巧用设k法解题
浅谈反比例函数中的k值法解题
浅谈反比例函数中的“K ”值法解题姜岩摘 要：随着新课程标准的推进，近几年，在中考试题中关于反比例函数方面的试题出现了不少新题型。
而反比例函数的“K ”值是一个最关键的因素，可以说是反比例函数的精髓所在。
接下来，让我们一起探讨一下反比例函数中利用“K ”值法解题的问题。
关键词：反比例函数 “K ”值 象限 图像所谓“K ”值法解题，就是通过反比例函数特有的“K ”值的一些性质进行分析解题。
结合近几年中考题，“K ”值主导的反比例函数习题越来越多。
这里就反比例函数的“K ”值的意义来解决问题进行例析。
以下是利用“K ”值求解关于面积、反比例函数性质、反比例函数图像及反比例函数和正比例函数相结合等方面的解法淡析。
一、“K ”值的几何意义及利用其求相关图形面积研究函数问题要透视函数的本质特征。
所以，我们先从“K ”值的本质出发对其进行精确剖析。
下面就是反比例函数的几何意义。
反比例函数y=xk(k ≠0)中，比例系数k 有一个很重要的几何意义。
那就是：过反比例函数y=xk(k ≠0)的图像上任意一点P 作x 轴，y 轴的垂线PM 、PN ，垂足为M 、N （如图1-1所示），则矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数k 。
从而有PNO S ∆=PMO S ∆=k 21。
在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便。
现举例说明。
例1.已知点C 为反比例函数6y x=-上的一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为 。
解析：因为四边形AOBC 的面积S=CA ·CB=xy x y =∙,又因为6y x=-,所以xy k =, 即S=6-=6,故四边形AOBC 的面积为6。
例2.（03年全国初中数学联赛试题）若函数kx y =（k ＞0）与函数1y x=的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为（ ）。
专题11.8 三角形内角和定理及其应用(拓展提高)(解析版)
专题11.8 三角形内角和定理及其应用（拓展提高）一、单选题1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1:3:4，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】设三个内角分别为k 、3k 、4k ，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出k ，再求解即可．【详解】解：设三个内角分别为k 、3k 、4k ，由题意得，k +3k +4k =180°，解得k =22.5°，所以，三个内角分别为22.5°、67.5°、90°，所以，这个三角形是直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的形状的判定，利用“设k 法”求解更简便． 2．如图，点A 和点B 恰好分别在GH 和EF 上，GH ∥EF 且BA 平分∠DBE ，若∠C ＝90°，∠CAD ＝32°，则∠BAD 的度数为（ ）A ．28°B ．29°C ．30°D ．31°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：90C ∠=︒，32CAD ∠=︒，903258ADC ∴∠=︒-︒=︒， //EF GH ，58DBE ADC ∴∠=∠=︒， BA 平分DBE ∠，1292ABE DBE ∴∠=∠=︒， 直线//EF 直线GH ，29BAD ABE ∴∠=∠=︒，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．3．如图，将一块含有45°角的直角三角板的直角顶点放在矩形板的一边上，若135∠=，那么2∠的度数是（ ）．A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得31∠=∠；结合题意，根据三角形内角和的性质，得4∠；再根据对顶角相等的性质计算，即可得到答案．【详解】如下图根据题意得：3135∠=∠=︒∴4180345100∠=︒-∠-︒=︒∵24∠∠=∴2100∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角、三角形内角和、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、三角形内角和的性质，从而完成求解．4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，则∠BOC 的度数是（ ）A ．130°B ．60°C ．80°D ．120°【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∵∠BAC ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣80°＝100°，∵BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ， ∴∠OBC +∠OCB ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝12×100°＝50°， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝180°﹣50°＝130°．故选：A ．【点睛】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键． 5．如图，延长ABC ∆的边AC 到点E ，过点E 作//DE BC ，BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠交BG 的反向延长线于点F ，已知34A F ∠=∠，则A ∠的大小为（ ）A ．75︒B ．74︒C ．72︒D ．70︒【答案】C 【分析】过点F 作FM ∥BC ，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠，然后结合三角形内角和定理可得()11+2=1802A ∠∠︒-∠，然后根据题意列方程求解．【详解】解：过点F 作FM ∥BC∵//DE BC ，∴////FM DE BC又∵BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠ ∴11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠ ∴()1111+2=+180222ABC ACB A ∠∠∠∠=︒-∠ 由题意可得：()34412A GFE ∠=∠=∠+∠∴312=4A ∠+∠∠，()3118042A A ∠=︒-∠，解得：72A ∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理和角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．6．如图，,AB BC AE ⊥平分BAD ∠交BC 于点E ，AE DE ⊥，1290∠+∠=︒，M ，N 分别是,BA CD 延长线上的点，EAM ∠和EDN ∠的平分线交于点F ．下列结论：①//AB CD ；②180AEB ADC ∠+∠=︒；③DE 平分ADC ∠；④F ∠为定值．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠F AD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠F AD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．二、填空题7．将一副三角板如图放置，若//AB CD ，则∠=CFE ________度．【答案】75【分析】根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．【详解】因为//AB CD ，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°，∠=CFE 90°-15°=75°．故CFE ∠的度数是75度．故答案为：75．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，已知//AB CD ，AC 与BD 交于点E ，BD CD ⊥于点D ，若150∠=︒，则2∠=______．【答案】140°【分析】首先根据对顶角相等即可求出∠CED 的度数，再根据三角形的内角和即可求得∠ECD 的度数，根据平行线的性质即可求出∠CAB 的度数，再根据补角的性质即可求解；【详解】∵ ∠1=50°，∴∠CED =50°，∵ 三角形内角和为180°，BD ⊥CD ，∴∠ECD =180°-90°-50°=40°，∵ AB ∥CD ，∴∠EAB =40°，∴∠2=180°-40°=140°，故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，正确掌握知识点是解题的关键； 9．如图，ABC 中30A ∠=︒，E 是AC 边上的点，先将 ABE △沿着BE 翻折，翻折后ABE △的AB 边交AC 于点 D ，又将BCD △沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时 84CDB ∠=︒，则ABC 中ABC ∠=_______ ．【答案】81．【分析】在图(1)的ABC 中，根据三角形内角和定理，可求得150B C ∠+∠=︒；结合折叠的性质和图(2)(3)可知： 3B CBD ∠=∠，即可在CBD 中，得到另一个关于 B C ∠∠、度数的等量关系式，联立两式即可求得 B 的度数．【详解】解：在ABC 中，30A ∠=︒，则150B C ∠+∠=︒①；根据折叠的性质知：3B CBD ∠=∠，BCD C ∠=∠；在CBD 中，则有：18084CBD BCD ∠+∠=︒-︒， 即：9136B C ∠+∠=︒ ②； ①-②，得：2543B ∠=︒，解得81B ∠=︒故答案为：81．