对数函数及其性质

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对数函数的性质与变化规律

对数函数的性质与变化规律对数函数是指以某个固定底数为底的数学函数。

对数函数在科学、经济以及其他领域中广泛应用，具有许多独特的性质和变化规律。

本文将介绍对数函数的基本性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、对数函数的基本性质1. 对数函数的定义对数函数是指以某个正数b作为底数，a为真数的对数表达式。

可以表示为log_b(a) = x，其中b称为底数，a称为真数，x称为以b为底a的对数。

对数函数可以用来解决指数方程、指数函数和指数关系中的问题。

2. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集R^+，即所有大于零的实数。

对数函数的值域为实数集R，即所有实数。

3. 对数函数的图像当底数b大于1时，对数函数为增函数，图像从左下方无限逼近y 轴，并且获得正无限大的纵坐标值。

当底数0<b<1时，对数函数为减函数，图像从右上方无限逼近y轴，并且获得负无限大的纵坐标值。

对数函数的图像在横坐标轴上有一个渐近线y=0。

4. 对数函数的基本性质对数函数有以下基本性质：- 对数函数的符号性质：对于所有正数a，log_b(a)>0；对于所有0<a<1的数值，log_b(a)<0。

- 对数函数的乘法性质：log_b(a*c) = log_b(a) + log_b(c)。

- 对数函数的除法性质：log_b(a/c) = log_b(a) - log_b(c)。

- 对数函数的幂指数性质：log_b(a^r) = r*log_b(a)，其中r是任意实数。

二、对数函数的变化规律1. 对数函数的平移对数函数的图像可以进行水平和垂直的平移。

如果对数函数的表达式为y = log_b(x-k)，其中k是任意实数，那么对数函数的图像将向右平移k个单位。

如果对数函数的表达式为y = log_b(x) + k，其中k是任意实数，那么对数函数的图像将向上平移k个单位。

2. 对数函数的伸缩对数函数的图像可以进行水平和垂直方向上的伸缩。

对数函数的定义和基本性质

对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。

对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。

对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。

2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。

当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。

（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。

也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。

（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。

具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。

•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。

（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。

当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。

（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。

当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。

（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。

具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。

高考数学中的对数函数性质及其应用

高考数学中的对数函数性质及其应用对数函数是高中数学中非常重要的一个概念。

在高考中，对数函数也是非常重要的考点之一。

本文将从对数函数的定义、性质、公式以及应用来进行简单的讲解，帮助同学们更好地掌握这一重要概念。

一、对数函数的定义与性质对数函数可以这样定义：设a>0，且且a≠1，则称y=loga x是以a为底，x为真数的对数函数。

其中a被称为底数，x为真数，y 为对数值。

对数函数最基本的性质是：若a>1，则loga 1=0；若0<a<1，则loga 1=0；若a=1，则无解。

对于对数函数的底数a和真数x均不能为负数或零。

对数函数还有一个很重要的性质是对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

这个性质说明了，对数函数的定义需要满足a>0，x>0，根据定义，y=loga x，那么y也一定为实数，因此对数函数的值域为实数集。

二、对数函数的公式运用对数函数公式，能够快速简便地完成数值计算，增强数学思维，提高解题能力。

主要有以下四个公式：1、loga (mn) = loga m + loga n2、loga (m/n) = loga m - loga n3、loga m^p = p*loga m4、loga a^n = n公式1和2用于将对数函数中的乘、除法转换成加、减法。

