生物统计学-第四章抽样分布
统计学抽样分布
常见的样本统计量
X
X
i 1
n
i
Xf f
P n1 n
n
n
S2
X
i 1
i X
n 1
X X f
2
f 1
S S2
假如抽取30名,得到样本平均数、标准差和成数是
x 1554420 x
n 30 s ( x x) 2 n 1 p 19 / 30 0.63
p
(1 ) N n
n ( N 1
)
与样本均值分布的方差一样，对于无限总体进行不重复 抽样时，可以按重复抽样来处理。
附注：正态分布理论与中心极限定理
1、正态分布的密度函数
f ( x)
1
式中 x 为正态分布的平均数， 是它的标 准差。这两个参数决定正态分布密度函 ( x, 2 ) 数的形状。也可简记为N
1
2
3
4
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
X
= 2.5
σ2 =1.25
X 2.5
2 X 0.625
显然，不同的样本对应着不同的样本统计量，而由于 样本抽取的随机性，样本统计量即为一种随机变量。 一般地，样本统计量的可能取值及其取值概率，形成 其概率分布，统计上称为抽样分布（sampling distribution)。 ▲正是抽样分布及其特征使得用样本统计量估计总 体参数的“精确程度”能够给予概率上的描述。 ▲由于样本统计量的随机性及其抽样分布的存在，同 样可计算其均值、方差、标准差等数字特征来反映该 分布的中心趋势和离散趋势。
结论：
1、样本平均数的期望值
由于不同的样本可得到不同的样本均值，因此， 考察样本均值的期望就显得非常重要。 用 x 表示样本均值的期望值，X 表示总体均值， 可证明在简单随机抽样中。
生物统计知识点总结
生物统计知识点总结生物统计学基本概念1. 总体和样本生物统计学中，研究对象的全体称为总体，而从总体中选取的部分个体称为样本。
样本是总体的代表，通过对样本进行研究和分析，可以对总体进行推断。
2. 参数和统计量总体的特征称为参数，它是总体的固有属性。
而样本的特征称为统计量，它是样本的统计学特征，用来推断总体的参数。
3. 随机变量在生物统计学中，用来研究某种现象的变量称为随机变量。
随机变量有两种类型，离散型和连续型。
离散型随机变量的取值是有限个或者可数个，而连续型随机变量的取值是连续的。
4. 抽样分布抽样分布是指在总体中随机抽取样本后得到的分布。
当样本容量足够大时，抽样分布具有一些特定的性质，如正态分布、t分布、F分布等，这些分布在生物统计学中是非常重要的。
生物统计学常用方法1. 描述统计描述统计是对数据进行整理、归纳和描述的过程，主要包括测量中心趋势的指标（如均值、中位数、众数）、测量离散程度的指标（如标准差、方差）以及数据的图表展示。
2. 推断统计推断统计是通过样本对总体参数进行推断的过程。
推断统计主要包括参数估计和假设检验两个部分。
参数估计是通过样本来估计总体参数的值，而假设检验是对总体参数的某种假设进行检验的过程。
3. 方差分析方差分析是一种用来比较两个或多个总体均值是否相等的统计方法。
它包括单因素方差分析和多因素方差分析，用于研究不同因素对总体均值的影响。
4. 回归分析回归分析是用来研究一个或多个自变量对因变量的影响程度和方向的统计方法。
回归分析分为简单线性回归和多元线性回归，以及非线性回归等方法。
5. 生存分析生存分析是研究生存时间或事件发生时间的统计方法，它包括生存曲线、生存率和生存分布等内容，主要用于临床医学和流行病学领域。
生物统计学在生物学领域的应用生物统计学在生物学领域有着广泛的应用。
它可以用来设计实验、收集和整理数据、进行数据分析和结果解释。
以下是一些生物统计学在生物学领域的应用示例。
医用数理统计方法课件第四章随机抽样与抽样分布
i 1 n
(2)若总体X的分布密度为 p( x),则样本( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布密度为 p( xi ).
