求形如()x f y a log =的复合函数的值域,其中复合函数()x f y a log =一般是关于x a log 的二次函数,故可以采用换元法求解,注意新元的取值范围.例32. 求函数()1log log 2422--=x x y 的值域.分析:这里要对函数解析式进行一个小小的变形:x x x 22224log log log 2==,变形的依据是对数换底公式的性质:b b a n a n log log =.解:()()1log log 1log log 2222422--=--=x x x x y .函数的定义域为()+∞,0.设∈=x t 2log R ,则4521122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=t t t y .∴该函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,45.注意 在求函数的值域时,要先确定函数的定义域. 例33. 求下列函数的值域:（1）()12log 3-=x y ,[]2,1∈x ; （2）()43log 24.0++-=x x y .解:（1）设12-=x t ,则t y 3log =,∵[]2,1∈x ,∴[]3,1∈t .∵函数t y 3log =在[]3,1∈t 上为增函数 ∴13log ,01log 3max 3min ====y y . ∴该函数的值域为[]1,0;（2）由题意可知:0432>++-x x ,即0432<--x x ,解之得:41<<-x .∴该函数的定义域为()4,1-.设42523432+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=x x x t ,则t <0≤425（注意是在函数的定义域()4,1-内）∵函数t y 4.0log =在⎥⎦⎤⎝⎛∈425,0t 内为减函数∴2425log 4.0min -==y ,无最大值. 该函数的值域为[)+∞-,2.例34. 求下列函数的值域:（1）()4log 22+=x y ; （2）()22123log x x y -+=.解:（1）由题意可知,该函数的定义域为R .设42+=x t ,则t y 2log =,[)+∞∈,4t ∴t y 2log =≥24log 2= ∴该函数的值域为[)+∞,2;（2）设()412322+--=-+=x x x t ,则t y 21log =,∵0>t ,∴t <0≤4.∵函数t y 21log =在t <0≤4时为减函数∴t y 21log =≥24log 21-=∴该函数的值域为[)+∞-,2.例35. 求函数5log log 21221+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 在2≤x ≤4时的值域.解:设x t 21log =,则41921522+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y . ∵2≤x ≤4,∴4log 21≤x ≤2log 21,即[]1,2--∈t∵函数419212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y 在[]1,2--∈t 上为减函数∴74192112min=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y ,114192122max =+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=y .∴该函数的值域为[]11,7.例36. 下列函数中,其定义域和值域分别与函数xy lg 10=的定义域和值域相同的是【 】（A ）x y = （B ）x y lg = （C ）x y 2= （D ）xy 1=解:函数x y x==lg 10,其定义域为()+∞,0,值域为()+∞,0.对于（A ）,函数x y =的定义域为R ,值域为R ; 对于（B ）,函数x y lg =的定义域为()+∞,0,值域为R ; 对于（C ）,函数x y 2=的定义域为R ,值域为()+∞,0; 对于（D ）,函数211-==x xy 的定义域为()+∞,0,值域为()+∞,0.选择【 D 】.例37. 函数()⎩⎨⎧≤-+>+=1,11,ln 22x x a x x a x f 的值域为R ,则实数a 的取值范围是_________. 解:由题意可知,当1>x 时,()a x a x f 2ln 2>+=;当x ≤1时,()x f ≤1+a .∵函数()x f 的定义域为R ∴a 2≤1+a ,解之得:a ≤1. ∴实数a 的取值范围是(]1,∞-.例38. 已知函数()()()x x x f a a -++=3log 1log （0>a 且1>a ）.（1）求函数()x f 的定义域;（2）若函数()x f 的最小值为2-,求实数a 的值.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧>->+0301x x ,解之得:31<<-x .∴函数()x f 的定义域为()3,1-;（2）()()()()()()32log 31log 3log 1log 2++-=-+=-++=x x x x x x x f a a a a 设()413222+--=++-=x x x t ,则()t x f y a log ==.∵()3,1-∈x ,∴4max =t当10<<a 时,函数有最小值为4log a ,∴24log -=a ,解之得:21=a （21-=a 舍去）;当1>a 时,函数有最大值为4log a ,无最小值. 综上所述,实数a 的值21. 例39. 函数()()x x x f 2loglog 22⋅=的最小值为__________.分析:这里要用到对数换底公式的性质:b mnb a na m log log =.使用换元法求该函数的最小值,但换元后要注意新元的取值范围.解:()()()()x x x x x x x f 2222222log log log 22log 212loglog +=+⋅=⋅=,函数的定义域为()+∞,0设∈=x t 2log R ,则()412122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==t t t x f y .∴该函数的最小值为()41min min -==x f y .例40. 已知函数()x x f a log =（0>a 且1>a ）在[]4,2上的最大值与最小值的差为1,求a 的值.分析:当对数函数的底数范围不确定时,利用对数函数的单调性时要对底数进行分类讨论.解:当1>a 时,函数()x f 在[]4,2为增函数∴()()()()4log 4,2log 2max min a a f x f f x f ==== ∴12log 2log 4log ==-a a a ,解之得:2=a ; 当10<<a 时,函数()x f 在[]4,2为减函数 ∴()()()()2log 2,4log 4max min a a f x f f x f ====∴121log 4log 2log ==-aa a ,解之得:21=a . 综上所述,2=a 或21=a .例41. 已知函数()()1log ++=x a x f a x在[]1,0上的最大值与最小值之和为a ,则a的值为【 】 （A ）41 （B ）21（C ）2 （D ）4 分析:若指数函数与对数函数的底数相同,则它们在各自定义域上的单调性相同.根据函数单调性的运算性质,可以确定本题中函数()x f 在[]1,0上具有单调性,有鉴于此,在解决本题问题时不用对底数a 进行分类讨论,因为函数()x f 的最大值与最小值在给定闭区间的端点处取得.解:∵函数xa y =与()1log +=x y a 在[]1,0具有相同的单调性∴函数()()1log ++=x a x f a x 在[]1,0为增函数或减函数,具有单调性 ∴函数()x f 的最大值与最小值在[]1,0的端点处取得. ∴()()a a f f a =++=+2log 110,解之得:21=a . 选择【 B 】.例41. 已知函数()()⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,321x x x a x a x f 的值域为R ,那么实数a 的取值范围是__________.解:函数()x f 的值域为函数()x x f ln =（x ≥1）和函数()()a x a x f 321+-=（1<x ）的值域的并集∵当x ≥1时,函数()x x f ln =的值域为[)+∞,0,且函数()x f 的值域为R ,设函数()()a x a x f 321+-=（1<x ）的值域为A∴(]A ⊆∞-0,∴⎩⎨⎧≥+->-0321021a a a ,解之得:1-≤21<a∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1.例42. 已知函数()x x f a log =（10<<a ）在区间[]a a 2,上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为【 】 （A ）41 （B ）22 （C ）42 （D ）21解:∵10<<a∴函数()x x f a log =在[]a a 2,上是减函数∴()()()()12log 2log 2,1log min max +======a a a a a f x f a a f x f ∴()112log 3=+a ,解之得:42=a . 选择【 C 】.例43. 函数()()92log 3+=xx f 的值域为__________.解:该函数的值域为R .∵02>x ,∴992>+x∴()29log 92log 33=>+x ,即()2>x f . ∴函数()()92log 3+=x x f 的值域为()+∞,2.例44. 若函数()⎩⎨⎧>+≤+-=2,log 32,6x x x x x f a （0>a 且1>a ）的值域为[)+∞,4,则实数a的取值范围为__________.分析:根据分段函数值域的确定方法,函数()x f 的值域为函数()6+-=x x f （x ≤2）的值域与函数()x x f a log 3+=（2>x ）的值域的并集.因为函数()6+-=x x f （x ≤2）的值域为[)+∞,4,所以函数()x x f a log 3+=（2>x ）的值域为[)+∞,4的子集.解:由题意可知:⎩⎨⎧≥+>42log 31a a ,解之得:a <1≤2.∴实数a 的取值范围为(]2,1.例45. 已知函数()()12lg 2++=x ax x f .（1）若()x f 的定义域为R ,求a 的取值范围; （2）若()x f 的值域为R ,求a 的取值范围.分析:（1）函数()x f 的定义域为R 的意思是指0122>++x ax 在R 上恒成立,必要时要对二次项系数a 是否等于0展开讨论;（2）设122++=x ax t ,则()t x f y lg ==.因为函数()x f 的值域为R ,则函数t 必须能取遍()+∞,0内的所有值,所以()+∞,0是函数t 的值域的子集.解:（1）∵()x f 的定义域为R∴0122>++x ax 在R 上恒成立.当0=a 时,012>+x 在R 上不恒成立,舍去;当0≠a 时,则有⎩⎨⎧<-=∆>0440a a ,解之得:1>a .∴a 的取值范围是()+∞,1;（2）若()x f 的值域为R ,则122++=x ax t 的值域应包含()+∞,0（即取遍全体正数）.当0=a 时,∈+=12x t R ,满足题意;当0≠a 时,则有⎩⎨⎧≥-=∆>0440a a ,解之得:a <0≤1.综上所述,a 的取值范围为[]1,0.相关训练 若函数()12++=mx mx x f 的值域为[)+∞,0,则m 的取值范围是【 】（A ）[]4,0 （B ）(]4,0 （C ）()4,0 （D ）[)+∞,4解:当0=m 时,()1=x f ,函数的值域为{}1,不符合题意; 当0≠m 时,设()12++=mx mx x g ,并设其值域为A ,则[)A ⊆+∞,0.∴⎩⎨⎧≥-=∆>0402m m m ,解之得:m ≥4. ∴m 的取值范围是[)+∞,4. 选择【 D 】.例46. （1）若函数()()1log +=x x f a （0>a 且1>a ）的定义域和值域都是[]1,0,则=a __________;（2）已知函数()()12lg 2++=mx mx x f ,若()x f 的值域为R ,则实数m 的取值范围是__________.解:（1）设1+=x t ,则()t x f y a log ==.∵[]1,0∈x ,∴[]2,1∈t .当1>a 时,函数t y a log =在[]2,1∈t 上为增函数,∵且其值域为[]1,0 ∴12log =a ,解之得:2=a ;当10<<a 时,函数t y a log =在[]2,1∈t 上为减函数 ∴02log =a ,无解. 综上所述,2=a ;（2）设()122++=mx mx x g ,值域为A . ∵()x f 的值域为R ,∴()A ⊆+∞,0. 当0=m 时,()1=x g ,不符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧≥-=∆>04402m m m ,解之得:m ≥1. 