公式3用于将对数函数中的指数运算转换成乘法。

公式4是对数函数的基本公式，即对数函数中以a为底，a的幂次方的值等于幂次数。

三、对数函数的应用1、复利计算：实际生活中，人们常常要面临各种复利计算问题。

在复利计算中，常常需要用到对数函数。

例如求N年后本金为P的投资，在年利率为r的情况下，总收益为多少。

用对数函数可以快速算出结果，公式为：A=P*(1+r)的N次方。

2、化简大数：在高精度计算和密码学领域中，经常需要对大数进行化简计算。

对于x^y的结果，如果y过大，那么我们需要通过对数函数将其化简。

即对x取对数，乘以y，再通过反函数将结果还原。

对数公式及对数函数的总结

对数公式及对数函数的总结对数公式是数学中一种重要的数学工具，可以用来简化复杂的计算、求解方程和表示关系等。

对数公式和对数函数广泛应用于数学、物理、工程等领域，有很多重要的性质和应用。

下面将对对数公式及对数函数的性质、定义以及应用进行总结。

一、对数公式1. 对数的定义：设a>0且a≠1，b>0，则称b是以a为底的对数的真数，记作b=logₐb。

a称为对数的底数，b称为真数，带底数和真数的对数，称为对数的对数。

对数的定义可以用反函数的概念来构造对数函数，即对数函数是幂函数的反函数。

2. 常用对数公式：常用对数是以10为底的对数，记作logb(x)，其中b=10，x>0。

常用对数公式如下：十进制和对数公式：logb(xy) = logb(x) + logb(y)数字乘方和对数公式：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)对数乘方和对数公式：logb(x^k) = klogb(x)对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c>0且c≠1自然对数的定义：ln(x) = logₑ(x)自然对数的性质：ln(e^x) = x，其中x为任意实数。

二、对数函数1. 对数函数的定义：对数函数y=logₐ(x)是幂函数y=a^x的反函数，其中a>0且a≠1、对于任意正数x和任意实数a，对数函数的守恒是：a^logₐ(x) = x。

2.对数函数的性质：对数函数有以下性质：a) 当0<x<1时，0<logₐ(x)<∞；当x>1时，-∞<logₐ(x)<0。

b) 对数函数logₐ(x)在定义域内是递增函数。

c)对数函数的图像是以(1,0)为对称轴的反比例函数图像。

d)对数函数的增长速度比幂函数的增长速度慢。

三、对数函数的应用1.指数增长和对数函数：对数函数常用于描绘指数增长的情况。

例如，在经济学中，对数函数可以用来描述人口增长、物质消耗和资本积累等指数增长的趋势。

对数函数及其性质

对数函数及其性质对数函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于科学和工程领域。

它的性质包括增减性、定义域、值域等。

本文将详细介绍对数函数及其性质，帮助读者深入理解并运用该函数。

一、对数函数的定义对数函数是指以某个固定的正数（底数）为底，将任意的正数（真数）映射到另一个数上的函数。

对数函数的常见表示形式为y=logₐx，其中底数a>0且a≠1，真数x>0。

二、对数函数的性质1. 增减性对数函数的增减性与底数a的大小有关。

当底数a>1时，对数函数随着真数的增加而增加；当底数0<a<1时，对数函数随着真数的增加而减小。

2. 定义域和值域对数函数的定义域为正实数集，即x>0。

值域为实数集，即y∈R。

3. 特殊值当真数x=1时，对数函数的值为0，即logₐ1=0。

当底数a=1时，对数函数无定义。

4. 对数函数的基本关系（1）对数函数和指数函数的互逆关系：对于任意的正实数x和底数a>0且a≠1，有aⁿ=x⇔logₐx=n。

（2）对数函数的乘积法则：logₐ(xy)=logₐx+logₐy，其中x、y>0。

（3）对数函数的商法则：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy，其中x、y>0。

（4）对数函数的幂法则：logₐ(xⁿ)=nlogₐx，其中x>0，n为任意实数。

5. 对数函数的图像当底数a>1时，对数函数的图像呈现典型的递增曲线；当底数0<a<1时，对数函数的图像呈现典型的递减曲线。

对数函数在x轴的正半轴上的图像称为对数曲线。

三、对数函数的应用1. 数据压缩与展示对数函数可以用于对数据进行压缩和展示。

当数据的幅度较大时，可以通过对数函数对其进行压缩，从而使得数据更易读取和呈现。

2. 指数增长模型对数函数常用于描述指数增长模型，如人口增长、物种繁殖等。

对数函数能够将指数增长转化为线性关系，便于模型的建立和求解。

3. 信号处理对数函数在信号处理中有广泛的应用，如音频信号处理、图像处理等领域。

对数函数及其性质

对数函数及其性质【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ．2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x ．要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。