i 1 n
(3)若总体X的分布率为P{ X x } p( x )(i 1,2,),
n i 1 1 n i 1
n
n
n
2
1 n
2
2 2 2 1 (3) E ( S n ) E[ n X X ] i
n 2
2 2 E ( X ) E ( X ) i
2
1 n
( D( X ) ( E( X )) ) ( D( X ) ( E ( X )) )
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
1 n Bk ( X i X )k , k 2, 3, ; n i 1 1 n k b ( x x ) , k 2, 3, . 其观察值 k i n i 1
样本矩具有下列性质:
n n 1 1 *2 2 2 2 其观察值 sn ( xi x ) xi nx . n 1 i 1 n 1 i 1
(5) 样本 k 阶(原点)矩
(6)样本 k 阶中心矩
1 n k 其观察值 ak xi , k 1, 2, . n i 1
例2 设总体 X 服从两点分布B(1, p), 其中0 p 1,
( X 1 , X 2 ,, X n )是来自总体的样本 , 求样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分布律.
解 总体 X 的分布律为
医用数理统计方法课件第四章随机抽样与抽样分布
04
大样本统计推断方法
中心极限定理
总结词
中心极限定理是概率论中的基本定理之一，它表明无论总体分布是什么，只要样本量足够大，样本均值的分布就 会趋近于正态分布。
详细描述
中心极限定理是统计学中非常重要的基础理论，它指出当从一个无限总体中随机抽取的样本量趋于无穷大时，样 本均值的分布将趋近于正态分布，无论总体分布是什么。这个定理是许多大样本统计推断方法的基础，如参数估 计和假设检验。
样本均值的分布性质
总结词
样本均值是统计学中常用的统计量，它表示样本数据的平均水平。样本均值的分布性质 是指在一定条件下，多个样本均值的分布特征。
详细描述
样本均值的分布性质是统计学中的重要概念，它描述了样本均值在不同条件下的变化规 律。在中心极限定理的基础上，我们知道当样本量足够大时，样本均值会趋近于正态分 布。此外，样本均值的方差随着样本量的增加而减小，并且样本均值与总体均值之间的
假设检验
假设检验的定义
假设检验是一种通过检验两个对立假设来推断未知参数的方法， 例如检验某药物是否有效。
假设检验的优缺点
假设检验的优点是能够提供未知参数是否符合某种假设的信息；缺 点是需要设定两个对立假设，可能会引入主观性。
假设检验的常用方法
常用的假设检验方法包括t检验、卡方检验、F检验等。
06
实例三：公共卫生调查中的抽样方法
总结词
在公共卫生调查中，选择合适的抽样方法对 于获取准确的调查结果至关重要。
详细描述
公共卫生调查中常用的抽样方法包括简单随 机抽样、分层抽样、系统抽样和整群抽样等 。根据调查目的和实际情况选择合适的抽样 方法，可以确保调查结果的准确性和可靠性 。此外，公共卫生调查中还需要注意样本量 的大小和抽样的代表性，以确保调查结果能 够反映目标人群的特征和状况。
统计学之抽样与抽样分布课件
期望 —
E X x f x dx
方差 — σ 2 X x E X 2 f x dx
标准差 — σX x E X 2 f x dx
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第四章 抽样和抽样分布
13
第四章 抽样与抽样分布
第三节 抽样分布
3.1 抽样及抽样分布的含义 3.2 重置抽样下的抽样分布 3.3 不重置抽样下的抽样分布
1
F x P3X/4 x
1
4
当
2/4
3 4 当
1/4
4 4 当
0 x1 1 x2 2 x
2020/8/8
1
2
X
第四章 抽样和抽样分布
8
2.2 连续型随机变量概率分布
连续X❖型的密 随概率机度分变函布量数函的数的概性 率分质布：
1.