综上所述,实数m 的取值范围是[)+∞,1.例47. 已知函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=4112log 22x k kx x f 的值域为R ,则实数k 的取值范围是__________.解:设()()41122+-+=x k kx x g ,值域为A .∵()x f 的值域为R ,∴()A ⊆+∞,0当0=k 时,()41+-=x x g ,=A R ,符合题意;当0≠k 时,则有()⎩⎨⎧≥--=∆>01202k k k ,解之得:k <0≤41或k ≥1. 综上所述,实数k 的取值范围是[)+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡,141,0 .例48. 若函数()()⎩⎨⎧≥+<+-=1,ln 11,22x x x a x a x f 的值域为R ,则a 的取值范围是________.解:设函数()()()122<+-=x a x a x f 的值域为A .当x ≥1时,函数()x x f ln 1+=的值域为[)+∞,1.∵函数()()⎩⎨⎧≥+<+-=1,ln 11,22x x x a x a x f 的值域为R∴(]A ⊆∞-1,∴⎩⎨⎧≥+->-12202a a a ,解之得:1-≤2<a . ∴a 的取值范围是[)2,1-.例49. 若函数()⎩⎨⎧≤-+->=2,222,log 2x x x x x x f a （0>a 且1>a ）的值域是(]1,-∞-,则实数a 的取值范围是__________.解:设函数()()2log >=x x x f a 的值域为A .函数()()()2112222≤---=-+-=x x x x x f 的值域为(]1,-∞-.∵函数()⎩⎨⎧≤-+->=2,222,log 2x x x x x x f a 的值域是(]1,-∞-∴(]1,-∞-⊆A∴⎩⎨⎧-≤<<12log 10a a ,解之得:21≤1<a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.例50. 求函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=121log 21x x x x f x 的值域. 分析:这是分段函数的值域问题,应该清楚,分段函数的值域为各段函数值域的并集.解:当x ≥1时,()x x f 21log =,其值域为(]0,∞-;当1<x 时,()x x f 2=,其值域为()2,0.∴函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=121log 21x x x x f x 的值域为(]()()2,2,00,∞-=∞- .例51. 已知函数()()()14log log 422++=x x x f ,则函数()x f 的最小值是【 】（A ）2 （B ）1631 （C ）815（D ）1 解:()()()()163141log 2log 21log 14log log 22222422+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++=x x x x x x f .∴当41log 2-=x ,即=x 412-时,()x f 取得最小值为1631.选择【 B 】.例52. 设函数()()()1log 2log 22+⋅+=x x x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41.（1）若x t 2log =,求t 的取值范围;（2）求()x f y =的最大值与最小值,求求出最值时对应的x 的值.解:（1）∵x t 2log =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,41x 上单调递增∴41log 2≤t ≤4log 2,即2-≤t ≤2. ∴t 的取值范围为[]2,2-;（2）设x t 2log =,由（1）可知,[]2,2-∈t .∴()()()4123231222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++==t t t t t x f y .∵[]2,2-∈t∴当23-=t ,即42,23log 2=-=x x 时,41min -=y ;当2=t ,即4,2log 2==x x 时,12412322max=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y .例53. 设函数()m x x x f +-=2,且()()1,2,log 2≠==a a f m a f .（1）求m a ,的值;（2）求()x f 2log 的最小值及对应x 的值.解:（1）∵()m x x x f +-=2,()m a f =2log∴()m m a a =+-222log log ,∴()a a 222log log =.∵1≠a ,∴0log 2≠a ∴1log 2=a ,∴2=a . ∵()()22==f a f∴224=+-m ,解之得:2=m ; （2）由（1）可知:()22+-=x x x f .∴()()4721log 2log log log 222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f∴当21log 2=x ,即2=x 时,()x f 2log 取得最小值,最小值为47. 例54. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-+=1,1lg 1,322x x x xx x f ,则()=-)3(f f _________,()x f 的最小值是_________.解:∵()()119lg 3=+=-f∴()()01)3(==-f f f .当x ≥1时,()32-+=xx x f 在[]2,1上为减函数,在[)+∞,2上为增函数∴()()3222min -==fx f ;当1<x 时,[)+∞∈+,112x ∴()01lg min ==x f .综上所述,()x f 的最小值是322-.例55. 下列判断正确的是__________（填序号）.①若()ax x x f 22-=在[)+∞,1上为增函数,则1=a ; ②函数()1ln 2+=x y 的值域是R ; ③函数x y 2=的最小值为1;④在同一平面直角坐标系中,函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于y 轴对称.解:对于①,函数()ax x x f 22-=的开口向上,对称轴为直线a x =.∵()x f 在[)+∞,1上为增函数 ∴a ≤1.故①错误;对于②,∵12+x ≥1,∴()1ln 2+=x y ≥01ln = ∴函数()1ln 2+=x y 的值域是[)+∞,0.故②错误; 对于③,∵x ≥0,∴x y 2=≥120=. ∴函数x y 2=的最小值为1.故③正确;对于④,∵在同一平面直角坐标系中,函数()x f 与()x f -的图象关于y 轴对称x xy -=⎪⎭⎫⎝⎛=221∴函数x y 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于y 轴对称.故④正确.∴判断正确的是③④.例56. 若函数()()12log 23-+=x ax x g 有最大值1,则实数a 的值等于【 】（A ）21-（B ）41 （C ）41- （D ）4解:∵函数()()12log 23-+=x ax x g 有最大值1,13log 3=∴()122-+=x ax x f 有最大值3.∴⎪⎩⎪⎨⎧=--<34440aa a ,解之得:41-=a .选择【 C 】.例57. 若函数()1log 2+-=ax x y a （0>a 且1≠a ）有最小值,则实数a 的取值范围是__________.解:设12+-=ax x t ,则t y a log =,()+∞∈,0t .当1>a 时,t y a log =在()+∞∈,0t 上为增函数 ∵函数()1log 2+-=ax x y a 有最小值 ∴0442min>-=a t ,解之得:22<<-a .∴21<<a 1;当10<<a 时,t y a log =在()+∞∈,0t 上为减函数,要使函数()1log 2+-=ax x y a 有最小值,则需12+-=ax x t 存在最大值,因为该最大值不存在,所以此种情况不符合题意.综上所述,实数a 的取值范围是()2,1.例58. 已知函数()x f y =,且()()()2lg 3lg ln lg -+=x x y .（1）求函数()x f 的表达式; （2）求函数()x f 的值域.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧>->0203x x ,解之得:2>x∵0ln >y ,∴1>y . ∵()()()2lg 3lg ln lg -+=x x y ∴()x x x x y 6323lg 2-=-= ∴()2632>=-x e y xx即函数()x f 的表达式为()()2632>=-x e x f xx;（2）设()3136322--=-=x x x t ∵2>x ,∴()+∞∈,0t∵函数()t e x f y ==在()+∞∈,0t 上为增函数 ∴函数()()2632>=-x e x f xx的值域为()+∞,1.例59. 已知函数()()xxb a x f -=lg （01>>>b a ）.（1）求函数()x f 的定义域;（2）当()+∞∈,1x 时,函数()x f 的值域为()+∞,0,且()2lg 2=f ,求实数b a ,的值.解:（1）由题意可知:0>-xxb a ,∴xxb a >∵0>xb ,∴1>⎪⎭⎫⎝⎛xb a∵01>>>b a ,∴1>ba,∴0>x . ∴函数()x f 的定义域为()+∞,0; （2）设()x x b a x g -=,∵01>>>b a ∴()x x b a x g -=在()+∞∈,1x 上为增函数 ∵当()+∞∈,1x 时,函数()x f 的值域为()+∞,0 ∴()()+∞∈,1x g ,∴()11=-=b a g . ∵()2lg 2=f ,∴222=-b a解方程组⎩⎨⎧=-=-2122b a b a 得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2123b a . 例60. 已知函数()()()x p x x x x f -+-+-+=222log 1log 11log （1>p ）.问:()x f 是否存在最值?若存在,请求出它的最值.分析:这是对数型函数的最值问题,应先求出对数型函数的定义域,再确定对数型函数的单调性,根据单调性研究函数的最值.解:由题意可知:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+001011x p x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧<>-<>p x x x x 111或∵1>p ,∴p x <<1. ∴函数()x f 的定义域为()p ,1 ∵()()()()()[]x p x x p x x x x f -+=-+-+-+=1log log 1log 11log 2222∴()()[]p x p x x f +-+-=1log 22设()()p x p x x g +-+-=12,∈x ()p ,1,其图象的开口方向向下,对称轴为直线21-=p x . 当21-<p p 时,1-<p ,不符合题意;当1≤21-p ≤p ,即p ≥3时,()()2max 14121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p p g x g ,无最小值. ∴()()()()21log 2141log log 222max 2max -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==p p x g x f ,()x f 无最小值;当121<-p （1>p ）,即31<<p 时,函数()x g 在()p ,1上为减函数 ∴()x g 在()p ,1上既无最大值,也无最小值 ∴函数()x f 当31<<p 时,无最值.综上所述,当p ≥3时,函数()x f 存在最大值为()21log 22-+p ,无最小值;当31<<p 时,函数()x f 既不存在最大值,也不存在最小值.点评 单调函数在给定的开区间上无最大值和最小值,在给定的闭区间上既有最大值,又有最小值,且最大值（最小值）在闭区间的端点处取得. 知识点五 与对数函数有关的函数的单调性及其应用 1.对数值大小的比较（1）同底数的利用函数的单调性; （2）同真数的利用函数的图象;（3）底数与真数都不同的,利用中间数0和1（介值法）. 2.解简单的对数不等式（1）底数确定时,利用对数函数的单调性求解; （2）当底数不确定时,注意对底数进行分类讨论.注意 求解时注意“定义域优先”的原则,要保证每个真数都大于0.