类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）log 0,1)a y a a =>≠；（2）2log 2;y x =+ （3）28log (1)y x =+；（4）log 6(0,1)x y x x =>≠；（5）6log y x =．【答案】（5）【解析】（1）中真数不是自变量x ，不是对数函数．（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为1x +，不是x ，系数不为1，故不是对数函数．（4）中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x ，符合对数函数的定义，故是对数函数．【总结】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．a ＞1 0＜a ＜1定义域：（0，+∞）类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2. 求下列函数的定义域：(1)2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且. 【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.(1)因为20x >，即0x≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为； (2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为. 【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．举一反三：【变式1】求函数y =.【答案】(1，23) (23，2] 【解析】因为121210log (1)0log (1)1x x x ⎧⎪->⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≠⎪⎩，所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-≤⎨⎪⎪≠⎩，所以函数的定义域为(1，23) (23，2].【变式2】函数y ＝12log (3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 2要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降．如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)类型三、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.例3. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5；(3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。

对数函数与指数函数的基本概念与性质

对数函数与指数函数的基本概念与性质一、对数函数的基本概念与性质对数函数是指数函数的逆运算，用来描述指数运算的反向过程。

对数函数的基本概念与性质如下：1. 对数的定义对于任意正数a（a>0）且a≠1，对数函数y=logₐx表示以a为底数，x为真数的对数，其中x是正数。

对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。

2. 对数的性质（1）对数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。

（2）对数的真数必须是正数，即x>0。

（3）对数函数的图像是一条曲线，称为对数曲线。

（4）对数函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于logₐ1=0。

（5）对数函数的图像在y轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于logₐa=1。

3. 对数函数的性质（1）对数函数的单调性：当0<a<1时，对数函数是递减的；当a>1时，对数函数是递增的。

（2）对数函数的奇偶性：当a>1时，对数函数是奇函数；当0<a<1时，对数函数是偶函数。

（3）对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即x>0。

（4）对数函数的值域：对数函数的值域是实数集。

二、指数函数的基本概念与性质指数函数是以一个固定的正数为底数，自变量为指数的函数。

指数函数的基本概念与性质如下：1. 指数的定义指数函数y=aˣ表示以a为底数，x为指数的指数函数，其中a是正数且a≠1，x是实数。

指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。

2. 指数的性质（1）指数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。

（2）指数函数的图像是一条曲线，称为指数曲线。

（3）指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于a⁰=1。

（4）指数函数的图像在y轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于1ˣ=1。

3. 指数函数的性质（1）指数函数的单调性：当0<a<1时，指数函数是递减的；当a>1时，指数函数是递增的。

对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解

§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a(MN)＝log a M＋log a N (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a MN＝log a M－log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n＝n·log a M (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M>0，N>0，例如log a[(－3)×(－4)]是存在的，但是log a(－3)与log a(－4)均不存在，故不能写成log a[(－3)×(－4)]＝log a(－3)＋log a(－4)．②防止出现以下错误：log a(M±N)＝log a M±log a N，log a(M·N)＝log a M·log a N，log a M N＝log a Mlog a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④解析在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立．在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．所以，只有②成立．答案 C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．解方法一原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.点评方法一是先将括号换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，数x 的值．错解由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解由对数的性质知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________．解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1)＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37. 答案 log 372．(高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____. 解析 g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞) 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1 答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2答案 C解析原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞) 答案 C解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1.5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 135∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 2解析令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________. 答案－1解析 log 2－1(2＋1)＝log 2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3，即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a. 11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1)，则有1x ＝log t a ，1y ＝log t b ，1z ＝log t c ，又1x ＋1y ＋1z＝0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. 12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组)，解之即可．解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2. (3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3. 分析利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化．解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (3)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2. (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.点评指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.(4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝⎛⎭⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析方法一令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3.5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________．答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________．答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3 ∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝±210．求x 的值：(1)x ＝log224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75； (4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎫22x ＝4，∴2－12x ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A解析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50. 分析利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622 ＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.(2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a .