【点睛】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B 和∠CBD 的倍数关系是解答此题的关键．10．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，将三角形沿EF 对折，使点C 与边AB 上的D 点重合．若2EFD AED ∠=∠，则AED ∠的度数为____________．【答案】40°【分析】设∠EFD =2∠AED =2x ，由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，由三角形内角和定理得出∠CEF =150°-2x ，再由∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，列出方程即可求出∠AED =40°．【详解】解：设∠EFD =2∠AED =2x ．由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，在△DEF 中，∠DEF =180°-∠EDF -∠EFD =180°-30°-2x =150°-2x ， ∴∠CEF =150°-2x ，∵∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，∴150°-2x +150°-2x +x =180°，解得x =40°，即∠AED =40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了折叠问题，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键．11．如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB 上跑至B 点，向上跃起至最高点P ，然后落在点C 处，继续在水平面CD 上跃起落在点D ，若ABK ∠和KCD ∠的平分线的反向延长线刚好交于最高点P ，88BKC ∠=︒，则P ∠=_______度．【答案】46【分析】延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F ，利用角平分线的定义及平行线的性质可得13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠，1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒，求得268ABK DCK ∠+∠=︒，从而得到()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒，然后结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F由题意可得：AB ∥CD ∥KM ，PE 平分∠ABK ，PF 平分∠DCK∴13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠ 1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒又∵∠BKC =88°∴1+2+180BKC ∠∠∠=︒180180180ABK DCK BKC ︒-∠+︒-∠+∠=︒，即268ABK DCK ∠+∠=︒∴()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒ ∴()1803446P ∠=︒-∠+∠=︒故答案为：46．【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，理解相关性质定理正确推理计算是解题关键．12．如图，EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分EFG ，交线段EG 于点H ，若36AEF ∠=︒，57BEG ∠=︒，则EHF ∠的大小为________．【答案】75°．【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．【详解】解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°∴∠FEH =180°-∠AEF -∠BEG =87°∵ //AB CD∴∠EFG =∠AEF =36°∵FH 平分∠EFG∴∠EFH =12∠EFG =18° ∴∠EHF =180°-∠FEH -∠EFH =75°故答案为：75.︒【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．13．如图，BF 平分ABD ∠，CE 平分ACD ∠，BF 与CE 交于G ，若120BDC ∠=︒，90BGC ∠=︒，则A ∠的度数为________．【答案】60°【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC +∠DCB 的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC +∠ACB 的度数，从而求得∠A 的度数．【详解】解：连接BC ．∵∠BDC =120°，∴∠DBC +∠DCB =180°-120°=60°，∵∠BGC =90°，∴∠GBC +∠GCB =180°-90°=90°，∵BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，∴∠GBD +∠GCD =12∠ABD +12∠ACD =30°， ∴∠ABD +∠ACD =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠A =180°-120°=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 14．如图，在ABC 中，30B ，90BAC ︒∠=，点P 是BC 的动点（不与点B ，C 重合），AI 、CI 分别是PAC ∠和PCA ∠的角平分线，AIC ∠的取值范围为m AIC n <∠<，则m =_______，n =________．【答案】105°150° 【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∠AIC ，从而得到m ，n 的值即可．【详解】解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，∵∠BAC=90°，∴∠PCA=60°，∠PAC=90°-α， ∵AI 、CI 分别平分∠PAC ，∠PCA ，∴∠IAC=12∠PAC ，∠ICA=12∠PCA ，∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA ） =180°-12（∠PAC+∠PCA ） =180°-12（90°-α+60°） =12α+105°， ∵0＜α＜90°，∴105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∠AIC ＜150°， ∴m=105°，n=150°．故答案为：105°，150°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．三、解答题15．如图，BD 是ABC ∠的平分线，//DE CB ，交AB 于点E ，150BED ∠=︒，60BDC ∠=︒，求A ∠的度数．【答案】∠A =45°【分析】首先根据平行线的性质求出∠ABC 的度数，再根据角平分线的性质求出∠CBD 的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠A 的度数即可．【详解】解：∵DE ∥CB ，∴∠BED +∠ABC =180°，∵∠BED =150°，∴∠ABC =30°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴1152CBD ABC ∠=∠=︒， ∵∠BDC =60°，∴∠C =105°，∴∠A =180°-∠ABC -∠C =45°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关定理，正确识图，求得∠C 的度数是解题关键．16．如图，在ABC 中，AE 平分∠BAC ，AD 是BC 边上的高．（1）在图中将图形补充完整；（2）当∠B ＝28°，∠C ＝72°时，求∠DAE 的度数；（3）∠DAE 与∠C ﹣∠B 有怎样的数量关系？写出结论并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）22°；（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠，证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）在ABC ∆中，利用三角形内角和定理可求出BAC ∠的度数，结合角平分线的定义可求出CAE ∠的度数，由AD 是BC 边上的高，可求出CAD ∠的度数，再结合DAE CAE CAD ∠=∠-∠即可求出结论； （3）根据题意可以用B 和C ∠表示出CAD ∠和CAE ∠，从而可以得到DAE ∠与C B ∠-∠的关系．【详解】解：（1）如图，（2）在ABC ∆中，28B ∠=︒，72C ∠=︒，18080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，AE ∵平分BAC ∠，1402CAE BAC ∴∠=∠=︒， AD 是BC 边上的高，AD BC ∴⊥，9018CAD C ∴∠=︒-∠=︒，401822DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠， 理由：在ABC ∆中，AD ，AE 分别是ABC ∆的高和角平分线， 180CAB B C ∴∠=︒-∠-∠，90CAD C ∠=︒-∠，1(180)2CAE B C ∠=︒-∠-∠， 11(180)(90)()22DAE B C C C B ∴∠=︒-∠-∠-︒-∠=∠-∠． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 17．如图，在ABC 中，BE 是ABC 角平分线，点D 是AB 上的一点，且满足DEB DBE ∠=∠．