f
F
xx
0；x
f x dx
2. f x dx 1 ；
X 的概率密度函数
由于连续型随机变量在某点处的概率等于零。 对于连续性随机变量：
P x1 X x2 F x2 F x1
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第四章 抽样和抽样分布
5
2.2 离散型随机变量概率分布
设：正面向上的次数为 X，
则 X ＝ 0、1、2
P X 0 1 1 1
22 4
PX
1
1 2
1 2
1 2
1 2
方差：σ 2 X X i E X 2 Pi i 1
N
标准差： σ X X i E X 2 Pi i 1
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第四章 抽样和抽样分布
11
2.3 随机变量的数字特征
概 数学期望 率 论
生物统计学 第4章 抽样分布
df1 df2
df1 df2 2
F
,F
0
0, F 0
F分布的平均数和方差分别为：
F
df2 , df df2 2
2
2 F
2df22 (df1 df2 2) df1(df2 2)2 (df2 4)
,
df
2
4
线性内插法求F值
求F12,17,0.05 1. 先查F12,15,0.05 ＝2.475， F12,20,0.05 ＝2.278 2. 公式： F12,17,0.05 ＝ F12,15,0.05 +(F12,20,0.05 F12,15,0.05 )/(20-15)×（17-15） 3. 结果：＝2.3962
( df 1) 2
(1
t2
df 1
) 2 ,
t
df ( )( df ) df
2
式中df＝n-1
t分布的特征数：
t 0 (df 1)
t
df df 2
(df 2)
1:t 0 (df 3)
2:t
6 df 4
(df 4)
P(t≥tα)＝ P(t≤-tα)＝α
P(| t | t )
当用σi2去出si2之后， si2 就被标准化了，标准化
的样本方差之比称为F：
s12
2
1
F df1,df2
2
s2
2 2
F分布是由一对自由度df1和df2确定的，F分布的 密度函数为：
f df1 ,df2
df1 df2
df1
2
df1 df2
2
df1 df2 2 2
1
df1 1
,2
0
统计学 抽样分布和理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μσ2x = σ2 /n 由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2σ)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx e x f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
生物统计理论分布和抽样分布
第四章理论分布和抽样分布一、基本概念1．必然事件：在同一组条件的实现下必然要发生的一类事件。
如人总是要死的，水在标准大气压下加热到100℃必然化为蒸汽。
P（A）＝1。
2．不可能事件：在同一组条件的实现下必然不发生的一类事件。
如水在标准大气压下温度低于0℃不可能呈气态。
P（A）＝0。
3．随机事件（偶然事件）：在同一组条件的实现下可能发生，也可能不发生的一类事件。
如种子可能发芽，也可能不发芽；硬币抛上落下可能正面朝上，也可能反面朝上。
P（A）∈[0，1]。
4．频率a：假定在相似条件下重复进行同一类试验调查，事件A发生的次数a与总试验次数n的比称之。
如抛硬币，10次有7次朝上，a＝7/10。
5．概率P：当试验总次数n逐渐增大时，事件A的频率愈来愈稳定地接近定值P，则事件A地概率为P。
6．小概率的实际不可能性原理：凡概率很小的事件（农业上一般指P<0.05的事件），在二、计算事件概率的法则1．和事件：C＝A＋B A：身高在1.65以下；B：身高在1.65～1.75之间；C：身高在1.75以下。