点评 简单的对数不等式经过适当的变形一般都可化为()()x g x f a a log log <的形式,当1>a 时,不等式可转化为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>>x g x f x g x f 00;当10<<a 时,不等式可转化为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>>>x g x f x g x f 00. 例61. 解下列不等式:（1）()x x ->4log log 7171;（2）121log >x; （3）()()1log 52log ->-x x a a .解:（1）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x 4040,解之得:20<<x .∴该不等式的解集为()2,0;（2）x x xlog 21log > 当1>x 时,x x a log 21log <,不符合题意;当10<<x 时,则有21>x ,∴121<<x . 综上,该不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛1,21;（3）当1>a 时,则有⎪⎩⎪⎨⎧->->->-15201052x x x x ,解之得:4>x ;当10<<a 时,则有⎪⎩⎪⎨⎧-<->->-15201052x x x x ,解之得:425<<x .综上所述,当1>a 时,该不等式的解集为()+∞,4,当10<<a 时,该不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,25. 3.对数型复合函数的单调性对数型复合函数一般分为两类:()x f y a log =型和()x f y a log =型.（1）研究()x f y a log =型复合函数的单调性,令x t a log =,则只需研究x t a log =及()t f y =的单调性即可;（2）研究()x f y a log =型复合函数的单调性,首先由()0>x f 确定函数的定义域,然后判断()x f t =在定义域上的单调性,再结合对数函数的单调性,判断函数()x f y a log =的单调性,其核心是:同增异减.例62. （1）已知121log >a,则a 的取值范围为__________. （2）已知()()1log 2log 7.07.0-<x x ,则x 的取值范围为__________. （3）已知x <0≤21,x a xlog 4<,则a 的取值范围为__________. （4）若实数a 满足a a43log 132log >>,则a 的取值范围为__________. 解:（1）a a alog 21log > 当1>a 时,a a a log 21log <,不符合题意;当10<<a 时,21>a ,∴121<<a .∴a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛1,21;（2）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧->>->120102x x x x ,解之得:1>x .∴x 的取值范围为()+∞,1; （3）若1>a ,当x <0≤21时,x a x log 04>>,不符合题意; 若10<<a ,当21=x ,且21log 421a =时,解之得:22=a ,∴122<<a . ∴a 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22;（4）由132log >a 得:132<<a ;由1log 43<a 得:43>a ∴143<<a ∴a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛1,43.例63. （1）若πa a log 3log <,则a 的取值范围为__________;（2）若a 55log log <π,则a 的取值范围为__________.解:（1）∵π<3,πa a log 3log <∴1>a ,即a 的取值范围为()+∞,1; （2）∵a 55log log <π∴π>a ,即a 的取值范围为()+∞,π.例64. 若221log <a ,求a 的取值范围. 解:2log 21log a a a<. 当1>a 时,212>a ,符合题意;当10<<a 时,则有212<a ,解之得:2222<<-a ,∴220<<a .综上所述,a 的取值范围为()+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛,122,0 .例65. 若()()x x a a 57log 13log -<+（10<<a ）,求实数x 的取值范围.解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧->+>->+xx x x 5713057013,解之得:5743<<x .∴实数x 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛57,43.例66. 若132log <a,则a 的取值范围是【 】 （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 （D ）()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,132,0解:a a alog 32log < 当1>a 时,a a a log 32log <,符合题意;当10<<a 时,32<a ,∴320<<a .综上所述,a 的取值范围是()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,132,0 .选择【 D 】.例67. 已知021log >a ,若422-+x x a ≤a1,则实数x 的取值范围为__________. 解:∵021log >a,∴10<<a . ∵422-+x x a ≤a1,∴422-+x x a ≤1-a .∴422-+x x ≥1-,解之得:x ≤3-或x ≥1. ∴实数x 的取值范围为(][)+∞-∞-,13, .例68. 已知函数()()()310lg 2lg 2+-=x a x x f ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,1001x . （1）当1=a 时,求函数()x f 的值域;（2）若函数()x f y =的最小值记为()a m ,求()a m 的最大值.解:（1）当1=a 时()()()221lg 1lg 2lg -=+-=x x x x f∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,1001x ,∴[]1,2lg -∈x ∴()()()912,02max min =--==x f x f .∴当1=a 时,求函数()x f 的值域为[]9,0;（2）()()()()a x a x x a x x f 23lg 2lg 310lg 2lg 22-+-=+-=.设x t lg =,则()a at t x f y 2322-+-==.∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,1001x ,∴[]1,2-∈t . 当1>a 时,函数a at t y 2322-+-=在[]1,2-∈t 上为减函数 ∴()a a a y 4423212min -=-+--=,即()a a m 44-=;当2-≤a ≤1时,32232222min +--=-+-=a a a a a y。
对数函数及其性质
对数函数及其性质说课稿各位同学、老师大家下午好，我叫，今天我说课的内容是：《对数函数及其性质》，内容选自：人教A版必修（一）第二章第二节,我将从教材分析、教法学法、教学过程、板书设计、教学评价等五个方面来介绍我本节课的教学设计。
一、教材分析1教材的地位和作用函数是中学数学中最重要的基本概念之一，也是高考重要考点之一。
对数函数及其性质是在学习了函数概念、性质（即单调性和奇偶性）、指数函数及其性质、对数概念之后进行学习的。
本节课的学习既是对上述知识的拓展和延伸，也是对函数概念、性质的进一步认识与理解，能进一步完善学生对函数认识的系统性，并且为以后幂函数、函数图象的变换、复合函数和导数的学习打好基础，同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用，为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。
2、学情分析该阶段的学生，对函数和图像已有了一定的认知结构，初步掌握了函数的基本性质和简单地对数运算。
但对于刚刚从初中升入高一的学生，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折的阶段，因此在教学过程中要充分利用函数图像通过数形结合来帮助学生更好地理解并掌握本节课的内容。
3、教学目标(1) 知识与技能：进一步理解对数函数的意义，掌握对数函数的图像与性质，初步利用对数函数的图像与性质来解决简单的问题。
(2) 过程与方法：经历探究对数函数的图像与性质的过程，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力；渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法。
(3) 情感、态度与价值观：在活动过程中培养学生的数学应用意识，感受获得成功后的喜悦心情，养成积极合作、大胆交流、虚心学习的良好品质。
4、教学重点、难点和关键点重点：对数函数的意义、图像与性质．难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括对数函数的性质关键点：二、教法学法1教法分析本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，因此安排教学时，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，并在教学过程中渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法。
对数函数及其性质教案完整版
对数函数及其性质教案完整版对数函数及其性质一、教材分析《对数函数》出现在高中数学必修一第二章第二节第二课时。
对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一，无论从知识角度还是思想方法的角度对数函数与指数函数都有类似之处。
与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活、能力要求也更高。
而且学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必考内容。
也为解决函数总和问题及其在实际中的应用奠定良好的基础。
二、学情分析函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一．学生在高中有一定的形象思维和抽象思维能力，已经学习了三种基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数，已经具有一定的函数基础知识，并且在对数函数之前学习了指数函数，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用；具备通过类比指数函数学习来认识对数函数的性质。
因此本节对数函数既是对以前函数知识的拓展和延伸，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后学习提供了必要的基础知识．三、教学目标和重点难点依据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，将对数函数及其性质此节课的教学目标、重点和难点设置为：（一）教学目标：1.知识与技能：进一步理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质；初步利用对数函数的图像与性质来解决简单问题（会求对数函数的定义域；会用对数函数的定义比较两个对数的大小）。
2.过程与方法目标：经过探究对数函数的图像和性质的过程，培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力；渗透类比、数形结合、分类讨论等基本数学思想方法。
3.情感态度与价值观目标：在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，感受数学、理解数学、探索数学，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。
对数函数(重难点突破)
