巧用设k法解题

巧用设k 法解题

初中代数中经常遇到连等方程或有已知连等式、连续比例式的题，解决这类题型的最佳方法是设k 法。

例1. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++.4

32.51z y x z y x z y x

分析：方程组中第二方程是连等方程，可以设它为k.

解：设k z y x ===4

32，则k x 2= k y 3= k z 4=代入第一个方程，可得1959+=-k k ，两边平方后整理得关于k 的一元二次方程0833272=+-k k ，从而解得311=k 982=k .进一步得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===34132z y x 和⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧===93238916z y x .经验证⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===34132z y x 不符合题目要求，所以原方程组的解是⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧===93238916z y x 例2. 解方程2222

22c

b a z y x

c z z b y y a x x ++++=+=+=+. 分析：易知0===z y x 满足方程，且方程组中至少有一个为0，但又不全为0的解，即0≠xyz .

解：当0≠xyz ，取倒数得2222

22111z

y x c b a z c y b x a ++++=+=+=+.等式两边同时减去1得12

222

22-++++===z y x c b a z c y b x a .设k z c y b x a ===得()()()22

22222222222k z y x zk yk xk z y x c b a =++++=++++.既得k k =-12.解之得251±=k .从而得到原

方程组的解为：

()

()

()

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

±

-

=

±

-

=

±

-

=

2

5

1

2

5

1

2

5

1

c

z

b

y

a

x

和

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

z

y

x

.