（1）DE 与BC 平行吗？请说明理由；（2）若50C ∠=︒，45A ∠=︒，求DEB ∠的度数．【答案】（1）//,DE BC 理由见解析；（2）42.5.︒【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE =∠EBC ，从而求出∠DEB =∠EBC ，再利用内错角相等，两直线平行即可证明；（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC =∠ADE ，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得到答案．【详解】解：（1）DE ∥BC理由如下：∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC∵∠DEB =∠DBE∴∠DEB =∠EBC∴ DE ∥BC ；（2）在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠C =180°∴∠ABC =180°-∠A-∠C =85°∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC =42.5°∴∠DEB =∠EBC =42.5°【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，准确识别图形是解题的关键．18．阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形的内角和小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：如图1，已知：三角形ABC ．求证180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒证法一：如图2，过点A 作直线//DE BC ，∵//DE BC∴ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠∵180DAB BAC CAE ∠+∠+∠=︒∴180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒，即三角形内角和是180︒证法二：如图3，延长BC 至M ，过点C 作//CN AB …证法一的思路是用平行线的性质得到ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180︒，这种方法主要体现的数学思想是转化思想，请运用这一思想将证法二补充完整．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，由平角的定义得到∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，等量代换即可得到结论．【详解】解：证明：∵CN ∥AB∴∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，∵∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，∴∠ACB +∠BAC+∠ABC =180°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．19．如图，MN //PQ ，点A ，B 分别在直线MN ，PQ 上，若射线AN 绕点A 逆时针旋转至AM 后立即回转，射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 后立即回转，两射线分别绕点A ，点B 不停地旋转，若射线AN 转动的速度是a ︒/秒，射线BP 转动的速度是b ︒/秒，且a ，b 满足方程组32527a b a b -=⎧⎨+=⎩．（1）求a ，b 的值；（2）若射线AN 和射线BP 同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直？【答案】（1）3a =，2b =；（2）至少旋转18秒时，射线AN 与射线BP 互相垂直．【分析】（1）解二元一次方程组，即可求得a 和b 的值；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，根据直角三角形两锐角互余和平行线的性质可得2x °+3x °=90°，求解即可．【详解】解：（1）32527a b a b -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得：412a =，解得3a =，将3a =代入②得327b +=，解得2b =，所以原方程组的解为：32a b =⎧⎨=⎩， 即3a =，2b =；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，记旋转后的两条射线交于点C ，连接AB ，如图，则∠BCA =90°，由已知得∠PBC=2x°，∠NAC=3x°，∵MN//PQ，∴∠PBA+∠BAN=180°，∵∠BCA=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠PBC+∠NAC=90°，∴2x°+3x°=90°，x=，解得18答：至少旋转18秒时，射线AN与射线BP互相垂直．【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解二元一次方程组．（1）中掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解题关键；（2）能根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余列出方程是解题关键．∠交CD于20．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分AEF ∠=∠．点M，且FEM FME（1）猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；∠交CD于点H，过点H作（2）若点G为直线CD上一动点（不与点M，F重合），EH平分FEG∠=．∠=，EGFβ⊥于点N，设EHNαHN EMβ=︒，求α的度数；①如图2，当点G在射线FD上运动时，若56②当点G 在直线CD 上运动时，请直接写出α和β的数量关系．【答案】（1）AB ∥CD ，理由见解析过程；（2）28°；（3）α=12β或α=90°-12β 【分析】（1）结论：//AB CD ．只要证明AEM EM D ∠=∠即可．（2）①依据平行线的性质可得124AEG ∠=︒，再根据EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，即可得到1622HEN AEG ∠=∠=︒，再根据HN ME ⊥，即可得到Rt EHN ∆中，906228EHN ∠=︒-︒=︒；②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，12αβ=，当点G 在点F 的左侧时，1902βα︒=-．【详解】解：（1）结论：//AB CD ．理由：如图1中，EM 平分AEF ∠交CD 于点M ，AEM M EF ∴∠=∠，FEM FM E ∠=∠．AEM FM E ∴∠=∠，//AB CD ∴．（2）①如图2中，//AB CD ，56BEG EGF β∴∠=∠==︒，124AEG ∴∠=︒，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，1622HEN MEF HEF AEG ∴∠=∠+∠=∠=︒，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，9028EHN HEN α∴=∠=︒-∠=︒．②结论：12αβ=或1902βα︒=-．理由：①当点G 在F 的右侧时，可得12αβ=． //AB CD ，BEG EGF β∴∠=∠=，180AEG β∴∠=︒-，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，119022HEN MEF HEF AEG β∴∠=∠+∠=∠=︒-，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，1902EHN HEN αβ∴=∠=︒-∠=．②当点G 在F 的左侧时，可得1902βα︒=-．理由：//AB CD ，AEG EGF β∴∠=∠=，又EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，12HEF FEG ∴∠=∠，12MEF AEF ∠=∠，M EH M EF H EF ∴∠=∠-∠1()2AEF FEG =∠-∠12AEG =∠1 2β=，又HN ME⊥，Rt EHN∴△中，90EHN MEH∠=︒-∠，即1902βα︒=-．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义等知识是解题的关键．。
「初中数学」构造K型全等
「初中数学」构造K型全等45°的条件在平面几何中比较常见，与45°联系最为紧密的图形无非是等腰直角三角形或正方形。
看到等腰直角三角形你能联想到什么？对，是”K”型全等；看到含45°角的正方形你又能想到什么呢？对，是半角模型。
“K”字型与半角模型本头条号曾经作过有关介绍，本文着重介绍构造''K“字型的处理策略。
【例1】（难度系数☆☆☆☆）如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，BD平分∠ABC，点E在BC上,∠EDB=45°，BE=5CE，CD=3,求AB的长。
【解法一】第一步：构造“K”字型作EF⊥DE交BD于F，作FH⊥BC∵∠BDE=45°，EF⊥DE∴△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF∵∠DEC+∠FEH=90°∠EFH+∠FEH=90°∴∠DEC=∠EFH∴Rt△DEC≌Rt△EFH∴CE=FH,EH=DC第二步：利用“A”型相似计算设CE=x,则BE=5x,FH=x，EH=CD=3,BH=5x-3,BC=6x∵△BHF∽△BCD第三步：利用“斜A型”相似求AB当x=1时，CB=6,作DG⊥AB∵BD平分∠ABC∴DG=DC=3设AG=a,AD=b∵Rt△ADG∽Rt△ABC当x=1.5时，不合题意，舍去。