点评指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.(2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a3－a .∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a 3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋bb.3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005|＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.答案 a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____．答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1. 方法二原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c .证明设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3 ＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c. 2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数．对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y＝log a x中，log a x前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a>0，且a≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y＝ln x.实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律：(1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1；(2)y ＝11－log a (x ＋a ) (a >0，a ≠1)．分析定义域即使函数解析式有意义的x 的围．解 (1)要使函数有意义，必须{2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎨⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0，即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}；当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba ，logb a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 4334＝log 43⎝⎛⎭⎫43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba<log b a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．已知log a 12<1，那么a 的取值围是________．分析利用函数单调性或利用数形结合求解．解析由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12. 故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1；(2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，数a 的取值围．解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减．又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.∴所求的a 的取值围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，数a的取值围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立，即{a>0Δ<0⇔{a>04－4a<0⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时，只要x>－12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a≠0时，必须有{a>0Δ≥0⇔{a>04－4a≥0⇔0<a≤1.∴f(x)的值域为R时，实数a的取值围为[0,1]．本节容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(高考)已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于()A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}．故M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案 C2．(高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <1 D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1＝－lg 1－a 1＋a＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ；又因为2>3，则log 32>log 33＝12，而log 42＝log 22＝12，所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数答案 D解析已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数．又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析方法一若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 上升且过(1,0)；若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．方法二注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值围为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D 解析已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1<x <2}解析由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2，又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]；故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1，即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值围为__________．答案 ⎣⎡⎭⎫17，13解析函数f (x )为实数集R 上的减函数，一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数，因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值．解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2，又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x _(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,34 答案 A解析方法一因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为101,53,34,3. 方法二过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．点评函数y=logax (a>0，且a ≠1)的底数a 的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系：(1)若logm5>logn5，则m n ；(2)若logm0.5>logn0.5，则m n.答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析定义域即使函数解析式有意义的x 的围．解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51，∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1. ∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎨⎧ x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．点评求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1)的定义域．解 log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴4x －3≥1，x ≥1.当0<a <1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1. 综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1.三、对数函数单调性的应用例3 比较大小：(1)log 0.81.5与log 0.82；(2)log 35与log 64.分析从比较底数、真数是否相同入手．解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞)是减函数，∵1.5<2，∴log 0.81.5>log 0.82.(2)log 35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log 35>log 33＝1＝log 66>log 64，∴log 35>log 64.点评比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65；(3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数．又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 65<log 66＝1.∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数．∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ；当0<a <1时，log a π<log a e.例4 若－1<log a 34<1，求a 的取值围．分析此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．解－1<log a 34<1⇔log a 1a <log a 34<log a a . 当a >1时，1a <34<a ，∴a >43. 当0<a <1时，1a >34>a ，∴0<a <34. ∴a 的取值围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4 已知log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求a 的取值围．解 log a (2a ＋1)<log a 3a <0(*)当a >1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 0<2a ＋1<10<3a <12a ＋1<3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<a <00<a <13a >1，∴此时a 无解．当0<a <1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 2a ＋1>13a >12a ＋1>3a ，解得⎩⎨⎧ a >0a >13a <1，∴13<a <1. 综上所述，a 的取值围为⎝⎛⎭⎫13，1.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0<a <1。