2．积事件：C＝A×B A：身高在1.65以下；B：男同学；C：身高在1.65以下的男同学。
3. 互斥事件：A·B＝V （V表示空集） A：小麦种子发芽；B：小麦种子不发芽。
4．对立事件：如果A＋B是必然事件，即A＋B＝U（U为全集）；而A·B＝V，即A与B 是互斥事件，则称B为A的对立事件，B＝A（补集），如上例发芽与不发芽。
5．完全事件：如A·B＝V且A＋B＝U，则称A与B为完全事件系，如小麦发芽与不发芽就构成完全事件系。
6．对立事件的概率：A()1(A)=-P P7．互斥事件的概率加法：()(A)()P＝+=+如身高小于1.60m的概率为(A)P A B P P B0.15；身高小于1.70m且大于等于1.60m的概率为()P B＝0.62；则身高小于1.70m的概率()(A)()+=+＝0.77P A B P P B8．独立事件的概率乘法：()(A)()P A B P P B=。
生物统计课件：随机抽样和抽样分布
6. 极差 数据中最大值与最小值之差
例. 甲大学学生年龄的极差是6岁。 乙大学学生年龄的极差是10岁。
平均数、中位数 和众数关系
抽样分布
样本均数的分布 三大分布
抽样分布
精确抽样分布 渐近分布
• 统计量是随机变量； • 统计量的“抽样分布”
(Xi
−
X
)2
∑ ∑ =
1
n
[
n − 1 i=1
X
2 i
−
1( n n i=1
X i)2]
3. 标准误 SX 即样本均数的标准差
DX = 1 σ 2 = 1 DX
n
n
DX = 1 DX = DX
n
n
SX =
S n
S 2 = DX
4. 中位数
成绩 2 10 78 80 90 人数 1 1 1 22 5
nπ Γ( n)
(1
+
t2 n
)
−
n+1 2
2
E(t) = 0, D(t) = n ( when n > 2 ) n−2
n → ∞, t(n) ~ N (0,1)
iid
Theorem : if X1,L, X n ~ N (µ,σ 2 ), then X − µ ~ t(n −1) S/ n
X −µ X −µ = σ / n = S/ n S/ n
8 8
2.5 ≤ x < 2.7 2.7 ≤ x < 3
7 / 8 3 ≤ x < 3.5
1
x ≥ 3.5
正态概率纸原理
生物统计学课件2、抽样分布及应用一
样本量确定
在确定样本量时，我们需要考虑 抽样误差和总体变异程度。通过 抽样分布，我们可以确定一个具
有足够精确度的样本量。
在假设检验中的应用
假设检验
在假设检验中，我们通常会根据已知的抽样分布来构建拒 绝域或临界值，以判断样本数据是否符合预期的假设。
检验效能
在假设检验中，我们还需要考虑检验效能，即当原假设为 假时，我们能够正确拒绝原假设的概率。通过抽样分布， 我们可以计算检验效能。
抽样分布的期望值和方差
总结词
抽样分布的期望值等于总体均值，而方差则与样本大小和总体方差有关。
详细描述
在统计学中，抽样分布的期望值（或平均值）等于总体均值，这是大数定律的一个结果。此外，抽样 分布的方差与样本大小和总体方差有关。随着样本量的增加，样本方差趋于总体方差，这是样本方差 估计总体方差的基础。
02
抽样的方法
随机抽样
简单随机抽样
每个样本被选中的概率相等，不受其 他因素的影响。
分层随机抽样
将总体分成不同的层，然后在每一层 内进行随机抽样。
系统抽样
等距抽样
将总体分成若干个部分，然后每隔一定距离抽取一个样本。
时间序列抽样
按照时间顺序抽取样本，例如每天、每周或每月抽取一个样 本。
分层抽样
分类抽样
单一样本方差的区间估计
使用卡方分布或F分布的临界值，结合样本方差和样本大小，计算 总体方差的置信区间。
两独立样本均值的比较
1 2
两独立样本均值的比较方法
使用t检验或Z检验等方法比较两组独立样本的均 值。
t检验的前提条件
两组样本应来自正态分布的总体，且方差应相等 。
3
Z检验的前提条件
生物统计学之抽样原理与方法