综合上述，AB=10【解法二】第一步：变异的''K“字型作HB⊥DB，交DE的延长线于H，作HF⊥BC易证Rt△BCD≌Rt△HFB∴CD=FB，HF=BD第二步：利用“X”型相似计算设CE=x,则BE=5x,EF=5x-3,BC=HF=6x∵Rt△CDE∽Rt△FHE第三步：利用“斜A型”相似求AB同方法一，略。
【总结】此题的解法一是构造一线三直角模型之”K“字型，解法二是构造一线三直角模型之变异”K“字型，两种解法大同小异。
除了构图，解题关键都离不开相似，并且大量运用了用同一个字母表示不同的线段，方程思想，勾股定理，解一元二次方程，分类讨论等，而这些恰恰是初中数学之利器，其重要性可窥一斑！建议同学们阅读之后，自己独立动手计算一遍。
待定系数法的应用
数学知识点总结——待定系数法的运用待定系数法是初中数学非常重要的一种解题思想和方法，它的重要性不仅体现在某一类型题中，而是贯穿于整个初中阶段，各年级各题型的“杀手锏”，让原本复杂繁琐的难题巧妙进行巧妙地简化。
理解一种方法的运用，要远比做几十道题来得事半功倍。
下面我们就一起来探讨各年级中关于待定系数法的题目类型和特点。
1. 设K 法六年级：设K 法是六年级开始的一个重要工具，它可以将多个未知但相互有联系的未知量用一个和K 有关的式子表示出来。
变相地说，它起到了一个数学特别重要的“降维”作用，以一替多。
那什么时候该用设K 法呢？沈老师曾总结过：两类条件，肯定是暗示你去用设k 法的——条件含比例条件有连等式第一类是常常能判断出来的，便是条件中含有比例类型的题，让我们来看一个例题：例1： 自然数A B 、满足111182A B -=，且:7:13A B =，求A B +分析：AB 看似是两个未知数，但若通过比例式设k ，即能把两个未知数都用一个关于k 的式子表示出来，当你在对一个未知数进行求解时，代入条件往往是比较容易得出的，这就是所谓的利用设K 法“降维”。
解： 设7,13A k B k == 则有11111713182A B k k -=-=，进行通分 13761919191182k k k -== 求得12k =，故20240A B k +==如果说比例式用设k 法还算比较明显的话，那么连等式的技巧就没那么容易想到。
而越难想到的点就越能成为杀手锏：K ⎫⎬⎭设法例2： 已知,247x y z ==求： （1）::x y z（2）求x y x z ++的值 （3）若2358x y z ++=，求,,x y z 的值分析：根据沈老师的经验，初中阶段，凡是遇到连等式，90%都可以用设k 法快速求解。
解： 令247x y z k ===，则有2,4,7x k y k z k === （1）::2:4:7x y z k k k =即::2:4:7x y z =（2）24622793x y k k k x z k k k ++===++ （3）2344212958x y z k k k k ++=++==即2k =因而4,8,14x y z ===有没有发现设k 法在解决这类题时近乎可以说是“秒算”？除了六年级，七年级在实数板块，也会出现类似的“难题”！七年级：例3： 设333200620072008,a b c ==且0abc >= 求111a b c++分析：该题乍看之下并没有什么思路，而一旦陷入繁琐的计算，那么心情也会跟着一同浮躁。
万能k法求基本不等式的最值
万能k法求基本不等式的最值万能K法是一种方法，可以用来求解基本不等式的最值。
这个方法通常是用于求解一个形如a1x1+a2x2+...+anxn的表达式，给定n和一组限制条件，求解这个表达式最大和最小值的问题。
具体来说，利用万能K法可以将这个表达式转化成类似于
a(k+1)^2+b(k+2)^2+...+c(n)^2的形式，其中a、b、c等常数由原来的系数和限制条件决定。
然后，通过对这个新的表达式进行求导或其他方法，就可以找到最小值或最大值。
总的来说，万能K法是一个非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地理解不等式的本质，同时也可以解决各种实际问题。
列一元一次方程解应用题中的思想方法
列一元一次方程解应用题中的思想方法1．一元一次方程的解法步骤及每一个解题步骤应注意什么？去分母：不漏乘加括号去括号：注意分配；括号前是负号时要变号移项：注意要变号合并同类项：系数化“1”：注意约分和不要丢“—”号自觉养成检验的习惯2．列方程解应用题的步骤有哪些？关键是什么？审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；列方程：根据相等关系列出方程；解方程：求出未知数的值；检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.关键：正确审清题意,找准“等量关系”众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，列一元一次方程解应用题也不例外，在列一元一次方程解应用题过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决列一元一次方程解应用题，现就列一元一次方程解应用题中的常见的思想方法举例说明.一、设k法.利用一元一次方程解应用题时经常会遇到有关比例问题，这时若能巧妙地设出其中的平分为k，就能轻松地列出方程求解.例1一个三角形三条边长的比是2∶4∶5，最长的边比最短的边长6厘米，求这个三角形的周长.二、数形结合思想.数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把数与形结合起来解析问题的思想方法.例2如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成.设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为________.分析通过观察图形可以发现，除了边长为1的正方形，其余5个正方形中，右下角的两个大小相等，然后顺时针方向上的正方形边长依次大1.三、整体思想.在研究应用问题时，若能将所要思考的问题看成一个整体，通盘考虑，则可既便于列方程，又便于解方程.例3一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字1移到右端，那么所得新的六位数等于原数的3倍，求原来的六位数.四、分类思想.数学的思维是严密的，所以要求解许多的数学应用题时，为了使答案的完整，需要进行分情况来解决，从而有利于培养思维的慎密性.例4在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5千米，水流的速度是每小时2.5千米，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地有多远？分析因为C地的位置不确定，它既可能在A、B两地之间，也可能在A地的上游，所以应进行分类讨论.五、逆向思维.数学中有些问题，如果按照题意叙述由后往前推算就显得很简单，这种解决问题的方法叫逆推法。
初中数学反比例函数k值问题
初中数学反比例函数k值问题
1、利用反比例函数图像上的点的具体坐标，横纵坐标相乘即可得到k值。
2、用k表示反比例函数图像上的点的坐标，然后构造关于k的方程，解方程即可求出k的值。
3、利用k的几何意义，即过图像上的点分别做x轴、y轴的垂线段，围成矩形的面积即为k的绝对值，然后利用图像所在的象限即可判断k的正负，从而求出k的值。
经典例题1、
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．
经典例题2、
【分析】先求出点A，B的坐标，再根据AC∥BD∥y轴，确定点C，点D的坐标，求出AC，BD，最后根据，△OAC与△ABD的面积之和为3/2，即可解答．
经典例题3、
【分析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=﹣x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．。
见比设k题型初一数学
见比设k题型初一数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初一数学是学生接触数学知识的起点，见比设k题型是初一数学中的一种常见题型。
这种题型主要考察学生对数学基本概念的理解和运用能力，同时培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
下面我们来了解一下见比设k题型在初一数学中的应用和解题方法。
见比设k题型是指给出一组数或图形，让学生观察、比较，然后根据题目要求进行“除了……还有”、“与……相比”、“而……不是”等类似的比较和判断。
这种题型有助于培养学生的观察力和分析能力，提高他们解决问题的效率。
在初一数学中，见比设k题型主要涉及的内容包括整数、分数、比例、平均数、等等。
举个例子，题目可以是这样的：“某班级有15名男生，25名女生，男生人数占总人数的几分之一？”学生需要通过观察男女生人数的比例来计算出男生人数占总人数的比例，进而得出答案。
解决见比设k题型的方法主要包括以下几个步骤：明确题目要求，理清思路；观察图形或数据，找出规律和联系；然后，根据题目要求进行计算和比较；检查答案，确保计算过程正确。
通过这些步骤，学生可以有效地解决见比设k题型，提高对数学问题的理解和解决能力。
除了在课堂上进行练习，学生还可以通过做练习题和模拟考试来加强对见比设k题型的掌握。
通过不断地练习和思考，学生可以提高解决见比设k题型的速度和准确度，为将来的学习和考试打下良好的基础。
初一数学中的见比设k题型是学生学习数学知识和培养数学思维能力的重要途径。
通过这种题型的练习，学生可以提高自己的逻辑思维能力和解决问题的水平，为将来的学习和发展奠定坚实的基础。
希望学生在学习初一数学时，能够认真对待见比设k题型，不断提高自己的解题能力，取得更好的成绩。
【见比设k题型初一数学】文章到此结束。
第二篇示例：见比设k题型是初一数学中的一种题型，通过比较两个数的大小来进行计算，是解决实际问题中常见的一种方法。
在日常生活和学习中，我们经常会遇到需要比较大小的情况，比如比较两个物品的价格、比较两个人的身高等等。
浅谈反比例函数中的k值法解题
浅谈反比例函数中的“K ”值法解题摘 要：随着新课程标准的推进，近几年，在中考试题中关于反比例函数方面的试题出现了不少新题型。