对数函数的基本概念

对数函数的基本概念对数函数是数学中常见且重要的一种函数类型。

它在各个领域中广泛应用，包括科学、工程、经济等。

本文将介绍对数函数的基本概念，包括对数的定义、性质以及常见的对数函数。

1. 对数的定义对数是数学中一个重要的概念，它描述了某个数在指定底数下的幂运算结果。

常见的对数有自然对数（以常数e为底数）和常用对数（以常数10为底数）。

自然对数常用符号ln表示，定义为ln(x) = y，其中x是指数，y是底数为e的对数。

常用对数常用符号log表示，定义为log(x) = y，其中x是指数，y是底数为10的对数。

对数函数将指数和底数之间的关系转化为指数和对数之间的关系，更加方便进行数值计算和问题求解。

2. 对数的性质对数具有一些特定的性质，便于在数学计算中应用。

（1）对数的底数必须大于0且不等于1，指数必须大于0；（2）对数的底数越大，对数的值越小；（3）对数的底数在(0,1)之间时，对数的值为负数；（4）对数的底数为1时，对数的值为0；（5）对数的底数为0时，对数的值是无穷大；（6）对数的指数乘积可以转化为对数之间的和；（7）对数的指数相除可以转化为对数之间的差；（8）对数的指数幂可以转化为对数之间的乘法；（9）对数的指数幂可以转化为对数之间的除法。

通过这些性质，可以方便地化简和计算对数的表达式。

3. 常见的对数函数（1）自然对数函数自然对数函数是以自然常数e为底数的对数函数，通常用符号ln表示。

自然对数函数在数学中有广泛的应用，尤其在微积分和指数函数中。

自然对数函数的图像是一个上升的曲线，其特点是具有水平渐进线y=0和y轴为渐进线。

它的导数是它自身的倒数，即(ln x)' = 1/x。

（2）常用对数函数常用对数函数是以常数10为底数的对数函数，通常用符号log表示。

常用对数函数在实际应用中比较常见，尤其在计算中常被使用。

常用对数函数的图像也是一个上升的曲线。

与自然对数函数不同的是，常用对数函数有一个特殊的点log(1) = 0。

对数对数函数知识点

对数对数函数知识点对数函数是指以对数为变量的函数。

在数学中，对数函数常用于解决指数方程和指数不等式的问题。

了解对数函数的性质和应用十分重要。

以下将介绍对数函数的定义、性质以及常用的应用方面的知识。

一、对数函数的定义：对数函数的定义如下：对于任意正实数a>0且a≠1，以a为底的对数函数（logarithmic function）是指一个函数f(x)，它满足以下条件：f(a)=1,f(a^x)=x,这里，a被称为对数函数的底数，x被称为实数a的对数。