生物统计学之抽样原理与方法抽样是生物统计学中常用的一种数据收集方法，因为在生物研究中，通常很难收集到整个总体的数据。
抽样的核心原理是通过从总体中选择代表性的样本数据，来推断总体的特征。
在本文中，我们将探讨抽样的原理和方法。
抽样原理：1.总体与样本总体是指被研究者要推断和描述的对象的全体，样本则是从总体中选择出来的一部分个体。
通过分析样本的数据，我们可以推断总体的特征。
2.随机性抽样需要具备随机性，即每个总体个体都有相同的机会被选入样本，确保样本具有代表性。
通常使用随机数表、随机数生成器等方法来保证抽样的随机性。
3.样本容量样本容量是指样本中包含的个体数。
合适的样本容量对于得到准确的推断结果非常重要。
样本容量通常是通过计算抽样误差、预期得到的推断精度以及可用的资源来确定的。
抽样方法：1.简单随机抽样简单随机抽样是一种最常用的抽样方法，每个个体有相同的机会被选入样本。
这种方法需要保证抽样过程的随机性，可以使用随机数表或者随机数生成器来生成随机数，然后按照这些随机数选择个体。
2.分层抽样当总体可以划分为若干个不重叠的子总体时，可以使用分层抽样方法。
将总体划分为几个层次，每个层次内的个体相似，然后从每个层次中随机选择一部分个体组成样本。
3.整群抽样当总体可以划分为若干个互不重叠的子总体时，可以使用整群抽样方法。
将总体划分为几个子总体，然后随机选择一部分子总体，并从选中的子总体中选择全部个体作为样本。
4.系统抽样系统抽样是指按照一定规则从总体中选择个体组成样本。
例如，从总体中随机选择一个个体作为起始点，然后按照一定的间隔依次选择其他个体，直到达到样本容量为止。
5.多阶段抽样多阶段抽样是将抽样过程进行多次划分，每次划分时采用不同的抽样方法。
例如，可以先按整群抽样方法选择若干个互不重叠的子总体，然后在每个子总体内再采用简单随机抽样方法选择个体。
抽样是生物统计学中一种重要的数据收集方法，通过从总体中选择代表性的样本数据，可以对总体进行推断和描述。
统计学抽样与抽样分布
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
可以看成是一组随机变量。
设X1, X2,… , Xn是来自总体X 的一个样本，g(X1, X2,… , Xn) 是 X1, X2,… , Xn的一个函数。若 g 是连续函数，且 g 中不含任何未 知参数，则称 g(X1, X2,… , Xn) 是一个统计量。统计量也是一个随
机变量。
设x1, x2,… , xn 是相应于样本X1, X2,… , Xn的一个样本值， 则 称 g(x1, x2,… , xn ) 是统计量 g(X1, X2,… , Xn) 的一个观测值。
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
,
（4）样本比例：P =k/n，其中k为样本中某属性出现次数 s
概率抽样
(probability sampling)
u概率抽样也叫随机抽样，是指按随机原则抽取样本。
u随机原则，就是排除主观意识的干扰，使总体每一个单位都有
一定的概率被抽选为样本单位，每个单位能否入选是随机的。
u 特点
能有效地避免主观选样带来的倾向性误差（系统偏差）， 使样本资料能够用于估计和推断总体的数量特征，而且 这种估计和推断得以建立在概率论和数理统计的科学理 论之上
可以计算和控制抽样误差，说明估计的可靠程度。
u作用：
在不可能或不必要进行全面调查时，利用概率抽样来推 断总体；
抽样分布和估计培训
抽样分布和估计培训简介抽样分布和估计是统计学中的重要概念，用于推断总体参数的特征。
在实际应用中，我们往往无法对总体进行全面调查，而只能从中抽取一部分样本进行研究。
因此，了解抽样分布和估计方法是进行统计推断的基础。
本文将介绍抽样分布的概念和一些常见的估计方法，帮助读者理解这些概念并能够运用到实际问题中。
抽样分布的概念总体和样本在统计学中，总体指的是我们希望研究的对象的全体，可以是人群、产品、事件等等。
样本则是从总体中抽取的一部分个体，用于对总体进行推断和估计。