而反比例函数的“K ”值是一个最关键的因素，可以说是反比例函数的精髓所在。
接下来，让我们一起探讨一下反比例函数中利用“K ”值法解题的问题。
关键词：反比例函数 “K ”值 象限 图像所谓“K ”值法解题，就是通过反比例函数特有的“K ”值的一些性质进行分析解题。
结合近几年中考题，“K ”值主导的反比例函数习题越来越多。
这里就反比例函数的“K ”值的意义来解决问题进行例析。
以下是利用“K ”值求解关于面积、反比例函数性质、反比例函数图像及反比例函数和正比例函数相结合等方面的解法淡析。
一、“K ”值的几何意义及利用其求相关图形面积研究函数问题要透视函数的本质特征。
所以，我们先从“K ”值的本质出发对其进行精确剖析。
下面就是反比例函数的几何意义。
反比例函数y=x k (k ≠0)中，比例系数k 有一个很重要的几何意义。
那就是：过反比例函数y=xk (k ≠0)的图像上任意一点P 作x 轴，y 轴的垂线PM 、PN ，垂足为M 、N （如图1-1所示），则矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数k 。
从而有PNO S ∆=PMO S ∆=k 21。
在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便。
现举例说明。
例1.已知点C 为反比例函数6y x=-上的一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为 。
解析：因为四边形AOBC 的面积S=CA ·CB=xy x y =∙,又因为6y x=-,所以xy k =, 即S=6-=6,故四边形AOBC 的面积为6。
例2.（03年全国初中数学联赛试题）若函数kx y =（k ＞0）与函数1y x=的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为（ ）。
反比例函数求k解题思路十大技巧
反比例函数求k解题思路十大技巧
1.确定问题类型：反比例函数问题通常包含两个变量，一个变量是所求的值，另一个变量是已知的值。
2. 确定已知条件：确定已知条件如何影响所求值，包括两个变量的数值和单位。
3. 构建反比例函数方程：将已知条件代入反比例函数方程，以求解未知变量。
4. 确认方程的正确性：通过检查已知条件是否满足反比例函数方程，来确保方程的正确性。
5. 确定所需解决的问题：有些反比例函数问题需要解决最大或最小值问题，而另一些则需要解决比较问题。
6. 确定问题解决的方法：根据所需解决的问题类型，选择适当的数学方法，例如图形法、代数法或表格法。
7. 绘制函数图像：绘制反比例函数的图像，以便更好地理解问题和解决问题。
8. 确定变量范围：确定变量的取值范围，以确保解决方案的正确性。
9. 检查解决方案：通过检查解决方案是否满足问题的要求，来确保解决方案的正确性。
10. 汇总解题思路：总结反比例函数求解的步骤和技巧，以帮助记忆和应用。
- 1 -。
数形结合巧用“k”
•>壮Jd u J 丁17>」2了，4727“反比例函数”与“分式”内容有着密切的联系，且以分式的内容为基础。
反比例函数与一次函数既有联系，又有区别。
一次函数是一条直线，而反比例函数是“分支曲线”。
反比例函数在中考中也是常见考点，通常会与一次函数以及多边形等知识结 合。
运用数形结合思想、函数图像来解决有关反比例函数问题,快捷准确。
数形结合巧用“疋吴玲芳反比例函数的图像是双曲线，分布在两个不同的象限。
当时，双曲线的两支分别 在第一、三象限，在每一个象限内,y 随X 的增大而减小;当^<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内,y 随乂的增大而 增大。
它的增减性与一次函数不同，反比例函 数的增减性必须强调“在哪个象限内”。
例1 在函数y=虫_(a 为常数)的图X像上有三点(-3,yi),( -1 ,y 2), (2,/3),则函数 值丫1』2』3的大小关系是________o【解析)因为反比例函数y=芒二的比例系数含有字母，不能直接求纵坐标，所以只能 利用函数的增减性。
解：由F-lv0(a 为常数)，可知函数y=虫二1的图像分布在第二、四象限。
画出简X 图，如图1,由图像可知y 3<0,y 2>yi>0,所以y 3<yi<y 2o【点评】本题不能用代数方法计算求出y,、 "护的准确值,只能运用数形结合思想,利用函数的增减性来求解「通过观察图像，比较纵坐标的大小即可。
42 I策略方法初数学•策略方法反比例函数的比例系数％决定函数图像分布的象限。
过反比例函数图像上任意一点,向坐标轴引垂线,垂线与坐标轴围成的矩形的面积是仏|。
过反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是芈。
已知图形的面积，求％的值时，由于面积非负,必须根据双曲线所在的象限，确定/C的符号。
例2如图2,点彳为反比例函数y=盘图像上一点，过点/1作AB±x轴于点B,连接CM,若4420的面积为4,则k=________。
不等式万能k法使用条件 - 掌握不等式中k法的应用技巧
不等式万能k法使用条件 - 掌握不等式中k法的应用技巧不等式万能k法使用条件 - 掌握不等式中k法的应用技巧在数学中，不等式是一个常见的概念，描述了数值之间的大小关系。
解决不等式问题是数学学习的重要内容之一，而不等式万能k法就是一种常用的解决不等式问题的方法。
不等式万能k法是一种应用广泛的解不等式的技巧，它的核心思想是通过调整不等式中的系数，使得不等式变形后更容易求解。
在使用不等式万能k法时，我们需要掌握以下几个条件。
1. 不等式左右两侧具有相同的因式不等式万能k法的基本思路是将不等式化为一个因式相同的形式，然后利用因式的性质进行求解。
我们需要找到不等式左右两侧具有相同因式的情况，以便进行因式分解和处理。
2. 不等式两侧的符号相同不等式万能k法要求不等式的两侧具有相同的符号。
如果不等式两侧的符号不同，可以通过乘以-1的方式转换成相同的符号。
这样做的目的是为了方便处理不等式。
3. 不等式两侧的系数关系在应用k法时，我们需要观察不等式两侧的系数关系。
具体来说，如果不等式左侧的系数大于右侧的系数（2x > x），那么我们可以通过取k为一个小于1的正数，使得左侧的系数乘以k后小于右侧的系数，从而简化不等式。
相反地，如果不等式左侧的系数小于右侧的系数（x < 2x），我们可以通过取k为一个大于1的正数，使得左侧的系数乘以k后大于右侧的系数。
4. 注意不等式的取值范围在解决不等式问题时，我们需要注意不等式的取值范围。
特别是当涉及到分数或根号等特殊符号时，我们需要对不等式的解进行范围的限定，以确保解符合题目的要求。
以上是应用不等式万能k法的一些基本条件和注意事项。
通过掌握这些条件，我们可以更加灵活地运用不等式万能k法来解决各种不等式问题。
总结回顾：不等式万能k法是一种应用广泛的解不等式的方法。
在使用不等式万能k法时，我们需要注意以下几个条件。
不等式左右两侧需要具有相同的因式，这样可以方便进行因式分解和处理。
通本数学正方形内k字模型解题本职
正方形内k字模型解题
正方形可通过三角形问题“模块”化，以扩展解题思路，提高解题效率。
相似三角形是初中几何中的核心模块，探究的一个基本模型——“K”字模型入手，尝试从复杂的图形中分离和构
造基本形图，将正方形三角形化，学习“模块”化，以拓展解题思路，提高解题效率。
“总统证法”中构造的几何图形是一个非常重要的几何模型，它在解题中有着广泛的应用。
利用这一几何模型，可简解与之相关的试题.观察图形便知，模型图为直角梯形，其中含有两个全
等的直角三角形、一个等腰直角三角形，隐藏着正方形;蕴含着
角相等、角互余、角互补、线垂直、线平行等多种特殊关系，即在Rt△ABC和Rt△CDE中，有AC=CE,∠B=∠D=∠ACE=90°，点B,C,D在同一直线上，则Rt△ABC≌Rt△CDE。
直接运用基本图形，添加辅助线后运用基本图形。
当无法直接发现“K”字形图，欲利用基本模型来解决问题，可以通过添加辅助线的形式，构造出我们熟悉的模型，弱化条件“直角”，拓展基本图形。
15“K字”模型解决探究性几何问题1(原创)(已完成)
言父 2012 年
“K 字”模型解决探究性几何问题（一）
课堂预热 （重温 2012 上虞市适应性试卷第 23 题）
新知探索
问题、如图 1、正方形 ABCD，含有 60°角的直角三角板的直角顶点 P 在正方形的对角线 AC
上移动，三角板的两条直角边分别与 AD、CD 相交于点 E、F，此时 P 恰好在 AC 的中点处，
F，此时 P 恰好在 AC 的中点处，
求 PE ； PF
E A
C F
D
p
B
F
C
图6
变式 5（如图 7）：把正方形 ABCD 改成 AB：BC=1:2 的矩形，含有 60°角的直角三角板的直
角顶点 P 在正方形的对角线 AC 上移动，三角板的两条直角边分别与 AD、CD 相交于点 E、
F，此时 P 点移动 AP:AC=1:3 处，
线相交于点 E、F，那么变式 2 中 PE 的发生变化吗？（答案填“变化”或者“不变化”）
。
PF
E
A
D
P
B 图5
变式 4（如图 6）：把正方形 ABCD 改成 AB：BC=1:2 的矩形，
含有 60°角的直角三角板的直角顶点 P 在正方形的对角线 AC
上移动，三角板的两条直角边分别与 AD、CD 相交于点 E、
E
D
ApBFC Nhomakorabea图9
变式 8（如图 10）：把正方形 ABCD 改成 AB：BC=1:m 的矩形，含有 60°角的直角三角板的
直角顶点 P 在正方形的对角线 AC 上移动，三角板的两条直角边分别与 AD、CD 相交于点 E、
F，此时 P 点移动 AP:AC=1:n 处，
一元一次方程中的常见思想方法