对数函数重难点突破一、知识梳理二、知识精讲知识点一 对数函数及其性质(1)概念：函数 y ＝log a x(a ＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质0<a<1图象定义域： (0，＋∞)值域： R当 x ＝ 1 时， y ＝0，即过定点(1，0)当 x>1 时， y>0； 当 0<x<1 时， y<0在(0，＋∞)上是增函数a>1对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a logaN ＝N ；②log a a b ＝b(a>0，且 a≠1). (2)对数的运算法则如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a (MN)＝log a M ＋log a N ； M④log a m M n ＝n mlog a M(m ，n∈R，且 m≠0).(3)换底公式： log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于 1).三、例题讲解(一) 对数函数的概念与图像 例 1、给出下列函数：；①y＝ x πx ．其中是对数函数的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】解： ①y＝x 2 的真数为 x 2，故不是对数函数；3（x ﹣ 1）的真数为x ﹣ 1，故不是对数函数； ③y＝ log x+1x 的底数为 x+1，故不是对数函数；②y＝ log④y＝log πx 是对数函数；故选： A ．【变式训练 1-1】．函数f(x)＝log a |x|＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )【答案】 A②log a ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝nlog a M(n∈R)；2 ②y＝log 3（x ﹣ 1）； ③y＝log x+1x ； ④y＝logN【解析】选A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g(x)＝log|x|，先画出ax>0 时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x<0 时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选 A.【变式训练 1-2】．函数f （x ）＝的图象可能是（ ）【答案】解：∵f（x ）＝，∴函数定义域为（﹣∞， 0）∪（0，+∞），∵，∴函数f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，故排除 B 、C ，∵当 0＜x ＜1 时， lnx ＜0，∴f（x ）＝＜0，x∈（0，1）故排除 D ．故选： A ．【变式训练 1-3】．函数 y ＝|lg （x+1） |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．故函数 y ＝ lg （x+1）的图象与 X 轴的交点是（0，0），即函数 y ＝ |lg （x+1） |的图象与 X 轴的公共点是（0， 0），考察四个选项中的图象只有 A 选项符合题意故选： A ． 1273 8【变式训练 1-4】．计算： ＋log 2(log 216)＝________. CD例 2．函数 y ＝ 的图象大致是(A ． ． ．B ．【解析】：原式＝2 331323x 2 ,x 02x1,x083.)＋log24＝＋2＝【答案】 B【变式训练 2-1】．已知a 0 ，b 0且a 1，b 1 ，若logab 1，则下列不等式可能正确的是（）．A．(b1)(b a)0B．(a1)(a b)0C．(a1)(b1)0D．(a1)(b a)0【答案】 AD【解析】∵loga b1logaa，∴若a1，则b a，即b a1．∴(b1)(b a)0，故A正确．(a1)(b a)0，故D正确．若0a1，则0b a1，∴(a1)(a b)0，(a1)(b1)0，故BC错误，2x,x12-3】．图中曲线是对数函数y log x的图象，已知a 取 3 ，，，C 2 ，C3，C4的a 值依次为( )4 3 1【变式训练a3510四个值，则相应于C1，【变式训练2-2】．已知函数f(x)log2(1x),x1，则f(0)f(3)_______.【解析】f(0)f(3)20log1(3)121．故答案为：－14 3 1 4 1 3A ． 3 ， ， ，B ． 3 ， ， ，3 5 10 3 10 54 3 1 4 1 3C ． ， 3 ， ，D ． ， 3 ， ，3 5 10 3 10 5【答案】 A 可得C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 的a 值从小到大依次为： C 4 ，C 3 ， C 2 ， C 1 ，4(二) 比较大小例 3．（2019·浙江湖州高一期中） 下列各式中错误的是（ ）A ． 30.8 30.7B ．log 0.5 0.4 log 0.5 0.6C ． 0.750.10.750.1 D ．log 2 3 log 3 2 【答案】 C【变式训练 3-1】．（2020·全国高一课时练习） 设 alog 3 ,b log 2 3,c log 3 2 则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a 【答案】 A1 【解析】 alog 3log 3 3 1, 2log 3 3 log 3 2 c ,1 2【变式训练 3-2】．（2019 秋•沙坪坝区校级月考） 已知 a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 【分析】容易得出，从而可得出 a ，b ，c 的大小关系．【答案】解：∵log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30 ＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1 ∴a＜c ＜b ．故选： B ． 【变式训练 3-3】．（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（ ）【答案】解：∵log 34＞log 33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log 0.310＜log 0.31＝0，CDlog 2 2 b log 2 3 log 2 2 1， a b c .故选： A. ． ． A ． B ． ．．∴．故选： A．(三) 对数函数过定点问题例4.（2019 秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点 P，则P 点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【分析】令 2x+3＝1，求得x 的值，从而求得P 点的坐标．【答案】解：令 2x+3＝1，可得 x＝﹣ 1，此时y＝3．即函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点 P 的坐标为（﹣ 1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【变式训练 4-1】．函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣ 1，2） D．（﹣ 1，3）【分析】根据 log a1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．【答案】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣ 1，故y＝0+1+2＝3，故图象过（﹣ 1，3），故选：D．【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据log a1＝0，a0＝1 是解题的关键．【变式训练 4-2】．已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【分析】令＝1，解得x＝﹣ 2，y＝0，进而得到f（x）＝log a的图象恒过点的坐标．【答案】解：令＝1，解得：x＝﹣ 2，故f（﹣2）＝log a1＝0 恒成立，即f（x）＝log a的图象恒过点（﹣ 2，0），故选：B．(四) 有关对数函数奇偶性问题例5．（多选题）下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )A．y＝x3＋x B．y＝logx2C．y＝2x2 －3 D．y＝x|x|【答案】 ADx 为非奇非偶函数，与题【解析】 A 中， y＝x3＋x 为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符； B 中，y＝log2意不符；C4.1，c f 20.8 ，【变式训练 5-1】．已知奇函数f x在R 上是增函数，若a f log b f log2则a,b,c 的大小关系为( )A．a b c B．b a c C．c b a D．c a b【答案】 C 5【解析】由题意：a f log21f log25，且：log25log24.12,120.82，据此： log 2 5log 2 4.1 20.8 ，结合函数的单调性有： f log 2 5 f log 2 4.1 f 20.8 ， 即a b c,c b a .本题选择 C 选项.【变式训练 5-2】．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）是奇函数B ．f （x ）是偶函数C ．f （x ）是非奇非偶函数D ．f （x ）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可． 【答案】解：由 ＞0，解得：﹣ 1＜x ＜1，故函数f （x ）的定义域是（﹣ 1，1），关于原点对称，而 f （ ﹣x ）＝log 2＝﹣ log 2＝﹣ f （x ），故f （x ）是奇函数，故选： A ．(五) 有关对数函数定义域问题 例 6．函数 y ＝1log 2(x 2)的定义域为( )A ．(－∞ ，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】 Cx 2 0,【变式训练 6-1】．（2018 秋•宜宾期末） 函数 y ＝的定义域是（ ）A ．（ ，+∞）B ．（ ，1]C ．（﹣∞， 1]D ．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域． 【答案】解：要使原函数有意义，则 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，即 0＜4x ﹣ 3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选： B ．【解析】：选 C 根据题意得 解得 x>2 且 x≠3，故选 C. log 2 (x 2) 0【变式训练 6-2】．（2018 春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数 y ＝ 的定义域满足： ，解得 ．故选： D ．1【变式训练 6-3】．函数ylog 2 x 2的定义域是__________．【答案】2,3 3,x 2 0 x 2 0因此，函数y 的定义域是2,3 3, .故答案为： 2,3 3, .【变式训练 6-4】．函数f xlog 1 x 2 2x 3 的定义域为______，最小值为______.2【答案】3,1 2 【解析】由题意得 x 2 2x 3 0 ，解得3 x 1，所以函数 f x 的定义域为 3,1 ，令t x 2 2x 3 x 1 2 4 0,4 ，所以g t log 1 t 在 0,4 递减，且g 4 log 1 4 2 .2 2因此函数 f x 的值域为[2, ) ，最小值为 2 .(六) 有关对数函数值域问题及最值问题1例 7．函数f(x)＝ 的值域是( )A ．(－∞ ，1)B ．(0,1)1 log2 x 23x 1【解析】由题意可得log 3 x2 0 ，即x2 1 ，解得 x 2且 x 3.【解析】∵3x ＋1>1， ∴0<13x 1<1，∴函数的值域为(0,1)．【变式训练 7-1】．（2019 秋•南昌校级期中） 函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2 ）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域． 【答案】解：设 u （x ）＝2x+3 ﹣ x 2＝﹣（x ﹣ 1） 2+4，当 x ＝1 时， u （x ）取得最大值 4，∵函数 y ＝log 4x 为（0，+∞）上的增函数， ∴当 u （x ）取得最大值时，原函数取得最大值，即 y max ＝log 4u （x ） max ＝log 44＝1，8因此，函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2）的值域为（﹣∞， 1]，故填： （﹣∞， 1]．【变式训练 7-2】．已知函数f(x) lg x 2 2x a ，若它的定义域为 R ，则 a_________，若它的值域为 R ，则 a__________． 