抽样分布抽样分布是指在总体中随机抽取多个样本，并记录某个统计量（如均值、比例、方差等）的频数分布。
通过多次重复抽样和记录，我们可以得到样本统计量的分布情况。
这个样本统计量的分布就被称为抽样分布。
中心极限定理中心极限定理是指在样本容量足够大的情况下，样本均值的抽样分布会趋近于正态分布。
这意味着，即使总体并不服从正态分布，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布也会近似于正态分布。
这是基于大数定律和正态分布的性质推导出来的结论。
估计方法点估计点估计是利用样本数据推断总体参数的方法，通过计算样本统计量的值来估计总体参数的值。
常见的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本比例估计总体比例等。
点估计得到的结果通常是一个具体的数值，但由于样本的随机性以及抽样误差的存在，点估计的结果不一定能精确地等于总体参数的真实值。
区间估计区间估计是在点估计的基础上，给出一个总体参数估计值的范围。
这个范围被称为置信区间，用来表示我们对总体参数的估计不确定性。
置信区间通常由一个下限和一个上限组成，表示总体参数存在于这个范围内的概率。
置信水平是指置信区间包含总体参数的概率，常用的置信水平有95%和99%。
抽样分布和估计的应用抽样分布和估计方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在市场调研中，我们可以通过抽样方法获取一部分目标群体的意见和反馈，从而推断整个总体的态度和行为。
在医学研究中，通过对患者的样本数据进行分析，可以估计出一种药物的疗效和副作用。
统计学第4章抽样与抽样分布
思考与练习
二、实验题 1.利用Excel的“抽样”工具或“RAND”函数，从本 班级的全体同学总体中抽出5名同学构成一个随机 样本。 2.假设一个总体共有8个数值：32，33，35，40， 41，43，46，50。从该总体中按重复抽样方式抽 取n = 2的随机样本。 要求：（1）计算出总体的平均数与标准差。 （2）一共有多少个可能的样本？ （3）抽出所有可能的样本，并计算出每个样 本的平均数。 （4）计算所有样本平均数的平均数与标准差 ，并与总体的平均数与标准差进行比较，得到的 结论是什么？
E( p ) X p P
sp
2
P(1 P) n
p sp
n
P(1 P) n (1 ) n N
2.在不重复抽样条件下
E( p ) X p P
sp
2
P(1 P) N n P(1 P) n (1 ) n N 1 n N
p sp
本章小结
1.抽样的相关概念包括：总体、样本、参数、统计 量、样本容量、样本个数、抽样误差和非抽样误 差；基本的抽样方法是重复抽样和不重复抽样。 2.基本的抽样组织方式有以下几种：简单随机抽样 、等距抽样、类型抽样、整群抽样和多阶段抽样 等,这些组织方式各有其特点。 3.抽样分布就是样本统计量的概率分布。 4.常用的抽样分布有样本平均数的抽样分布和样本 比率 的抽样分布，两种分布又都可以分为重复抽 样和不重复抽样两种情况。 5.抽样分布在推断统计中具有重要作用，只有掌握 了统计量的抽样分布，才能进行参数估计和假设 检验。
思考与练习
3.利用Excel的“随机数发生器”工具产生100个服 从标准正态分布N（0，1）的数据，然后利用RAND 、INDEX和CEILING函数抽取20个样本容量n = 30 的样本，来验证样本平均数的抽样分布与总体分 布之间的关系。 三、实践题 如果总体容量为100，抽取样本容量为10的样本， 按重复抽样和不重复抽样的方法，样本可能数目 分别是多少？
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t
y
s
,具有n -1的自由度
n 其中，s 称为样本标准差。t分布只有一个参数。
n
16
标准差未知时的平均数分布
自由度（df）：