一元一次方程中的常见思想方法数学思想是解题的灵魂，对数学思想方法的领悟与运用渗透在整个初中阶段的数学学习中，是克服题海战术，取得优异成绩的有效策略. 在列一元一次方程解应用题过程中，若能灵活运用数学思想方法来求解，往往能取得事半功倍的效果. 现就列一元一次方程解应用题中的常见的思想方法举例说明.一、四个基本思想1. 数形结合思想数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把图形和蕴含的数量关系巧妙地结合起来，使问题更直观，更容易解决.例1 如图1，8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？【分析】通过观察图形可以发现，由大长方形的上下两条边可以得出两个小长方形的长等于一个小长方形的长+三个小长方形的宽，从而得出一个小长方形的长等于三个小长方形的宽；同样由大长方形的左右两条边也可以得出一个小长方形的长+一个小长方形的宽=60.解：设长方形地砖的宽为x cm，则长为3x cm，根据题意，得：x+3x=60，解得x=15，则3x=45.答：长方形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.2. 整体思想当一个问题中未知数较多，一个一个地求解比较复杂，或有时不能求解时，可将其中满足某一共同特性的固定代数式看作一个整体，通盘考虑，则可既便于列方程，又便于解方程.例2 一个五位数最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得到的数比原来的数的3倍多489，求原数.【分析】本题若逐个设出各位数字，则未知数过多，不易列出方程. 如果从整体思考，视后四位数为一个整体，方便简捷.解：设后四位所组成的数是x，则原来是20 000+x，现在是10x+2，所以10x+2=3（20 000+x）+489，解得x=8 641.答：原五位数为28 641.3. 分类思想分类讨论思想就是把应用题中包含的各种可能情况按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决，从而达到解决整个问题的目的.例3 A和B两地相距1 890千米，甲乙两列火车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲每小时行120千米，乙每小时行150千米，经过多长时间两车间的距离是135千米？【分析】两车相距135千米，存在两种情况，相遇前相距135千米或相遇后相距135千米，所以应进行分类讨论.解：设经过x小时后，两车相距135千米，那么甲行驶了120x千米，乙行驶了150x千米. 下面分两种情况：1. 当两车在相遇前相距135千米时，则根据题意，得120x+135+150x=1 890，解得x=6.5；2. 当两车在相遇后相距135千米时，则根据题意，得120x+150x=1 890+135，解得：x=7.5.答：经过6.5或7.5小时两车间的距离是135千米.4. 转化思想转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题. 一个难以直接解决的问题，可通过深入观察和研究，将其转化为简单问题迅速求解.例4 甲乙两人从相距50千米的两地同时相向而行，甲每小时走7千米，乙每小时走3千米，甲带一只小狗每小时走9千米，当狗一遇到乙时又返回甲处，一遇到甲时又返回乙处，直到两人相遇，求小狗走的路程.【分析】本题看似复杂，在解题时需根据题意理清：狗重复往返跑，直到甲乙两人相遇时狗才停住，因而小狗走的时间就恰好是甲乙相遇需要的时间，所以就将求小狗走的路程问题转化为求甲乙两人相遇的时间问题，这也是本题的突破口.解：设甲乙两人相遇时用了x小时，根据题意，得：（7+3）x=50，解得：x=5.则小狗走的路程是：9×5=45（千米）答：小狗走的路程为45千米.二、三个常用方法1. 设k法利用一元一次方程解应用题时经常会遇到有关比例问题，这时若能巧妙地设定未知单位量k，就能轻松地列出方程求解.例5 （2014?台湾）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积. 今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5. 若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？（）A. 5.4B. 5.7C. 7.2D. 7.5【分析】根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3k、4k、5k，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出甲杯内水的高度.解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度分别为3k公分、4k公分、5k公分，根据题意，得：60×10+80×10+100×10=60×3k+80×4k+100×5k，解得：k=2.4，则甲杯内水的高度变为3×2.4=7.2（公分）. 故选C.2. 间接设法在列一元一次方程解应用题时，有时由于问题较复杂或特殊，直接设未知数不能解或是解的过程比较复杂，这时我们可以设与所求问题相关的量为未知数，便于列方程.例6 李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟.若每小时行18千米，则比火车开出时间迟到15分钟.若李伟打算在火车开出前10分钟到达火车站.求李伟此时骑摩托车的速度该是多少？【分析】本题若用直接设法会相当复杂，所以采用间接设法，关键抓住“早”“迟”两个时间，再根据隐藏的数量关系――路程不变来列方程.3. 逆推法数学中有些问题，如果按照题意叙述由后往前推算会显得很简单，这种解决问题的方法叫逆推法. 逆推法是解决数学问题的一种重要方法. 有些数学问题若按常规思维方法考虑非常困难，而用逆推法就会十分简便.例7 王大伯卖西瓜，第一天卖了全部的一半还多1个，第二天卖出剩下的一半还多3个，正好全部卖完. 一共有多少个西瓜？【试一试】（2015?宁德）为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截至2015年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲的意向创始成员国各有多少个？参考答案：【分析】设欧洲的意向创始成员国有x个，亚洲的意向创始成员国有（2x-2）个，根据题意得出方程2x-2+x+5=57，解得即可.解：设欧洲的意向创始成员国有x个，亚洲的意向创始成员国有（2x-2）个，根据题意，得：2x-2+x+5=57，解得：x=18，∴2x-2=34.答：亚洲和欧洲的意向创始成员国各有34个和18个.（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）。
巧用“K”型图,妙解数学题
SOBD
OB
OB
图7
三、“K”型图在相似中的应用
“K”型图在相似中的应用多得不胜枚举，下面举几例来感 受“K”型图在解决问题中的重要性。
1. 直接运用“K”型相似解决问题 （1） 如 图8， 等 边 三 角 形ABC的 边 长 为3，P 为BC上 一 点， 且BP=1，D为AC上 一 点， 若 ∠APD=60°， 则CD的 长 为 ___________。 （2）如图9，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD 上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于 点E，设PD=x，AE=y，写出y与x的函数解析式，并指出自变量 的取值范围；
一、“K”型图的基本模型及其基本结论
基本模型：特殊的，如图1，∠B=∠ACE=∠D=90°；一般 的，如图2、图3，∠B=∠ACE=∠D。
基本结论1：△ABC∽△CDE（“K”型相似）。 基本结论2：若有一组对应边相等，则有△ABC≌△CDE （“K”型全等）。
EF交AB于点D，点P从D出发，沿着射线ED的方向向上运动， 设PD=n．
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2018 年第 38 期（总第 314 期）
教育界 / EDUCATION CIRCLE
课程教学
巧用“K”型图，妙解数学题
江苏省丹阳市折柳初级中学 张行
【摘要】在初中数学的学习过程中，利用数学的基本图形、基本模型解题已经成为现在数学教学必不可少的一部分。“K” 型图就是其中的一种基本图形，文章着重阐述其在数利用定义tan∠OBA= OB ，在利用已知的 Rt△AOB无法解决问题时，要想到构造“K”型相似解决问题。
解 答 过 程： 过 点A作AC⊥x轴 于C， 过 点B作BD⊥x轴 于
D， 见 图12， 则S△OBD=0.5，S△AOC=3， 易 证 △OBD∽ △AOC，
初中数学优质课《直角三角形相似的判定》教学实录与教学反思
《直角三角形相似的判定》教学实录与反思安徽省滁州市第六中学高在为1.教学背景前不久，本人有幸参加了安徽省初中数学青年教师优质课评比活动，上课课题是沪科版九年级上册第22章第2节第五课时“直角三角形相似的判定”，上课学生来自安庆市外国语学校，学生基础较好，具备一定的思考、交流、探究的意识和能力.我与亳州的胡云龙老师、黄山的谢伟老师进行了同课异构的教学，能有机会和来自全省各地的优秀数学教师和专家评委进行了面对面的交流学习，给我的教学生涯留下了一次宝贵而难忘的学习经历.2.教学设想本节课之前，学生已经掌握了直角三角形全等的判定方法和一般三角形相似的判定方法，为进一步探究直角三角形相似的特殊判定方法积累了经验和探究方法.为此，我确定了本节课的教学定位：如何引导学生类比“HL”，通过“探究、发现、猜想、证明”推导出判定方法是本节课的切入点，判定方法有多种证法，教材中采用了“设k法”，并运用勾股定理证明，这种代数证法是一种重要的思想方法，体现了数形结合的思想，要求学生能够理解掌握.3.课堂实录3.1创设情境，引入新课师：同学们，还记得我们已经学习了哪些相似三角形的判定方法吗？生：两角对应相等的两个三角形相似.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.1三边对应成比例的两个三角形相似.师：我们知道直角三角形是一种特殊的三角形，这些方法能用来判定直角三角形相似吗？生：能.师：我们在研究相似三角形的特例全等三角形时，就知道直角三角形全等还有其独特的判定方法，大家还记得是什么吗？生：HL.师：既然直角三角形全等有特殊的判定方法，那么直角三角形相似会不会也有类似的判定方法呢？今天我们就一起来探究直角三角形相似的判定方法.3.2合作探究，学习新知师：下面先来探究一个具体的问题，类比HL ，我们也给定两个直角三角形的斜边和一条直角边，那么这两个直角三角形相似吗？ Rt Rt 90214 2.Rt Rt .ABC A B C C C AB BC A B B C ABC A B C ''''∠=∠=︒''''====''' 已知：如图，在△和△中，，，，， 求证：△∽△ 学生独立自主探究后分享解题思路，用展台投影展示学生解题过程，并由学生完成自评.