常用的对数函数有自然对数函数(ln x,以e为底)和常用对数函数(log x,以10为底)。

二、对数函数的性质：对数函数具有以下性质：1.对数函数的定义域为正实数集合R+，值域为实数集合R。

即对数函数的自变量必须为正数，而因变量可以是任意实数。

2.对数函数的图像：（1）以10为底的对数函数的图像是一条连续递增的曲线，通过点（1，0）。

（2）以e为底的自然对数函数的图像是一条连续递增的曲线，通过点（1，0）。

3.对数函数的反函数：对数函数的反函数为指数函数，即指数函数f(x) = a^x是对数函数f(x) = loga(x)的反函数。

4.对数函数的性质：（1）loga(mn) = loga(m) + loga(n)：对数函数的乘法性质。

（2）loga(m/n) = loga(m) - loga(n)：对数函数的除法性质。

（3）loga(m^k) = k∙loga(m)：对数函数的幂性质。

三、常用的对数函数应用：对数函数在数学和其他科学领域中有广泛的应用。

以下是对数函数的一些常见应用：1.解指数方程和指数不等式：对数函数可以通过将指数方程或指数不等式转化为对数方程或对数不等式来解决复杂的指数问题。

2.模型和估计：对数函数可以用于建立各种类型的数学模型，例如经济学、生物学和物理学等领域中的增长模型和衰减模型。

对数函数还可以用于对大量数据进行估计和预测。

3.数据缩放：对数函数可以在可视化数据时使用，帮助将大范围的数值缩小到较小的比例，以便更好地观察数据之间的关系。

对数函数的性质与计算方法

对数函数的性质与计算方法随着科技的进步和计算机的普及，数学在各个领域的应用也变得越来越广泛。

对数函数作为数学中的一种重要函数，在实际问题的建模和解决过程中起到了关键的作用。

本文将讨论对数函数的性质以及计算方法，旨在帮助读者更好地理解和应用对数函数。

一、对数函数的定义与基本性质对数函数是指满足以下条件的函数：对于任意的正数a和大于1的实数x，存在唯一的实数y，使得a的y次方等于x，即y = logₐ(x)。

其中，a被称为对数函数的底数。

对数函数的基本性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集（x > 0），值域为实数集。

2. 当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。

3. 对数函数存在反函数，即幂函数。

即logₐ(x)的反函数为a的x次方函数。

4. 特殊情况下，底数为e（自然对数）时的对数函数称为自然对数函数，记作ln(x)。

二、对数函数的计算方法对数函数的计算方法主要包括对数的换底公式、对数的运算法则以及特殊常用对数的计算。

1. 换底公式对于任意底数a、b和正实数x，换底公式表达为：logₐ(x) = log_b(x) / log_b(a)利用换底公式，可以将对数函数的底数转化为常见的底数，从而简化计算过程。

2. 对数的运算法则（1）对数的乘法法则：logₐ(x·y) = logₐ(x) + logₐ(y)（2）对数的除法法则：logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)（3）对数的幂法法则：logₐ(x^m) = m·logₐ(x)（4）对数的换底法则（已在前文提及）通过运用对数的运算法则，可以对对数函数进行合并、拆分和化简，使得计算更加灵活和高效。

3. 特殊常用对数的计算（1）10为底的常用对数：log₁₀(x)常用记作log(x)，表示10的几次方等于x。

在计算过程中，可以直接利用计算器或者查表得到对应的数值。

对数函数知识点总结

对数函数知识点总结对数函数是高中数学中的重要知识点之一，它广泛应用于数学、物理、经济学等领域。

本文将对对数函数的定义、性质和应用进行详细总结，帮助读者全面了解对数函数。

一、对数函数的定义1. 对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1）和正实数x，称y=logₐx为以a为底x的对数，其中x被称为真数，a被称为底数，y被称为对数。

记作y=logaₐx。

2. 以10为底的对数函数：y=log₁₀x，通常将其简写为y=logx。

3. 自然对数函数：以e≈2.71828为底的对数函数，记作y=loge x或y=lnx。

二、对数函数的基本性质1. 对数函数与指数函数的互为反函数性质：对数函数y=logₐx与指数函数y=aˣ满足关系方程aˣ=x，x>0，a>0且a≠1。

2. 对数函数的定义域和值域：对数函数y=logₐx的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。