自由度是指独立观测值的个数，在计算s时所使用的n个观测值受到平均 值的约束，这就等于有一个观测值不能独立取值，因此自由度df=n-1。
fdf (t)
df 1 2
df(πf df
2 1
22
n1 n2
1 2 ( y1 y 2)
( y1 y 2)
2 1
22
n1 n2
23
如果两个总体都是正态分布，则有
标准化
N (1
2
,
(12
n1
2 2
n2
))
u ( y1 y2) (1 2 )
2 1
2 2
n1
n2
24
二、标准差未知时，两个平均数的 和与差的分布
t (df1df2 ) t (n1 n2 2)
9
在统计上，如果所有可能样本的某一统计
数等于总体的相应参数，则称该统计数为
总体_ 相应参数的无偏估计值(unbiased estyimate)
13
1、 是μ的无偏估计值。
2、s2是σ2的无偏估计值。 3、以n为除数的样本方差
估计值。
4、s不是σ的无偏估计值。
不是σ2的无偏
14
标准差已知时的平均数分布
生物统计学
西安电子科技大学 生命科学技术学院
刘鹏
1
第四章抽样分布
2
抽样分布
研究总体与从中抽取的样本之间的关系是 统计学的中心内容。
生物统计学的最基本问题是研究总体和样本 间的关系。
总体类型： （1）实际研究对象所构成的总体 （2）数字的总体
3
抽样分布
对这种关系（总体与样本）的研究可从两方面着 手: 一是从总体到样本，这就是研究抽样分布的问题； 二是从样本到总体，这就是统计推断问题。
2
62
6
4
64
6
6
总和
66
∑(y)
4 6 8 6 8 10 8 10 12 72
_
y
s02
s2
s
2
0
0 0.0000
3
1
2 1.4142
4
4
8 2.8284
3
1
2 1.4142
4
0
0 0.0000
5
1
2 1.4142
4
4
8 2.8284
5
1
2 1.4142
6
0
0 0.0000
36
12
24 11.3136
统计推断是以总体分布和样本抽样分布的理论关 系为基础的。
4
总体
随机样本1
……
2
3
4
无穷多个样本
总体和样本的关系示意图
5
抽样分布
从样本
到总体
总体与 样本间 的关系
从总体 到样本
统计推
断(目的)
抽样分 布（基础）
本章研究的内容就是：从总体到样本（抽样分布）
6
抽样分布
抽样分布全部建立在正态分布的基础之上（在正 态分布的总体中抽样）。
每个样本可以计算一个平均数，这样就得到许多 平均数，如果将这些平均数集合起来便构成一个 新总体。由于每次随机抽样所得的平均数可能会 存在差异，所以由平均数构成的新总体也应该有 其分布，这种分布称为平均数的抽样分布。
9
下面用一个抽样实验进一步说明样本平均数的抽 样分布及其分布的参数。
假定用一个很小的总体N=3，其观察值为2、4、6 以样本容量n=2从中进行抽样。
29
例题
例3：已知男生智商平均数为100，方差 为64，女生智商平均为102，方差为49. 现随机抽取25男生和16名女生进行智力 测验，问两个样本平均数之差(男生-女 生)介于1~3之间的概率是多少？
30
例题
例4：某次试验欲采购一批药品，已知 两个公司的产品的使用寿命分别为1270 小时和1260小时，样本方差分别为802和 942，现从该两个公司的产品中各自抽 取50个样本进行寿命检验。假设两者之 间没有显著性差别。那么，两公司的样 本平均数使用寿命之差（第一个公司-第 二个公司）服从怎么样的分布呢？
( y1 y2) (1 2 )
df1s12 df2s22 ( 1 1 ) df1 df2 df1 11 df2 1
( y1 y2) (1 2 )
(n1 1)s12 (n2 1)s22 ( 1 1 ) (n1 1) (n2 1) n1 n2
25
三、两个样本方差比的分布
s12
2
1
F df1,df2
2
这个变量就是服从n-1个自由度的卡方分布（χ2 – distribution）。
19
其密度函数为：
f
( 2 )
df 2 2
1 ( df
)
df
y2
1 2
e2
,
2
y0
0
其他.