生1：利用勾股定理求出AC A C ''、边的长，然后利用三边对应成比例的两个三角形相似，就可以证明这两个三角形相似了.生2：利用勾股定理求出AC A C ''、边的长后，也可以用两条直角边对应成比例，且所夹得角都是直角来证明这两个直角三角形相似.师：请同学们仔细观察本题的条件和结论，你有什么发现吗？生：知道了两个直角三角形的斜边和直角边就能够证明它们相似了.师：需要知道几条直角边？生：一条直角边.师：已知条件给定的斜边和一条直角边有着怎样的关系？生：比值相等.师：也就是对应成比例，同学们能不能根据探究和发现，类比HL ，大胆猜想一下直角三角形相似的特殊判定方法？生说出猜想，教师规范语言表述并板书猜想：如果一个直角三角形的斜边和A一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.师：同学们，怎样才能知道我们的猜想是否正确呢？生：证明.师：我们如何证明一个文字命题呢？生：先画出图形，然后根据图形和命题写出已知和求证. Rt Rt 90 .Rt Rt .ABC A B C AB AC C C A B A C ABC A B C ''''∠=∠=︒=''''''' 已知：如图，在△和△中，， 求证：△∽△ 师：请同学认真分析一下题目，根据已知条件，你准备如何证明这两个直角三角形相似？生：我想求出第三边的长，用三边对应成比例来证明.师：好，那请同学们尝试求出第三边的长.生尝试后发现无法求出第三边的长.师：请同学们回顾一下，在刚才的探究题中，给定了两边的数值，所以我们 很容易利用勾股定理求出第三边，从而计算出对应边的比值都是12，而此题没有 给出具体数值，但告诉我们它们的比值是相等的，那么，我们能不能用一个字母来表示这个比值呢？生：可以用“设k 法”.师：之前我们遇见过“设k 法”吗？生：学习比例性质的时候遇见过.师生合作完成证明过程，教师板书.师：在这里我们采用“设k 法”，利用勾股定理求出另一条直角边，从而得出三边对应成比例，请同学注意这种代数证法是一种重要的数学思想方法.这样我们就证明了猜想是正确的，它可以作为直角三角形相似的判定依据.3.3学以致用，深化理解师：请同学们尝试独立完成下面的练习.ARt Rt 905310 Rt Rt .ABC DEF B E AB AC DE DF ABC DEF ∠=∠=︒==== 已知：如图，在△和△中，，，，，当时，△∽△生1：53Rt Rt = 6.10AB AC ABC DEF DF DE DF DF∴=∴=△∽△，，即， 师：Rt Rt ABC DEF △∽△是条件还是结论？这样做对吗？生2：53Rt Rt = 6.10AB AC ABC DEF DF DE DF DF=∴=当，时△∽△，即， 师：我们要审清题目的条件和结论，不能把结论当作解题的条件来用，如果老师把题目做一个小小的改动，你觉得答案还会是6吗？Rt Rt .DF ABC EDF =变式：当时，△∽△生：答案不是6，是8.师：为什么小小的改动，答案就不一样了？生：因为题中的对应关系发生了改变.师：看来同学们都已经掌握了直角三角形相似的判定方法，下面我们再来挑战一下自己吧.（出示例题） 90. ABC CDB CB a AC b BD a b A B C C D B ∠=∠=︒== 如图，，，问当与，之间满足怎样的关系式时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？ 师：题中的条件是什么？结论是什么？想得到这样的结论还缺少什么条件？请同学们小组交流、讨论.小组代表分享本组探究交流成果后，教师利用几何画板动态演示两种可能的图形，规范解题过程.师：请同学们回顾本题探究和解答过程，你有什么收获？生：象这题用文字语言描述两个三角形相似，对应关系是不明确的，解题时要分类讨论.3.4课堂小结，分层作业师：请同学们静思一下，想一想这节课我们学习了哪些知识？生：我学会了直角三角形相似的特殊判定方法.师：在探究判定方法的过程中你有哪些新的收获？生1：我们可以通过“探究、发现、猜想、证明”这样的方法获得新的数学3？A定理.生2：我们是类比直角三角形全等来探究相似的，还用到了设k法来证明直角三角形相似的判定方法.分层作业必做题：课本P85习题22.2 第4、6、7题.选做题：请尝试用其他方法证明直角三角形相似的判定定理.4教学反思4.1巧设问题，诱发学生思考章建跃博士曾说过，教师提问的质量决定了教学的质量，而问题的质量主要体现在“启发度”的把握上，我在设计课堂导入时，通过一系列问题串，从一般三角形相似到直角三角形相似，再从直角三角形全等到直角三角形相似，让学生体会事物之间从一般到特殊，从特殊到一般的关系，为本节课从特殊的直角三角形相似到一般的直角三角形相似的探究过程埋下伏笔.同时，学生在探究例题的过程中，教师适时设问和追问，引导学生多角度思考问题，使学生在问题的驱动下产生进一步求知的欲望.4.2多样探究，体现学生主体学生是课堂的主体，是课堂活动的实践者，在教学过程中要发挥学生的主体作用，让他们去思考，去实践，去交流，去总结，去分享，亲身经历的才能印象深刻，自己总结的才会成为经验.本节课的探究活动从具体的例子开始，问题浅显易懂，适合学生已有认知，因此采用学生自主探究的方式进行.而直角三角形相似的判定方法的证明，学生可能对通过“设k法”寻找证明思路，以及对代数证法这种重要的思想方法的理解有困难，所以这里采用了师生合作探究的形式. 练习及其变式的设置既让学生体会到对应的重要性，又为解决例题积累了经验，因而例题采用了小组合作探究的方式.通过学生自主探究、师生合作探究、小组合作探究等多样的探究形式，发挥学生的主体作用，充分分析和估计学生的最近发展区范围，由易到难，把学生的思维逐步引入深处.4.3善于追问，重视思想方法在数学教学中渗透数学思想方法，有助于学生形成正确的认知结构，有利于教师高起点的分析解读教材.本节课的教学中，不仅教给学生直角三角形相似的判定方法，而且在每个问题探究结束后，教师都及时追问，提升探究问题的深度和广度，引导学生开展解题分析，不断看透本质，抽丝剥茧，抛开题目对数字的非本质依赖，从特殊走向一般，从“一个”发现“一类”，形成具有一般性规律的结论，发现解决问题的一般途径，让学生体会类比、代数证法、数形结合、分类讨论、从特殊到一般等重要的数学思想方法.4.4现代信息技术的合理应用本节课恰到好处地将现代信息技术与数学学科整合，教学中用展台投影展示学生的解题过程，用PPT课件展示探究问题、例题、练习、作业等，而将教学的知识重点留在传统的板书上，使传统板书与教学课件优势互补，省下很多的板书时间，让学生有更多的时间去思考、交流，提高了课堂的教学容量和效率.用几何画板动态演示例题的两种分类，形象直观，易于理解，既让学生感受到数形结合、分类讨论的思想，也突破了例题的教学难度.4.5教学中的遗憾在学生猜想直角三角形相似的判定方法时，语言表述的不够规范，为了顺利完成课堂教学，我直接纠正了学生的说法，没能及时引导学生进行自我反思.课堂教学是一个开放的、不断生成的过程，教学中应重视课堂生成，并合理、有效地运用生成，才能给课堂教学带来精彩.其实，学生的回答即使是错的，教师也要耐心倾听，并给予激励性评析，这样既可以帮助学生纠正错误认识，又可以激励学生积极思考，激发学生的求异思维.直角三角形相似的判定方法有多种证明方法，教材选用“设k法”这种代数证法进行证明，由于受到课堂教学时间的限制，我采用了师生合作探究的方式来完成这一教学环节，学生的思维被教师设置的问题所牵制，没能尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，没能体现出学生思维的多样性.5.我的一些疑惑直角三角形相似的判定，在有些版本的教材中并没有将其单独作为判定定理来进行编排，沪科版教材中也没有标注这是一条判定定理，而只是注明这是直角三角形相似的判定依据.马鞍山市教育科学研究院刘义杰主任在课后点评时提出一个问题，既然一般三角形相似的判定方法都可以用来解决直角三角形相似的判定，那么我们有没有必要研究它的特殊判定方法呢？我想，作为一线教师是否应该更深入地研究教材、思考教材，从一般三角形相似的判定定理到直角三角形相似的判定方法，正是体现了从一般到特殊的数学思想，而判定条件的弱化和减少，也体现了数学的简洁之美.6.结束语在探究、发现、猜想、交流中获得对数学学习的兴趣，促进学生数学思维能力的提高，数学教学需要关注知识的来龙去脉、前后联系、蕴含的思想方法，因此教师一定要精心设计好教学探究流程，突出学生主体，注重课堂生成，让学生在探究中体验成功，领悟数学思想方法，使数学课堂焕发出勃勃生机.相信通过这样的评比展示活动，不断地反思和改进，所有参赛和观摩的教师把握、处理教材的能力都会有明显的提升.。
反比例函数中K值求解的谋略
反比例函数中K 值求解的谋略山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平 公富华反比例函数是中考的热点．求反比例函数中的k 值是考题的主要形式之一．下面我们就一起来探讨一下如何又快又准的求得k 的值． 一、平移中求k 值例1 （2010年浙江省舟山市）如图1，点P 在反比例函数1y x= (x>0)的图象上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的象为点P '.则经过点P '的反比例函数图象的解析式是 ．分析： 要想求出函数的解析式，关键是求得反比例函数中的k 的值．确定k 值的关键就是能确定函数图像上的一个点的坐标．因为点P 在反比例函数1y x= (x>0)的图象上，且横坐标为2，所以y=21，所以点P 的坐标为（2，21），点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位得到的坐标为（4，23），所以k=4×23=6，所以函数的解析式为y=x6．解：过点P '的反比例函数图象的解析式是y=x6．二、与一次函数相交中根据交点坐标求k 值例2 （2010年四川省南充市）如图2，直线y=x+2与双曲线xky =相交于点A ，点A 的纵坐标为3，k 的值为（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4分析：理解交点坐标的意义是解题的关键所在．因为点A 的纵坐标为3，所以3=x+2， 所以x=1，所以点A 的坐标为（1，3），所以双曲线xk y =经过点（1，3），所以13k =即k=3．解：选C ．