【答案】 1 1【解析】函数 f(x) lg x 2 2x a 的定义域为 R ，则 x 22x a0恒成立，故 4 4a 0， 即 a1 ；函数 f(x) lg x2 2x a 为 R ，则 0, 是函数 y x 2 2x a 值域的子集，则 4 4a0 ，即 a 1.故答案为： 1； 1.【变式训练 7-3】．）已知f(x)＝log 2(1－x)＋log 2(x ＋3)，求f(x)的定义域、值城．【答案】定义域为 3,1 ，值域为,2 .【解析】由函数 f(x) 有意义得 ，解得 3 x1，因为 f xlog 2 (1 x) log 2 (x 3) log 2 1 x x 3 log 2 x 2 2x 3log 2x 1 2 4 ， 3 x 1， 又因为tx 1 24在( 3, 1) 上递增，在( 1,1) 上递减，所以t 0,4 ，所以log 2 t,2 .所以函数f(x) 的值域为 ,2 .【变式训练 7-4】．设f x log a 1 x log a (3 x)a 0,a 1 ,且 f 1 2 . 1）求a 的值及 fx 的定义域；2）求 fx 在区间 0, 3上的最大值．2 1 x 0 x3 0【答案】1）a2，定义域为1,3；2）2【解析】1）f1loga 2loga2loga42,解得a2.故f x log21x log2(3x),则解得-1< x < 3 ,故f x的定义域为1,3.（2）函数 f x log 2 1 x log 2 3 x log 2 3 x 1 x ,定义域为 1,3 , 01, 3 ,由函数 y log 2 x 在0, 上单调递增, 函数 y 3 x 1 x 在 0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减,可得函数 f x 在0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减.故 f x 在区间 0上的最大值为 f 1 log 2 4 2 .(七) 对数函数的概念与图像例 8．画出下列函数的图象：（1）y ＝lg|x －1| ．（2） y lg(x 1) ．(八) 对数型复合函数的单调性问题例 9．函数f(x) log 1 (2 x)的单调递增区间是( )2A ．( , 2) B ． ( ,0) C ． (2, ) D ． (0, )【答案】 A【解析】由 2 x 0 ，得到x 2 ，令t2 x ，则t 2 x 在(, 2) 上递减，而y log 1 t 在(0,) 上2递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x) log 1 (2 x) 在(, 2) 上递增，故选： A2226 ax在0,2 上为减函数，则a 的取值范围是（）【变式训练9-1】．函数f x logaA ．(0,1)B ．1,3C．1,3D．3,【答案】B，计算得出，所以 B 选项是正确的.【变式训练 9-2】．已知函数 f(x) log x 2log x 2(a 0, a 1) .(1)当 a 2 时,求 f(2) ；(2)求解关于x 的不等式 f(x) 0 ；(3)若x [2,4], f(x) 4 恒成立,求实数a 的取值范围.2, 1 1, 3 2【解析】 （1）当 a2 时， f x log 2 x 2 log 2 x 2 f 2 1 1 22 （2）由 f x 0 得： log x 2log x 2 log x 2 log x 1 0log a x 1或log a x 2当 a 1 时，解不等式可得： 0 x或 x a 2 1 a综上所述：当 a 1 时， f x 0 的解集为0, 1 a 2,；当 0 a 1时， f x 0 的解集为0, a 21 ,a（3）由 f x4 得： log x 2 log x 6 log x 3 log x 2 0log a x 2 或log a x 3①当 a 1 时，log a x maxlog a 4 ， log a xminlog a 2a当 0 a 1时，解不等式可得： x 或 0 x a 2【答案】（1） 2 ；（2）见解析； （3）【解析】若函数上为减函数,则a a a 2 在1a a a aa a a aloga 42logaa2或loga23logaa3，解得：1a32②当0 a 1时，loga xmaxloga2 ，logaxminloga4loga 2 2 logaa 2 或loga4 3 logaa3 ，解得：综上所述：a的取值范围为22,11,32(九) 对数型复合函数的最值问题2a 1例10．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知f x loga 1x1xa0，a1(1)求f x的定义域；(2)判断f x的奇偶性并予以证明；(3)求使f x 0 的x 的取值范围．【答案】（1）1,1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若 a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，则 0<<1，解得－1<x<0.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1 ）直接法， f x f x(正为偶函数，负为减函数)；（2 ）和差法，f x f x0（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，f xf x1（1为偶函数，1为奇函数）.【变式训练10-1】．.（2019·浙江高一期中）已知函数f(x) log3 mx2 8x nx21．2（Ⅰ）若m 4, n 4 ，求函数f(x) 的定义域和值域；（Ⅱ）若函数f(x) 的定义域为R ，值域为[0,2] ，求实数m, n 的值．8]；（Ⅱ）m5,n5.【答案】（Ⅰ）定义域为x x1，值域为(,log3【解析】（Ⅰ）若m 4, n 4 ，则 f(x) log34x 2 8x 4x 21，由4x 2 8x 4x 210 ，得到x 22x 1 0 ，得到 x 1 ，故定义域为x x 1 ．4x 28x 4，则 (t 4)x 2 8x t 4 0当t4 时， x 0 符合．64 4(t 4)2 0,又 x 1 ，所以 t 0 ，所以 0t 8 ，则值域为(,log 3 8] ．（Ⅱ）由于函数 f(x) 的定义域为 R ，则mx 2 8x n x 2 1m 0 m 0tmx 2 8x n，由于 f(x) 的值域为[0,2] ，则t [1,9] ，而(t m)x 2 8x t n 0 ，则由 64 4(t m)(t n) 0, 解得t [1,9] ，故 t 1和 t 9 是方程m n 10 m 5意．所以m 5, n 5 ． 【变式训练 10-2】．（2019 秋•荔湾区校级期末）已知函数 f （x ）＝log 3（1+x ）﹣ log 3（ 1 ﹣ x ）． （1）求函数f （x ）定义域，并判断 f （x ）的奇偶性．（2）判断函数f （x ）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论． （3）解关于 x 的不等式f （1 ﹣ x ）+f （1 ﹣ x 2 ）＞0．x 2 1 令 t 64 4(t m)(t n) 0 即t2(m n)t mn 16 0 的两个根，则 ，得到 ，符合题mn 16 9 n 5x 2 10 恒成立，则 ，即 ，令 64 4mn 0 mn 16当t 4 时，上述方程要有解，则 ，得到 0 t 4 或4 t 8 ， t 0【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，必须满足，解得：﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1），综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1）．f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）＝log3（）．f（﹣x）＝log3＝﹣log3．∴f（x）为奇函数．（2）函数f（x）＝log3（），在区间（﹣ 1 ，1）上任取两个不同的自变量x1 ，x2，且设x1＜x2 ，则f（x1）﹣f（x2 ）＝log3，又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，∴log3＜0，即f（x1 ）＞f（x2），∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），又∵f（x）在定义域上单调递增，∴1﹣x＞x2﹣1，x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，而，解得：0＜x＜，综上：0＜x＜1．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．四、迁移应用21x,x1,【答案】[0,)【解析】x1时，f(x)21x2，1x1，x0，∴0x1，x1时，f(x)1log2x2，log2x1，x1，所以x1，综上，原不等式的解集为[0, ) ．故答案为：[0,)．217．设函数f(x) 则满足f(x) 2 的x 的取值范围是_______________.1log2x,x1,。
对数函数及其性质知识点总结讲义
对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。
2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。
3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。
二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
-对数函数的值域为实数集，即y∈R。
2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。
- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。
- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。
-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。
-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。
5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。
- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。
三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。
-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。
2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。
对数函数及其性质
对数函数及其性质一、学习内容解析《对数函数及其性质》是选自普通高中实验教科书人教A版必修①第二章第二节的内容。
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
而对数函数是学生学习了函数的概念、性质以及指数函数及其性质后，学习的第二个基本初等函数，是高中阶段要研究的重要的基本初等函数之一，是函数学习的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段。
它是一种新的函数模型，在人口、考古、地震、pH的测定等问题中有着广泛的应用。
《对数函数及其性质》教学时数安排是3课时，本节课是第一课时，它涉及对数函数的概念的建立、图象的绘制、基本性质以及简单应用，属于概念性知识。
教材从具体实例了解对数函数模型的实际背景，学习对数概念，进而学习一类新的基本初等函数——对数函数。
由于对数式与指数式的对应关系，对数函数与指数函数有着很多对应的性质。
对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础展开的，并且对数函数的研究过程同指数函数的研究过程是一样的。
教材的目的就是让学生对建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的认识。
一方面对数函数的学习可以进一步深化对函数概念、性质以及研究方法的理解，另一方面也为后续研究幂函数、三角函数等初等函数打下基础。
基于以上分析，我确立本节课的教学重点是：教学重点：对数函数的定义、图象和性质。
突破重点的策略：引导学生再现指数函数的学习经验，提供情景抽象出对数函数，同时类比指数函数的学习过程，整体上确定研究内容与研究方法，在师生共同加以确认后组织学生进行自主探究。
二、学习目标设置结合课程标准和学生实际确立本节课的学习目标如下：1、从具体实例中抽象出对数函数特征，并用数学符号表示，初步理解对数函数的概念，发展学生的数学抽象素养。
2、类比指数函数的研究过程，经历设计对数函数的研究方案并实施，获得对数函数的性质，发展学生的几何直观素养和数学抽象素养。