2 (n)分布的概率密度曲线如图.
20
对于给定的正数 , 0 1, 称满足条件
P{ 2 2 (n)}
1
t2 df
df 1
2 ,
2
t
17
1. 具有自由度为n的t分布t ~ t(df ), 其数学期望
与方差为：E(t) 0, D(t) df (df 2)
(n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
再 由函数的性质有
从两个正态总体中抽取样本： 两个平均数的和与差，与正态分布、t分布 有关。 两个样本方差比的分布，与F分布有关。
36
f ( y)dy
2 ( n)
的点
2
(n)
为
2 (n)
分布的上
分位点.
对于不同的 , n,
可以通过查表求
得上 分位点的值.
如何查表，附表6.
21
§4·2 从两个正态总体分 布中抽取的样本统计量的
分布
22
一、标准差已知时，两个平均数的 和与差的分布
1 2 ( y1 y 2)
( y1 y 2)
2
s2
22
f df1 ,df2
(F)
(
df1 df2
df1
)2
( df1 df2 ) 2
( df1 )( df2 ) 22
F ( df1 1) 2
(1
df1
( df1 df2 )
F) 2
df2
,
F
0
0, F 0
26
F分布的平局数和方差分别为：
F
df2 df2
2
，df
2
2
2 F
2df22 (df1 df2 df1(df2 2)2 (df
Y ~ N(, 2 )
n
u
y
n
变量是正态的或近似正态的，则标准化的变量服从或 近似服从N(0,1)分布。如果整体是非正态分布，当n 足够大的时，其样本平局数还是服从正态分布。
15
标准差未知时的平均数分布
未知时，可以用样本标准差变量不服从正态分布，而服从n -1的t分布
2) 2 4)
，df
2
4
F分布的概率密度曲线图
如何查表，附表7.
27
例题
例1：某类药物产品的有效性服从正态 分布，其总体平均数为100，总体标准差 为5.现从该总体中抽取一个容量为25的 简单随机样本，求这一样本的样本平均 数介于99~101的概率。
28
例题
例2：某次测量老鼠的体重，其服从正 态分布，其总体平均数为100，样本标准 差为4。现从该总体中抽取一个容量为16 的简单随机样本，求问其样本平均数服 从怎么样的分布。如果样本容量是64呢？ 如果样本容量是64，样本平均数大于102 的概率有多大？
首先计算出总体参数：
μ=(2+4+6)/3=4 σ2=〔(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2〕/3=8/3
所有可能的样本数=Nn=32=9
10
总体N=3，样本容量n=2时所有样本的总和数、平均数和方差表
第一个 第二个 样本
观察值 观察值
2
2
22
2
4
24
2
6
26
4
2
42
4
4
44
4
6
46
6
平均数的抽样分布对总体正态性的要求不十分严 格。
（根据中心极限定理，从非正态分布的总体中抽取 的含量为n的样本，当n充分大时，样本平均数渐 近服从正态分布）
方差的抽样分布对总体正态性的要求十分严格。
7
§4·1 从一个正态总体分 布中抽取的样本统计量的
分布
8
一、样本平均数的抽样及其分布
如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容 量为n的样本，那么一共可以得到Nn个样本。
31
例题
例6：某实验室让一组10人用第一种工艺 进行试验，方差为25；让另一组10人用 第二种工艺进行试验，方差为144。现假 定工作时间服从正态分布，两个总体平 均数相等，两总体方差有显著性差别。 问；两种工艺平均数用时之差服从怎样 的分布呢？
32
总结
从一个正态总体中抽取样本： 样本平均数的分布与正态分布、t分布有关。 样本方差的分布与卡方分布有关。
11
从表中我们可以算出 样本平均数 的平均数：
_
_
y
N