三、与一次函数相交中根据线段的乘积求k 值例3 （ 2010年武汉市）如图3，直线3y x b =-+与y 轴交于点A ，与双曲线x k y =在第一象限交于B 、C 两点，且AB ·AC=4，则k=_________．分析：巧妙的进行等量代换和等式变形是解题的关键．解：如图3-1，令x=0，得y=b ，所以AO=b ．令y=0，解得x=3b ，即OE=3b,所以tanE=333==bb EO AO ，所以∠E=30°．设点B （1x ，1y ），C （2x ，2y ）， 则AB=1332x ，AC=2332x ，因为AB ·AC=4，所以1332x ×2332x =4，整理得 1x 2x =3．在直角三角形BFC 中，FC =2x -1x ,BF=1y -2y ，因为∠BCF=30°，所以2x -1x =3（1y -2y ）．因为B （1x ，1y ），C （2x ，2y ）在x k y =上，所以1y =1x k ，2y =2x k， 所以2x -1x =3（1x k -2x k）=32112)(x x x x k -，所以k=321x x =3．解：k=3．四、根据生成三角形的面积求k 的值例4 （2010年盐城市）如图4，A 、B 是双曲线xky =（k ＞0）上的点， A 、B 两 点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若A O C S △=6．则k= ．分析： 用含有a ，k 的代数式表示出三角形AOC 的面积是问题的突破口． 解：因为A 的横坐标是a 、所以点A 纵坐标为ak．因为B 点的横坐标是2a ，所以点B 纵坐标为a k 2．设直线AB 的解析式为y=nx+b ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+a k b an ak b an 22，解得：n= -22a k ，b=a k 23，所以直线的解析式为y= -22ak x+a k23．当y=0时，得到-22a k x+ak 23=0，解得x=3a ，所以点C 的横坐标为3a ，所以OC=3a ，所以三角形AOC 的面积为：aka ⨯⨯321=6，解得：k=4．解：k 的值是4．五、直角三角形的边在滑动中求k 的值例5 （2010年荆州市）如图5，直线l 是经过点（1，0）且与y 轴平行的直线．Rt △ABC 中直角边AC=4，BC=3．将BC 边在直线l 上滑动，使A ，B 在函数xky =的图象上．那么k 的值是（ ）A ．3B ．6 Ｃ．12 D ．415分析：可以利用设坐标法，表示出A ，B 两点的坐标，根据反比例函数的特点，则两点横坐标与纵坐标的积是相等的，就可以求得所设的待定字母的值，后求得k 的值． 解：因为直线l 经过点（1，0），AC 的长为4，所以点A 的横坐标为5，设点A 的坐标为 （5，a ）．因为AC 与x 轴是平行的，所以点C 到x 轴的距离也是a ，因为BC 的长为3，所以点B 的坐标为（1，a+3）．因为A ，B 在函数xk y =的图象上，所以5a=a+3，解得a=43，所以k=5a=415．解：选D ． 六、梯形背景中根据三角形的面积求k 的值例6 （2010年无锡市）如图6，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线xky =交OB 于D ，且OD ：DB=1 ：2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值（ ）A ．等于2 B ．等于43 C ．等于524D ．无法确定分析： 充分利用数学中的整体思想，也会让你的解题顺畅，富有趣味性． 解：设点B 的坐标为（a ，b ），因为BC ∥AO ，AB ⊥AO ，所以点C 的纵坐标为b ．如图7所示，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，则DE ∥AB ，所以OAOEAB DE OB OD ==， 因为OD ：DB=1 ：2，所以a OE b DE ==31，所以DE=31b ，OE=31a ，所以点D 的坐标为（31a ，31b ）．因为反比例函数xk y =经过点D ，所以k=31a ×31b=91ab ．因为点C 也在反比例函数的额图像上，且其纵坐标为b ，所以点C 的横坐标为91a ，所以BC=a-91a=98a ．因为△OBC 的面积等于3，所以21×98a ×b=3，所以91ab=43，即k=43．解：选B ．七、多边形背景下根据多边形的面积求k 的值例7 （2010年昆明市）如图8，点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在双曲线(0)ky x x=>上，且412=-x x ，221=-y y ；分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 ．分析： 过反比例函数图像的点向两坐标轴分别引垂线，生成的四边形的面积是相等的，并且都等于反比例函数的比例系数k 的绝对值，这也是求k 的一种好方法． 解：因为412=-x x ，221=-y y ，所以DC=4，AG=2．因为四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，所以2+42y +4+21x =14，所以1x +22y =4．根据反比例函数的性质得到：矩形AEOC 的面积等于矩形FODB 的面积，所以42y =21x ，所以42y =4，所以矩形FODB 的面积为2+4=6，所以k=6，所以反比例函数的解析式为y=x6．6解：反比例函数的解析式为y=．x。
初二分式的几种解题形式。
1、当m= 时关于x 的方方程。
的根为212x -m 1mx 2=+若分式方程的值为几？无解，则a a 1x a -x =+关于x 的分式方程的取值范围为（）？的解为正数，则字母a 11x a -x 2=+若方程的取值范围是（）。
的解为正数，测m 1-x x 1-x 1-m =若解分式方程的值是（）。
时产生增根，则m 1-1-x 1mx =+当=k 时，关于x 方程会产生增根。
x -1k -11-x 3=关于x 的方程的值是（）。
有增根，则m 1-3-x m -x 2=比例的变形技巧 若=+=y y x 0y 3-x 4，则若=+=xy x 32x y -x ，则若的值为则x y ,23=+y x x连比设k 法。
1、已知的值为，则c b a 04c 3b 2a+≠==（）2、已知 ：（）。
，则=+==x z 3y -x 2z 3y 4x已知：3x=4y=5z 的值为（）。
则z 4y 2-x 3z6y 3-x 20x ++≠二元分式的变形技巧1、31b 1-a 1=已知，则的值为（）。
b 6-a 6ab2、 21b 1-a 1=已知，则的值是（）。
b -a abX 与x 的倒数和1、已知的值是（）。
则22a 1a ,31a +=+a 2、已知（），那么=+=+22a 1x 5x 1x隐藏的x 和x 的倒数和，1、已知实数x 满足的值为（）。
，则代数式x1x 401x 5-x 42+=+2、若的值是（）。
则1x x x .3x 1x 2++=+3、已知（）。
，则=+=+222x 1x 01x 3-x需要带入消元的分式化简求值 若222a2-ab b -ab 2-a 40b 0b 3-a 2，则，且≠==（） 已知()()()[]y2x 1-y -x 4x 41y 4y -x y 2y -x -y x 22222+=÷++，求的值为关于x ，y 的二元一次方程{的值为，求，）的一个解为（a 4a b -ab 4-a 2-y .1x 0ab 10by ax 2÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==≠=+设列是，按由小到大的顺序排，则，，）（， d c b a 21d 9-c 3-b 2a 1-320⎪⎭⎫ ⎝⎛====。
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巧用设k 法解题
初中代数中经常遇到连等方程或有已知连等式、连续比例式的题，解决这类题型的最佳方法是设k 法。
例1. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++.4
32.51z y x z y x z y x
分析：方程组中第二方程是连等方程，可以设它为k.
解：设k z y x ===4
32，则k x 2= k y 3= k z 4=代入第一个方程，可得1959+=-k k ，两边平方后整理得关于k 的一元二次方程0833272=+-k k ，从而解得311=k 982=k .进一步得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===34132z y x 和⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===93238916z y x .经验证⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===34132z y x 不符合题目要求，所以原方程组的解是⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===93238916z y x 例2. 解方程2222
22c
b a z y x
c z z b y y a x x ++++=+=+=+. 分析：易知0===z y x 满足方程，且方程组中至少有一个为0，但又不全为0的解，即0≠xyz .
解：当0≠xyz ，取倒数得2222
22111z
y x c b a z c y b x a ++++=+=+=+.等式两边同时减去1得12
222
22-++++===z y x c b a z c y b x a .设k z c y b x a ===得()()()22
22222222222k z y x zk yk xk z y x c b a =++++=++++.既得k k =-12.解之得251±=k .从而得到原
方程组的解为：
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
±
-
=
±
-
=
±
-
=
2
5
1
2
5
1
2
5
1
c
z
b
y
a
x
和
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
z
y
x
.。