3. 对数函数的对称关系：对于任意正实数x和定义域内的正实数a，有对称关系logₐx=y↔aʸ＝x。

4. 对数函数的性质：（1）等式性质：logₐx=logₐy→x=y；logₐx=logb x/lobb a；logₐ1=0；l ogₐa=1。

（2）倒数性质：loga(1/x)=-logₐx。

（3）指数性质：logₐxⁿ=nlogₐx。

（4）乘法性质：logₐ(xy)=logₐx+logₐy。

（5）除法性质：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy。

三、对数函数的图像与性质1. 对数函数y=logₐx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

（2）过点(1,0)。

（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。

（4）曲线在x轴的右侧均为上升曲线。

（5）曲线在x=1处有一垂直渐近线。

2. 自然对数函数y=lnx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

（2）过点(1,0)。

（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。

对数函数及其性质

教材：第78页习题2.2 A组 7、10
谢谢！Biblioteka 对数增减有思路, 函数图象看底数; 底数只能大于0, 等于1来也不行; 底数若是大于1, 图象从下往上增; 底数0到1之间, 图象从上往下减; 无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.
下列是6个对数函数的图象，比较它们底数的大小：
y
y loga1 x
1
0
1
y loga2 x
y loga3 x
小
0<a<1时为减数）
２.比较真数值的大小；
结
３.根据单调性得出结果。
（3） loga5.1与 loga5.9
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论即0<a<1 和 a > 1
对数函数概念
对数函数
对数函数图像
对数函数性质
思想方法
类比类比指数函数的研究方法数形结合研究函数图像和性质
布置作业
x
y loga4 x
y loga5 x y loga6 x
例1：比较下列各组中，两个值的大小： • （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解法:用对数函数的单调性
考察函数y=log 2 x , ∵a=2 > 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；
表 y log 2 x … -2 -1
y log 1 x … 2 1
2
12
01 0 -1
4…
2… -2 …
列
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
表 y log 2 x … -2 -1 0 1 2 …
y log 1 x … 2 1 0 -1 -2 …

对数函数的特征

对数函数的特征
对数函数是一类函数，有着独特的特征和性质，它描述的是数量级的变化。

它有着与线性函数不同的性质，比如在幂次方程、竞争模型中有重要应用，物理、社会等多个领域都有着普遍的运用。

对数函数的性质主要有以下几点：
一、对称性：对数函数的函数图象是对称的，它的定义域和值域也是对称的，其坐标系的原点是（0，0）。

二、增函数：对数函数在加上同等的正实数的单调的性质属于增函数，即只要x大于0，y就会增加。

三、凹函数：对数函数的函数图象是凹函数，即它的图象具有开口向下的性质，以1为枢纽，图形在它右边时上弯，在左边是下弯。

四、对称性：对数函数的函数图象是对称的，y=sinx，其函数图象绕y轴周期性循环，周期为π，因此它也具有周期性，当x满足条件时，y在每一周期内都能达到相同的值。

五、逆函数：对数函数具有逆函数的性质，它的逆函数表示为：y=log（x）。

六、连续性：对数函数在定义域上是连续的，但具有不变点，也就是当x=1时，y也是一个常数，由此可以看出在某些情况下，它仍然满足连续性。

以上六点就是对数函数的特性，在不同用途中，都能有效地使用。

它体现了实数值的变化规律，可以给我们更好的研究自然现象。

对数函数高考知识点

对数函数高考知识点对数函数是高中数学中的一个重要知识点，在高考中也是经常出现的考点之一。

在本文中，我们将探讨对数函数的定义、性质以及一些常见的解题方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、对数函数的定义对数函数是指以某个正数b（b ≠ 1且b > 0）为底的函数，记作y = logbx。

其中，x称为真数，b称为底数，y称为对数。

对数函数是指对数方程y = logbx与坐标轴构成的图像。

二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域是正数集合R+，值域是实数集合R。

2. 当b > 1时，对数函数的图像是递增的，即随着真数的增加，对数值也随之增加。

3. 当0<b<1时，对数函数的图像是递减的，即随着真数的增加，对数值反而减小。

4. 对数函数y=logbx与指数函数y=b^x 是互逆函数，即互为反函数。

即logbx = y 等价于 b^y = x。

三、对数函数的解题方法1. 对数函数的性质可以用于解决一些特殊形式的方程，如求解logbx = logby 这样的问题。

根据对数函数的互逆性质，可以得到b^x =b^y，进而推出x = y。

这种方法在解对数方程的过程中常常会用到。

2. 对数函数的换底公式是解题中常用的工具之一。

换底公式是指logab = logcb / logca。

当遇到对数底数不同的情况时，可以通过换底公式将其转换为以常用底数表示的对数，然后进一步计算。

3. 对数函数还有一些特殊的性质，如logbac = 1 / logcab，logba*b = a，logba^m = m * logba等，这些性质在解题过程中也经常会被使用到。