3、在经历对数函数的研究过程中，对建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的认识，同时发展思维，促进自主学习能力的提升。
对数函数及其性质教学设计及说明
《2.2对.数2函数及其性质》教学设计一、教材分析＜一＞地位与作用对数函数是高中数学继指数函数之后的重要初等函数之一，无论从知识角度还是从思想方法角度对数函数都与指数函数有类似之处。
与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。
而且学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际中的应用奠定良好的基础。
＜二＞教学目标【知识目标】1、理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质；2、会求和对数函数有关的函数的定义域；3、会利用对数函数单调性比较两个对数的大小。
【能力目标】1、通过对底的讨论，使学生对分类讨论的思想有进一步的认识，体会由特殊到一般的数学思想；2、通过例题、习题的解决，使学生领悟化归思想在解决问题中的作用。
【情感目标】学生在参与中感受数学，探索数学，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心。
＜三＞教学重难点教学重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数图像和性质。
教学难点：底数对函数值变化的影响及对数函数性质的应用。
二、教学方法：探究与小组合作教学法。
三、教学用具：多媒体，三角板，坐标纸。
四、教学过程设计在对教材及学生全面深入了解的基础上，我设计了以下五个教学环节：五、教学评价分析根据本节课的特点我从以下两个方面进行教学评价：1、关注学生在整个探究过程中的的表现，包括学生的投入程度、思维水平的发展，具体体现在：（1）、在对数函数概念形成的过程中，学生的思维发展过程，学生的概括问题的能力；（2）、在对数函数的性质的探究过程中，学生分析和解决问题的能力。
2、在练习中检测学生对本节课定义的理解性质的掌握情况。
通过以上教学评价，学生学习激情更加高涨，老师也可以根据学生的反映情况随时调控教学。
《对数函数的图像与性质》知识解读
《对数函数的图像与性质》知识解读
(1)一般地,对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且图像与性质如下表:
(2)底数a 对函数图像的影响
①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”:当a >1时,对数函数的图像“上升”;当0<a <1时,对数函数的图像“下降”.
②2函数1log log (0,1)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称.
③底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是a >1还是0<a <1,在第一象限内,自左向右,图像对应的对数函数的底数逐渐变大.
a .上下比较:在直线x =1的右侧,a >1时,a 越大,图像向右越靠近x 轴;0<a <1时,a 越小,图像向右越靠近x 轴.
b .左右比较:比较图像与直线y =1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
根据如图所示的图像,我们很容易得到上述结论.
辨析比较☆
两个单调性相同的对数函数,它们的图像在位于直线x=1右侧的部分是“底大图低”,如图所示。
2019-2020年人教版高中数学必修一说课稿：2-2对数函数及其性质
2019-2020年人教版高中数学必修一说课稿：2-2对数函数及其性质一、教材分析本节课选自人教版高一数学（必修一）第二单元2.2.2《对数函数及其性质》第一课时。
对数函数是重要的基本初等函数之一，是指数函数知识的拓展和延伸. 它的教学过程，体现了“数形结合”的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨论证的思维能力有重要作用．本节课也为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。
二、学情分析学生前面已经学习了指数函数，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图像和性质以及初步应用，启发引导学生进一步完善初等函数的知识的系统性，加深对函数的思想方法的理解。
教学过程中，发挥大多数学生动手能力较强的特点，让学生自己通过列表、描点、连线画对数函数图像。
这样也利于对对数函数性质的理解。
三、教学目标1.知识目标：让学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，掌握对数函数的性质.2.能力目标：通过对对数函数的学习，培养学生观察，思考，分析，归纳的思维能力.3.情感目标：培养学生勇于探索的精神，让学生主动融入学习．四、教学重点和难点重点：在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。
难点：对数函数性质的应用。
五、教法与学法说教法教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,教师主导,学生为主体,根据这样的原则和所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法：(1)启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳。
(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法。
(3)体现“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法。
(4)多媒体演示法。
说学法教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：(1)对照比较学习法：学习对数函数,处处与指数函数相对照。
对数函数及其性质
对数函数及其性质【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ．2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。
类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）log 0,1)a y a a =>≠； （2）2log 2;y x =+ （3）28log (1)y x =+；（4）log 6(0,1)x y x x =>≠； （5）6log y x =．【答案】（5） 【解析】（1）中真数不是自变量x ，不是对数函数． （2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为1x +，不是x ，系数不为1，故不是对数函数． （4）中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x ，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【总结】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．a ＞1 0＜a ＜1定义域：（0，+∞）类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2. 求下列函数的定义域：(1)2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且. 【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.(1)因为20x >，即0x≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为； (2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为. 【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．举一反三：【变式1】求函数y =.【答案】(1，23) (23，2] 【解析】因为121210log (1)0log (1)1x x x ⎧⎪->⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≠⎪⎩， 所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-≤⎨⎪⎪≠⎩，所以函数的定义域为(1，23) (23，2].【变式2】函数y ＝12log (3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 2要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)类型三、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.例3. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5；(3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
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对数函数及其性质题型总结1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征Error!判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x是对数函数，则实数a ＝__________．(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x＜1时，y ＞0性质(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)．y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．题型二:对数值域问题对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．221log 1(4y ax ax R a =++数的定义域为，变式求实数的围。
高一数学对数函数知识点梳理
高一数学对数函数知识点梳理对数函数是数学中重要的一种函数类型，它在各个领域都有广泛的应用。
高一数学课程中，对数函数是一个重要的内容，掌握其知识点对学生的数学能力提升和考试成绩的提高至关重要。
下面将对高一数学中的对数函数知识点进行梳理和总结。
一、定义及性质1. 定义：对于任意正实数a（a≠1）和任意正数x，对数函数y=logₐx表示满足a^y=x的关系，其中a称为底数。
2. 对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
3. 对数函数的图像特点：当底数a>1时，函数图像单调增加；当0<a<1时，函数图像单调减少；对于不同的底数，图像有所差异。
二、基本公式和公式推导1. 对数函数的基本公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy，logₐ(x/y) =logₐx - logₐy，logₐx^m = m·logₐx，其中a>0，a≠1，x,y,m为正实数。
2. 对数函数的公式推导：通过基本公式，可以推导出其他形式的公式，例如换底公式、指数转化为对数等。
三、常用性质和运算法则1. 恒等式：logₐ1 = 0，logₐa = 1。
2. 反函数关系：对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即y=logₐx和y=a^x是等价的。
3. 运算法则：对数函数具有运算法则，包括对数的乘方法则、除法法则、负指数法则等。
四、对数方程和不等式1. 对数方程：对于形如logₐx=b的方程，可以通过换底公式和去对数法解得x的值。
2. 对数不等式：对于形如logₐx<b的不等式，可以通过换底公式和构建对数函数图像解得x的取值范围。
五、应用1. 指数增长与对数函数：对数函数在描述指数增长的问题中有广泛的应用，例如人口增长、投资利息等。
2. 数据压缩与信息传输：对数函数在数据压缩和信息传输领域中起到重要的作用，可以实现资源的高效利用和快速传输。
3. 科学研究和工程应用：对数函数在科学研究和工程应用中有广泛的用途，例如声音的分贝计算、地震能量的测量等。
2-2-2-第1课时 对数函数及其性质
＝log2(x＋1)．
[解析]
2
①是指数函数；②中 log3x 的系数为－1，但可变
形为 y＝log3 x；∴②是对数函数；③中的真数为 x，但可变 形为 y＝log
0.5x，∴③是对数函数；⑤中的真数是(x＋1)，∴
⑤不是对数函数；∴②③④是对数函数.