四、对数函数在高考中的应用对数函数在高考中的应用非常广泛，常出现在函数的性质、方程的求解、不等式的求解等问题中。

在考试中，同学们需要熟练掌握对数函数的性质和解题方法，灵活应用于各种题型中。

最后，我们通过一个例题来加深理解。

例题：已知f(x) = 2^x和g(x) = log2x，求f(g(8))的值。

初中数学知识归纳对数函数的性质与像

初中数学知识归纳对数函数的性质与像对数函数是数学中常见的一类函数，它在数学、物理、经济等领域中发挥着重要的作用。

对数函数的性质与像是初中数学知识中的一个重要概念，本文将对对数函数的性质与像进行归纳和总结。

一、对数函数的性质1. 对数函数的定义域与值域对数函数的定义域为正实数集，即x>0，值域为实数集。

对数函数y=logx的定义可以表示为x=10^y。

2. 对数函数的图像特点对数函数的图像在x轴的左侧逐渐上升，呈现出右凸的形状。

对于对数函数y=logx，当x>1时，y>0；当x=1时，y=0；当0<x<1时，y<0。

这一特点在函数图像中体现出来。

3. 对数函数的性质对数函数具有以下性质：（1）对数函数的反函数是指数函数，即指数函数y=a^x与对数函数y=loga(x)互为反函数。

（2）对数函数与指数函数之间存在对应关系，即y=loga(x)与y=a^x在直角坐标系中对应点关于y=x对称。

（3）对数函数的图像关于直线y=x对称，即对于点(x,y)，若y=loga(x)，则x=loga(y)。

（4）不同底数的对数函数之间可以通过换底公式进行转换，即对于任意正实数x和任意正整数a、b，在同一定义域上，loga(x)=logb(x)/logb(a)。

二、对数函数的像1. 对数函数的像的定义对于对数函数y=loga(x)，x属于定义域，所对应的y值即为像。

像是自变量x通过函数变换所得到的因变量y的数值。

2. 对数函数的像的特性（1）对数函数的像随着自变量x的增加而增大，但增速逐渐减缓。

当x趋于无穷大时，对数函数的像也会趋于无穷大。

（2）当自变量x等于1时，对数函数的像等于0。

这是因为任意底数的对数函数，底数1的对数都等于0。

（3）当自变量x在(0,1)区间内时，对数函数的像为负数。

这是因为在这个区间内的自变量通过对数函数的映射，得到的值在0附近，所以是负数。

（4）当自变量x大于1时，对数函数的像为正数。

对数函数及性质的研究报告

对数函数及性质的研究报告
对数函数是一种常见的数学函数，主要用来描述指数和底数之间的关系。

在研究对数函数时，可以从其定义、性质和应用三个方面进行探讨。

对数函数的定义：
对数函数是指将一个正数（实数）x作为自变量，得到一个实数y作为函数值，使得y等于以底数a（a>0且a≠1）为底，x 为真数的对数。

即 y = loga x。

其中，a被称为底数，x被称为真数，y被称为以a为底的x的对数。

对数函数的性质：
1. 定义域和值域：对数函数的定义域是(0, +∞)，值域是(-∞，+∞)。

2. 基本性质：loga 1 = 0，loga a = 1。

3. 对数函数的图像特点：对数函数的图像在(0,1)上是递减的，在(1,+∞)上是递增的，且通过点(1,0)。

4. 对数函数的性质：对数函数具有对数的唯一性、对数的分离性、对数的乘法法则和对数的除法法则等性质。

对数函数的应用：
1. 在数学中，对数函数常用于求解指数方程、指数不等式等问题。

2. 在物理学中，对数函数常用于描述线性衰减、频率倍增等现象。

3. 在经济学中，对数函数常用于描述复利计算、经济增长等问题。

综上，对数函数是数学中重要的函数之一，具有独特的定义、性质和应用。

通过对对数函数的研究，可以更加深入地理解指数和底数之间的关系，并应用于各个领域的问题求解。