命题方向 2 对数函数的定义域
[例 2] 求下列函数的定义域： 1 (1)y＝ ； log2x＋1－3 (2)y＝log(2x－1)(3x－2)．
y 2 1 11
y log1
2
x
O
-1 -2
42
1 2 3
4
x
的图象填写下表
图象特征 图象位于y轴右方
代数表述 定义域: ( 0,+∞)
图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐下降
值 域: R 在(0,+∞)上是 减函数
对数函数y=logax
a ＞ 1 图 象
y
x =1
(a＞0,且a≠1) 的图象与性质
[解析]
(1)要使函数有意义，则有 即 x>－1 且 x≠7.
x＋1>0， log2x＋1－3≠0，
故所求的函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)．
3x－2>0， (2)要使函数有意义，则有2x－1>0， 2x－1≠1， 2 解得 x>3且 x≠1. 2 故所求的定义域为(3，1)∪(1，＋∞)．
(2)当 0<x<1，a>1 或 x>1,0<a<1 时，logax<0，即当真数 x 和底数 a 中一个大于 1，而另一个小于 1 时，也就是说真数 x 和底数 a 的取值范围“相异”时，对数 logax<0，即为负数， 简称为“异负”．因此对数的符号徇简称为“同正异负”(可 联想有理数积的符号规则“同号得正，异号得负”帮助记忆).
必修1《2_2_2对数函数及其性质》
必修1《2.2.2 对数函数及其性质》一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。
对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有很多类似之处。
与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，水平要求也更高。
学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提升，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。
二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生很多学习特点，水平发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。
因为函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算水平有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。
教师必须理解到这个点，教学中要控制要求的拔高，注重学习过程。
三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据实行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。
四、教学目标1．通过具体实例，直观理解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生使用函数的观点解决实际问题。
五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，假设要求这种细胞经过多少次分裂，大约能够得到细胞1万个，10万个……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即；图12.引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，都不是对数函数．②对数函数对底数的限制：，且．3．根据对数函数定义填空；例1 （1）函数y=log a x2的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)(2) 函数y=log a(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止。
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质相关知识点总结：1.对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2. 对数与指数间的关系3.对数的基本性质(1)负数和零没有对数． (2)log a 1＝0(a ＞0，a ≠1)． (3)log a a ＝1(a ＞0，a ≠1)．10.对数的基本运算性质(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ． (2)log a M N＝log a M －log a N ． (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 4.换底公式（1）log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1，b ＞0)．（2）log b a =1logab 5.对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．6.对数函数的图象和性质7.反函数 对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数． 基础练习：1.将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14； (2)102＝100； (3)e a ＝16； (4)64－13＝14； 2. 若log 3x ＝3，则x ＝_________3.计算：(1)log 216=_________; (2) log 381=_________; (3)2log 62+log 69=__________4.（1） log 29log 23＝________． （2）log 23∙log 34∙log 48=________________ 5. 设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝_________.6.若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为______________.7.(1)如图2－2－1是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是______________(2)函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )4. 求下列各式中的x 的值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34； 8.已知函数f (x )＝1＋log 2x ，则f (12)的值为__________. 9. 在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象之间的关系是_______________10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x （x ≤0），log 2x （x >0），那么f (f (18))的值为___________. 例题精析：例1.求下列各式中的x 值：（1）log 3x ＝3； (2)log x 4＝2； (3)log 28＝x ； (4)lg(ln x )＝0. 变式突破：求下列各式中的x 的值：(1)log 8x ＝－23； (2)log x 27＝34； (3)log 2(log 5x )＝0； (4)log 3(lg x )＝1. 例2.计算下列各式的值：(1)2log 510＋log 50.25; (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 (3)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 变式突破：计算下列各式的值：(1)312log 34； (2)32＋log 35； (3)71－log 75； (4)412(log 29－log 25)． 例3.求下列函数的定义域：(1)y ＝lg （2－x ）； (2)y ＝1log 3（3x －2）； (3)y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)． 变式突破：求下列函数的定义域：(1)y ＝log 12（2－x ）; (2)y ＝1log 2（x+2） ; （3）1−log 2x .例4.比较下列各组中两个值的大小：(1)ln 0.3，ln 2； (2)log a 3.1，log a 5.2(a >0，且a ≠1)；(3)log 30.2，log 40.2； (4)log 3π，log π3.变式突破：若a ＝log 0.20.3，b ＝log 26，c ＝log 0.24，则a ，b ，c 的大小关系为________． 例5.解对数不等式(1)解不等式log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )；(2)若log a 23＜1，求实数a 的取值范围． 变式突破：解不等式：（1）log 3(2x ＋1)>log 3(3－x )．（2）若log a 2>1，求实数a 的取值范围． 课后作业：1. 已知log x 16＝2，则x 等于___________.2. 方程2log 3x ＝14的解是__________. 3. 有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是_____________.4.函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点___________.5. 设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝( )6. 若log 12a ＝－2，log b 9＝2，c ＝log 327，则a ＋b ＋c 等于___________.7.. 设3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y =___________.。
《对数函数的性质》知识清单
《对数函数的性质》知识清单一、对数函数的定义一般地，函数\（y ＝＼log_{a}x\）（＼（a ＞ 0\），且\（a ＼neq 1\））叫做对数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（（0, ＋＼infty)＼）。
需要注意的是，对数函数的底数\（a\）的取值范围是\（a ＞ 0\）且\（a ＼neq 1\）。
当\（a ＝ 1\）时，＼（＼log_{1}x\）无意义；当\（a ＜ 0\）时，在实数范围内，对数函数的表达式没有意义。
二、对数函数的图像1、当\（a ＞ 1\）时对数函数\（y ＝＼log_{a}x\）的图像是一条过点\（（1, 0)＼），且位于\（y\）轴右侧，呈上升趋势的曲线。
随着\（x\）的值不断增大，函数值\（y\）也不断增大，增长速度逐渐变慢。
2、当\（0 ＜ a ＜ 1\）时对数函数\（y ＝＼log_{a}x\）的图像同样过点\（（1, 0)＼），位于\（y\）轴右侧，但呈下降趋势。
随着\（x\）的值不断增大，函数值\（y\）不断减小，且减小速度逐渐变慢。
三、对数函数的性质1、定义域对数函数\（y ＝＼log_{a}x\）的定义域是\（（0, ＋＼infty)＼），这是因为负数和零在对数运算中没有定义。
2、值域当\（a ＞ 1\）时，值域为\（R\）；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，值域也为\（R\）。
3、单调性当\（a ＞ 1\）时，函数在定义域上单调递增；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，函数在定义域上单调递减。
4、过定点对数函数的图像都过定点\（（1, 0)＼）。
因为\（＼log_{a}1 ＝0\），无论\（a\）的值是多少。
5、奇偶性对数函数是非奇非偶函数。
6、函数值的变化当\（a ＞ 1\）时：＼（x ＞ 1\），则\（＼log_{a}x ＞ 0\）；＼（0 ＜ x ＜ 1\），则\（＼log_{a}x ＜ 0\）。
当\（0 ＜ a ＜ 1\）时：＼（x ＞ 1\），则\（＼log_{a}x ＜ 0\）；＼（0 ＜ x ＜ 1\），则\（＼log_{a}x ＞ 0\）。
根据对数函数知识点总结归纳
根据对数函数知识点总结归纳
对数函数是数学中重要的函数之一，它在各个领域中都有广泛
的应用。
以下是对数函数的一些重要知识点总结：
1. 对数函数的定义：对数函数是指以某个固定的正数为底的幂
函数的反函数。
常用的对数函数有以10为底的公式，记作log(x)，以自然常数e（欧拉数）为底的公式，记作ln(x)。
2. 对数函数的性质：
- 对数函数的定义域是正实数集，值域为实数集。
- 对数函数的图像在x轴右侧无界，左侧有一个垂直渐近线，
交y轴时值为0。
- 对数函数的图像随着x的增大而上升，但增长趋势逐渐减缓。
3. 对数函数的特殊性质：
- 对数函数满足对数乘积公式：log(a * b) = log(a) + log(b)。
- 对数函数满足对数商公式：log(a / b) = log(a) - log(b)。
- 对数函数满足对数幂公式：log(a^b) = b * log(a)。
4. 对数函数的应用：
- 对数函数广泛应用于科学和工程领域，特别是在测量、数据分析、信号处理等方面。
- 对数函数在金融领域中也有重要的应用，用于计算复利、评估投资风险等。
根据对数函数的知识点总结归纳，我们可以更好地理解对数函数的性质和应用，为更深入的数学研究打下基础。
以上是根据对数函数知识点的总结归纳，希望对您有所帮助。
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疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞），指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的. 只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0）的函数才叫对数函数.像y=log a （x+1），y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数.对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象描点即可完成y=log 2x ，y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x-1-2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现：我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0.5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0.5x=-log 2x ，点(x,y)与点(x,-y)关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x,y)关于x 轴对称点(x,-y)在y=log 0.5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象，其关键是作出三个特殊点（a1，-1），（1，0），（a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法.”②函数y=log a x 与y=x a1log 的图象关于x 轴对称.（3）log a b>0⇔(a-1)(b-1)>0；log a b<0⇔(a-1)(b-1)<0．（4）指数函数由唯一的常量a 确定． 两个同底数的对数比较大小的一般步骤:（1）确定所要考查的对数函数;（2）根据对数的底数来判断对数函数的增减性,若底数与1的大小关系不确定应对a 进行分类讨论;（3）比较真数的大小,然后利用对数函数的增减性来判断两个对数值的大小.3.反函数在指数函数y=2x 中，x 为自变量（x ∈R ），y 是x 的函数(y ∈(0,+∞))，而且它是R 上的单调递增函数．可以发现，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与y=2x 的图象有且只有一个交点；另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x 可得到对数式y=log 2x ．这样，对于任意一个y ∈(0,+∞)，通过式子x =log 2y ，x 在R 中都有唯一确定的值和对应．也就是说，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时我们就说x =log 2y(y ∈(0,+∞))是函数y=2x （x ∈R ）的反函数（inverse function ）.在函数x =log 2y 中，y 是自变量，x 是函数，但习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数．为此，我们常常对调函数x =log 2y 中的字母x,y ，把它写成y =log 2x ．这样，对数函数y =log 2x(x ∈(0,+∞))是指数函数y=2x （x ∈R ）的反函数．由上述讨论可知，对数函数y =log 2x （x ∈(0,+∞)）是指数函数y=2x （x ∈R ）的反函数；同时指数函数y=2x （x ∈R ）也是对数函数y =log 2x （x ∈(0,+∞)）的反函数．因此，指数函数y=2x （x ∈R ）与对数函数y =log 2x （x ∈(0,+∞)）互为反函数．当一个函数是单调函数时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.由于指数函数y=ax （a>0，且a ≠1）在R 上是单调函数，它的反函数是对数函数y=log a x （a>0，且a ≠1），反之对数函数的反函数是指数函数.课本上只要求知道指数函数y=a x （a ＞0且a ≠1）和对数函数y=log a x （a ＞0且a ≠1）互为反函数，不要求会求函数y=f （x ）的反函数.联想发散 注意此处空半格(1)反函数也是函数，它具有函数的一切特性；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.(2)若是已知f （x ）的解析式，求f -1（x 0）的值，不必去求f -1（x ），只需列方程f （x ）=x 0，得出x 的值即为所求.(3)指数函数与对数函数互为反函数.它们的定义域与值域相互对称，单调性相同，图象关于直线y=x 对称,由于对数函数是由指数函数关于直线y=x 变化而得到的，也可以在用描点法作对数函数的图象时，对调同底数的指数函数的对应值里的x 、y 即可.所以在研究对数函数的图象和性质时，要紧扣指数函数的图象和性质.问题·思路·探究问题1 在同一坐标系中，画出函数y=log 3x ，y=x 31log ，y=log 2x ，y=x 21log 的图象，比一比，看它们之间有何区别与联系.思路：利用对数函数的图象与性质可比较底数相同，真数不同的对数值的大小；可比较底数不同，真数相同的对数值的大小；也可比较底数与真数都不同的对数值的大小. 一般地，如果两对数的底数不同而真数相同，如y=1log a x 与y=2log a x 的比较（a 1＞0，a 1≠1，a 2＞0，a 2≠1）.①当a 1＞a 2＞1时，曲线y 1比y 2的图象（在第一象限）上升得慢，即当x ＞1时，y 1＜y 2； 当0＜x ＜1时，y 1＞y 2.而在第一象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越大. ②当0＜a 2＜a 1＜1时，曲线y 1比y 2的图象（在第四象限内）下降得快，即当x ＞1时，y 1＜y 2；当0＜x ＜1时，y 1＞y 2，即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小. ③当0＜a 2＜1＜a 1时，曲线y 1和y 2的图象分布在不同象限.即当x ＞1时， y 2<0<y 1；当0＜x ＜1时，y 2>0>y 1探究:从图象可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是（1，0），当a>1时，图象向下与y 轴的负半轴无限靠拢，在点（1，0）的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小，在点（1，0）的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越大；当0<a<1时，图象向上与y 轴的正半轴无限靠拢，在点（1，0）的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越大，在点（1，0）的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小；由此我们知道，对于对数函数y=log a x ，当y=1时，x=a ，而a 恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y=1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小.同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log 23<log 1.53，log 20.5 <log 30.5，log 0.52>log 0.62等. 问题2 怎样画对数函数y=log a x(a>0, a ≠1)的图象？至少要描出哪几个关键点？思路：（1）要善于对照指数函数与对数函数的关系来画图象;（2）从联系的角度研究画对数函数图象的方法，对深化理解对数函数的图象与性质很有帮助.探究:画对数函数y=log a x(a>0, a ≠1)的图象依据它与指数函数y=a x (a>0, a ≠1)的图象关于直线y=x 对称，用找对称点作对称图形的方法来画，也可以用列表、描点、连线的方法来画．画图象时首先要分清底数a>1还是0<a<1,明确图象的走向，然后至少要画出三个关键点：（a 1，-1），（1，0），（a ，1），当然画出的点越多，所画图象越准确．学好数学是大有禆益的.典题·热题·新题例1 比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 67,log 76（2）log 38,log 20.7;思路解析：由于两个对数值不同底,故不能直接比较大小,可在两个对数值中间插入一个已知数,间接比较两对数值的大小.解：(1)因为log 67> log 66=1, log 76< log 77=1,所以log 67>log 76；(2)因为log 38> log 31=0, log 20.7< log 21=0,所以log 38>log 20.7.深化升华 注意此处空半格利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数值的大小.利用对数的单调性可解简单的对数不等式.例2 已知（1）log 2（2x-1）>1，（2）已知log 1/2（2x-1）＞0，试分别求x 的取值范围. 思路解析：利用对数的单调性可解简单的对数不等式.解：（1）∵log 2（2x-1）>1，即log 2（2x-1）>log 22，∴2x-1>2，解得x>23， 即x 的范围是x ∈（23，+∞）. （2）由已知得log 2（2x-1）＞lg1，0＜2x-1＜1，∴0＜x ＜1.误区警示 注意此处空半格解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式.但一定要注意真数大于零这一隐含条件.例3 求函数y=)3lg(562+--x x x 的定义域. 思路解析：定义域是使解析式的各部分有意义的交集.解：要使函数有意义，必须且只⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥--,13,03,0562x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧-≠->≤≤-,2,3,16x x x∴-3＜x ＜-2，或-2＜x ≤1.∴函数的定义域为（-3，-2）∪（-2，1］.深化升华 注意此处空半格求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.例4 试求满足不等式2（log 0.5x ）2+9log 0.5x+9≤0的x 的范围.思路解析：把log 0.5x 看作一个变量t ，原不等式即变为关于t 的一元二次不等式，可求出t 的取值范围，进而再求出x 的取值范围.解：令t=log 0.5x ，则原不等式可化为2t 2+9t+9≤0，解得-3≤t ≤-23， 即-3≤log 0.5x ≤-23.又-3=log 0.50.5-3，-23=235.0log . ∴235.0≤x ≤0.5-3，即22≤x ≤8.深化升华 注意此处空半格求复合函数的最值时，一般要注意函数有意义的条件，来决定中间变量的取值范围，并综合运用求最值的各种方法求解.例5 求函数y=log 0.3（2x+8-x 2）的单调区间和值域.思路解析：利用复合函数的单调性法则(同增异减),而求值域的关键是先求出对数的真数的取值范围,再由对数函数的单调性求得对数值的范围.解：因为2x+8-x 2>0，即x 2-2x-8<0,解得-2<x<4，所以此函数的定义域为（-2,4）， 又令u=2x+8-x 2,则y=log 0.3u.因为y=log 0.3u 为定义域上的减函数,所以y=log 0.3（2x+8-x 2）的单调性与u=2x+8-x 2的单调性相反.对于函数u=2x+8-x 2,x ∈（-2,4）.当x ∈（-2，1]时为增函数;当x ∈［1，4)时为减函数.所以函数y=log 0.3（2x+8-x 2）的增区间为［1，4),减区间为（-2，1]，又因为u=2x+8-x 2=-（x-1）2+9，所以当x ∈（-2,4）时, 0<u ≤q ⇒log 0.3u ≥log 0.39,即函数y=log 0.3（2x+8-x 2）的值域为 ［log 0.39,+∞)．拓展延伸 注意此处空半格考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义;考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.例6 作出下列各函数的图象,并说明它们的图象可由y=log 3x 的图象经过怎样变换得到：(1) y=log 3|x|;（2）y=|log 3x|.思路解析：作含绝对值符号的函数图象,可先由绝对值定义去绝对值,写成分段函数的形式,也可依翻折变换的规律变换得出.解：（1）原函数可化为y=⎩⎨⎧<->,0),(log ,0,log 33x x x x 它的图象如图(1)所示.先作出函数y=log 3x 的图象,再将所得图象沿y 轴对称到y 轴左侧,所得两部分组合在一起就是函数y=log 3|x|的图象.(2)原函数可化为y=⎩⎨⎧≤<-≥,1,log ,1,log 33x x x x x 它的图象如(2)图所示.先作出函数y=log 3x 的图象,再将所得图象再将所得图象在x 轴下方(虚线部分)的部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与原x 轴上方的部分一起,就是y=|log 3x|的图象.深化升华 注意此处空半格利用对数函数的图象的平移和对称可以认识与对数函数有关的一些函数的图象和性质,这些图象的变换规律与指数函数的有关图象变换规律是类似的.。